O trzecim problemie Hilberta
advertisement
O trzecim problemie Hilberta n AGNIESZKA WOJCIECHOWSKA W geometrii płaskiej znane jest twierdzenie Bolyaia* – Gerwiena, które mówi, że dwa wielokąty o równych polach są równoważne przez podział, tzn. jeden z nich można rozciąć na skończenie wiele wielokątów, z których można złożyć drugi. W praktyce oznacza to możliwość rozcięcia obu na identyczne zestawy trójkątów. Nad możliwością przeniesienia tego twierdzenia na przypadek przestrzenny zastanawiał się już Gauss w połowie XIX wieku, a w roku 1900 pytanie o to znalazło się na liście słynnych 23 problemów postawionych przez Dawida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu. W trzecim z tych problemów Hilbert – przewidując odpowiedź negatywną – postulował wskazanie dwóch czworościanów o takich samych podstawach i wysokościach, które nie są równoważne przez podział ani przez uzupełnienie. Wielościany są równoważne przez podział, jeśli każdy z nich można podzielić na tę samą liczbę wielościanów, odpowiednio przystających; natomiast równoważność przez uzupełnienie to możliwość doklejenia do każdego z nich odpowiednio przystających wielościanów tak, aby otrzymane bryły były równoważne przez podział. Oczywiście dwa wielościany równoważne przez podział są równoważne przez uzupełnienie, implikacja odwrotna nie jest banalna. Trudno powiedzieć, czy był to najłatwiejszy z problemów Hilberta, czy po prostu już długo nad tym myślano, w każdym razie problem numer 3 został rozwiązany jako pierwszy: uczeń Hilberta z Getyngi, Max Dehn, już w tym samym roku podał przy- kład czworościanów o tej samej objętości nierównoważnych przez rozkład, a w 2 lata później – także nierównoważnych przez uzupełnienie. Metoda Dehna opierała się na pojęciu niezmiennika i używała metod algebry liniowej. Rozumowanie było dość skomplikowane, następne pokolenia matematyków starały się je uprościć. Pokażemy tylko jego główną ideę. Każdemu wielościanowi przypisuje się pewne stałe, zwane niezmiennikami Dehna. Podstawowe twierdzenie o nich mówi, że wielościany równoważne przez uzupełnienie (a zatem także równoważne przez podział) maja te same niezmienniki Dehna. Tymczasem można skonstruować czworościany o przystających podstawach i jednakowych wysokościach, a o różnych wartościach niezmienników. Wszystkiemu winne są kąty dwuścienne. Chcąc zdefiniować niezmienniki Dehna, musimy zająć się przestrzenią liniową, jaką nad ciałem Q liczb wymiernych stanowi zbiór liczb rzeczywistych R. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa, ale nas będą interesowały jej skończenie wymiarowe podprzestrzenie. Jeśli M Ì R jest skończonym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, to przez V(M) oznaczamy podprzestrzeń liniową przestrzeni R nad Q, generowaną przez M, czyli zbiór wszystkich kombinacji liniowych o współczynnikach wymiernych elementów M. Dla danego wielościanu W przez MW oznaczamy zbiór skła* Farkas Bolyai, ojciec Janosa – twórcy geometrii nieeuklidesowej. dający się z liczby p oraz miar wszystkich kątów dwuściennych wielościanu W. Niech M będzie dowolnym skończonym zbiorem liczb rzeczywistych, zawierającym MW. Dla dowolnej funkcji f : V(M) ® Q, liniowej nad Q i spełniającej warunek f(p) = 0 definiujemy niezmiennik Dehna wielościanu W względem funkcji f jako sumę: D f W = Èl e £ f a eW e gdzie e jest krawędzią wielościanu W, l(e) – jej długością, a e – kątem dwuściennym przy tej krawędzi. Twierdzenie Dehna-Hadwigera mówi, że wielościany równoważne przez uzupełnienie mają te same wartości niezmiennika Dehna względem każdej funkcji f. Obliczmy wartość niezmiennika dla sześcianu jednostkowego S. Wszystkie jego kąty są proste, więc M S = ^ 2 ` oraz, ponieważ dla funkcji liniowej nad Q równość f(p) = 0 pociąga f(qp) = 0 dla każdej liczby wymiernej q, mamy Df (S) = 0 dla każdej funkcji f. Dla czworościanu foremnego T, którego długość krawędzi l możemy dobrać tak, aby objętość wynosiła 1, wszystkie kąty dwuścienne są jednakowe, a cosinus każdego z nich wynosi 1 (p. rys.). mamy więc 3 M T = Æ® ¯ arc FRV 1 µ¶ 3Þ funkcja f : MT ® Q taka, że f arccos 13 = 1 oraz f(p) = 0, może być rozszerzona do funkcji liniowej f : V(M) ® Q i dla tej funkcji mamy D f T = 6 l £ f ¼« arccos 1 ²³ = 6 l º 0 3Ö ¾ Tak więc Df (S) ¹ Df (T), a zatem czworościan foremny nie jest równoważny sześcianowi. Weźmy teraz pod uwagę inny czworościan T ¢, będący „rogiem sześcianu”. Jego trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie o długości l są krawędziami sześcianu, trzy pozostałe – przekątnymi ścian sześcianu, mają więc długość l 2 . Trzy z kątów dwuściennych są proste, a cosinus każdego z trzech pozostałych ma wartość 2 l 2 = 1 3 3 2l 2 Podobnie jak poprzednio, iloraz arccos 1 3 Tymczasem można wykazać, że iloraz arccos1 3 jest liczbą niewymierną, a zatem arccos 13 i p są liniowo niezależne nad Q, a wobec tego jest liczbą niewymierną, zatem liczby te są liniowo niezależne nad Q, istnieje więc funkcja liniowa nad Q taka, że f(p) = 0 i f arccos 1 = 1 i dla tej funkcji mamy 3 D f T ì = 3l £ 2 Rozpatrzmy jeszcze jeden czworościan, T ¢¢ także wycięty z sześcianu. Jego podstawą jest połowa kwadratu, krawędź prostopadła do podstawy jest krawędzią sześcianu, pozostałe dwie krawędzie są przekątnymi sześcianu. Jego kąty dwuścienne to 3 i a stąd Df (T ¢¢) = 0 dla każdej odpowiedniej funkcji f. Wynika to także z faktu, że sześcian jest sumą 6 takich czworościanów. Oczywiste jest, że czworościany T ¢ i T ¢¢ mają taką samą podstawę i wysokość, ale nie są równoważne przez uzupełnienie (a więc także przez podział), bo mają różne niezmienniki Dehna. n
