Twierdzenie o dodawaniu dla rozkładu gamma

Wykład 2
Rozkłady zmiennych losowych
ZMIENNA LOSOWA TYPU DYSKRETNEGO (SKOKOWA)
Def.: Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretna), jeŜeli istnieje
zbiór przeliczalny Z ⊂ R1 taki, Ŝe Px(Z) = 1.
Z = {x1, x2, x3,.......}
Rozkład zmiennej skokowej
P(X = xi) = pi
Σ pi = 1
i
Dystrybuanta zmiennej skokowej
F(a) = P(X < a) = p1 +...........+ pi - wartość dystrybuanty F(x)
w punkcie a, gdzie x1 ≤....... ≤ xi < a ≤ xi+1
P(a < X < b) = pi +........+ pi' – prawdopodobieństwo zdarzenia
{a < X < b}, gdzie a < xi ....... ≤ xi' < b
Wartość oczekiwana E(X) zmiennej skokowej
E(X) = m1 = Σ pk xk,
k
gdzie pk = P(X = xk), oraz Σ pk xk < ∞
k
Wariancja V(X) i odchylenie standardowe σ(X) zmiennej skokowej
(miary rozrzutu zmiennej losowej X wokół wartości oczekiwanej E(X)
σ2 = V(X) = E(X - E(X))2
W przypadku zmiennej dyskretnej:
V(X) = Σ pk (xk - E(X))2, gdzie Ŝądamy, by V(X) < ∞
k
σ = σx = V(X)1/2 - odchylenie standardowe
Tw.: V(X) = E(X2) - E2(X) = E(X2) - (E(X))2
NIEKTÓRE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ
DYSKRETNEJ
Rozkład zero-jedynkowy
P(X = 1) = p
(0≤p≤1)
P(X = 0) = 1 - p
E(X) = p, oraz V(X) = p (1 - p)
Rozkład dwumianowy
(n prób z tym samym prawdopodobieństwem sukcesu
- schemat Bernoulliego )
Xn - liczba sukcesów w próbie n-elementowej
P(Xn = k) = Cnk pk (1 - p)n-k = Bn,p(k), gdzie
Cnk = (kn) = n! / ((n - k)!k!)
E(X) = n p, oraz V(X) = n p (1 - p)
Rozkład dwumianowy
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
a
Rozkład dwumianowy
Dystrybuanta
Kolory odpowiadają wykresowi powyŜej
a
Ile sukcesów znajdzie się w ustalonej liczbie prób n?
Model urnowy: m1 kul białych oraz m2 kul czarnych
Xn - liczba białych kul w próbie n-elementowej
losowanie ze zwracaniem ⇒ Rozkład dwumianowy
P(Xn = k) = Cnk pk qn-k
Losowanie bez zwracania ⇒ Rozkład hipergeometryczny
P(Xn= k) = Cm1k Cm2n-k / Cm1+m2n = (km1) (n-km2) / (nm)
Przy której próbie nastąpi pierwszy sukces?
Rozkład geometryczny
Pp,1(k) = (1 - p)k -1 p, gdzie 0 < p < 1, oraz k = 1, 2, 3,..
W której próbie nastąpi l-ty sukces?
Ujemny rozkład dwumianowy lub
Rozkład Pascala
Pp,l(k) = Ck-1l-1 pl-1(1- p)k – l p = (l-1 k -1) pl-1(1- p)k – l p =
= (l-1 k -1) pl(1- p)k – l
Rozkład Poissona
(rozkład rzadkich zdarzeń)
Pλ (X = k) = λk e - λ / k!
gdzie λ > 0, oraz k = 0, 1, 2, 3,....
E(X) = λ, oraz V(X) = λ
Tw. Poissona: Niech zmienna losowa Xn ma rozkład dwumianowy
określony wzorem:
P(Xn= k) = Cnk pk (1 - p)n-k = n!/((n - k)!k!)pk (1 - p)n-k
Jeśli prawdopodobieństwo p = p(n) maleje do zera ze wzrostem n w taki
sposób, Ŝe lim n.p = λ, gdzie λ > 0 jest wielkością stałą, to
lim P(Xn = k) = λk e - λ / k!
n→∞
Dowód: p = λ/ n,.... .
W praktyce posługujemy się tym przybliŜeniem, gdy:
n ≥ 50, p ≤ 0.1; np ≤ 10
Rozkład Poissona
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Rozkład Poissona
Dystrybuanta
Kolory odpowiadają wykresowi powyŜej
Rozkład Poissona
Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i
statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1972
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona
ZMIENNA LOSOWA TYPU CIĄGŁEGO
Zmienna losowa typu ciągłego X przyjmuje wartości z pewnego
przedziału na osi liczbowej R1, oraz istnieje taka nieujemna i
unormowana funkcja gęstości f(x), Ŝe:
lim P{x < X < x + ∆x} / ∆x = f(x)
∆x → 0
f(x) - gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
Funkcja gęstości f(x) musi spełniać warunki:
∞
f(x) ≥ 0, oraz ∫ f(x) dx = 1 (funkcja unormowana)
-∞
a
F(a) = P(X < a) = ∫ f(x) dx – wartość dystrybuanty F(x) w
-∞
punkcie a
b
P(a < X < b) = F(b) - F(a) = ∫ f(x) dx – prawdopodobieństwo zdarzenia
a
{a < X < b}
UWAGA: JeŜeli zmienna losowa X jest typu ciągłego, to P(X = a) = 0.
Wartość oczekiwana E(X) zmiennej losowej typu
ciągłego
+∞
m1 = E(X) = ∫ x f(x) dx
-∞
Wariancja V(X) zmiennej losowej typu ciągłego
+∞
σ2 = V(X) = E(X – m1)2 = ∫ (x - m1)2 f(x) dx =
-∞
= ∫ x2 f(x) dx - (m1)2 = E(X2) - E(X)2
Analogia wariancji σ2 z momentem bezwładności
bryły sztywnej względem środka cięŜkości m1.
NIEKTORE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ CIAGLEJ
Rozkład jednostajny (równomierny)
0
jeŜeli x < a
f(x) = 1/(b-a) jeŜeli a ≤ x ≤ b
0
jeŜeli x > b
0
jeŜeli x < a
F(x) = (x-a) /(b-a) jeŜeli a ≤ x ≤ b
1
jeŜeli
x>b
f(x)
F(x)
1/(b-a)
1.0
a
b
x
a
E(X) = (a + b) /2 oraz V(X) = (a - b)2 / 12
b
x
Rozkład normalny N(µ; σ)
2

(
)
1
x−µ 

exp −
f ( x) =
dla x ∈ R
2

2σ 
σ 2π

Parametry rozkładu: µ - parametr przesunięcia, σ - parametr skali
X ∼ N(µ; σ) ⇒ E(X) = µ, oraz V(X) = σ2
t = (x - µ) / σ - zmienna standaryzowana, f(t) - rozkład N(0;1)
 t2 
1
f (t ) =
exp −  dla t ∈ R
2π
 2
f(x)
f(x) - N(0,1)
1/(σ√2π)
N(µ,σ)
0
µ-σ
µ
µ+σ
1/(√ 2π )
x
-1
0
1
x
Rozkład wykładniczy
1
 x
 exp −  dla
f ( x) =  λ
 λ

0
dla

 x
1 − exp −  dla
F ( x) = 
 λ

0
dla
x≥0
x<0
x>0
x≤0
F(x)
f(x)
1
1/λ
0
x
0
E(X) = λ, oraz V(X) = λ2
x
Rozkład gamma
a
p
dla
x≤0
dla
x>0
- parametr skali (a > 0)
- parametr kształtu
rozkładu (p > 0)
f(x)
0


f ( x) =  a p p −1 − ax
x e
 Γ( p)
0.50
a=0.5 p=1
a=0.5 p=2
a=0.5 p=4
0.25
Γ(p) - funkcja gamma Eulera
Γ( p ) =
+∞
∫x
0.00
0
p −1 − x
2
4
e dx
f(x)
Dla p > 1 Γ(p) = (p - 1) Γ(p - 1)
Γ(1) = 0! = 1, Γ(1/2) = (π)1/2
Dla n >1 (n - liczba naturalna) Γ(n) = (n - 1)!
Γ(p) - uogólniona silnia
JeŜeli p = 1, to rozkład gamma staje się
rozkładem wykładniczym z λ=1/a.
JeŜeli p= 0.5 n oraz a = 0.5 to rozkład
gamma staje się rozkładem χ2 (chi-kwadrat)
z n stopniami swobody.
8
10
x
0.8
0
6
a=0.5 p=2
a=1 p=2
a=2 p=2
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
x
E(X) = p / a
8
10
V(X) = p / a2
Rozkład beta
xp-1(1
-
x)q-1
(w przedziale [0,1])
/ B(p,q),
gdy 0 ≤ x ≤ 1
f(x) =
0
gdzie: p > 0, q > 0;
gdy x < 0, lub x > 1
1
B(p,q) = ∫ tp-1(1 - t)q-1dt - funkcja beta Eulera (p > 0, q > 0)
0
Γ(p,q) = Γ(p) Γ(q) / Γ(p+q)
Rozkład beta ma zastosowania w statystycznej kontroli
produkcji i odbiorze towarów.
Rozkład beta ma duŜą róŜnorodność kształtów w zaleŜności
od wyboru parametrów (m. in. rozkład prostokątny, gdy
p = 1 oraz q = 1 oraz rozkład trójkątny, gdy p = 1 oraz q = 2).
E(X) = p / (p + q), oraz V(X) = p q / ((p + q)2 (p + q+1))
Rozkład beta
(w przedziale [0,1])
xα -1(1 - x)β -1 / B(α,β),
gdy 0 ≤ x ≤ 1
f(x) =
0
gdy x < 0, lub x > 1
E(X) = α / (α + β),
oraz
V(X) = α β /
/((α + β)2 (α + β +1))
Rozkład beta
(w przedziale [0,1])
xα -1 (1 - x)β -1 / B(α,β),
gdy 0 ≤ x ≤ 1
f(x) =
0
gdy x < 0, lub x > 1
Twierdzenia o dodawaniu
Twierdzenie o dodawaniu dla rozkładu normalnego
JeŜeli zmienne losowe X1, X2,.......,Xn są niezaleŜne przy czym zmienna
Xi ma rozkład normalny N(µi, σi), to zmienna losowa
Y = X1+ X2 +.......+ Xn ma rozkład normalny N(µ, σ) o parametrach
µ = µ1+ µ2 +.......+ µn oraz σ2 = σ12 + σ22 +.......+ σn2.
Twierdzenie o dodawaniu dla rozkładu Poissona
JeŜeli zmienne losowe X1, X2,......., Xn są niezaleŜne przy czym zmienne
Xr mają rozkłady Poissona o parametrach λr (P(Xr= k) = (λr)k e- λr / k! ),
to zmienna losowa Y = X1+ X2 +.......+ Xn ma rozkład Poissona o
parametrze λ = λ1+ λ2 +.......+ λn .
Twierdzenie o dodawaniu dla rozkładu gamma
Suma n niezaleŜnych zmiennych losowych X1, X2,......., Xn o rozkładach
gamma z parametrami a > 0 oraz pk > 0 ma rozkład gamma o
parametrach a > 0 oraz p = p1+ p2 +.......+ pn.
Uwaga: Twierdzenia o dodawaniu moŜna wykazać stosując
funkcje charakterystyczne.