Symbol_Newtona_Permu..

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
SYMBOL NEWTONA
PERMUTACJE
SILNIA
Dla n>1 symbol n! (czyt: n silnia) oznacza iloczyn
kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.
n!=1·2·3·4·……·n
Przyjmujemy, że:
0!=1
1!=1
2!=2
3!=1·2·3=6
4!=1·2·3·4=24
5!=1·2·3·4·5=120
6!=1·2·3·4·5·6=720
7!=1·2·3·4·5·6·7=5040
8!=1·2·3·4·5·6·7·8=40320
9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9=362880
10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10=3628800
4!=1·2·3·4=24
4!=3! ·4=24
5!=1·2·3·4·5=120
5!=3!·4·5=120
5!=4!·5=120
6!=5!·6=720
6!=4!·5·6=720
6!=3!·4·5·6=720
8!=4!·5·6·7·8=40320
8!=5!·6·7·8=40320
8!=6!·7·8=40320
8!=7!·8=40320
PRZYKŁADY:
SYMBOL NEWTONA
Jeżeli k≤n to wyrażenie
(czytamy: n nad k)
nazywamy symbolem Newtona.
PRZYKŁADY:
PERMUTACJE
Permutacją n-elementową zbioru n-elementowego
nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze
wszystkich elementów tego zbioru.
Permutacje n-elementowe oznaczamy: Pn
Pn=n!
Ćw.1. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce?
P6=6!=1·2·3·4·5·6=720
Odp.: Sześć osób można ustawić na 720 sposoby.
Ćw.2. Na ile sposobów można ustawić liczby: 1,2,3,4, aby
stworzyć liczby czterocyfrowe?
P4=4!=1·2·3·4=24
Odp.: Można utworzyć 24 liczby czterocyfrowe.
Ćw.3. W gonitwie bierze udział 11 koni. Ile jest wyników
zakończenia gonitwy? (zakładamy, że każdy koń dobiegnie
do mety i żadne dwa nie przebiegną razem).
P11=11!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11= 39916800
Odp.: Jest 39916800 wyników zakończenia gonitwy.
Ćw.4. Na ile sposobów może usiąść 5 osób na ławce tak, aby
KASIA i BASIA będące w tej grupie siedziały obok siebie:
a) w dowolnej kolejności
b) w kolejności BASIA-KASIA
Ad.a)
Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności:
K
_
_
_
B
K
_
_
_
B
K
_
_
_
B
K
_
_
_
B
Kasia i Basia mogą się między sobą zmieniać na 2!
sposoby; pozostałe 3 osoby zmienią się na 3!
sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe
ustawienia 5 osób.
4·2! ·3!=4·2·6=48
Ad.b)
Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności:
B
_
_
_
K
B
_
_
_
K
B
_
_
_
K
B
_
_
_
K
Basia i Kasia nie mogą się zmieniać między sobą,
pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby.
Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5
osób.
4·3!=4·6=24
Odp.: Pięć osób może usiąść na 48 w pierwszym i 24 sposoby
w drugim przypadku.
Ćw.5. Cyfry 5,6,7,8 ustawiamy w ciąg. Oblicz ilość możliwych
ustawień cyfr w liczbie jeżeli:
a) liczby stoją na dowolnym miejscu
P4=4!=1·2·3·4=24
b) na pierwszym miejscu stoi cyfra 8
P3=3!=1·2·3=6
c) na pierwszym miejscu stoi cyfra 6, a na ostatnim cyfra 5
P2=2!=2
d) na początku są liczby parzyste
2!·2!=4
Ćw.6. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 2,3,4,5,6
w których otrzymana liczba jest:
a) dowolna pięciocyfrowa
P5=5!=1·2·3·4·5=120
b) parzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 2 lub 4 lub 6)
3·4!=3·24=72
c) nieparzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 3 lub 5)
2·4!=2·24=48
d) podzielna przez 5 (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 5)
P4=4!=1·2·3·4=24