lOMoARcPSD|24386072 AIR Mechanika zagadnienia i odpowiedzi na egzamin Mechanika ogólna (Politechnika Swietokrzyska w Kielcach) Serwis Studocu nie jest sponsorowany, ani wspierany przez żaden uniwersytet lub szkołę wyższą Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 1. Wielkości skalarne i wektorowe. Elementy rachunku wektorowego. 2. Zasady statyki. Zasada pierwsza (niezależność działania sił, zasada równoległoboku). Jeżeli na ciało sztywne działają dwie siły, których linie się nie przecinają, to obciążenie cała nie zmienia się, jeżeli siły te zastąpimy jedną siłą, otrzymaną wg zasady równoległoboku, czyli stanowiącą przekątną równoległoboku zbudowanego na siłach składowych. Zasada druga (równowaga ciała sztywnego pod działaniem sił). Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż jednej prostej, mają te same wartości, lecz przeciwne zwroty. Zasada trzecia (dodawanie zerowego układu sił). Działanie układu sił przyłożonego do ciała sztywnego nie ulega zmianie, gdy do ciała przyłożymy lub odejmiemy układ zerowy. Działanie układu sił przyłożonego do ciała sztywnego nie ulega zmianie, gdy siła działająca na ciało przesuwa się wzdłuż linii działania. Zasada czwarta (zasada zesztywnienia). Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne), identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił. Wynika stąd wniosek, że warunek konieczny i wystarczający do równowagi ciała sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym do równowagi ciała odkształcalnego. Zasada piąta (zasada działania i przeciwdziałania). Każdemu działaniu towarzyszy równe, co do wartości, o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie. Zasada szósta (zasada oswobodzenia od więzów). Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozważać, jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów). 3. Stopnie swobody i reakcje więzów Punkt materialny ma w przestrzeni trzy stopnie swobody: ruch wzdłuż Ox, Oy i Oz. Bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody: ruch wzdłuż Ox, Oy i Oz, obrót wokół Ox, Oy i Oz. Figura płaska ma w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ruch wzdłuż Ox i Oy, i obrót wokół Oz. (?) Ograniczając swobodę ciała, nakładając na ciało więzy, powodujemy pojawienie się w układzie dodatkowych sił zewnętrznych, tzw. reakcji. 4. Modele ciał materialnych stosowane w mechanice. Punkt materialny – to ciało o tak małych rozmiarach, w porównaniu do obszaru, w którym się porusza, że można go uważać za punkt w sensie geometrycznym, mające jednak właściwości mechaniczne (masę). Ciało doskonale sztywne – ciało, w którym pod działaniem dowolnych sił wzajemne odległości między cząsteczkami nie ulegają zmiany; nie podlega żadnym odkształceniom. 5. Para sił i jej własności. Siła – podstawowa wielkość fizyczna, od której zależą wszelkie zmiany ruchu. Para sił – dwie siły równoległe o przeciwnych zwrotach, takich samych wartościach i nieleżących na jednej prostej. Moment pary sił nie zależy od położenia bieguna, względem którego jest obliczany. Moduł wektora momentu pary sił jest równy iloczynowi modułu siły i odległości linii o o działania sił. M = F’h2-Fh1=F(h2-h1), a=h2-h1, M=M =F*a Własności pary sił: Można ją dowolnie przenieść w płaszczyźnie jej działania. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 Można ją przenieść na płaszczyznę równoległą do płaszczyzny jej działania. Działanie pary sił nie zmieni się, jeżeli proporcjonalnie zmienimy stosunek wartości sił tworzących parę sił i jej ramienia. Układ par sił jest równoważny jednej parze sił, której wektor momentu jest sumą geometryczną wektorów momentów par składowych. Pary sił nie można zastąpić wektorem wypadkowym, lecz tylko inną parą sił o takim samym wektorze momentu. Warunkiem równoważności par sił jest geometryczna równość ich momentów. 6. Moment siły względem punktu. Przypadki zerowania się momentu siły względem punktu. Zmiana bieguna momentu. Twierdzenie Varignona. Nie zależy od punktu przyłożenia siły na linii jej działania. Momenty leżące na jednej płaszczyźnie, wyznaczane względem bieguna O na tej płaszczyźnie są do siebie równoległe. Moment siły względem punktu jest równy zero, jeżeli linia działania siły przechodzi przez punkt. Zmiana bieguna momentu Moment siły względem zmienionego bieguna O1 jest równy sumie dwóch momentów, z których pierwszy jest momentem siły F względem bieguna O, a drugi momentem tej siły zaczepionej w biegunie O względem nowego bieguna O1. Twierdzenie Varignona Moment siły wypadkowej F względem punktu lub prostej równy jest sumie momentów składowych tej siły względem tego punktu lub prostej. 7. Moment siły względem osi. Przypadki zerowania się momentu względem osi. Momentem siły względem osi nazywamy moment rzutu siły F na płaszczyznę prostopadłą do osi z, względem punktu O, w którym oś przebija wspomnianą płaszczyznę. Zerowanie się momentu względem osi: Gdy kierunek działania siły F przechodzi przez biegun O. Gdy siła F zaczepiona jest w biegunie O. 8. Zależność pomiędzy momentem siły względem punktu i osi. 9. Szczególne układy sił. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 Dowolny układ sił – układ sił o liniach działania dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni. Redukuję się do najprostszego układu sił równoważnego danemu układowi sił. Płaski układ sił – to układ sił leżących w jednej płaszczyźnie, o kierunkach nieprzecinających się w jednym punkcie. Redukuję się do wektora głównego S i momentu głównego Mo. Układ sił równoległych – to układ wektorów, których proste działania są równoległe. Wektor główny ma ten sam kierunek, co wektory układu, a moment główny jest prostopadły do wektora głównego. 10. Redukcja układu sił. Wektor główny. Moment główny. Parametr układu. Redukcja układu sił ma na celu sprowadzenie układu pierwotnego do równoważnego mu układu prostszego, złożonego z jak najmniejszej liczb wektorów. Wektor główny to wektor S równy sumie geometrycznej wszystkich sił układu Fi. Nie zależy od obranego bieguna redukcji i nazywamy go pierwszym niezmiennikiem układu sił. Moment główny Mo to suma momentów Mio wszystkich sił układu względem dowolnego bieguna. Zależy od wyboru bieguna i zmienia się zgodnie z twierdzeniem o zmianie bieguna momentu. Parametr układu „k” to iloczyn skalarny wektora momentu głównego i wektora głównego. Nie zależy od obranego bieguna redukcji i nazywamy go drugim niezmiennikiem układu sił. 11. 5 przypadków redukcji układu sił. 1) S ≠ 0, Mo ≠ 0, k ≠ 0 – układ redukuje się do dwóch sił lub do skrętnika 2) S ≠ 0, Mo ≠ 0, k = 0 – układ redukuję się do siły wypadkowej 3) S ≠ 0, Mo = 0, k = 0 – układ redukuję się do wypadkowej przechodzącej przez środek redukcji 4) S = 0, Mo ≠ 0, k = 0 – układ redukuje się do pary sił 5) S = 0, Mo = 0, k = 0 – układ w równowadze 12. Równania równowagi dla dowolnego i zbieżnego przestrzennego oraz płaskiego układu sił. Przestrzenny dowolny n n n n n n i=1 i =1 i=1 i=1 i=1 i=1 ∑ Fix=0 ∑ Fiy =0 ∑ Fiz=0 ∑ Mix=0 ∑ Miy=0 ∑ Miz=0 Płaski dowolny n n n i=1 i =1 i=1 ∑ Fix=0 ∑ Fiy =0 ∑ Mi …=0 Przestrzenny zbieżny n n n i=1 i =1 i=1 ∑ Fix=0 ∑ Fiy =0 ∑ Fiz=0 Płaski zbieżny n n i=1 i =1 ∑ Fix=0 ∑ Fiy =0 13. Warunki geometryczne równowagi trzech sił na płaszczyźnie. Twierdzenie o 3 siłach. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 Twierdzenie o 3 siłach - Jeżeli układ trzech sił jest równoważny zeru, to siły leżą na jednej płaszczyźnie i proste ich działania przecinają się w jednym punkcie, a trójkąt zbudowany z sił składowych jest trójkątem zamkniętym. 14. Warunki geometryczne równowagi czterech sił na płaszczyźnie. Twierdzenie o równowadze 4 sił. Zagadnienie Culmana. Jeżeli 4 siły leżące na płaszczyźnie są w równowadze, to linia działania wypadkowej dowolnych dwóch z tych sił przechodzi przez punkt przecięcia się linii działania obu. 15. Twierdzenie o przegubie obrotowym. Suma momentów wszystkich sił przyłożonych do jednej części układu połączonej z tym przegubem, a obliczona względem niego, jest równa zero. 16. Twierdzenie o przegubie suwnym. Suma rzutów na oś (k) wszystkich sił przyłożonych do jednej z dwóch części układu połączonej tym przegubem jest równa zeru. 17. Podstawowe modele tarcia w mechanice i ich zastosowanie. Tarcie ślizgowe. Tarcie rozwinięte. Stożek tarcia. Tarcie toczne. Tarcie ślizgowe cięgna o nieruchomy krążek. Tarcie cięgna. Wzory Eulera. Tarciem nazywa się zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. W przypadku tarcia ślizgowego wymieniamy tarcie statyczne, (gdy ciało pozostaje w spoczynku względem chropowatej powierzchni.) i tarcie kinetyczne, (gdy ciało się porusza po chropowatej powierzchni). W przypadku statycznego zależność między siłą tarcia T a naciskiem normalnym N wyraża się, jako T ≤ μN, gdzie μ - współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego). Jeżeli siła tarcia osiąga swą graniczną wartość, co oznacza, że tarcie jest całkowicie rozwinięte, to siła tarcia przedstawia się, jako Tgr=μN. Kąt tarcia jest to maksymalny kąt r, o jaki może się odchylić linia działania całkowitej reakcji R od kierunku normalnej do powierzchni styku i zachodzi następująca zależność μ = tgρ. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 W przypadku ciała ślizgającego się po chropowatej powierzchni siła tarcia jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, a jej wartość jest określona zależnością T=μkN, gdzie μk – współczynnik tarcia ślizgowego (kinetycznego). Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe położenia reakcji ciał chropowatych, odpowiadające różnym kierunkom działania siły stycznej P, otrzymamy, jako miejsce geometryczne wektorów R stożek, którego osią jest prosta działania reakcji normalnej N, a którego tworząca zawiera z osią kąt tarcia ρ. Stożek ten nazywany jest stożkiem tarcia. Tarciem tocznym nazywamy zjawisko występujące przy toczeniu się jednego ciała po drugim. Siła tarcia tocznego musi spełniać warunki (przy równowadze walca) T = P ≤ f/r * N W przypadku toczenia walca wartość siły tarcia tocznego T musi być mniejsza od wartości siły tarcia ślizgowego mN rozwiniętego, co wyraża się nierównością T = f/r * G < μN = μG. Tarciem cięgna o krążek nazywamy siły tarcia występujące między powierzchniami cylindrycznymi i cięgnami na nienawiniętymi. Związek miedzy napięciami S1 i S2 w cięgnie opasującym krążek wyraża się wzorem S2 = S1eμα, gdzie μ - współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) między cięgnem a powierzchnią krążka, α - kąt opasania, na którym cięgno przylega do krążka. 18. Model pręta i redukcja sił wewnętrznych. Zależności różniczkowe pomiędzy siłami wewnętrznymi. Pręt przegubowy to pręt prosty, zamocowany w przegubie, nieobciążony żadnymi siłami pomiędzy przegubami. Ciężar pręta jest redukowany do przegubów. Siły wewnętrzne w pręcie redukują się jedynie do siły normalnej. Dla każdego pręta niewiadomą jest tylko wartość siły wewnętrznej. Kierunek tej siły pokrywa się z osią pręta. 19. Kratownice. Pojęcia podstawowe. Warunek statycznej wyznaczalności kratownicy. Metody rozwiązywania kratownic. Kratownic to układ prętów przegubowych połączony w przegubach, niezmienny geometrycznie pod wpływem obciążenia zewnętrznego. Warunek statycznej wyznaczalności kratownicy: 2w = p + r, gdzie w – ilość węzłów, p – ilość prętów, r – ilość reakcji podporowych. Jeżeli p > 2w – 3 (kratownica ma większą liczbę prętów niż jest to konieczne dla jej geometrycznej niezmienności i liczba niewiadomych jest większa niż liczba równań równowagi) to kratownica taka jest przesztywniona i statycznie niewyznaczalna. Przy p < 2w – 3 kratownica jest układem chwiejnym, statycznie niewyznaczalnym. Metody rozwiązywania kratownic: wykreślne (plan sił Cremony, Culmana), analityczne (równoważenie węzłów, Rittera), metoda elementów skończonych. 20. Kinematyka punktu materialnego. Tor punktu, równania ruchu punktu, ruch punktu na płaszczyźnie, promień wektora. Kinematyka punktu – opis ruchu punktu, układu punków, bryły sztywnej lub układów brył sztywnych, bez wnikania w przyczyny ruchu. Tor ruchu (trajektoria) – krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Kinematyczne równanie ruchu – zależność położenia ciała w przestrzeni w funkcji czasu. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 W praktyce korzysta się ze skalarnej postaci tego równania. W trójwymiarowej przestrzeni ma postać: Promień wektora – to inaczej długość wektora wodzącego, używany m.in. w biegunowym układzie współrzędnych. 21. Współrzędne sferyczne. Współrzędne biegunowe. Współrzędne walcowe. Współrzędne naturalne. Współrzędne kartezjańskie. Sferyczny układ współrzędnych – to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Dowolnemu punktowi P przypisujemy współrzędne sferyczne: Promień wodzący r ≥ 0, czyli odległość punktu od początku układu O, Długość geograficzna 0 ≤ φ ≤ 2π, czyli kąt między rzutem wektora OP na płaszczyznę Oxy, a osią Ox, Szerokość geograficzna -½*π ≤ θ ≤ ½*π czyli kąt między wektorem OP, a płaszczyzną Oxy. Układ współrzędnych biegunowych – układ wyznaczony biegunem O, oraz półprostą OS o początku w O, zwaną osią biegunową. Dowolnemu punktowi P przypisujemy współrzędne biegunowe: Promień wodzący, czyli jego odległość od bieguna O, Amplituda punktu P – to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS, a wektorem OP. Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe (0, 0). O amplitudzie możemy zakładać, że 0 ≤ ϕ ≤ 2π (niektórzy autorzy przyjmują -π ≤ ϕ ≤ π). Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny) to układ w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Każdy punkt P zapisuję się w postaci trójki współrzędnych ( ρ, φ, z), co oznacza: ρ – oznacza odległość od osi Oz rzutu punktu P na płaszczyznę Oxy, φ – kąt pomiędzy osią dodatnią OX, a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę Oxy, z początkiem układu współrzędnych, z – odległość rzutu punktu P na oś Oz od początku układu współrzędnych. Kartezjański układ współrzędnych (prostokątny) – układ o parach prostopadłych osi. Zadane w nim są: Punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego współrzędne są równe 0, Zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych, zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze oznaczane są często, jako: o X (pierwsza oś, zwana osią odciętych), o Y (druga, zwana osią rzędnych). Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni. 22. Opis ruchu za pomocą promienia wektora. Położenie punktu P w przestrzeni określa w każdej chwili promień – wektor (promień wodzący). Wektor ten wykreślany z pewnego stałego punktu O wyznacza swym końcem położeniu punktu. Ruch punktu może być więc określony przez podanie dla każdej chwili czasu wektora-promienia wodzącego r. Zależność wektora r od czasu t może być przedstawiona jako wektorowe równanie ruchu: r = r(t). Zależność ta określa r jako wektorową funkcję zmiennej skalarnej t. Promień wodzący r punktu P można wyrazić przez współrzędne kartezjańskie i wersory jednostkowe osi: r = ix + jy + kz. 23. Prędkość ruchu punktu. Składowe prędkości w układzie kartezjańskim. Wyrażanie prędkości za pomocą współrzędnej naturalnej. Składowe prędkości w układzie biegunowym. Hodograf. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 Załóżmy, że w pewnej chwili t punkt M, zajmuje położenie M1 + dt położenie M2 określone promieniem wodzącym r1, zaś w chwili t1 = t opisane promieniem wodzącym r2. Z trójkąta OM1M2 wynika, że przy przemieszczeniu punktu M z położenia M1 do M2 promień wodzący zmienia się o dr: r2 = r1 + dr. Wektor przemieszczenia M1M2 = dr punktu M jest przyrostem wektora promienia wodzącego r1 w czasie dt. Przyrost wektora dr do przedziału czasu dt, w czasie którego nastąpiło przemieszczenie punktu M, jest wektorem średniej prędkości vśr. Kierunek i zwrot vśr pokrywa się kierunkiem dr. Jeżeli przedział czasu ∆t -> 0, to również wektor ∆r -> 0, a wektor vśr =dr/dt zmierza do pewnej granicy, która jest wektorem prędkości punktu M w chwili t. ∆r ∆t→0 ∆ t v = lim Ponieważ dt jest przyrostem skalarnego argumentu t, a dr przyrostem wektora - funkcji r, więc v= dr dt Wektor prędkości punktu w danej chwili jest równy pochodnej wektora promienia wodzącego względem czasu. Jeżeli ∆t -> 0, to punkt M zmierza z położenia M2 do położenia M1 to znaczy granicznym położeniem cięciwy M1M2. Wynika stąd, że wektor prędkości v punktu leży na stycznej do toru i ma kierunek ruchu punktu M. Przy ruchu punktu po torze krzywoliniowym kierunek wektora v stale się zmienia. Hodograf – krzywa zakreślana przez koniec wektora zależnego od czasu, przy czym początek wektora znajduje się zawsze w tym samym punkcie. 24. Przyśpieszenie ruchu punktu. Składowe przyśpieszenia w układzie biegunowym. Składowe przyśpieszenia w układzie normalnym. Przyspieszeniem średnim ruchu punktu aśr nazywamy przyrost prędkości punktu dv do przyrostu czasu dt. Wektor aśr ma kierunek i zwrot dv. Granica, do której zmierza aśr, gdy ∆t -> 0 jest przyspieszeniem chwilowym. Przyspieszenie chwilowe punktu jest równe drugiej pochodnej promienia wodzącego względem czasu. Zwrot przyspieszenia całkowitego jest zawsze od krzywizny toru. W układzie biegunowym na przyspieszenia składają się dwie składowe: radialna (równoległa do wersora r) i transwersalna (równoległa do wersora φ). 25. Podział ruchów punktu materialnego. Przykłady. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu: prostoliniowe (postępowe), krzywoliniowe (w tym: po okręgu, rzut ukośny); Ze względu na zależność położenia od czasu: jednostajne, jednostajnie zmienne (przyspieszone, opóźnione), pozostałe...; 26. Kinematyka bryły materialnej. Bryłą sztywną nazywamy zbiór punktów, między którymi wzajemne odległości są stałe. Bryły sztywne mogą wykonywać ruch: postępowy (jednoparametrowy), obrotowy, płaski, złożony (względny), kulisty, ogólny. 27. Ruch postępowy bryły materialnej. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 W ruchu postępowym tor dowolnego punktu materialnego należącego do bryły jest tak sam jak tor innego punktu materialnego. Tory punktów bryły są przesunięte równolegle względem, mogą być krzywymi lub prostymi. Ciało w ruchu postępowym ma trzy stopnie swobody. Trzeba podać trzy współrzędne translacyjne, aby określić położenia ciała w przestrzeni. 28. Ruch obrotowy bryły materialnej. Prędkość i przyśpieszenie kątowe. Prędkość i przyśpieszenie liniowe. Rozkład prędkości punktów. Rozkład przyśpieszenia punktów. Ruch obrotowy bryły materialnej to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Wielkości kątowe w tym ruchu (określają ruch całej bryły) to: kąt obrotu ϕ = ϕ(t) [droga w radianach], prędkość kątowa ω = dϕ/dt [rad/s] oraz przyspieszenie kątowe ε = d ϕ/dt [rad/s 2] Wielkości liniowe w tym ruchu (dotyczą tylko określonego punktu) to droga s = s(t) [m], prędkość liniowa v = ds/dt [m/s] i przyspieszenie a = dv/dt [m/s2]. Zależności łączące te wielkości: s = ϕ*r, v = ω*r, , Przyspieszenie w ruchu obrotowym składa się z dwóch składowych: tangencjalnej (stycznej do toru) i normalnej (wzdłuż promienia, dośrodkowej), gdzie aτ = ε*r, an = ω2*r 29. Ruch złożony bryły materialnej. Prędkość w ruchu złożonym. Przyśpieszenie w ruchu złożonym. Przyspieszenie Coriolisa. Prędkość bezwzględna w ruchu złożonym jest sumą prędkości unoszenia Vk i względnej Vw. Przyspieszenie bezwzględne w ruchu złożonym to suma przyspieszenia unoszenia au, względnego aw i Coriolisa ac, gdzie przyspieszenie Coriolisa to podwojony iloczyn prędkości kątowej i prędkości względnej. V́ b=V́ u + V́ w á b=á u+ áw + á C aC =2 ω V w 30. Ruch płaski bryły materialnej. Ruch płaski złożony jest z dwóch ruchów: postępowego (przesunięcie równoległe) oraz obrotowego (dookoła bieguna). 31. Prędkość w ruchu płaskim. Chwilowy środek obrotu. Plan prędkości. Metoda analityczna wyznaczania prędkości. Centroida stała i ruchoma. Metoda prędkości obróconych. Chwilowy środek obrotu – w każdej chwili ruchu płaskiego istnieje punkt, którego prędkość jest równa 0. Plan prędkości (metoda superpozycji) – Prędkość dowolnego punktu B ciała B, poruszającego się ruchem płaskim jest równa sumie geometrycznej prędkości unoszenia dowolnego punktu A tego ciała, oraz prędkości względnej punktu B względem punktu A. Metoda analityczna – nie mam pojęcia jak to kurwa opisać, milion wzorów i cyferek, chuja z tego rozumiem. Centroida stała i ruchoma – co kurwa? Metoda prędkości obróconych – ja pierdole, nie zdam. 32. Przyśpieszenie w ruchu płaskim. Chwilowy środek przyśpieszeń. Plan przyśpieszeń. Metoda analityczna wyznaczania przyśpieszenia. Chwilowy środek przyspieszeń – w każdej chwili ruchu płaskiego istnieje punkt, którego przyspieszenie jest równe 0. Plan przyspieszeń (metoda superpozycji) – przyspieszenie dowolnego punktu B ciała B, poruszającego się ruchem płaskim jest równa sumie geometrycznej przyspieszenia dowolnego punktu A tego ciała, oraz przyspieszenia względnego punktu B względem punktu A, które jest sumą przyspieszenia stycznego i normalnego. Reszta jak wyżej. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 33. Ruch kulisty bryły materialnej. Kąty Eulera. Prędkość w ruchu kulistym. Precesja regularna. Przyśpieszenie w ruchu kulistym. Jest to taki ruch ciała sztywnego, podczas którego jeden punkt zwany środkiem ruchu kulistego jest nieruchomy, zaś torami pozostałych punktów są powierzchnie kuli o środku w punkcie będącym środkiem ruchu kulistego. Ruch kulisty opisujemy przy pomocy kątów Eulera: ϕ – kąt obrotu własnego, ψ - kąt precesji, ϑ - kąt nutacji. Prędkość kątowa w ruchu kulistym wyrażana jest, jako suma geometryczna ω = ω1 + ω2 + ω3, gdzie ω1 = dϕ/dt (prędkość kątowa obrotu własnego), ω2 = dψ/dt (prędkość kątowa precesji) i ω3 = dϑ/dt (prędkość kątowa nutacji). Precesja regularna – zachodzi wtedy, gdy kąt nutacji jest stały, a prędkość nutacji wynosi 0 – wartość prędkości obrotu własnego i precesji są stałe. Przyspieszenie w ruchu kulistym jest sumą geometryczną przyspieszenia obrotowego ao i przyspieszenia doosiowego ad, gdzie ao = ε*r, ad = ω*v. 34. Ruch ogólny ciała sztywnego. Przemieszczenia brył w ruchu ogólnym. Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym. Oś centralna ruchu ogólnego. Ruch ogólny, jako chwilowy ruch śrubowy. 35. Dynamika punktu materialnego. Dynamiczne wektorowe różniczkowe równanie ruchu swobodnego punktu materialnego ma postać: n m á=∑ F́ i i=1 m á= F́ ( r´ , v´ , t́) – siła zależy od prędkości, promienia i czasu. 36. Zasady dynamiki Newtona. I Prawo Newtona. Jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. II Prawo Newtona. Jeżeli na ciało działa siła ( wypadkowa wszystkich sil działających na punkt materialny jest różna od zera), to porusza się ono względem inercjalnego układu odniesienia ruchem zmiennym z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. Kierunek i zwrot wektora przyspieszenia są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora siły. á= F́ m F́= d ṕ dt III Prawo Newtona. Jeżeli dwa ciała A i B działają wzajemnie na siebie, to siła AB, z jaką ciało A działa na ciało B i siła BA, z jaką ciało B działa na ciało A, są równe, co do wartości, mają ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty. 37. Zasada niezależności działania sił. Jeżeli na ciało o masie m działają dwie niezależne siły F 1 i F2 to przyspieszenie wywołane przez siłę wypadkową jest równe sumie przyspieszeń. 38. Zasada powszechnego ciążenia. Inaczej Prawo Grawitacji Newtona. Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. F́12=G m1 m2 r 2 ŕ , gdzie ŕ – wektor jednostkowy, G – stała grawitacji. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 39. Zasada d’Alemberta i siła bezwładności. Zasad d’Alemberta. Na punkt materialny M działają siły rzeczywiste, które w każdej chwili równoważą się z siłą bezwładności tego punktu, tzw. Siłą d’Alemberta. F – m*a = 0. Siłą bezwładności (lub siłą d’Alemberta) nazywamy fikcyjną siłę równą, co do wartości iloczynowi masy i przyspieszenia punktu materialnego, lecz przeciwnie do tego przyspieszenia skierowana. F – m*a = 0. 40. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego. 2 F x =m 2 2 d x d y d z F y =m 2 F z=m 2 2 dt dt dt 41. Dynamika nieswobodnego punktu materialnego. Ruch takiego punktu należy rozpatrywać, jako ruch punktu swobodnego pod wpływem sił wymiernych F i biernych R. Równanie wektorowe nieswobodnego punktu materialnego stałej masie ma postać: ∑ F iczynne +∑ Rireakcje +(−m∗a )=0 42. Proste i odwrotne zadanie dynamiki. Proste zadanie dynamiki. Mając dane równania toru punktu materialnego oraz masę punktu musimy znaleźć wypadkową siłę F działającą na punkt materialny. W tym celu dwukrotnie różniczkujemy po czasie równania toru i otrzymujemy składowe przyspieszenia. Następnie z drugiej zasady dynamiki Newtona wyliczamy składowe sił, a następnie sumujemy je geometrycznie otrzymując siłę F. Odwrotne zadanie dynamiki. II zadanie dynamiki polega na wyznaczeniu równań ruchu punktu materialnego znając jego masę i działające siły. Zadanie to sprowadza się do całkowania różniczkowych równań ruchu, w których stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych. Warunki początkowe to dla t=0 położenia punktu opisane za pomocą współrzędnych x=x0, y=y0, z=z0. 43. Pęd punktu materialnego. Zasada zachowania pędu. Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości. p = mv. Jeżeli wypadkowa siła działająco na ciało jest równa zeru (F ⃗ = 0), to pęd ciała nie ulega zmianie (p = const). 44. Kręt punktu materialnego. Zasada zachowania krętu. Moment pędu (kręt) punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych) definiuje się, jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu. L = r x p. Zasada zachowania momentu pędu: Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała. W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco: Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej. L = const. Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 45. Praca mechaniczna. Praca elementarna. Pracą mechaniczną W nazywamy iloczyn skalarny wektora siły i wektora przemieszczenia ciała wywołanego działaniem tej siły. W = F * s. Pracą elementarną siły zmiennej na przesunięciu ds (nieskończenie małym) nazywamy iloczyn skalarny siły F i tego przesunięcia elementarnego. 46. Moc. Sprawność. Moc to skalarna wielkość fizyczna określająca pracę wykonaną w jednostce czasu przez układ fizyczny. Z definicji, moc określa wzór: P = dW/dt. Sprawność – to bezwymiarowa, skalarna wielkość fizyczna określająca, w jakim stopniu urządzenie lub organizm przekształca energię występującą w jednej postaci w energię w innej postaci. η= E wy , gdzie Ewy – energia E we przetworzona w dżulach, Ewe – energia dostarczona w dżulach. 47. Potencjalne pole sił. Pole zachowawcze (pole sił zachowawczych, pole potencjalne) – pole sił, w którym praca wykonywana podczas przesuwania jakiegoś ciała nie zależy od toru, po którym porusza się ciało, a jedynie od jego położenia początkowego i końcowego. Polem zachowawczym jest np. pole grawitacyjne i pole elektryczne. 48. Praca sił ciężkości. Praca siły ciężkości nie zależy od trajektorii, po której przemieszcza się punkt jej położenia, lecz zależy od odległości między poziomymi płaszczyznami przechodzącymi przez początkowe i końcowe położenie punktu. 49. Energia potencjalna. Energia kinetyczna. Zasada zachowania energii mechanicznej. Energia kinetyczna to energia ciała związana z ruchem jego masy. Zapisywana za pomocą równania Ek = mv 2 2 Energia potencjalna – energia, jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. E p=W =Fh=mgh . Energia potencjalna w punkcie odległym o r od centrum masy M może być wyrażona wzorem E p= −GMm . r Zasada zachowania energii mechanicznej: Jeżeli na ciało działają tylko siły zachowawcze, to energia mechaniczna ciała jest stała. 50. Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy. Przyrost energii kinetycznej w pewnym przedziale czasu jest równy sumie sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) działających w tym czasie. 51. Dynamiczne równania ruchu układów punktów materialnych. n n n i=1 i=1 i=1 ∑ F ix=m x́ ∑ F iy =m ý ∑ F iz=m ź 52. Zasada ruchu środka masy. Środek masy porusza się jak swobodny punkt materialny o masie równej masie całego układu pod działaniem sumy geometrycznej sił czynnych i reakcji. Jeżeli suma geometryczna Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected]) lOMoARcPSD|24386072 53. Pęd układu punktów materialnych. Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić, że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość środka masy układu. Pęd układu punktów zmienia się tylko wtedy, gdy działa na nie siła zewnętrzna. Jeżeli układ rozpada się w wyniku działania sił wewnętrznych na części, suma pędów części jest równa pędowi układu przed rozpadem, podobnie przy łączeniu się części w układ. Zderzenie ciał możemy traktować, jako złączenie i rozłączenie układu ciał. 54. Kręt układu punktów materialnych. Kręt w ruchu postępowym. Kręt bryły w ruchu obrotowym. Krętem ogólnym układu punktów materialnych względem przyjętego bieguna nazywamy sumę wektorów krętów poszczególnych punktów materialnych. Kręt w ruchu postępowym: Ḱ o= ŕ × ṕ Kręt w ruchu obrotowym: K z =∑ mi r 2i ω=I z ω n i=1 55. Zasada zachowania pędu i krętu bryły sztywnej. Zasada zachowania pędu: suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała. Zasada zachowania krętu: Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej. 56. Energia kinetyczna bryły w ruchu postępowym. Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim, twierdzenie Koeniga. Ek = Energia kinetyczna bryły w ruchu postępowym: Energia kinetyczna bryły w ruch obrotowym: Ek = mv 2 . 2 I∗ω 2 2 Twierdzenie Koeniga: Energia kinetyczna ciała sztywnego jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego względem osi w środku masy, równoległej do wektora prędkości kątowej Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim: Ek = mv 2 I∗ω 2 + 2 2 57. Dynamiczne równania ruchu bryły w ruchu postępowym, obrotowym, płaskim. W ruchu postępowym: W ruchu obrotowym: ∑ F ix=m x́ ∑ M io=I o ε W ruchu płaskim: ∑ F ix=m x́ ∑ F iy =m ý ∑ M io=I o ε Pobrane przez Olek Siedlecki ([email protected])
