wydział fizyki technicznej i modelowania komputerowego

Zadania z przedmiotu ”Podstawy Informatyki”
Kierunek: Matematyka, sem I.
Zestaw I.
1. Trzy liczby naturalne a, b, c spełniają warunek a2+b2=c2. Wyznacz wszystkie trójki liczb (a, b, c) w
których c nie przekracza zadanej liczby naturalnej N.
2. Wyznacz największą liczbę spośród n wczytywanych z klawiatury. Rozważ przypadki dwie oraz
trzy kolejne największe liczby.
3. Sprawdź czy wczytywane dwie liczby są kolejnymi elementami ciągu an = bn - an-1, gdzie bn=bn-1-2,
a1=1, b1=1.
4. Dla liczb całkowitych dodatnich N, M wyznacz największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą
wspólną wielokrotność (NWW ).
5. Oblicz wartość jednomianu p(x)=1+x+....+xn w zadanym punkcie x=y. Zastosuj schemat Hornera.
6. Liczbę fn nazywamy liczbą Fibonacciego, gdy spełnia warunki:
fn = 1
dla n=1,2,
fn = fn-1 + fn-2
dla n > 2.
Sprawdź czy zadana liczba naturalna M jest sumą dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
7. Dane są ciągi {an}, {bn} określone następująco:
a1 = a2 =1, an= an-1+ an-2, dla n>2; b1 = b2 = b3=1, bn= bn-1+ bn-2 + bn-3 dla n>3;
Wyznacz ciąg {cn}, którego wyrazy są kolejnymi liczbami naturalnymi należącymi do ciągu {an}
lub {bn}. Wyprowadź kolejne wyrazy ciągu {cn}, które są mniejsze od zadanej liczby naturalnej N.
8. Oblicz wartości funkcji sin(x), cos(x), tan(x) korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora.
9.
Oblicz sumę n początkowych wyrazów szeregu:
1
x2
2!

x4
4!

x6
6!
 ...
10. Oblicz sumę wyrazów szeregu:
x
x3
3

x5
5

x7
7
 ...,
x 1
z zadaną dokładnością an-an-1<, gdzie an, an-1 są wartościami n-tego, (n-1)-ego wyrazu szeregu.
14. Funkcja f(t,s) zdefiniowana jest w sposób następujący:
f(t,s) = (t2+s2)/2
t[to, tmx], s[so, smx] gdzie: to, so oraz tmx, smx są to początki oraz końce przedziałów wartości
zmiennych t oraz s. Wyznacz wartości funkcji f(t,s) określonych na dyskretnych, równoodległych
punktach przedziałów określoności dla ustalonego kroku dyskretyzacji h.
15. Sprawdź, czy wyznaczone wartości, tożsamych matematycznie funkcji f(x)=(x2+1)-1
g(x)=x2/( ((x2+1)+1) w punktach x= 8-1, 8-2, 8-3, ... , są takie same. Uzasadnij wyniki.
oraz
16. Dana jest zależność xk+2= 3xk+1-10 xk Wartości początkowe x0 = 1, x1 = 10/3. Wyznacz wartości
xk+2, dla k>K0. Następnie korzystając z otrzymanych wartości, wyznacz x1 i x0, wykonując iteracje
„w tył”.
Zestaw II.
1.
Dana jest n-elementowa tablica A[n]. Wyznacz maksymalną wartość będącą kwadratem różnicy
dwóch sąsiednich elementów tej tablicy.
2.
Dana jest tablica A[n]. Oblicz sumę średniej arytmetycznej z ujemnych wartości i średniej
geometrycznej z dodatnich wartości elementów tablicy.
3.
W tablicy A[n] zamień ze sobą elementy w sposób następujący, pierwszy z ostatnim drugi z
przedostatnim itd.
4.
Wyznacz pozostałe elementy tablicy A[n] b=[b1,b2, ..., bn] jeżeli wiadomo, że an=1.25, an-1=0.75,
=2.0, ai=ai-1+ai-2.
5.
Sprawdź czy w zadanej tablicy A[n] liczb całkowitych istnieją dwa elementy, których suma
wartości jest równa liczbie x.
6.
Dana jest tablica A[n] oraz wartości L, U. Oblicz wartość iloczynu wszystkich średnich
arytmetyczntch, z k-kolejnych elementów, których wartości są większe od L i mniejsze od U.
Wyznacz liczbę czynników powyższego iloczynu, a spośród nich minimalną wartość.
7.
Dokonaj jednoznacznego przekształcenia dwuwymiarowej tablicy B[m,n] w jednowymiarową
tablicę A[nm].
8.
9.
Wyznacz iloczyn wartości elementów drugiej przekątnej tablicy B[n,n].
Posortuj tablicę A[n] zgodnie z algorytmem sortowania „przez wybór” (Select_Sort), który
sformułowany jest następująco: dla każdej pozycji k w sortowanej tablicy A, rozważamy wszystkie
elementy o indeksach większych od k. Wybieramy najmniejszy z nich i dokonujemy zamiany z ktym elementem. Rozważ przypadek stabilnego algorytmu zachowującego wyjściową kolejność
elementów o tych samych wartościach.
10. Posortuj tablicę A[n] zgodnie z algorytmem sortowania „bąbelkowego” (Bubble_Sort). Dla każdej
pozycji k przeglądamy tablicę od końca do k. Dla każdej pary porównywanych elementów jeżeli
element poprzedzający jest większy wówczas dokonujemy ich zamiany. Uwzględnij przypadek
początkowego posortowania tablicy.
11. Dane są dwa uporządkowane rosnąco ciągi elementów: x ={xi, i=1, 2, 3,..., n } oraz y = { yj, j =1,
2, 3,..., m}. Utwórz z tych ciągów nowy uporządkowany rosnąco.
12. Dana jest dwuwymiarowa tablica B[m,n]. Wyznacz indeksy takiego elementu tablicy B, dla
którego iloraz sumy elementów w j-tej kolumnie przez sumę elementów w i-tym wierszu jest
największy.
13. Dla tablicy B[m,n] wyznacz numer wiersza i kolumny elementu, dla którego suma otaczających go
wartości jest najmniejsza.
14. Wyznacz elementy tablicy A[n] tak, aby k-ty element tej tablicy był iloczynem największego i
najmniejszego elementu k-tego wiersza zadanej tablicy B[n,m].
15. Sprawdź, czy w tablicy A[n] suma dowolnych dwóch sąsiednich elementów jest równa średniej
arytmetycznej wszystkich elementów tablicy.
16. W tablicy B[n,n] wyznacz indeksy elementu, dla którego suma elementów „w ukośnych rzędach”
jest największa.
17. Wypełnij dwuwymiarową tablicę A[n,m] wartościami 0, 1, tak aby elementowi aij nadawana była
wartość 1 jeśli największy wspólny dzielnik i oraz j wynosi 1, a 0 w przeciwnym przypadku.