1 WSTĘP TEORETYCZNY Model linii długiej

WFiIS
LABORATORIUM
Z ELEKTRONIKI
Imię i nazwisko:
1.
2.
TEMAT:
Data wykonania: Data oddania:
ROK
GRUPA
ZESPÓŁ
NR ĆWICZENIA
Zwrot do poprawy:
Data oddania:
Data zliczenia:
OCENA
WSTĘP TEORETYCZNY
Model linii długiej możemy dość dobrze przybliżyć układem elementów R, L, C, jest
często stosowany w zagadnieniach związanych z przesyłaniem sygnałów.
Nieskończony łańcuch ogniw scharakteryzowany jest przez tzw. parametry pierwotne linii. Są
to:
R – rezystancja;
G – upływność;
L – indukcyjność;
C – pojemność na jednostkę długości;
Opisują one straty energii oraz magazynowanie energii magnetycznej i elektrycznej. Dzięki
takiemu opisowi układu możemy tłumaczyć zjawiska falowe w linii rzeczywistej oraz odbicia
sygnału od jej końców. Pozwala to również na określenie parametrów wtórnych:
-impedancji falowej (impedancji charakterystycznej);
-jednostkowego opóźnienia sygnału;
-jednostkowego tłumienia;
Zwykle stosuje się uproszczony model, z wykorzystaniem elementów L i C, zaniedbując
straty cieplne w przewodniku i dielektryku. W takim przypadku pasmo przenoszenia ma
nieskończoną szerokość i nie występuje tłumienie.
Stosując tzw. równania telegraficzne możemy wyznaczyć napięcie i prąd w układzie:
x
x
u ( x, t ) = u1 (t − ) + u2 (t + )
v
v
x
x
i ( x, t ) = i1 (t − ) − i2 (t + )
v
v
1
1
gdzie v =
oraz t0 = są odpowiednio prędkością propagacji fali i opóźnieniem sygnału
v
LC
na jednostkę długości. Napięcie i prąd są superpozycjami fal zależnymi od x i t,
przemieszczających się wzdłuż łańcucha LC. Jest to superpozycja fali biegnącej od nadajnika
i odbitej od odbiornika (fala pierwotna i fala wtórna).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
1
Dla takiego układu możemy zdefiniować pojęcie rezystancji falowej, która jest stosunkiem
napięcia do prądu w określonym punkcie linii i w określonej chwili.
Rf = L
C,
dla fali odbitej będzie to − R f . Gdy występują zniekształcenia liniowe (amplitudowe i
fazowe) to mamy wtedy do czynienia z impedancja falową Z f ( jω ) .
Gdy na wejściu linii o określonej długości podamy sygnał to na końcu linii zmianę
zaobserwujemy dopiero po czasie, kiedy dotrze tam fala padająca.
Dla linii o skończonej długości i obciążonej rezystancją R stosunek amplitudy napięcia fali
odbitej do amplitudy fali pierwotnej jest współczynnikiem odbicia danym wzorem:
R
−1
U2 Rf
(1)
ρ=
=
R
U1
+1
Rf
Dla tego wzoru możliwe są następujące przypadki:
• dopasowanie – ma miejsce, gdy R = R f ⇒ ρ = 0 - fala odbita zanika;
•
•
zwarcie na końcu – w przypadku, gdy R = 0 ⇒ ρ = −1 - fala odbija się z
przeciwną fazą; w wyniku następuje wygaszenie fali pierwotnej;
rozwarcie (linia nieobciążona) – zachodzi, gdy R = ∞ ⇒ ρ = 1 - fala odbija się
z tą samą fazą ⇒ następuje wzmocnienie fali (podwojenie amplitudy);
W przypadkach pośrednich część energii jest wytracana na obciążeniu, a reszta wraca w
postaci fali odbitej. Gdy ani odbiornik, ani nadajnik nie są nie są dopasowane do linii, to
występują odbicia wielokrotne. Jeżeli rezystancja wewnętrzna źródła sygnału i rezystancja
obciążenia są znacznie większe od R f , to w wyniku wielokrotnych odbić odpowiedź
jednostkowa jest przebiegiem narastającym schodkowo. Można wtedy mówić o stałej
czasowej obwodu transmisji sygnału:
2t0
τ =−
,
ln( ρρ ′)
gdzie ρ i ρ ′ są współczynnikami odbicia na wyjściu i wejściu linii.
Linią opóźniającą nazywamy idealny czwórnik liniowy wprowadzający kontrolowane
opóźnienie sygnału. Ma on tę własność, że jego charakterystyka amplitudowa jest płaska,
natomiast charakterystyka fazowa jest funkcją częstotliwości.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
2
Gdy założymy, że widmo częstotliwościowe sygnału ogranicza się do wartości znacznie
niższych od f g oraz, że w łańcuchu mamy n ogniw to otrzymamy wyrażenia na:
-czas narastania odpowiedzi: tr = 1,1n
1
3
LC ;
-czas opóźnienia: t0 = n LC ;
-rezystancję falową: R f = L C ;
Wspomnianą wcześniej f g obliczamy ze wzoru: f g =
1
.
π LC
Wyniki pomiarów – sygnał prostokątny (4μs; 4,5V)
L = 100μ H ;
C = 100 pF ;
n = 51 (ilość ogniw);
Impuls prostokątny
Mając daną: indukcyjność, pojemność oraz ilość ogniw obliczono wartości teoretyczne czasu
opóźnienia i czasu narastania dla każdego przypadku. W celu policzenia opóźnienia
zastosowano wzór: t0 = n LC . Z kolei dla czasu narastania odpowiedzi: tr = 1,1n
n
t0 [μs]
tr [μs]
1
25
36
37
50
51
0,1
2,5
3,6
3,7
5,0
5,1
0,11
0,32
0,36
0,36
0,40
0,41
Można zauważyć, że mnożnik
1
3
LC .
LC wynosi 10−7 .
Na wszystkich wykresach oś pozioma to oś czasu (jednostką są [μs]), natomiast na osi
pionowej odkładamy napięcie (jednostka to [V]).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
3
DOPASOWANIE: R f = R
n=1
Zgodnie z oczekiwaniami, nie zauważono przesunięcia, jednak sygnał wyjściowy ulega
zniekształceniu. Zbocza wykresu są nachylone, co wytłumaczyć można tym, że czasy narastania i
opadania są większe od zera. Amplituda jest o połowę mniejsza.
n=25
Można zauważyć przesunięcie sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego. Czasy
narastania i opadania są większe od poprzedniego przypadku, amplituda sygnału wyjściowego o
połowę mniejsza niż sygnału wejściowego.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
4
n=51
Widać wyraźnie, że wraz ze wzrostem liczby ogniw, rośnie przesunięcie sygnału wyjściowego
względem wejściowego. Zbocza wykresów stają się mniej strome (coraz większe czasy narastania i
opadania). Amplituda sygnału wyjściowego pozostaje w granicach połowy amplitudy sygnału
wejściowego.
Zmierzone wartości czasów narastania i opóźnienia, odczytane z wykresów dla przypadku:
Rf = R
n
t0 [μs]
tr [μs]
1
25
51
0,0
2,3
4,2
0,20
0,39
0,69
Rozbieżności pomiędzy wynikami pomiarów a wartościami teoretycznymi wynikają z
zaniedbania strat w przewodniku i dielektryku (założenie linii bezstratnej).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
5
ZWARCIE: R f = 0
n=1
Sygnał wyjściowy jest zniekształcony, amplituda o połowę mniejsza od amplitudy sygnału
wejściowego, czasy narastania i opadania są większe od zera. Dodatkowo zaobserwowano falę odbitą
o przeciwnej fazie, co można wytłumaczyć za pomocą wzoru (1) w opracowaniu teoretycznym.
Współczynnik odbicia w tym przypadku wynosi ρ = −1 (na wyjściu jest zwarcie, czyli R = 0 ). Fala
odbita jest trochę bardziej zniekształcona; zbocza wykresu są łagodniejsze, amplituda jest mniejsza od
amplitudy fali pierwotnej.
n=37
Zaobserwowano zmniejszenie odległości pomiędzy falą pierwotną a falą odbitą zmalała na skutek
zwiększenia opóźnienia. Dalsze jego zwiększanie (tzn. zwiększenie liczby ogniw) powinno
doprowadzić do wygaszenia fali pierwotnej.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
6
n=50
Na powyższym wykresie można zaobserwować, że stopniowe zwiększanie opóźnienia, prowadzi do
nałożenia fali pierwotnej i odbitej, co w efekcie daje superpozycję fal, czyli ich wygaszenie.
Zmierzone wartości czasów narastania i opóźnienia, odczytane z wykresów dla przypadku:
Rf = 0
n
t0 [μs]
tr [μs]
1
37
50
0,0
2,3
4,1
0,20
0,50
0,68
Rozbieżności pomiędzy wynikami pomiarów a wartościami teoretycznymi wynikają z
zaniedbania strat w przewodniku i dielektryku (założenie linii bezstratnej).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
7
ROZWARCIE: R f = ∞
n=1
Można zauważyć podobieństwa do wcześniejszych przypadków: sygnał jest tak samo
zniekształcony jak w przypadku dopasowania (fala pierwotna) jak i w przypadku zwarcia (fala
pierwotna i odbita). Amplituda sygnału wyjściowego jest o połowę mniejsza niż wejściowego.
Przypadek rozwarcia podobny jest do przypadku zwarcia, z tym jednak wyjątkiem, że współczynnik
odbicia w tym przypadku wynosi ρ = 1 ( R = ∞ ) . W wyniku tego oczekuje się, że fala odbita w miarę
zwiększania opóźnienia (liczby ogniw) nałoży się na falę pierwotną i ją wzmocni.
n=36
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
8
n=50
Zgodnie z oczekiwaniami, fala pierwotna została wzmocniona (amplituda sygnału wyjściowego
podwoiła się). Można zaobserwować wzrost opóźnienia razem ze zwiększaniem liczby ogniw.
Zmierzone wartości czasów narastania i opóźnienia, odczytane z wykresów dla przypadku:
Rf = ∞
n
t0 [μs]
tr [μs]
1
36
50
0,0
2,2
4,0
0,19
0,38
0,57
Rozbieżności pomiędzy wynikami pomiarów a wartościami teoretycznymi wynikają z
zaniedbania strat w przewodniku i dielektryku (założenie linii bezstratnej).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
9
Wyniki pomiarów – impuls prostokątny (30μs; 4,5V)
Impuls prostokątny o czasie trwania znacznie większym od opóźnienia linii.
ROZWARCIE: R f = ∞
n=37
Jak można zaobserwować na powyższym wykresie, sygnał wyjściowy jest mniej zniekształcony niż w
przypadku sygnału o czasie trwania porównywalnym z czasem opóźnienia linii. Godnym zauważenia
jest fakt, że amplituda sygnału wyjściowego jest o połowę mniejsza niż sygnału wejściowego
(podobieństwo do wcześniejszych przykładów).
Dodatkowo widać, że fala pierwotna i odbita dodały się (zgodnie z zasadą superpozycji) dając w
sumie amplitudę taką samą jak amplituda sygnału wejściowego.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
10
n=51
Powyżej można zaobserwować całkowite dodanie fali pierwotnej i odbitej. Amplitudy sygnałów
wejściowego i wyjściowego są sobie równe.
Zmierzone wartości czasów narastania i opóźnienia, odczytane z wykresów dla przypadku:
Rf = ∞
n
t0 [μs]
tr [μs]
37
51
0
5,0
0,95
1,42
Rozbieżności pomiędzy wynikami pomiarów a wartościami teoretycznymi wynikają z
zaniedbania strat w przewodniku i dielektryku (założenie linii bezstratnej).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
11
ZWARCIE: R f = 0
n=1
Jak można zaobserwować na powyższym wykresie, sygnał wyjściowy jest mniej zniekształcony niż w
przypadku sygnału o czasie trwania porównywalnym z czasem opóźnienia linii. Godnym zauważenia
jest fakt, że amplituda sygnału wyjściowego jest o połowę mniejsza niż sygnału wejściowego
(podobieństwo do wcześniejszych przykładów).
n=50
Można zauważyć, że fala pierwotna i odbita odjęły się (zgodnie z zasadą superpozycji), a w rezultacie
tłumią się całkowicie.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
12
Zmierzone wartości czasów narastania i opóźnienia, odczytane z wykresów dla przypadku:
Rf = 0
n
t0 [μs]
tr [μs]
1
51
0
4,1
0,4
0,5
Rozbieżności pomiędzy wynikami pomiarów a wartościami teoretycznymi wynikają z
zaniedbania strat w przewodniku i dielektryku (założenie linii bezstratnej).
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
13
Odpowiedź układu na skok jednostkowy napięcia z
obciążeniem pojemnościowym
Odpowiedz układu ma charakter wykładniczy, asymptotą obciążenia pojemnościowego jest 1.
Odpowiedź układu na skok jednostkowy napięcia z
obciążeniem indukcyjnym
Odpowiedz ma charakter wykładniczy, a asymptotą obciążenia jest 0.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
14
Kabel Koncentryczny
W przypadku kabla koncentrycznego sygnał wejściowy jest zmodyfikowany. Wynika to z
konieczności wprowadzenia dzielnika napięcia na wejściu, aby dopasować opór nadajnika do oporu
kabla. Jako że odbiornik nie jest dopasowany, pojawia się sygnał odbity modyfikujący dalszą część
wykresu. Można także zauważyć, że amplitudy sygnału pierwotnego i odbitego się różnią i wynoszą
odpowiednio: U1 = 476mV i U 2 = 412mV . Amplituda sygnału wejściowego wynosi 900mV .
Po dopasowaniu opornika przy odbiorniku zmierzono rzeczywisty opór falowy tego kabla,
który wynosi 84,8 Ω .
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
15
Aby obliczyć pojemność i indukcyjność na jednostkę długości, korzystamy z przybliżenia
linii bezstratnej. Dzięki temu mamy:
TR
⎧L
⎧T0 = L0C0
⎧ L0 = T0 R f
= 0 f
⎪
⎪
l
⎪
⎪ l
⇒
⇒
T
⎨
⎨
⎨
L0
0
⎪Rf =
⎪C0 = R
⎪C = T0
C
f
⎩
0
⎩
⎪⎩ l R f ⋅ l
gdzie:
T0 - zmierzony czas opóźnienia: 374 ns ;
R f - zmierzony opór kabla: 84,5 Ω ;
l - długość kabla: 66,6 m;
Podstawiając powyższe dane do wzorów, otrzymujemy:
L0 = 31, 7 μ H
C0 = 4, 4nF
L = 476 nH
l
m
C = 66,1 pF
l
m
Prędkość rozchodzenia się sygnału: v =
l 66, 6 m
=
= 1, 78 ⋅108 m .
s
T0 340 ns
Czas narastania: Tn = 374ns .
Tłumienie kabla koncentrycznego można wyliczyć ze wzoru:
⎛U ⎞
J = 20 ⋅ log ⎜ 2 ⎟ ,
⎝ U1 ⎠
które w tym przypadku wynosi J = −1, 25dB .
Wnioski
Wyniki pomiarów nieco odbiegają od wielkości, które wyliczono w sposób
teoretyczny. Największe odchylenia od wartości teoretycznych wykazuje czas narastania,
trudno go jednoznacznie wyznaczyć na oscyloskopie.
Zamieszczone powyżej wykresy przedstawiają propagacje sygnału w linii.
Dla dopasowania sygnał wraz z ilością dołączanych ogniw jest coraz bardziej zdeformowany,
rośnie czas narastania i czas opóźnienia.
Dla zwarcia: sygnał odbija się i wraca odwrócony w fazie. Wraz z ilością dołączanych ogniw
występuje ciągłe, powolne wygaszania się sygnałów, aż do ogniwa 51 gdzie następuje
całkowite wygaszenie.
Dla rozwarcia: amplitudy sygnałów ze źródła i sygnału odbitego powoli się dodają. Sygnał
odbity nie jest w przeciwnej fazie. Dla ogniwa 51 następuje dodanie się amplitud obydwu
sygnałów.
Dla kabla koncentrycznego: następuje odbicie od końca, potem sygnał zostaje wzmocniony
gdyż, tak jak w przypadku poprzednim dla amplitudy obu sygnałów się dodają. Wyznaczając
czas opóźnienia i rezystancję R f policzono pojemność i indukcyjność kabla, natomiast mając
dana jego długość potrafimy policzyć pojemność i indukcyjność na jednostkę długości.
Linia długa – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
16