Fizyka - Prv.pl

Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Politechnika Warszawska
Wydział Elektryczny
Studia zaoczne
semestr 1
Fizyka
wykłady
Strona 1
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Spis zawarości:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
Wielkości fizyczne (skalary, wektory)
Prędkość
Prędkość kątowa
Prędkość światła
Prędkość dźwięku
Droga
Przyspieszenie
Stała grawitacji
Oddziaływanie grawitacyjne, grawitacja,
Objętość ciała
Galon
Mol, gramocząsteczka
Liczność cząsteczek n
Nuklid
Liczba Avogadra
Masa molowa
Masa atomowa
Masa
Ciężar właściwy
Bezwładność, inercja
Moment bezwładności
Siły bezwładności
Siła dośrodkowa
Siła odśrodkowa
Cosinusy kierunkowe
Ruch obrotowy
Względności teoria ogólna
Równoważności zasada
Keplera prawa
Nieinercjalny układ odniesienia
Coriolisa siła
Christoffela symbole
Tensor
Energia
Energia kinetyczna
Energia potencjalna
Energii zachowania zasady
Dżul
Praca
Siła
Pęd
Pędu zasada zachowania
Moment pędu
Inercjalny układ odniesienia
Galileusza przekształcenie (transformacja)
Lorentza przekształcenie (transformacja)
Lorentza-Fitzgeralda skrócenie (kontrakcja)
Względności teoria szczególna
Minkowskiego przestrzeń
Maxwella równania
Natężenie pola elektrycznego
Natężenie pola magnetycznego
Indukcja
Przenikalność magnetyczna
Dywergencja
Rotacja
Gradient
58. Drgania, oscylacje
59. Drgania harmoniczne
60. Drgania cząsteczek
61. Amplituda
62. Drgania sieci krystalicznej
63. Fala
64. Fale elektromagnetyczne
65. Fala boczna
66. Fala stojąca
67. Fala Macha
68. Macha liczby, M, Ma
69. Długość fali
70. Okres drgań
71. Faza
72. Prędkość fazowa
73. Laplasjan, Laplace’a operator
74. Dalambercjan
75. Potencjał
76. Foton
77. Bessela równanie
78. Bessela funkcje
79. Dyfrakcja (ugięcie) fal
80. Dyfrakcja cząsteczek
81. Interferencja fal
82. Dudnienie
83. Modulacja
84. Gazy
85. Gaz rzeczywisty
86. Gaz doskonały
87. Gay-Lussaca prawa gazów
88. Gazowa stała
89. Clapeyrona równanie
90. Boyle’a-Mariotte’a prawo
91. Charlesa prawo
92. Boltzmanna rozkład
93. Kinetyczna teoria gazów
94. Maxwella-Boltzmana rozkład
95. Maxwella prawo rozkładu
96. Ciśnienie
97. Podstawowe jednostki pomiaru ciśnienia
98. Bernouliego równanie
99. Temperatura
100. Podstawowe jednostki pomiaru temperatury
101. Ciepło molowe
102. Boltzmanna stała k
103. Plancka stała, kwant działania h
104. Wzory
105. Cząsteczka wodoru – wzory.
Strona 2
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Wielkości fizyczne:
- skalarne: masa, czas, objętość,
- wektorowe: prędkość, przyspieszenie, siła.
Skalar, wielkość fizyczna (lub geometryczna) opisywana jedną liczbą (np. energia).
Wektor, uporządkowana para punktów [A, B], gdzie punkt A jest początkiem wektora a
punkt B jego końcem. W interpretacji geometrycznej wektor to leżący na prostej i
zawierający punkty A, B skierowany odcinek ([A, B]= - [B, A]) - kierunkiem wektora
nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B.
Istnieje kilka sposobów notacji wektora:
[A, B] =
= =a= .
Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych jego końca i
początku Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az, długość wektora jest długością odcinka AB
(odległość). Wektorem przeciwnym do danego nazywany jest wektor o jednakowej długości
i kierunku, lecz przeciwnym zwrocie. Wektor o jednostkowej długości jest wersorem.
Wektory dzieli się na swobodne (tj. nie zmieniające się przy translacji) i zaczepione.
Dwa wektory swobodne dodaje się w ten sposób, że punkt początkowy drugiego przesuwa
się równolegle do końca pierwszego - ich suma jest wektorem zaczynającym się w początku
pierwszego a kończącym w końcu drugiego, składowe sumy wektorów są algebraicznymi
sumami odpowiednich składowych wektorów pierwotnych.
  
C  A B
Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego.
  
D  A B
Strona 3
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Mnożenie przez liczbę jest mnożeniem wszystkich składowych oddzielnie. Mnożenie
dwóch wektorów określone jest dwojako, jako iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.
Iloczyn skalarny.
  
E  A  B  cos 
Iloczyn wektorowy.
  
F  A  B  sin  (rysunek jak wyżej)
Zjawiska fizyczne rozpatrujemy w kartezjańskim układzie współrzędnych, posiadającym trzy
osie (x, y, z) do których są przyporządkowane wersory (i, j, k).
Prędkość, wektorowa wielkość fizyczna określająca zmianę położenia ciała w czasie.
Chwilową prędkość ciała określa wzór: =dr/dt, gdzie: r - wektor położenia ciała. Średnią
prędkość oblicza się dzieląc przebytą drogę przez czas.
W fizyce klasycznej obowiązuje prawo składania prędkości będące konsekwencją
przekształcenia Galileusza: jeśli dwa ciała poruszają się z prędkościami odpowiednio
równymi v1 i v2, to względna ich prędkość jest równa v1 - v2.
W mechanice relatywistycznej, jak wynika z transformacji Lorentza, względną prędkość
oblicza się w ogólnym przypadku ze wzoru:
v
  v  1   v v / v  1 v 
1  v v / c 
1
2
2
1 2
2
1 2
Strona 4
2
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
gdzie: c - prędkość światła w próżni. Dla ruchów zachodzących w jednym kierunku wzór
ten upraszcza się do wyrażenia:
W układzie SI jednostką prędkości jest m/s.
Prędkość w układzie kartezjańskim

 dx  dy  dz 






 dr d  
v

xi  yj  zk 
i
j  k  xi  y i  zk  v x i  v y j  v z k
dt dt
dt
dt
dt
Prędkość w układzie biegunowym


d  d
dr 
dr

v  v r , v  r  (r  r ) 
r r
dt
dt
dt
dt
dr
vr 
 r
dt
d
v  r
 r
dt




Prędkość kątowa, wielkość wektorowa (pseudowektor) opisująca ruch obrotowy ciała,
określona wzorem: = = d/dt, gdzie: d - elementarny skierowany kąt płaski opisujący
obrót ciała w chwili dt wokół chwilowej osi obrotu.
Wektor prędkości kątowej skierowany jest równolegle do chwilowej osi obrotu ciała, przy
czym jego zwrot (zgodnie z konwencją) wybiera się tak, by ciało oglądane ze strony, w
którą wskazuje zwrot, obracało się przeciwnie do kierunku obrotu wskazówek zegara.
Jednostką prędkości kątowej jest radian/s.
Prędkość światła, c, fundamentalna stała fizyki. Jest to prędkość rozchodzenia się fal
elektromagnetycznych w próżni. W układzie jednostek SI prędkość światła powiązana jest z
Strona 5
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
dwiema innymi stałymi przyrody: dielektryczną stałą dla próżni o oraz przenikalnością
magnetyczną dla próżnini o zależnością:
C jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (jest jednakowa w każdym układzie
odniesienia). Wynosi c = 2997924581,2 m/s. C to największa prędkość przekazu
informacji lub energii. W ośrodku materialnym prędkość światła zależy od długości fali
(zjawisko dyspersji), wówczas prędkość fazowa światła równa jest c/n, gdzie: n współczynnik załamania światła (dla danej długości fali).
Pierwszy prędkość światła zmierzył O. Rřmer (1673) wykorzystując obserwacje momentów
zaćmień przez Jowisza jego księżyców. Momenty zaćmień rejestrowane na Ziemi różnią się
od równomiernie następujących maksymalnie o ok. 1000 s, co wynika ze zmian w
odległości Ziemi od Jowisza i skończonej wartości c. Römer uzyskał wynik c = 215 000
km/s.
Pomiar prędkości światła metodą badania aberracji (astronomicznej) światła przeprowadził
w 1735 J. Bradley, uzyskał on wynik c = 303 000 km/s. W 1849 A.H.L. Fizeau
przeprowadził pierwszy laboratoryjny pomiar prędkości światła.
W eksperymencie tym wiązka światła pada na szybko rotującą tarczę z równomiernie
rozłożonymi na obwodzie n szczelinami i n przesłonami, a następnie światło przepuszczone
przez szczelinę, odbija się od lustra znajdującego się w odległości l i pada ponownie na
tarczę. Przy pewnej częstości obrotów f światło odbite powraca przez sąsiedni otwór, wtedy
c = 4lfn.
Fizeau uzyskał wartość c = 299 860  80 km/s (n = 720, f = 12,6 obr/s, l = 8633 m). Obecne
pomiary przeprowadza się zazwyczaj korzystając z udoskonalonej metody Fizeau.
Prędkość dźwięku, prędkość rozchodzenia się fal dźwiękowych w danym ośrodku. Ma
duże znaczenie w lotnictwie ze względu na istnienie bariery dźwięku.
W związku ze spadkiem temperatury i ciśnienia atmosferycznego prędkość dźwięku maleje
ze wzrostem wysokości lotu (o 10 km/h co 696 m wysokości) i wynosi przy ziemi 1224
km/h, a 1066 km/h na wysokości 11 000 m, powyżej której już nie maleje.
Droga – długość odcinka toru (skalar).
tB
B

s   v dt   v(t )dt  v(t B  t A )
A
tA
v  v  v
2
r
2
Przyspieszenie
Strona 6
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej

 dv x  dv y  dv z 
 d 2x  d 2 y  d 2z 




 dv d



a

vx i  v y j  vz k 
i
j
k  vx i  v y j  vz k  2 i  2 j  2 k 
dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt

 
 xi  yj  zk


 d 
d
dr dv 
d

 dvr 
a  (v )  vr r  v   
r  vr

  v
dt
dt
dt
dt
dt
dt

dr

 
dt

d

 r
dt

a  ar , a  r  r 2 ,2r  r - wzór Coriolisa

a  a st , a n  a st - przyspieszenie styczne, a n - przyspieszenie normalne.


v  vs

 d  dv 
ds
a  vs  
s v
dt
dt
dt


 






ds ds ds
ds
ds
v

v
v
 r
dt ds dt
ds
Rd  R
an 
v2
R
a  ast2  an2
Grawitacji stała, G, fundamentalna stała fizyczna pojawiająca się w równaniach
opisujących pole grawitacyjne (zarówno w ujęciu I. Newtona, jak A. Einsteina).
G = 6,6732(31)10-11m-3kg-1s-2.
Pierwszy wyznaczył (stosując wagę skręceń) stałą G H. Cavendish, stąd jest ona czasem
nazywana stałą Cavendisha.
Oddziaływanie grawitacyjne, grawitacja, ciążenie powszechne, jedno z fundamentalnych
oddziaływań fizycznych. Zachodzi pomiędzy ciałami posiadającymi masę (masa
grawitacyjna).
Klasyczna teoria grawitacji została opracowana przez I. Newtona w 1687. Teoria Newtona
poprawnie opisuje słabe pola grawitacyjne. Ściślej zjawiska grawitacyjne opisuje
einsteinowska ogólna teoria względności (OTW, 1916).
W ujęciu Newtona, w odległości r od ciała o masie M istnieje grawitacyjne pole potencjalne
o potencjale  danym skalarną funkcją:
Strona 7
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
=-grad GM/r
gdzie G grawitacji stała. Każde ciało posiadające masę umieszczone w tym polu nabywa
przyspieszenie g dane wzorem
g = -grad
siła jaką działa ciało I (o masie M) na oddalone o r, ciało II (o masie m) wynosi
F=-gMmr/r3.
Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona identyczną co do wartości lecz przeciwnie
skierowaną siłą działa ciało II na I.
Prawo powszechnego ciążenia jest uogólnieniem praw rządzących obrotem planet wokół
Słońca. Newton odkrył je analizując prawa Keplera. Siły grawitacyjne są na ogół bardzo
słabe, wg teorii Newtona oddziaływania grawitacyjne rozchodzą się z nieskończoną
prędkością: zmiana położenia jakiegoś ciała wywołuje natychmiastową zmianę położeń
wszystkich innych ciał we Wszechświecie, tego typu oddziaływanie jest niezgodne z
postulatem teorii względności, który głosi, że maksymalną prędkością rozchodzenia się
oddziaływań fizycznych jest prędkość światła c.
W ujęciu Einsteina siły grawitacyjne są analogiczne do sił bezwładności (tzw. zasada
równoważności Einsteina). Zgodnie z tym przyspieszenie oraz siły grawitacyjne są efektem
czysto geometrycznym, pojawiają się na skutek zakrzywienia przestrzeni. Podstawowymi
pojęciami charakteryzującymi pole grawitacyjne w tym ujęciu są: tensor krzywizny
Riemanna:
zastępujący siłę grawitacji i wyrażony przez symbole Christoffela oraz tensor metryczny
g grający podobną rolę jak potencjał w ujęciu klasycznym.
Pierwszym sukcesem teorii Einsteina było wyjaśnienie tzw. nadwyżki ruchu peryhelium
Merkurego oraz przewidywania potwierdzone obserwacyjnie dotyczące krzywoliniowego
rozchodzenia się światła w polach grawitacyjnych. Trwają poszukiwania doskonalszej teorii
grawitacji, uwzględniającej kwantową naturę pól fizycznych.
Objętość ciała, miara przestrzeni zajmowanej przez ciało (liczba rzeczywista nieujemna).
W przypadku przestrzeni trójwymiarowej objętość ciała V wyraża się wzorem:
gdzie całkowanie odbywa się po obszarze zajętym przez ciało.
Jednostką objętości ciała w układzie SI jest m3, inne jednostki: litr (dm3), cm3, km3, galon
itd.
Strona 8
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Dla ciał o wysokiej symetrii objętość ciała oblicza się korzystając ze szczegółowych
wzorów, np. objętość kuli o promieniu r równa jest:
V=4/3r3
dla prostopadłościanu o długościach boków a, b, c:
V=abc
dla graniastosłupa (i walca) o polu podstawy S i wysokości h:
V=Sh
dla ostrosłupa (i stożka) o polu podstawy S i wysokości h:
V= 1/3Sh
dla brył obrotowych utworzonych przez obrót krzywej y=f(x) wokół osi OX pomiędzy
płaszczyznami x=a i x=b:
Galon (gallon), Gal, anglosaska jednostka objętości. 1 Gal (angielski, inaczej: imperialny)
= 4,54609 dm3, 1 Gal USA = 3,78541 dm3.
Mol, gramocząsteczka, jednostka ilości, precyzyjniej liczności cząstek, należąca do układu
jednostek SI, stosowana powszechnie w chemii. 1 mol danej substancji jest taką liczbą jej
cząsteczek, która jest równa liczbie atomów zawartych w (dokładnie) 12 gramach nuklidu
węgla12C. Liczba ta jest nazywana liczbą Avogadra.
Pojęcie mola bywa również używane jako synonim masy molowej.
Liczność cząstek, n, miara liczby cząstek (np. cząsteczek, atomów, jonów, elektronów,
cząstek koloidalnych, ziarenek piasku) zawartych w danej próbce lub uczestniczących w
danym procesie. Liczność cząstek jest jedną z wielkości podstawowych w układzie
jednostek SI.
Jednostką liczności cząstek w układzie SI jest mol (stąd w potocznym języku chemików
mówi się, np. dla danej substancji, o liczbie jej moli, zamiast o jej liczności cząstek). Za
jednostki liczności cząstek z języka potocznego można uważać np. tuzin (= 12 sztuk) lub
gros (= 12 tuzinów).
Nuklid, atom pierwiastka określony za pomocą liczby masowej, liczby atomowej i poziomu
wzbudzenia.
Strona 9
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Liczba Avogadra, stała Avogadra, NA, liczba cząstek (np. cząsteczek, atomów, jonów,
elektronów) w jednym molu dowolnej substancji: NA = 6,0221371023 mol-1, czyli nieco
ponad 600 000 trylionów sztuk.
Masa molowa, masa jednego mola danych cząstek. Najczęściej stosowaną jednostką masy
molowej jest g/mol. Masa molowa jest taką liczbą g danej substancji (danych cząstek), która
jest co do wartości równa jej względnej masie cząsteczkowej (dla pierwiastka - masie
atomowej, dla jonu - masie jonowej).
Dawniej masę molową nazywano gramocząsteczką, inaczej gramodrobiną (dla związków
chemicznych), gramoatomem (dla pierwiastków) i gramojonem (dla jonów).
Masa atomowa (często niepoprawnie: ciężar atomowy), liczba określająca, ile razy masa
średniego atomu danego pierwiastka (tj. dla naturalnej mieszaniny izotopów danego
pierwiastka) jest większa od pewnej masy wzorcowej: jako masę wzorcową przyjmuje się
1/12 masy atomu izotopu 12C (tzw. skala węglowa) lub (dawniej) 1/16 masy atomu izotopu
16O (tzw. skala tlenowa).
Analogiczna wielkość dla cząsteczki nosi miano masy cząsteczkowej. Masa atomowa dla
separowanych izotopów nazywa się masą izotopową lub nuklidową.
Masa, w fizyce klasycznej wielkość addytywna (addytywność) będąca miarą bezwładności
ciała (masa bezwładna, bezwładność) lub źródłem pola grawitacyjnego (masa grawitacyjna,
grawitacja).
Równość obu rodzajów mas (równoważności zasada) udowodnił doświadczalnie R. von
Eotvos (1894, wcześniej, lecz ze znacznie mniejszą dokładnością, wykazali to I. Newton
oraz F. Bessel).
W ujęciu współczesnej fizyki masa ciała jest tylko w przybliżeniu wielkością addytywną,
jest jedną z form występowania energii (energia wiązania, defekt masy), związek ten
wyraża równość E=mc2, gdzie E - całkowita energia ciała, m - jego masa (masa
relatywistyczna), c - prędkość światła w próżni.
Z równości powyższej wynika wzrost masy ciała wraz ze wzrostem prędkości v poruszania
się ciała (łatwo obserwowany np. w cyklotronach) opisany równaniem:
gdzie mo jest masą spoczynkową ciała (tj. odpowiada masie ciała zmierzonej w inercjalnym
układzie odniesienia, względem którego ono spoczywa).
W ogólnej teorii względności rozkład mas w przestrzeni określa geometrię tej przestrzeni
(metryka przestrzeni). W formalizmie mechaniki kwantowej obserwowane masy są
wartościami własnymi odpowiedniego operatora. Dla cząstek elementarnych wyróżnia się
czysto teoretyczną masę cząstki "gołej" (zazwyczaj zerową) i efektywną, obserwowaną
masę ("ubraną") cząstki, wynikającą z masy "gołej" cząstki oraz uwzględnienia
Strona 10
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
oddziaływania z polami fizycznymi obecnymi w próżni (higgson), jak również
samooddziaływania cząstki.
Ciężar właściwy, dla ciała jednorodnego - stosunek ciężaru ciała P do jego objętości V.
Zależy od temperatury i ciśnienia.
Bezwładność, inercja, właściwość ciał materialnych. Miarą bezwładności ciała w ruchu
postępowym jest jego masa (masa bezwładna), a w ruchu obrotowym - moment
bezwładności.
Moment bezwładności, miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Charakteryzuje
rozkład masy w ciele. Moment bezwładności ciała względem osi z nazywane jest
wyrażenie:
gdzie mi - masy elementów ciała odległe każda o ri od osi z
Dla ciągłego rozkładu masy w ciele sztywnym moment bezwładności definiowany jest
wzorem całkowym:
gdzie:  - funkcja opisująca gestość ciała, V - objętość ciała, dV - element objętości, r odległość elementu dV od osi z.
Energia w ruchu obrotowym ciała sztywnego opisana jest wzorem: E=(I2)/2. Moment
bezwładności względem osi z' równoległej do z, odległej od niej o D wyraża się wzorem:
Iz=Iz'+MD2
gdzie: M - masa ciała, jest to tzw. twierdzenie Steinera, podane przez matematyka
szwajcarskiego J. Steinera.
Zdefiniowane powyżej momenty bezwładności są wielkościami skalarnymi, w ogólnym
przypadku moment bezwładności jest tensorem trzeciego rzędu, wyrazy na przękątnej (w
reprezentacji macierzowej tensora) są momentami bezwładności obliczonymi względem
trzech wzajemnie prostopadłych osi przedmiotu, np.:
Strona 11
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
lub - dla ciągłego rozkładu masy - odpowiedni wzór całkowy), wyrazy poza przekątną
nazywane momentami odśrodkowymi zdefiniowane są następująco (lub przez odpowiednie
wzory całkowe):
Znając składowe tensora momentu bezwładności możliwe jest obliczenie momentu
bezwładności względem dowolnej prostej l przechodzącej przez początek układu
współrzędnych x,y,z, wówczas:
Il=Ixx2+Iyy2+Izz-2Ixy-2Iyz-2Izx
gdzie  cosinusy kierunkowe tej prostej (bezwładności elipsoida).
Siły bezwładności, pozorne siły działające na ciała fizyczne w nieinercjalnych układach
odniesienia (styczna siła bezwładności, siła odśrodkowa, siła Coriolisa). Liczbowo siły
bezwładności równe są iloczynowi masy i odpowiedniego przyspieszenia, a skierowane
przeciwnie niż siła wymuszająca ruch.
Siła dośrodkowa, składowa wypadkowej sił działających na dane ciało, prostopadła do
kierunku chwilowego ruchu ciała (wektora prędkości), równa iloczynowi masy i
przyspieszenia dośrodkowego (przyspieszenie). Siła dośrodkowa wywołuje zmianę
kierunku ruchu.
Siła odśrodkowa, jedna z pozornych sił bezwładności, liczbowo równa co do modułu sile
dośrodkowej działającej na ciało, lecz przeciwnie skierowana.
Cosinusy kierunkowe, w przestrzeni trójwymiarowej mamy zdefiniowany układ
kartezjański x,y,z oraz punkt P(Px,Py,Pz) określony przez wektor wodzący o długości r.
Liczby X = Px/r, Y = Py/r, Z=Pz/r nazywamy cosinusami kierunkowymi punktu P w
układzie x,y,z. Są one cosinusami kątów zawartych między promieniem wodzącym punktu
P a poszczególnymi osiami układu.
We współrzędnych biegunowych X=cos cos, Y = cos sin, Z = sin, gdy  - kąt
pomiędzy osią 0x a rzutem promienia wodzącego r na płaszczyznę xy,  - kąt pomiędzy
płaszczyzną xy a promieniem wodzącym r.
Obrotowy ruch, ruch ciała wokół chwilowej osi obrotu. Dla ciała sztywnego ruch
obrotowy opisują kąty Eulera.
Dynamikę ruchu obrotowego charakteryzuje moment pędu J, moment bezwładności I,
chwilowa prędkość kątowa , przyspieszenie kątowe d/dt, moment sił D.
Strona 12
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Odpowiednikiem II zasady dynamiki (Newtona zasady dynamiki) dla ruchu obrotowego jest
równanie:
Względności teoria ogólna, OTW, współczesna teoria grawitacji, tłumacząca zjawiska
grawitacyjne geometrycznymi własnościami zakrzywionej czasoprzestrzeni. Jej
podstawowe idee (wynikające z rozważań nad zasadą równoważności oraz z dążenia do
uniezależnienia opisu zjawisk od układu odniesienia) sformułował A. Einstein (1916).
OTW oparta jest na czterech postulatach:
1) czasoprzestrzeń zgodna jest lokalnie ze szczególną teorią względności, tj. w każdym
dostatecznie małym otoczeniu każdego punktu może ona być przybliżona przez płaską
czterowymiarową przestrzeń Minkowskiego.
2) czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią topologiczną, różniczkowalną i
spójną - w każdym jej punkcie określone są metryczny tensor g (i interwał
czasoprzestrzenny ds = {gdxdx}1/2) oraz jej krzywizna (w sensie Riemanna)
wyrażona przez tensor Riemanna
km kl

 nl km  nmkl
x l x m
gdzie  z indeksami górnymi i dolnymi oznacza symbol Christoffela (Christoffela
symbole).
K klm 
3) tensor metryczny g spełnia równanie pola Einsteina: R - gR/2 = (8G/c4)Tb,
gdzie: R - tensor Ricciego równy zwężonemu (posiadającemu powtórzone indeksy)
tensorowi Riemanna R, R - skalar krzywizny równy gR, T - tensor energiipędu układu, G - klasyczna stała grawitacji, c - prędkość światła w próżni. Lewa strona
równania Einsteina zapisywana jest często jako tzw. tensor Einsteina G. W oryginalnym
sformułowaniu teorii prawa strona równania uzupełniona była o tzw. człon kosmologiczny,
usunięty później jako niefizyczny (Wszechświata modele).
4) linie świata cząstek próbnych (tj. cząstek posiadających energię wpływającą w stopniu
znikomym na krzywiznę przestrzeni) są geodetykami (geodetyka) w czasoprzestrzeni.
Równanie pola Einsteina jest zwięzłym zapisem układu sześciu niezależnych nieliniowych
równań różniczkowych drugiego rzędu, w którym niewiadomą są składowe tensora
metrycznego, określone poprzez rozkład energii (masy) i pędu układu (tensor T).
Oznacza to że rozkład masy, energii i pędu układu materialnego odpowiada za zakrzywienie
czasoprzestrzeni (poglądową analogią może być tu zakrzywienie elastycznej membrany po
umieszczeniu na niej masywnego przedmiotu), które w klasycznej fizyce odbierane jest jako
pojawienie się pola potencjału siły centralnej.
Pierwszymi doświadczalnymi dowodami prawdziwości OTW były: wyjaśnienie tzw.
nadwyżki ruchu peryhelium orbity Merkurego (a później również analogicznego ruchu dla
Strona 13
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Wenus i Ziemi) oraz stwierdzenie zakrzywienia biegu promieni światła gwiazd w czasie
zaćmienia Słońca. Kolejne potwierdzenie przyniosło odkrycie soczewkowania
grawitacyjnego i badanie układu podwójnego z pulsarem (J.H. Taylor). OTW przewiduje
istnienie fal grawitacyjnych i czarnych dziur. Pozwala też konstruować naukowe modele
Wszechświata jako całości (kosmologia). Nie jest ona teorią kwantową, przez co stoi w
pewnej opozycji do współczesnej fizyki. Trwają poszukiwania kwantowej teorii grawitacji.
Równoważności zasada, w fizyce teoretycznej analogia pomiędzy ruchem swobodnym ciał
w nieinercjalnym układzie odniesienia a ruchem w polu grawitacyjnym (w obu przypadkach
przyspieszenia nie zależą od masy ciała).
Jej skutkiem jest równoważność masy grawitacyjnej i masy bezwładnej ciała (masa).
Zasada równoważności stanowi zalążek ogólnej teorii względności.
Keplera prawa, trzy prawa sformułowane przez J. Keplera, opisujące ruch planet w
Układzie Słonecznym:
I prawo Keplera: planety poruszają się po orbitach eliptycznych, przy czym Słońce znajduje
się w jednym z ognisk elipsy.
II prawo Keplera: dla danej planety stałą wielkością jest jej tzw. prędkość polowa (tj. pole
powierzchni figury ograniczonej łukiem elipsy zakreślanym przez planetę w jednostce czasu
i odległościami od końców łuku do ogniska).
III prawo Keplera: kwadraty okresów obiegów planet wokół Słońca są proporcjonalne do
trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.
Nieinercjalny układ odniesienia, fizyczny układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I
zasada dynamiki Newtona: np. układ związany z obracającym się ciałem (w szczególności
układ związany z Ziemią) lub ciałem poddanym przyspieszeniom liniowym.
Przeciwieństwo układu odniesienia inercjalnego. W nieinercjalnym układzie odniesienia
obserwuje się np. siłę Coriolisa, siłę odśrodkową, inne siły bezwładności.
Coriolisa siła, jedna z sił bezwładności działająca na ciało znajdujące się w nieinercjalnym
(tu: obracającym się) układzie odniesienia,
Fcor = -2m v,
gdzie m - masa ciała,  - wektor prędkości kątowej obracającego się układu, v - wektor
prędkości liniowej ciała mierzony w obracającym się układzie odniesienia.
Siła Coriolisa spowodowana dziennym ruchem obrotowym działa na poruszające się
poziomo na Ziemi ciała, osiągając największe wartości na biegunach (przy ruchu poziomym
wektory  i v są prostopadłe, niezależnie od kierunku v), a jej składowa pozioma zanika na
równiku.
Na półkuli północnej powoduje odchylanie się poruszających się poziomo ciał na prawo
(odpowiedzialne np. za intensywniejsze podmywanie prawych brzegów rzek), a na półkuli
południowej - w lewo.
Strona 14
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Siła Coriolisa działa na spadające swobodnie ciała, odchylając je od pionu w kierunku
wschodnim. Siła działająca na jednostkową masę nazywa się przyspieszeniem Coriolisa. Jej
istnienie zauważył Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843), francuski matematyk.
Christoffela symbole, symbole [mn,r] oznaczające funkcje współczynnika gmn i jego
pochodnych cząstkowych:
[mn,r] = 1/2(gmr/xn+gnr/xm - gmn/xr).
Symbole Christoffela służą do prostego przedstawiania pochodnych kowariantnych
tensorów, występują w określaniu tensora krzywizny przestrzeni Riemanna, znalazły więc
zastosowanie w aparacie matematycznym ogólnej teorii względności.
Tensor, obiekt geometryczny, uogólnienie skalara i wektora. Podstawowym czynnikiem
klasyfikującym tensory jest reguła transformacyjna przy zmianie układu odniesienia
(przekształceniu ciągłym, różniczkowalnym i wzajemnie jednoznacznym) oraz jego rząd,
czyli liczba wskaźników niezbędnych do jego scharakteryzowania (tensor pierwszego rzędu
reprezentowane są przez obiekty jednowymiarowe - jednokolumnowe lub jednowierszowe
tablice liczb, drugiego rzędu przez tablice dwuwymiarowe itp.). Jeśli zmiana układu
odniesienia nie prowadzi do zmiany tensora, jest on skalarem lub niezmiennikiem
(niezmienniczość).
Wektorem kontrawariantnym (na mocy konwencji posiadającym wskaźniki u góry) jest
tensor pierwszego rzędu, podlegającym regule transformacji
ai' = (xi'/xi)ai
(symbole ze znakiem prim wskazują na nowy układ odniesienia). Wektor kowariantny,
będący również tensorem pierwszego rzędu (wskaźniki u dołu), podlega regule
transformacyjnej:
ai' = (xi'/xi)ai.
Analogicznie definiuje się tensory wyższych rzędów: kowariantne, kontrawariantne i
mieszane (posiadające część składowych kontrawariantnych, a część kowariantnych, tym
samym część wskaźników w indeksie górnym, część w dolnym). Walencją tensora nazywa
się parę liczb (n, m), z których pierwsza określa liczbę składowych kontrawariantnych, a
druga liczbę składowych kowariantnych, np. prawo transformacji tensora mieszanego R o
walencji (1,2) ma postać:
n
Ri'j'k' = 
i 1
n
n
k 1
j 1
  (xi'/xi)(xj/xj')(xk /xk')Rijk.
Tensor jest symetryczny względem dwóch wskaźników, gdy zamiana miejscami tych
wskaźników nie zmienia wartości tensora, antysymetryczny zaś, gdy zamiana taka zmienia
jego znak.
Energia, podstawowa wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu, energia jest
wielkością skalarną, addytywną i zachowywaną (zasada zachowania energi ). Energia jest
przekazywana w oddziaływaniach fizycznych, ale nie znika i nie może powstawać ex nihilo.
Strona 15
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Występuje w różnych postaciach w opisie zjawisk fizycznych (jako energia: mechaniczna,
kinetyczna, potencjalna, cieplna, chemiczna, elektryczna, promieniowania, jądrowa,
spoczynkowa itp.). Energię wyraża się obecnie w dżulach (J), dawniej stosowano ergi(erg).
Energia kinetyczna, energia mechaniczna związana z ruchem ciała (postępowym lub
obrotowym). W przybliżeniu nierelatywistycznym (w fizyce klasycznej) energia kinetyczna
ruchu postępowego ciała dana jest wzorem Ek=mV2/2 lub równoważnie Ek= p2/2m, gdzie
Ek - energia kinetyczna, m-masa ciała, V-jego prędkość, p-pęd ciała.
W ujęciu relatywistycznym tylko drugie wyrażenie określające energię kinetyczną dalej
obowiązuje, przy czym masa ciała jest wówczas masą relatywistyczną ciała.
Energia kinetyczna ruchu obrotowego Er w ujęciu klasycznym dana jest wzorem: Er=I2/2,
gdzie I moment bezwładności ciała względem osi chwilowego obrotu,  chwilowa prędkość
kątowa obrotu ciała wokół tej samej osi.
Energia potencjalna, określona z dokładnością do stałej energia mechaniczna układu ciał
zanurzonych w polu sił, wynikająca z konfiguracji (rozmieszczenia) tych ciał.
Równa jest pracy, jaką musiałyby wykonać zewnętrzne siły, aby uzyskać aktualną
konfigurację ciał, wychodząc od innej konfiguracji, dla której arbitralnie przyjmujemy
energię potencjalną równą zero.
Energii zachowania zasada, jedna z podstawowych zasad fizyki mówiąca, że w każdym
izolowanym układzie fizycznym całkowita suma energii jest stała (nie zmienia się w
czasie).
Dżul, J, jednostka pracy, energii i ilości ciepła. 1 J = 1Nm = 1Ws.
Praca, 1) w dynamice skalarna wielkość fizyczna L zdefiniowana wzorem:
gdzie: F - siła działająca na ciało, wykonująca pracę wzdłuż drogi S, ds - nieskończenie
mały wektor styczny w każdym miejscu do drogi S.
Jednostką pracy w układzie SI jest dżul, dawniej stosowanymi jednostkami były erg i
kilogram-siła razy m.
2) w termodynamice, wielkość fizyczna równa energii, jaką układ termodynamiczny oddaje
otoczeniu zmieniając jednocześnie parametry opisujące jego stan. Maksymalną pracę
wykona układ izolowany cieplnie w procesie izoentropowym. Jednostką pracy
termodynamicznej jest dżul (dawniej kaloria).
Siła, F, wielkość wektorowa określająca wzajemne mechaniczne oddziaływanie ciał
(oddziaływanie to może zachodzić bezpośrednio lub za pośrednictwem pól fizycznych).
Jednostką siły w układzie SI jest niuton.
Strona 16
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Siły fizyczne można podzielić na fundamentalne (oddziaływania fizyczne),
niefundamentalne (np. siła tarcia, siła aerodynamiczna itp.) oraz pozorne (siły
bezwładności).
Pęd, p, podstawowa wielkość dynamiczna służąca do opisu ruchu. Pęd jest wektorem,
wyraża się wzorem:
p = mv,
gdzie: p - pęd, m - masa, v - prędkość ciała. Pęd układu punktów materialnych jest sumą
wektorową pędów wszystkich punktów układu.
W układzie izolowanym całkowity pęd jest zachowany (pędu zasada zachowania), a jego
zmianę może wywołać zewnętrzna siła.
Pędu zasada zachowania, jedna z podstawowych zasad fizycznych. Zgodnie z nią
całkowity wektorowy pęd układu izolowanego jest zachowany przez każdy rodzaj
oddziaływań fizycznych.
Zasada zachowania pędu wynika z niezmienniczości praw fizyki względem symetrii
translacyjnej.
Moment pędu, kręt, wektor osiowy J charakteryzujący ruch ciała (w szczególności ruch
obrotowy): J=rp (iloczyn wektorowy wektora wodzącego r i pędu ciała).
Dla układu ciał moment pędu układu jest sumą wektorową momentu pędu pojedynczych
ciał, dla ciała o ciągłym rozkładzie masy moment pędu wyraża się wzorem:
gdzie: V - objętość ciała, dv - element objętości, (r) - funkcja rozkładu gęstości, u(r) prędkość elementu objętości dv.
Równanie ruchu obrotowego ciała ma postać:
dJ/dt=D
gdzie D moment sił zewnętrznych (moment siły).
Monent pędu bryły sztywnej wyraża się (w układzie odniesienia, w którym oś obrotu
przechodzi przez początek układu) poprzez tensor momentu bezwładności I i prędkość
kątową , J=I. Monent pędu izolowanego układu jest zachowywany (zasada zachowania
krętu).
W fizyce kwantowej moment pędu jest wielkością skwantowaną (kwantowanie), ponadto
pojawia się wewnętrzny moment pędu (spin).
Inercjalny układ odniesienia, układ odniesienia należący do wyróżnionej klasy układów,
w których spełniona jest pierwsza zasada dynamiki Newtona. Istnienie inercjalnego układu
Strona 17
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
odniesienia jest postulatem mechaniki klasycznej. Wszystkie prawa fizyki mają taką samą
postać w każdym inercyjnym układzie odniesienia (Galileusza przekształcenie, Lorentza
transformacja). Ogólna teoria względności podważa szczególną rolę inercjalnego układu
odniesienia.
Galileusza przekształcenie, Galileusza transformacja, formuła matematyczna opisująca
transformacje czasu i współrzędnych przestrzennych pomiędzy dwoma inercjalnymi
układami odniesienia: r=R+vT, t=T, gdzie r wektor położenia danego punktu w układzie I,
R analogiczny wektor w układzie II, v - wektor prędkości układu II względem I, t - czas
upływający w I układzie, T - czas w układzie II.
Prawa mechaniki klasycznej (I. Newton) są niezmiennicze względem tansformacji
Galileusza. Przekształcenie to jest przybliżone, odnosi się do bardzo małych prędkości
(względem prędkości światła). Poprawnym przekształceniem jest transformacja Lorentza.
Lorentza transformacja, Lorentza przekształcenie, przekształcenie matematyczne
opisujące transformacje wielkości fizycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy
przechodzeniu od jednego inercjalnego układu odniesienia, określonego przez współrzędne
przestrzenne x, y, z i współrzędną czasową t, do drugiego, określonego przez współrzędne
x', y', z' oraz t'.
W najprostszym przypadku, jeśli układ (x', y', z', t') porusza się jednostajnie w kierunku osi
x z prędkością v, to transformacja Lorentza ma postać:
gdzie c - prędkość światła w próżni.
Często dla uproszczenia postaci zapisu transformacji do wzorów powyższych stosuje się
podstawienie: =v/c oraz
a także mnoży się obustronnie przez c równanie opisujące transformację czasu dla
uzyskania formalnej identyczności równań dla zmiennych: czasowej (równej ct) i
przestrzennej x, wówczas: x'=(x-ct), y'=y, z'=z, ct'=(ct-x).
Z transformacji Lorentza wynikają wszystkie efekty kinematyczne szczególnej teorii
względności, takie jak: reguła sumowania się prędkości prowadząca do niemożności
uzyskania prędkości większej od prędkości światła, względność pojęcia równoczesności,
skrócenie Lorentza-Fitzgeralda, spowolnienie biegu poruszajacych sie zegarów.
Równania transformacji Lorentza zostały opracowane ponad 10 lat przed sformułowaniem
przez A. Einsteina szczególnej teorii wzgledności (zostały wywnioskowane z równań
Maxwella), były jednak wówczas traktowane jako formalne równania matematyczne, bez
Strona 18
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
konsekwencji fizycznych. Transformacja Lorentza uzupełniona obrotami w przestrzeni
trójwymiarowej stanowi tzw. grupę przekształceń Poincarégo.
Dla małych prędkości v, rozwijając w szeregi potęgowe wzory opisujące transformację
Lorentza, przy zaniedbaniu wyższych wyrazów, otrzymuje się klasyczne przekształcenie
Galileusza. Transformacja Lorentza równoważna jest geometrycznie obrotowi w
czterowymiarowej, zespolonej przestrzeni Minkowskiego o rzeczywistych osiach x,y,z, oraz
urojonej osi czasowej (zmienna czasowa ma wówczas postać ict, gdzie i - jednostka
urojona, c - prędkość światła w próżni).
W transformacji Lorentza niezmienną wielkością jest tzw. interwał czasoprzestrzenny
określony jako: ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2. Transformacji Lorentza podlegają inne wielkości
czterowektorowe, takie jak np. czterowektor enrgii-pędu. Wówczas do powyższych wzorów
podstawia się zamiast czasu energię relatywistyczną cząstki podzieloną przez c, a składowe
wektora położenia zastępuje się składowymi pędu. Wielkości tensorowe, spinorowe, itp.
podlegają ogólnemu przekształceniu Lorentza, wyrażonemu bardziej złożonym układem
równań.
Lorentza-Fitzgeralda skrócenie, Lorentza-Fitzgeralda kontrakcja, efekt relatywistyczny
(teoria względności) polegający na skracaniu się długości poruszających się przedmiotów w
kierunku równoległym do wektora prędkości.
Jeśli w spoczywającym względem danego ciała układzie odniesienia ciało ma długość xo, to
gdy porusza się z prędkością v, jego długość równa jest
gdzie c - prędkość światła w próżni.
Istnienie takiego efektu zapostulował w 1891 fizyk angielski Georg Francis Fitzgerald
(1851-1901) dla wyjaśnienia negatywnego wyniku doświadczenia Michelsona-Morleya.
Koncepcje tą rozwinął w latach 1892-1893 H.A. Lorentz (Lorentza transformacja).
Względności teoria szczególna, STW, teoria fizyczna, której zręby przedstawił A. Einstein
w pracy O elektrodynamice ciał w ruchu (1905). W kolejnych pracach Einstein opracował
zgodne z nową teorią zasady mechaniki tworząc tym samym fizykę relatywistyczną.
Elektrodynamika opisana równaniami Maxwella zgodna była z teorią względności.
Podstawowe założenie STW to stałość prędkości światła w każdym układzie odniesienia
(Michelsona-Morleya doświadczenie) - wynika z tego prawo transformacji współrzędnych
przestrzennych i czasu przy przejściu od jednego układu odniesienia do drugiego opisane
przez transformację Lorentza, oraz postulat prawdziwości zasady względności głoszącej, że
prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercyjnym układzie odniesienia.
Einstein wykorzystał wprowadzony przez H. Poincarego i udoskonalony przez H.
Minkowskiego formalizm czterowymiarowej płaskiej czasoprzestrzeni. Elementem
rewolucyjnym było nadanie fizycznej realności prawu przekształcającemu przy zmianie
układu odniesienia, oprócz współrzędnych przestrzennych, również czas (wcześniej
traktowano je czysto formalnie). Przestrzeń przestała tak pełnić rolę obiektywnej "sceny"
zjawisk przyrody, a czas stracił swoją absolutność - stały się one względne, zależne od
Strona 19
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
układu odniesienia, gdyż zgodnie z STW dwa zdarzenia równoczesne w pewnym układzie
odniesienia nie muszą być równoczesne w innym.
W STW energia i pęd cząstki tworzą czterowektor, dla cząstki swobodnej spełniony jest
związek (E/c)2 = p2 + m2c2, gdzie m - masa cząstki. Dla cząstki spoczywającej, tj. przy p =
0 wzór ten sprowadza się do wyrażenia E=m0c2, które interpretuje się jako równoważność
masy i energii.
Prawa STW przechodzą w prawa klasycznej fizyki, gdy prędkość światła w próżni zmierza
do nieskończoności.
Minkowskiego przestrzeń, czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności. Oś czasu jest
urojona, osie przestrzenne są rzeczywiste. Punkty w Minkowskiego przestrzeni noszą nazwę
punktochwil lub zdarzeń elementarnych.
Uogólniona odległość pomiędzy dwoma zdarzeniami A i B (długość przedziału
czasoprzestrzennego lub interwał czasoprzestrzenny) równa się:
gdzie t - czas, r - wektor położenia, c - prędkość światła w próżni. Jeśli s=0, to punkty A i B
można połączyć promieniem świetlnym, jeśli s jest rzeczywiste, to punkty A i B są
przestrzenno-podobne, jeśli s jest zespolone, to punkty A i B są czasopodobne.
Maxwella równania, podstawowe równania klasycznej elektrodynamiki (J.C. Maxwell),
opisujące związki pomiędzy natężeniami pola elektrycznego, magnetycznego i ładunkiem
elektrycznym. Istnieje kilka równoważnych sformułowań równań Maxwella, najczęściej
stosowane są formy różniczkowa lub całkowa równań Maxwella.
W postaci różniczkowej równania Maxwella wyrażają wzory:
div B=0
div D=b
gdzie: E - natężenie pola elektrycznego, H - natężenie pola magnetycznego, B =H indukcja pola magnetycznego,  - przenikalnośc magnetyczna ośrodka, j - gęstość prądu
elektrycznego, D =E - indukcja pola elektrycznego,  - przenikalność dielektryczna
ośrodka (dielektryczna stała),  gęstość objętościowa ładunku elektrycznego, rot - operator
rotacji, div - operator dywergencji, a i b - stałe uzgadniające jednostki, zależne od wyboru
układu jednostek (np. w MKS i SI a=1= b, w układzie Gaussa a=1/c, b=4, gdzie c prędkość światła w próżni).
W postaci całkowej równania Maxwella wyrażone są wzorami (w układzie jednostek SI):
Strona 20
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
gdzie: C - zamknięta krzywa ograniczająca powierzchnię S, prostopadłą do elementu
przewodnika, V - dowolna powierzchnia zamknięta, n - wersor normalny do powierzchni,
ds - element łuku krzywej C, d - element powierzchni, Q - całkowity ładunek elektryczny
zawarty w przestrzeni ograniczonej powierzchnią V, I - natężenie prądu płynącego w
przewodniku. Pozostałe oznaczenia jak we wzorach różniczkowych równań Maxwella.
Z pierwszego równania wynika prawo indukcji Faradaya (Faradaya zjawisko), drugie mówi
o tym, że źródłami pola magnetycznego są zmienne pola elektryczne lub płynące prądy,
trzecie równanie mówi o braku ładunków magnetycznych. Z czwartego równania wynika,
że strumień pola elektrycznego przenikającego pewną powierzchnię jest proporcjonalny do
ładunku elektrycznego zawartego w przestrzeni ograniczonej tą powierzchnią, z czego
można wywnioskować prawo Coulomba.
Z równań Maxwella, uzupełnionych warunkami brzegowymi dla pól i prawami opisującymi
zmianę pól na granicach nieciągłości ośrodków oraz równaniem na siłę
Lorentza, można wyprowadzić wszystkie prawa elektrodynamiki klasycznej, ponadto z
równań Maxwella dla pustej przestrzeni (j=0, =0) Maxwell wywnioskował istnienie fal
elektromagnetycznych (odkrytych później przez H. Hertza).
Z równań Maxwella wyprowadzono również formułę transformacji Lorentza.
Natężenie pola elektrycznego, E, wielkość wektorowa charakteryzująca pole elektryczne,
jest to siła z jaką w danym miejscu pole działa na jednostkowy, punktowy ładunek
elektryczny.
Dla pola elektrostatycznego E=-grad , gdzie:  - potencjał pola elektrycznego. Ogólny
związek podają równania Maxwella. W układzie SI natężenie pola elektrycznego wyraża się
w V/m lub N/C.
Natężenie pola magnetycznego, H, wielkość wektorowa charakteryzująca pole
magnetyczne, definiowana poprzez prawo Biota-Savarta.
Natężenie pola magnetycznego związane jest z indukcją magnetyczną B równaniem:
H=B/o-I, gdzie: I - wektor namagnesowania, o - przenikalność magnetyczna próżni.
Natężenie pola magnetycznego wyraża się w układzie Si w A/m (amper na metr), dawniej
stosowaną jednostką był ersted.
Strona 21
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Indukcja, w teorii elektromagnetyzmu (elektromagnetyczne oddziaływanie) termin
stosowany w kilku znaczeniach.
A) Zjawisko elektryzowania się ciał w polu elektrycznym (indukcja elektrostatyczna) lub
magnetyzowania się ciał w polu magnetycznym (indukcja magnetyczna). Indukcja
elektrostatyczna dla przewodników polega na przemieszczeniu się swobodnych ładunków
aż do stanu, w którym pole wytworzone przez te ładunki całkowicie skompensuje
zewnętrzne pole wewnątrz danego ciała. W rezultacie na powierzchni ciała przewodzącego
wytwarza się ładunek indukowany, ale całość pozostaje obojętna elektrycznie. Dla
dielektryków indukcja elektrostatyczna polega na częściowym rozsunięciu się ładunków
ujemnych i dodatnich w ciele. Rozsunięte ładunki tworzą dipole elektryczne, co
makroskopowo obserwuje się jako polaryzację dielektryka. Indukcja magnetyczna (w tym
znaczeniu) jest to zjawisko powstania polaryzacji magnetycznej ciała, tj. wypadkowego
momentu magnetycznego spowodowanego oddziaływaniem momentów magnetycznych
elektronów (orbitalnych i spinowych) z zewnętrznym polem magnetycznym o natężeniu H
(diamagnetyzm, paramagnetyzm, ferromagnetyzm). Polaryzację opisuje wektor
namagnesowania I, przy czym I=0mH, gdzie: 0 - przenikalność magnetyczna próżni,
m - podatność magnetyczna danej substancji.
B) Wektor opisujący natężenie pola elektrycznego lub magnetycznego wewnątrz ciała:
odpowiednio indukcja elektryczna D (dielektryk) lub indukcja magnetyczna B. W tym
sensie indukcja równa jest natężeniu danego pola (elektrycznego E lub magnetycznego H)
poza ciałem, pomnożonemu przez współczynnik odpowiedniej przenikalności ośrodka
(elektrostatycznej  lub magnetycznej ): D=E, B=H. Dla ciał anizotropowych skalarne
współczynniki przenikalności  oraz  zastępuje się odpowiednimi wielkościami
tensorowymi (każda reprezentowana przez 9 liczb). Indukcja magnetyczna wyrażana jest w
teslach.
C) Zjawisko tworzenia się przepływu prądu (lub zmian w istniejącym przepływie) w pętli z
przewodnika umieszczonej w zmiennym polu magnetycznym (indukcja elektromagnetyczna
Faradaya). Zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej przechodzącego przez
powierzchnię ograniczoną pętlą z przewodnika powoduje powstanie w tym przewodniku
siły elektromotorycznej SEM przeciwdziałającej zmianom pola. Zjawisko to opisuje
równanie:
gdzie:  - siła elektromotoryczna SEM powstająca w zamkniętym obwodzie przewodnika
(powodująca przepływ prądu), dana wzorem:
E - pole elektryczne (całkowanie odbywa się po całej pętli przewodnika L),  - strumień
wektora indukcji magnetycznej B przenikającego przez powierzchnię S (ograniczoną
krzywą L), dany jest wzorem:
Strona 22
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
gdzie: n - wektor jednostkowy normalny do powierzchni S.
Zmiany strumienia  w stacjonarnym polu magnetycznym mogą wynikać z obrotu pętli
przewodnika L wokół osi prostopadłej do kierunku pola magnetycznego. Zjawisko to
wykorzystuje się w prądnicach, odkryte zostało przez M. Faradaya.
D) Zjawisko powstawania SEM przy ruchu ciała namagnesowanego (indukcja
jednobiegunowa), dla obracającego się wydrążonego walca wykonanego z ferromagnetyka,
umieszczonego w polu magnetycznym o indukcji B, w przybliżeniu (dla małych prędkości
obrotu v), powstająca siła elektromagnetyczna  dana jest wzorem:
gdzie: L oznacza element krzywej, po której przebiega całkowanie.
E) Zjawisko powstawania w przewodniku SEM (oznaczanej ) na skutek zmian
skojarzonego z nim strumienia  indukcji magnetycznej spowodowanych zmianami prądu
w znajdującym się w pobliżu drugim przewodniku (indukcja wzajemna). Opisuje ją wzór:
gdzie: M - współczynnik indukcyjności wzajemnej.
Zjawisko to występuje również, gdy w roli obu obwodów występuje jeden obwód
(samoindukcja).
Przenikalność magnetyczna, , wielkość fizyczna - w ośrodkach izotropowych skalarna,
w anizotropowych tensorowa - charakteryzująca zdolność ośrodka materialnego do zmiany
wektora indukcji magnetycznej B pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego H.
B =  H, przy czym  = 0r, gdzie: 0 - przenikalność magnetyczna próżni równa w
układzie jednostek SI 410-7H/m, w elektromagnetycznym zaś układzie jednostek 1, r przenikalność magnetyczna danego ośrodka (wielkość niemianowana).
Przenikalność magnetyczna związana jest z podatnością magnetyczną  zależnością: r =
1+. Przenikalność magnetyczna zależy na ogół od częstotliwości zmian pola
magnetycznego. Wartość przenikalności magnetycznej w stałym polu nosi nazwę
przenikalności magnetycznej statycznej, w zmiennym polu nazywa się przenikalnością
magnetyczną dynamiczną.
Dywergencja, div, w matematyce - operator różniczkowy oznaczany div, będący sumą
pierwszych pochodnych cząstkowych po współrzędnych kartezjańskich,
div a = ax/x + ay/y + az/z.
Strona 23
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Dywergencja jest szeroko stosowana w fizyce, w teorii pola.
Operator div jest liniowy, przypisuje polu wektorowemu a pole skalarne. Ma ponadto
następujące własności: div rot a = 0, div grad  =  (gdzie delta oznacza laplasjan),
grad div a = a + rot (rot a).
Dywergencja ma następujący sens fizyczny: jeśli a jest polem prędkości w przepływie
idealnego płynu, to div a oznacza intensywność (albo inaczej natężenie) źródła. Wartość
ujemna div a oznacza wypływ, a dodatnia - dopływ płynu.
Rotacja, wirowość, rot, liniowy operator różniczkowy przyporządkowujący pewnemu polu
wektorowemu a inne pole wektorowe (pseudowektorowe). Z definicji (we współrzędnych
kartezjańskich)
,
gdzie: i, j, k wersory osi x, y, z (odpowiednio), az, ay, az - składowe wektora a. Rotacja a
równoważna jest iloczynowi wektorowemu operatora nabla i wektora a.
Podstawowe własności:
1) rot(c1a1+c2a2)= =c1rota1+c2rota2, gdzie c1, c2 - stałe
2) rot(Ua)=(gradU)a+Urota, gdzie U - pole skalarne
3) rot(gradU)0, div(rota)  0, rot(rota) = grad(diva) - a, gdzie  - laplasjan
4) rot(ab)=adivb-bdiva+(b)a-(a)b (gdzie  - nabla);
,
gdzie: S - powierzchnia zamknięta ograniczająca objętoć V, n - wersor normalny do
powierzchni S.
Jeśli rota = 0, to pole a jest bezwirowe (czyli jest to pole potencjalne), ponadto istnieje takie
pole skalarne U, że a = gradU.
Gradient, grad, operator różniczkowy oznaczany  (Nabla) lub grad, działa na funkcje
skalarne dając w wyniku wektor.
Jeśli funkcja skalarna V określona jest w układzie współrzędnych kartezjańskich x,y,z, to:
gdzie i,j,k - wersory osi współrzędnych.
Strona 24
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
We współrzędnych walcowych r, , z:
we współrzędnych kulistych r, operator gradientu ma postać:
Wektor grad V w danym punkcie P(x,y,z) określa kierunek i szybkość największego wzrostu
funkcji V(x,y,z) w tym punkcie.
Najważniejsze własności operatora gradientu:
grad cV = c grad V (c - stała),
grad (W+V) = grad W + grad V,
grad WV = W grad V + V grad W,
grad (ab) = (agrad)b+(bgrad)a + arot b + brot a,
rot grad V = 0,
grad div a = a + rot rot a.
Drgania, oscylacje, procesy fizyczne opisywane funkcjami na przemian rosnącymi i
malejącymi. Drgania klasyfikuje się na podstawie matematycznych własności funkcji
opisujących je. Wyróżnia się drgania probabilistyczne (jeśli przyszły stan nie daje się
jednoznacznie ściśle określić) i deterministyczne. Te ostatnie dzielą się na okresowe i
nieokresowe (inaczej: periodyczne i nieperiodyczne).
Okresem drgań nazywamy czas potrzebny do wykonania jednego cyklu drgań. Jeśli
amplituda maleje w czasie, drgania nazywamy gasnącymi (tłumionymi). Drgania można też
dzielić na swobodne i wymuszone (wywołane zewnętrzną, zmienną w czasie, siłą). Drgania
deterministyczne opisywane są równaniami różniczkowymi.
Drgania harmoniczne
Szczególnym rodzajem drgań są drgania harmoniczne, tj. okresowe, o stałej amplitudzie,
opisane sinusoidą. Ze względu na prostotę opisu drgania harmoniczne są wykorzystywane
do opisu wielu drgań rzeczywistych jako ich przybliżenie (lub poprzez rozkład na nie).
Najprostsze równanie opisujące drgania harmoniczne (dla ciężarka zawieszonego na
sprężynie) ma postać:
mx'' (t) + kx(t) = 0.
Rozwiązaniem jest funkcja
Strona 25
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
x(t)=Asint+0,
gdzie A - amplituda drgań,  = 2 = (k/m)0.5,  - częstość kołowa ( - częstość drgań), k
- współczynnik sprężystości, m - masa ciała, 0 - faza początkowa. Ze względu na fizykę
procesów wyróżnia się drgania mechaniczne i elektryczne.
Drgania cząsteczek, różne rodzaje ruchów periodycznych związanych z wewnętrznymi
stopniami swobody cząsteczki. Mogą nimi być: oscylacje lub rotacje.
Drgania cząsteczek są wielkościami opisywanymi przez mechanikę kwantową, podlegają
skwantowaniu. Oznacza to, że widmo drgań jest dyskretne, tj. dopuszczalne są tylko pewne
wybrane energie drgań.
Amplituda, największa wartość A0 osiągana przez wielkość fizyczną A zmieniającą się w
czasie t w sposób harmoniczny, tj. proporcjonalnie do
sin (wt+0),
gdzie w - częstotliwość kątowa, 0 - początkowa faza drgań. Pojęcie amplitudy wprowadza
się też dla wielkości zmieniających się okresowo, lecz nieharmonicznie. W tych
przypadkach przez amplitudę najczęściej rozumie się największą (co do wielkości
bezwzględnej) wartość różnicy danej wielkości i jej wartości średniej.
Drgania sieci krystalicznej, drgania atomów tworzących kryształ, wykonywane wokół
położeń równowagi, tj. węzłów sieci krystalicznej. Drgania sieci krystalicznej tworzą pole
sił o strukturze kwantowo-mechanicznej, kwant pola nazywany jest fononem. Fonony są
bozonami.
Analiza własności gazu fononowego, w szczególności znajomość widma fononowego (tj.
liczby fononów o danej częstości), pozwala przewidzieć wiele własności kryształu
Fala, przenoszące energię zaburzenie pola fizycznego rozchodzące się ze skończoną
prędkością. Jeśli kierunek zaburzenia jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, to
fala jest falą poprzeczną (np. fale elektromagnetyczne), jeśli oba kierunki są zgodne, to fala
jest falą podłużną (np. fale ciśnienia akustycznego w powietrzu).
Fala opisywana jest funkcją położenia i czasu u(r,t), spełniającą w ośrodku jednorodnym
równanie falowe:
gdzie:  - laplasjan, v - stała (prędkość fazowa).
Szczególnymi przypadkami fal są fale monochromatyczne o różnej symetrii:
- fala płaska, wtedy u= u0cos(t-kr+), gdzie: u0 - amplituda fali,  = 2 /T - częstość
kołowa fali, T - okres, k = (2/)x - wektor falowy, - długość fali, x - wersor kierunku
rozchodzenia się fali,  - faza początkowa fali
Strona 26
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
- fala kulista (o symetrii sferycznej, rozbiegająca się izotropowo), wtedy: u=(r-1)f(r-vt),
gdzie f jest dowolną funkcją różniczkowalną z drugimi pochodnymi (może to być fala sin
lub cos, ale nie tylko), v to prędkość fazowa fali
- fala cylindryczna (o symetrii cylindrycznej), równanie falowe przekształca się wtedy w
równanie Bessela, zmiana amplitudy z promieniem dana jest przez funkcję Bessela rzędu
zerowego.
W jednorodnym ośrodku fale rozprzestrzeniają się zgodnie z prawami optyki
geometrycznej, w obecności przeszkód pojawiają się odstępstwa od tych praw (dyfrakcja).
Fale nakładające się na siebie mogą podlegać interferencji, dudnieniu lub modulacji.
Fale elektromagnetyczne, zaburzenie pola elektromagnetycznego (e-m). W pustej
przestrzeni pole e-m opisane jest układem równań Maxwella o postaci równania falowego:
gdzie:  - laplasjan, H - wektor natężenia pola magnetycznego, E - wektor natężenia pola
elektrostatycznego, c - prędkość fazowa światła (układ powyższy można zapisać H = 0 i
E = 0, gdzie  oznacza dalambercjan, lub analogicznie dla potencjałów skalarnego  i
wektorowego A: A = 0 i  = 0).
Wynikającą stąd możliwość istnienia fal e-m zauważył H.R. Hertz. Fale e-m są falami
poprzecznymi, wektory E i H są wzajemnie prostopadłe i oba są prostopadłe do kierunku
rozchodzenia się fali. Fale e-m rozchodzą się w próżni z prędkością światła (c).
W zależności od długości fali fale e-m określa się mianem fal radiowych (długich, średnich,
krótkich, ultrakrótkich i mikrofal), fal świetlnych (podczerwonych, widzialnych i
ultrafioletowych) promieni Roentgena (X) i promieniowania gamma. W ujęciu kwantowym,
zgodnie z zasadą dualizmu korpuskularno-falowego, fale elektromagnetyczne o
częstotliwości  są strumieniami fotonów o energii E = h, gdzie h - stała Plancka.
Rodzaj fali
fale radiowe
podczerwień
światło widzialne
ultrafiolet
promieniowanie X
promieniowanie gamma
Długość fali [m]
> 10-4
5·10-4÷ 8·10-7
8·10-7÷ 4·10-7
4·10-7÷ 10-9
10-9÷ 6·10-12
< 10-10
Częstotliwość[Hz]
< 3·1012
6·1011÷ 3.7·1014
3.7·1014÷ 7.5·1014
7.5·1014÷ 3·1017
1.5·1017÷ 5·1019
> 1018
Fala boczna, fala powstająca na granicy dwóch ośrodków (oprócz fal odbitej i załamanej)
przy padaniu nań fali kulistej. Czoło fali bocznej jest stożkiem o kącie przy podstawie  =
Strona 27
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
arc sin n, n - względny współczynnik załamania ośrodków. Fale boczne bada się głównie w
akustyce i sejsmologii.
Fala stojąca, fala rozchodząca się efektywnie z zerową prędkością, powstaje w obszarach
ograniczonych na skutek interferencji fali padającej i fal odbitych.
Funkcja opisująca ruch falowy u(r,t) zależy wówczas wyłącznie od położenia (u=u(r)).
Położenia o maksymalnej amplitudzie noszą nazwę strzałek, a o zerowej amplitudzie węzłów.
Fala Macha, fala wytwarzana przez źródło małych zaburzeń poruszające się w danym
ośrodku z prędkością przekraczającą prędkość dźwięku, rozprzestrzenia się wewnątrz
stożka (tzw. stożek Macha) o kącie wierzchołkowym 2 = 2 arcsin 1/Ma, gdzie: - kąt
Macha, Ma - Macha liczba. Tworząca stożka Macha nazywana jest linią Macha.
Jeśli prędkość ciała jest stała, a ośrodek jednorodny, to linie Macha są prostymi, w innych
przypadkach są to krzywe. Fala Macha może być zarówno falą zgęszczeniową (tj. taką po
przejściu której wzrasta ciśnienie, gęstość i temperatura gazu a spada prędkość strumienia),
jak i rozrzedzeniową (ciśnienie itd. maleją, prędkość strumienia rośnie).
Macha liczba, M, Ma, stosunek prędkości v ciała zanurzonego w płynie do prędkości
rozchodzenia się dźwięku w danym płynie u (M=v/u). Przepływy o M<1 nazywane są
poddźwiękowymi, natomiast przepływy naddźwiękowe charakteryzują się M>1.
M jest to jeden z najważniejszych parametrów dynamicznych opisujących przepływ, ma
charakter lokalny. Przepływ z M>1 charakteryzowany bywa również przez podanie tzw.
kąta Macha, który jest poł. rozwartości tzw. stożka Macha (tj. obwiedni fal uderzeniowych
powstających przy przepływie naddźwiękowym).
Liczbowo kąt Macha równy jest arcus sinus 1/M. Macha liczba równa jeden (tzw. mach)
jest stosowana jako jednostka prędkości ruchu w powietrzu.
Długość fali, odległość pomiędzy dwoma kolejnymi grzbietami fali.
Okres drgań, dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się
ponownie w takiej samej fazie.
Faza Wielkość fizyczna określająca stan układu drgającego w danej chwili.
Prędkość fazowa, prędkość przemieszczania się fazy nieskończonej, sinusoidalnej fali
monochromatycznej. Prędkość fazowa równa jest v = dx/dt = /T, gdzie:  - długość fali, T
- jej okres.
Laplasjan, Laplace'a operator, suma operatorów drugich pochodnych cząstkowych po
kartezjańskich współrzędnych przestrzennych, xyz, =div grad ,
=(x,y,z).
Dalambercjan, w matematyce operator różniczkowy oznaczany symbolem  i
zdefiniowany jako suma operatorów drugich pochodnych cząstkowych po kartezjańskich
Strona 28
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
współrzędnych przestrzennych oraz drugiej pochodnej czasowej wziętej ze znakiem minus i
znormalizowanej wyrażeniem:
1/c2:  = /2x+ /2y + /2z - 1/c2 /2t.
Nazwa dalambercjan pochodzi od nazwiska J. le Rond d' Alembert'a, który wprowadził go,
formułując i rozwiązując równanie fali w postaci
 = 0,
gdzie  = (x, y, z, t). Dalambercjan jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza.
Potencjał, w fizyce funkcja skalarna lub wektorowa, związana z funkcją opisującą pewne
pole fizyczne za pomocą operatorów różniczkowych (gradient, rotacja).
W mechanice definiuje się skalarny potencjał siły V (wyrażamy w jednostkach energii),
który związany jest z danym polem sił związkiem: F=-gradV, np. potencjał sił sprężystości:
V=-1/2k2x2
gdzie: k - stała sprężystości, x - odkształcenie, lub potencjał grawitacyjny:
gdzie: m i M - masy przyciągających się ciał, G - stała grawitacji, r - wzajemna odległość
środków ciała.
W elektrodynamice określa się skalarny potencjał elektrostaty
pola elektromagnetycznego A (tworzą czterowektor). Są one związane z wektorami
natężenia pola elektrycznego E i magnetycznego H równościami:
gdy A nie jest funkcją czasu druga z równości opisuje pole elektrostatyczne.
Ogólne pojęcie potencjału wykorzystywane jest w termodynamice (potencjał
termodynamiczny), duże znaczenie ma również w fizyce kwantowej (równanie
Schrödingera). Minima funkcji potencjału sił wyznaczają położenia równowagi trwałej,
maksima odpowiadają położeniom równowagi chwiejnej.
Powierzchnie o jednakowych wartościach potencjału skalarnego noszą nazwę powierzchni
ekwipotencjalnych. Potencjał może określać dostępną dla cząstki o danej energii przestrzeń
(bariera potencjału).
Foton, kwant pola promieniowania elektromagnetycznego. Masa spoczynkowa fotonu
równa jest zero (oszacowanie eksperymentalne daje wielkość < 10-48g), porusza się z
prędkością światła c, ma energię E=h, (h - stała Plancka,  - częstotliwość odpowiadającej
Strona 29
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
fali elektromagnetycznej), jest bozonem, nie posiada momentu magnetycznego ani ładunku
elektrycznego.
Fotony powstają w wyniku przejścia układu, np. atomu lub jądra atomowego ze stanu
wzbudzonego do stanu o niższej energii, podczas zmiany pędu cząstki naładowanej, a także
w wyniku anihilacji par elektron-pozyton.
Hipotezę istnienia fotonu wysunął w 1905 A. Einstein. Foton oddziałuje
elektromagnetycznie ze wszystkimi cząstkami elementarnymi. Teorię fotonu i jego
oddziaływań jest przedmiotem badań elektrodynamiki kwantowej.
Bessela równanie, liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci:
R"(x) + x-1 R'(x) + {1 - (n/x) 2}R(x) = 0.
Równanie Bessela spotykane jest w wielu działach fizyki (np. mechanice klasycznej i
kwantowej, elektrodynamice) oraz w pewnych zagadnieniach technicznych i
astronomicznych.
Bessela funkcje, Jn(x), jedne z tzw. funkcji specjalnych, określone jako sumy szeregów
potęgowych:
Jn(x)= k=0 (-1) k {22kk!(n+k)!} -1 x2k+n (dla n= 0,1,2,3,...).
Funkcje Bessela dla kolejnych wartości n nazywane są funkcjami n-tego rzędu. Istnieje
uogólnienie f.B dla n , wtedy (n+k)! we wzorze definicyjnym funkcji Bessela zastąpione
jest przez funkcję (gamma Eulera) (n+k+1). Funkcje Bessela są rozwiązaniem równania
różniczkowego Bessela.
Dyfrakcja (ugięcie) fal, zjawiska odstępstwa od praw optyki geometrycznej występujące
przy rozchodzeniu się fal w ośrodkach niejednorodnych. Pierwsi dyfrakcję fal badali T.
Young i A. Fresnel oraz H. Helmholtz, G. Kirchhoff i J. Fraunhofer.
Fala płaska padając na przesłonę, na skutek zjawiska dyfrakcji dociera również częściowo
do przestrzeni leżącej w obszarze geometrycznego cienia. Dyfrakcję najprościej
wytłumaczyć jest zasadą Huygensa - Fresnela, w myśl której każdy punkt przestrzeni, do
którego dociera płaska fala, staje się źródłem elementarnej fali sferycznej. Fale te następnie
interferują ze sobą, tworząc nowe czoło fali.
Fale elementarne powstające w obszarze jednorodnym tworzą ponownie falę płaską.
Natomiast na granicy cienia zjawisko interferencji prowadzi do powstania struktury
interferencyjnej cienia oraz częściowego oświetlenia obszaru leżącego w cieniu
geometrycznym przeszkody. Zjawiska dyfrakcyjne występują dla każdego rodzaju ruchu
falowego.
Dyfrakcja cząstek
Oprócz optyki, gdzie dyfrakcja została odkryta i opisana najwcześniej, zjawiska dyfrakcyjne
występują również przy rozpraszaniu cząstek (np. elektronów, neutronów, atomów, molekuł
Strona 30
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
itp.), co jest jednoznaczne ze stwierdzeniem falowych właściwości cząstek (fale de Broglie,
dualistyczna natura promieniowania).
Zjawiska dyfrakcji neutronów, elektronów lub promieniowania rentgenowskiego
towarzyszące rozpraszaniu, wykorzystywane są w metodach badań strukturalnych ciał
stałych (warunek Braggów-Wulfa).
Interferencja fal, zjawisko wzajemnego nakładania się fal (elektromagnetycznych,
mechanicznych, de Broglie itd.). Zgodnie z tzw. zasadą superpozycji fal, amplituda fali
wypadkowej w każdym punkcie dana jest wzorem:
gdzie: A1, A2 - amplitudy fal cząstkowych,  - różnica faz obu fal.
Maksymalnie A = A1+A2 dla =2k (fazy zgodne), minimalnie A=A1-A2 dla =(2k+1)
(fazy przeciwne). Warunkiem zaistnienia stałego w czasie rozkładu przestrzennego
amplitudy interferujących fal jest ich spójność (koherentność).
Dla fal mechanicznych i radiowych warunek spójności jest łatwy do uzyskania, natomiast
dla światła zazwyczaj wymaga zastosowania układów rozdzielania i kolimowania wiązek
(monochromatory) lub stosowania laserów. Wypadkowa fala, powstała z interferencji
spójnych fal padających jest falą stojącą, np. dla światła obserwuje się kolejno następujące
po sobie jasne i ciemne linie, krzywe, lub okręgi, w zależności od geometrii interferujących
fal (tzw. prążki interferencyjne). Ciemne obszary występują w miejscach, gdzie różnica
dróg optycznych wynosi =(2k+1)/2, gdzie: k - dowolna liczba całkowita zwana rzędem
interferencji,  - długość fali. Jasne obszary wystąpią dla =(2k)/2=k.
Dudnienia, okresowe zmiany amplitudy drgań złożonych, powstałych w wyniku nałożenia
się na siebie drgań o zbliżonych częstościach i amplitudach.
W przypadku sumy dwóch drgań harmonicznych (opisanych funkcją sinusoidalną o
amplitudach A i częstościach 1 i 2) wypadkowe drganie opisuje funkcja
2Acos{(1- 2)/2}sin{(1+ 2)/2}.
Modulacja, kontrolowana zmiana w czasie pewnego procesu periodycznego. Dla fal
elektromagnetycznych stosuje się modulacje amplitudy (AM) lub częstości (FM).
Gazy, jeden z trzech podstawowych stanów skupienia materii (oprócz cieczy i ciał stałych),
w którym cząsteczki (lub atomy) słabo oddziałują między sobą poruszając się swobodnie w
całej objętości oraz nieustannie się zderzając. Gazy nie posiadają określonego kształtu i
objętości, wypełniają całą dostępną przestrzeń, mają zdolność do homogenicznego
mieszania się, są ściśliwe, mogą dyfundować (dyfuzja gazów). Substancja w tym stanie
wykazuje zwykle właściwości izotropowe (izotropia).
Zachowanie gazu opisuje teoria kinetyczno-cząsteczkowa oparta na modelu gazu
doskonałego, w myśl której energia kinetyczna jednego mola gazu wynosi E=3/2RT,
energia kinetyczna jednej cząsteczki =3/2kT, najbardziej prawdopodobna prędkość
Strona 31
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
cząsteczek cm=(2kT/m)1/2, średnia prędkość cząsteczek c= (8kT/m)1/2, gdzie: R - stała
gazowa, T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmanna, m - masa cząsteczki.
Teoria kinetyczno-cząsteczkowa gazu opisuje także zjawiska transportu w gazie oraz
pozwala na wyprowadzenie równania stanu Clapeyrona (Clapeyrona równanie).
Podstawowe prawa dotyczące gazów to:prawo Boyle'a-Mariotte'a, prawo Daltona, prawa
gazów Gay-Lussaca, prawo Grahama.
Gaz rzeczywisty, gaz wykazujący odstępstwa od praw Boyle'a-Mariotte'a i praw gazów
Gay-Lussaca oraz ulegający skropleniu w odpowiednich warunkach. W rezultacie gaz taki
nie odpowiada ściśle modelowi gazu doskonałego.
Gaz doskonały, gaz spełniający równanie stanu Clapeyrona (Clapeyrona równanie). Gaz
doskonały jest modelem, skonstruowanym przy następujących założeniach:
1) brak oddziaływań między cząsteczkami gazu,
2) znikoma objętość cząsteczek (cząsteczki gazu rozważane są jako punkty materialne
posiadające jednakową masę),
3) cząsteczki gazu poruszają się prostoliniowo, zmieniając kierunek wskutek
przypadkowych zderzeń,
4) zderzenia cząsteczek gazu są doskonale sprężyste,
5) średnia energia kinetyczna cząsteczek jest wprost proporcjonalna do temperatury
bezwzględnej.
Model gazu doskonałego opisuje poprawnie zachowanie tylko granicznie rozrzedzonych
gazów, w praktyce stosuje się jednak dla większości gazów w warunkach normalnych.
Gay-Lussaca prawa gazów,
1) przy stałym ciśnieniu, objętość gazu jest wprost proporcjonalna do jego temperatury
bezwzględnej (przemiana izobaryczna),
2) w stałej objętości ciśnienie gazu jest wprost proporcjonalne do jego temperatury
bezwzględnej (przemiana izochoryczna),
3) objętości substratów i produktów gazowych reakcji chemicznych, zmierzone w tych
samych warunkach pozostają w stosunku niewielkich liczb naturalnych (prawo stosunków
objętościowych).
Gazowa stała (R), jedna z uniwersalnych stałych fizycznych występująca w równaniu stanu
Clapeyrona (Clapeyrona równanie), określająca pracę wykonaną przez 1 mol gazu ogrzany
o 1 stopień w procesie izobarycznym (Izobaryczna przemiana). R = 8,314 J/mol×K (1,986
cal/mol×K; 0,0821 dm3×atm/mol×K). Stała gazowa jest równa różnicy ciepeł molowych
przy stałym ciśnieniu i stałej objętości.
Clapeyrona równanie, równanie gazu doskonałego określające związek między jego
temperaturą, ciśnieniem i objętością:
PV = nRT,
Strona 32
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
gdzie P- ciśnienie, V - objętość, n - liczba moli gazu, T - temperatura, R - stała gazowa (R =
Nk, N - liczba Avogadro, k - stała Boltzmanna).
Z równania Clapeyrona wynikają prawa Boyle'a-Mariotte'a, Gay-Lussaca , Charlesa).
Równanie to opisuje również z dobrym przybliżeniem rozrzedzone gazy rzeczywiste.
Boyle'a-Mariotte'a prawo, jedno z podstawowych praw gazów - objętość danej masy gazu
w stałej temperaturze zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do ciśnienia.
Charlesa prawo, prawo opisujące przemianę izochoryczną gazów: przy stałej objętości,
iloraz ciśnienia gazu i jego temperatury bezwzględnej jest wartością stałą.
Boltzmanna rozkład, najbardziej prawdopodobny rozkład energetyczny cząstek
izolowanego układu o stałej energii, zbudowanego z N nie oddziaływających, poza
momentami zderzeń, cząstek podległych prawom fizyki klasycznej, dany wzorem:
ni= exp(+i),
gdzie: ni - średnia liczba cząstek w stanie o energii i,  =k-1, k - stała Boltzmanna,  czynnik normalizacyjny.
Można wykazać, że
 = ln(N/V)+3/2ln(h2/mkT),
gdzie: V - objętość układu, h stała Plancka, m - masa cząstki, T - temperatura układu.
Rozkład ten opisuje klasyczny gaz idealny zbudowany z jednoatomowych cząsteczek.
Kinetyczna teoria gazów, teoria, której podstawy opracował w 1856 R.E.Clausius,
wyjaśniająca makroskopowe własności gazów jako rezultat zjawisk kinetycznych
zachodzących pomiędzy nieustannie poruszającymi się cząsteczkami (atomami) gazu. Duży
wkład w rozwój tej teorii wniósł później J.C.Maxwell i J.D. Van der Waals.
Maxwella-Boltzmanna rozkład (funkcja rozkładu), funkcja określająca liczbę dN
cząstek, dla klasycznego (niekwantowego) układu cząstek (np. gazu jednoatomowego lub
gazu cząsteczkowego) będącego w równowadze termodynamicznej.
Jeśli prędkości cząstek zawarte są w przedziale (v,v+dv), a położenia w przedziale (r, r+dr),
wtedy:
gdzie: k - stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna,  potencjał chemiczny, (v,r) energia mechaniczna cząstki.
Po uśrednieniu prędkości z rozkładu Maxwella-Boltzmanna uzyskuje się rozkład
Boltzmanna, natomiast po wycałkowaniu współrzędnych przestrzennych uzyskuje się
rozkład Maxwella (Maxwella prawo rozkładu).
Strona 33
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Maxwella prawo rozkładu, dla klasycznego (niekwantowego) układu cząstek znajdującego
się w równowadze termodynamicznej funkcja opisująca rozkład prędkości cząstek, tj. liczbę
cząstek dN, dla których wartości bezwzględne prędkości zawarte są w przedziale (v,v+dv),
liczba ta wyraża się wzorem:
gdzie: k - stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna, N - liczba cząstek w układzie, m
- masa cząstki. Maxwella prawo rozkładu uzyskuje się z rozkładu Maxwella-Boltzmanna
przez wycałkowanie współrzędnych przestrzennych.
Ciśnienie, siła działająca prostopadle na jednostkę powierzchni P=Fz/Sxy (indeksy
oznaczają tu, że gdy rozpatrujemy płaszczyznę S równoległą do płaszczyzny xy danego
układu kartezjańskiego współrzędnych, ciśnienie powoduje tylko składowa siły F działająca
wzdłuż osi z).
Ciśnienie jest skalarem. Jednostkami ciśnienia (omówionymi oddzielnie) są: paskal
(Pa,=1N/m2, jednostka SI), bar, atmosfera techniczna lub atmosfera fizyczna, tor (mm Hg),
mm H2O, funt/sq.in, dyna/cm2.
Do pomiaru ciśnienia służą barometry, manometry, wakuometry. Ciśnienie statyczne Ph, na
danym poziomie, w płynie, w obecności pola grawitacyjnego (oddziaływanie grawitacyjne),
zależy od wysokości prącego słupa płynu (gazu lub cieczy):
Ph = Po + h
gdzie Po - ciśnienie odniesienia, h - różnica poziomów odniesienia i danego (ujemna, gdy
poziom odniesienia jest poniżej danego),  - ciężar właściwy płynu. Ciśnienia w
przepływającej cieczy opisuje równanie Bernoulliego.
Podstawowe jednostki pomiaru ciśnienie
Paskal, Pa, jednostka ciśnienia w układzie SI, 1 Pa = N/m2.
Bar, nielegalna jednostka ciśnienia, 1 bar = 105 Pa = 105 N/m2.
Atmosfera techniczna (at), jednostka ciśnienia, 1 at = 98 066,5 N/m2 = 0,980665
MPa = 1 kG/m2.
Atmosfera fizyczna, atmosfera normalna, atm, umowna jednostka ciśnienia
równa ciśnieniu, jakie na podstawę wywiera słup rtęci o wysokości 760 mm w
0,101325 MPa).
Tor, Tr, pozaukładowa jednostka ciśnienia, odpowiadająca ciśnieniu jednego
milimetra słupa rtęci: 1 Tr = 133,322 N/m2.
Bernoulliego równanie, w matematyce równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci:
y'(x) + P(x) y(x) + Q(x) {y(x)} = 0,
Strona 34
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
gdzie  1, oraz P(x) i Q(x) są funkcjami ciągłymi. Równanie Bernoulliego daje się
sprowadzić do równania różniczkowego liniowego: z'(x) + (1-)P(x) z(x) + (1-) Q(x) = 0
po podstawieniu z(x) = {y(x)}1-.
Temperatura, w termodynamice tzw. temperatura bezwględna T - wielkość
charakteryzująca stan równowagi termodynamicznej, definiowana jako odwrotność
pochodnej entropii S względem energii E: 1/T = S/E.
W klasycznej fizyce statystycznej T jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek
(można wykazać tożsamość obu definicji). Jednostką temperatury w układzie SI jest kelwin
(temperaturę bezwzględną w krajach anglosaskich wyraża się czasem w stopniach
Rankine'a). Używane na co dzień pojęcie temperatury oznacza temperaturę względną, o
zerze zdefiniowanym w sposób arbitralny - w różnych krajach stosuje się różne jednostki,
jak stopień Celsjusza ( deg), Fahrenheita (Fahrenheita skala), Réamura.
Podstawowe jednostki pomiaru temperatury
Kelwin, K, jednostka temperatury w układzie SI, stopień w skali bezwzględnej (Kelvina
skala temperatury), T[K]=T[C]+273,15C.
Celsjusza stopień, C, jednostka temperatury termometrycznej w skali Celsjusza (A.
Celsjusz), w której temperaturę wrzenia czystej wody pod ciśnieniem normalnym określa
się jako 100C, a 0C to temperatura zamarzania czystej wody pod tym samym
ciśnieniem.
Stopień Celsjusza równy jest stopniowi w skali Kelvina (1C= 1K ), a zero w skali
Celsjusza to 273,15 K.
Deg, degre, oznaczenie różnicy jednego stopnia temperatury w skalach Celsjusza i
Kelvina. 1 deg = 1C = 1 K.
Fahrenheita skala, skala temperatur zaproponowana w 1725 (G.D. Fahrenheit), w której
punktem zerowym jest temperatura zamarzania mieszaniny salmiaku z lodem.
Temperaturę w skali Celsjusza TC uzyskuje się z temperatury w skali Fahrenheita TF
korzystając ze wzoru: TC = 5/9(TF-32). Woda zamarza w temperaturze +32F, wrze w
+212F. Skala Fahrenheita jest obecnie używana w krajach anglosaskich.
Ciepło molowe, ilość ciepła wymieniana z otoczeniem przez 1 mol danej substancji,
powodująca jednostkową zmianę temperatury. W przypadku gazów ciepło molowe
przyjmuje odmienne wartości - podczas wymiany ciepła w warunkach stałego ciśnienia lub
stałej objętości.
Dla gazu doskonałego różnica ta równa jest stałej gazowej R, natomiast dla substancji
skondensowanych można ją zaniedbać.
Boltzmanna stała, k, uniwersalna stała fizyczna,
k = R/NA = (1,380622 0,000059)10-23 J/deg.,
gdzie R stała gazowa, NA liczba Avogadra. Pojawia się we wszystkich równaniach
określających rozkłady energii molekuł.
Strona 35
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Plancka stała, kwant działania, h, fundamentalna stała fizyczna, kwant momentu pędu
(lub działania), wielkość h = 6,6249110-34 Js (często w pracach teoretycznych oraz jako
jednostkę momentu pędu i spinu dla cząstek elementarnych, przez stalą Plancka rozumie się
wielkość:
Istnienie nowej, fundamentalnej stałej przyrody h odkrył (1900) M. Planck badając zjawisko
promieniowania ciała doskonale czarnego (prawo promieniowania Plancka). h wiąże ze
sobą własności klasyczne i falowe materii za pomocą związków:
E = h,  = h/p
gdzie: E, p - energia i pęd cząstki. L,  - długość i częstotliwość jej fali.
Względnie mała wartość h powoduje, że nie doświadczamy bezpośrednio falowych
własności materii (zasada odpowiedniości).
WZORY.
Droga przebyta przez ciało w ruchu jednostajnie zmiennym
1
1
s  s 0  v0 t  (v  v0 )t  s 0  v0 t  at 2
2
2
Prędkość średnia w ruchu jednostajnie zmiennym
s v v
vśr   0
t
2
Spadek swobodny a=g (g=9,8 m/s2)
v  g t
1
s  gt 2
2
Rzut ciała w polu grawitacyjnym.
Rzut pionowy w górę.
v y  v0  gt
y  v0 t 
1 2
gt
2
v0
v02
Czas wznoszenia t w 
, maksymalna wysokość h 
g
2g
Rzut poziomy.
v x  v0
x  v0 t
1
v y   gt
y  h  gt 2
2
v  v02   gt 
2
Zasięg rzutu d  v0
2h
, prędkość końcowa vk 0  v02  2hg
g
Strona 36
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
Rzut ukośny
v x  v0 cos 
x  v0 cos    t
v y  v0 sin   gt
y  v0 sin    t 
1 2
gt
2
v02 sin 2 
v 2 sin 2 
, maksymalna wysokość h  0
g
2g
Prędkość kosmiczna, progowa prędkość umożliwiająca osiągnięcie pewnego rodzaju orbity
(prędkość orbitalna). Wyróżnia się:
Zasięg rzutu d 
-
pierwszą prędkość kosmiczną, odpowiadającą prędkości niezbędnej do umieszczenia
ciała na niskiej, kołowej orbicie wokółziemskiej (wynosi ona 7,91 km/s),
gz  G
M
R z2
F  mg z  G
mv 2
F
Rz
Mm
R z2
- siła przyciągania ziemskiego
- siła odśrodkowa
mv 2
Mm
G 2
Rz
Rz
v I  2 Rz g z
- drugą prędkość kosmiczną, równą prędkości potrzebnej do umieszczenia ciała
na geocentrycznej orbicie parabolicznej (tj. prędkości wystarczającej do opuszczenia pola
grawitacyjnego Ziemi, wynosi ona 11,19 km/s).
E k  E p  const
Energia potencjalna jest to praca jaka należy wykonać, aby przenieść ciało m znajdujące się
w polu ciała M z nieskończoności do r.
Mm
dr
1
 GMm
W   Fdr   G 2 dr  GMm 2  GMm

r
r
r

 r
r
r
r
mv 2 GMm

0
2
r
MR
M
v II  2G
 2G 2 z  2 g z Rz  2v I
Rz
Rz
Niekiedy mówi się też o trzeciej prędkości kosmicznej, tj. prędkości, jaką trzeba nadać ciału
w pobliżu Ziemi, by opuściło ono Układ Słoneczny (wynosi ona 42 km/s w układzie
odniesienia względem Słońca).
M
v III  2G sl
Rz  sl
Praca
 
W  F l
W   1J  1N 1m
Moc – przekazywanie pracy albo ciepła.
Strona 37
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
dW
dQ
P
dt
dt
P  1J  1W
1sek .
P
Wodór
Ec  E k  E p
-całkowita energia elektronu.
M m
- wzór na energie potencjalną ciała m znajdującego się w polu ciała M
r
w odległości r.
1 q1q2
1 e2
- energia potencjalna elektronu.
Ep  

4 o R
4 o R
EP  G
mv 2
1 e2
- siła odśrodkowa równa się sile przyciągania elektronu przez jądro,

R
4 o R 2
elektron krąży po orbicie.
mv2 1 1 e 2
- energia kinetyczna elektronu równa jest połowie jego energii

2
2 4 o R
potencjalnej
1 1 e2
1 e2
1 1 e2
- całkowita energia elektronu równa jest połowie
Ec 


2 4 o R 4 o R
2 4 o R
jego energii potencjalnej.
mv 2
1 e2

R
4 o R 2
1 e2
4 o R
1
m 2v 2 R 2 
e 2 mR
4  o


p  mv
- pęd

 
J  m  v  R - moment pędu
 
mv  R  mvRsin   mvR - prędkość elektronu v jest styczna do toru, czyli prostopadła do
promienia R.
mvR  n
gdzie: n – poziom energetyczny n=1, 2, 3, 4 .......
 - stała Plancka.
mv 2 
Strona 38
Fizyka – wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej
h
2
h  6,64  1034 J  s 
1
n 2 2 
e2  m  R
4  o
1
R  n 2  2  4 o 2 - promień toru elektronu na n-tym poziomie energetycznym.
e m
19
- ładunek elektronu
e  1,6  10 C 

m  9,1  1031kg
- masa elektronu
, gdzie A  10 10 m
R  0,5 A

 
J  m  v  R - moment pędu

 dJ
- moment siły, pochodna momentu pędu.
M
dt
  
M
  R F

J =const gdy M  0
1
1 1 e2
R  n 2  2  4  o 2 ;
;
Ec  
em
2 4 o R
o
Ec  
o

h
2
e4m 1

 8 o2 h n 2
Ec  13,6eV  
1
- całkowita energia elektronu zależna jest od poziomu energetycznego
n2
na którym on się znajduje.
- energia kwantu wypromieniowanego przez elektron przy przejściu do innego
E  h 
poziomu energetycznego.
1 1 3
h   En1  En2  13,6 2  2   13,6eV 
1 2  4
- długość fali światła, gdzie c – prędkość światła.
  cT
1
T
- częstość

1eV  1,6  1019 C  r  J 
Jeden elektronowolt jest to ładunek jaki nabędzie elektron przy przejściu potencjału o 1 volt.
3 13,6  1,6  1019 J
 
 2,46  1015 s 1
34
4 6,64  10 J  s
o
3  108

 1000 A
15
2,46  10
Strona 39