Diagnoza klasa I – Zestaw zawiera zadania z

Diagnoza klasa I – Zestaw zawiera zadania z wcześniejszych diagnoz. Zadania zaczerpnięto z
dostępnych zbiorów zadao różnych wydawnictw oraz arkuszy maturalnych CKE.
Zadania otwarte
1. Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej wieku 23 lata. Średnia ta wzrośnie do 24
lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik?
2. Oblicz wartośd wyrażenia 2𝑥 + 3𝑦 2𝑥 − 3𝑦 − (2𝑥 − 3𝑦)2 dla 𝑥 = 2, 𝑦 = 8.
3. Rozwiąż równanie: 2𝑥 + 1 = 2 − 3𝑥
4. Liczba 250 jest przybliżeniem liczby 𝑥 z niedomiarem. Błąd bezwzględny tego
przybliżenia jest równy 3,82. Oblicz błąd względny tego przybliżenia i wyraź go w
procentach. Wynik podaj z dokładnością do części setnych procenta.
5. Wykaż, że każda liczba postaci 𝑛3 − 𝑛, gdzie 𝑛 ∈ 𝑁 +, jest podzielna przez 3.
6. Rozwiąż równanie:
𝑥+1
4𝑥
1
= 𝑥−1
7. Koszt wynajmu autokaru wynosi 1440 zł. Na wycieczkę pojechało o 3 uczniów mniej
niż planowano, co spowodowało wzrost opłaty dla każdego uczestnika o 2 zł.
a) Ilu uczniów pojechało na wycieczkę?
b) Jaki był koszt wycieczki dla każdego uczestnika?
8. Przedział A jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których odległośd na osi liczbowej
od liczby 4 jest mniejsza od 2, a przedział B jest zbiorem tych liczb rzeczywistych,
których odległośd od liczby 2 jest mniejsza od 4. Oblicz częśd wspólną i sumę
przedziałów A i B.
9. Z dwóch miejscowości odległych o 35 km wyjechały jednocześnie na spotkanie dwie
koleżanki. Gdy się spotkały, obliczyły, że pierwsza z nich jechała ze średnią prędkością
12 km/h, a druga ze średnią prędkością 16 km/h. Ile kilometrów przejechała każda z
dziewczyn?
10. Przedstaw wyrażenie
2 −2
3
1 −1
5−
2
715 +716
4−1 −3∙
11. Oblicz wartośd wyrażenia:
w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
714 ∙23
12. Oblicz i podaj w centymetrach kwadratowych pole prostokąta o wymiarach 12 ∙
104 m na 1,3 ∙ 103 m . Wynik podaj w notacji wykładniczej.
13. Funkcja 𝑓 przyporządkowuje dowolnej liczbie naturalnej dwucyfrowej sumę jej cyfr.
Podaj brakujące współrzędne (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) punktów należących do wykresu tej funkcji:
𝐴 27, 𝑎
14. Wykaż, że iloczyn liczb
𝐵 90, 𝑏
29 + 20 i
𝐶 𝑐, 2
𝐷(𝑑, 18)
29 − 20 jest liczbą całkowitą.
15. Dane są liczby 𝑥 = 2 − 3 5 , 𝑦 = 3 + 2 5. Oblicz 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥 ∙ 𝑦,
𝑥
𝑦
.
16. Dane są zbiory 𝐴 = (−∞; 5 > , 𝐵 = (3; 7). Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵,
𝐵\𝐴.
17. Funkcja 𝑓 przyporządkowuje liczbie całkowitej z przedziału < −2; 4 > jej kwadrat
pomniejszony o trzykrotnośd tej liczby. Zapisz funkcję za pomocą wzoru i sporządź jej
wykres.
18. Uzasadnij, żeliczba3𝑛 + 3𝑛 +1 + 3𝑛+2 jest podzielna przez 13.
19. Podajliczbęodwrotną do liczby 2,1(3).
20. Koncernpaliwowyobniżył w jednymtygodniucenębenzyny o 20%, a następnie o 10%.
Po obutychobniżkachcenajednegolitrabenzynykosztowała 3,42 zł.
Obliczcenępierwotnąbenzyny.
21. Dane sązbiory𝐴 = (−3; 4 > , 𝐵 =< −1; 6). Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵,
𝐵\𝐴, 𝑅\(𝐴 ∩ 𝐵).
22. Funkcja𝑓 przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej z przedziału
< −4; 6 >
połowę jej kwadratu pomniejszoną o 6. Zapisz wzór tej funkcji i narysujjejwykres.
23. Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓 𝑥 = 𝑚 + 3 𝑥 − 4. Dla jakich wartości
𝑚 miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest 𝑥 = 1 ?
24. Wyznacz 12% liczby ( 48 − 75 + 27)2 .
25. Dane są liczby 𝑥 = 2 oraz 𝑦 = 2 − 2. Znajdź wartośd wyrażenia (𝑦 2 + 2𝑥) ∙ 𝑥 −1 .
Wynik przedstaw w postaci 𝑎 + 𝑏 𝑐.
26. Wykaż, że liczba 7100 − 799 − 2 ∙ 798 jest podzielna przez 10.
27. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 7. Jeśli w tej liczbie przestawimy cyfry, to
otrzymana liczba będzie o 2 większa od podwojonej pierwszej liczby. Jaka to liczba?
64
28. Wiedząc, że𝑙𝑜𝑔4 𝑎 = 3, oblicz wartośd wyrażenia 𝑙𝑜𝑔4
𝑎
.
29. Zapiszwyrażenie 2𝑥 − 4 − 𝑥 + 3 bez użycia wartości bezwzględnej, wiedząc, ze
𝑥 ∈ −3; 2 .
30. Dane sąliczby𝑎 = 2−1 4 ∙ 16, b  20 . Jakimprocentemliczby a jest liczba b?
31. Jeżeliwiesz, że𝑥 + 𝑦 = 1 i 𝑥𝑦 = 3, oblicz 𝑥 2 + 𝑦 2
32. Doprowadźwyrażenie do najprostszejpostaci 𝑥 − 3
2
−2 𝑥− 3 𝑥+ 3 +
2
𝑥+ 3 .
33. Wyznaczmiejscezerowefunkcji𝑓 𝑥 =
34. Wyznaczdziedzinęfunkcji𝑓 𝑥 =
2𝑥−1
𝑥 2 −1
𝑥−1
− 5 − 𝑥, a następnie sprawdź, czy punkt
𝑥+8
2
𝐴 = 1, −1 3 należy do wykresu funkcji f.
3 2−1
35. Zapiszwyrażenie w najprostszejpostaci −
8+ 2
−
7 2
2−3
36. Dane sązbiory𝐴 = −∞; 5 oraz 𝐵 =< −4; 1) ∪< 3; 8 >.
Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴.
37. Na rysunku obok przedstawiono wykres pewnej funkcji f. Podaj:
a) zbiór wartości funkcji f;
b) miejsca zerowe funkcji f, o ile istnieją;
c) maksymalne przedziały, w których funkcja maleje
d) argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie
Uwaga: jedna kratka to jedna jednostka.
38. Wiosną cenę zimowej kurtki obniżono o 20% i wówczas kosztowała ona 320 złotych.
Oblicz cenę kurtki przed obniżką.
39. Dane jest wyrażenie W  2 x  10  x  2 . Zapisz wartośd tego wyrażenia bez symbol
wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby x   2,5 .
40. Dane są przedziały A   5,2 , B  0,6 . Wyznacz przedziały A  B oraz A \ B .
41. Oblicz liczbę x
2
1
1

 (8) 3  9 2
, jeśli wiadomo, że x  
4




.


42. Uzasadnij, że liczba 4  2 3  4  2 3 jest wymierna
2
43. Rozwiążnie równośd  6 x  5 x  1  0 .
3
2
44. Oblicz wartośd wyrażenia 2m  m dla m  3  1 .
45. Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.
46. Największa wartośd funkcji kwadratowej f jest równa 9. Liczby 0 i 6 są miejscami
zerowymi tej funkcji.
a) Zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej.
b) Dla jakich x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji określonej wzorem y  x  4
?
47. Odległośd między miastami A i B wynosi 540 km. Pociąg ekspresowy pokonuje tę
odległośd w czasie o trzy godziny krótszym niż pociąg osobowy. Prędkośd ekspresu
jest większa od prędkości pociągu osobowego o 30 km/h. Oblicz prędkośd obu
pociągów.
1
3
 a.
Wiadomo, że log2 3  a Wykaż, że log 4
27
2
48.
49. Dane jest wyrażenie W | 2 x  10 |  | x  2 | Zapisz wartośd tego wyrażenia bez symbol
wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby x  (2,5) .
 
4
50. Dane są liczby a  2 1 16 , b  20 . Jakim procentem liczby a jest liczba b?
51. Z prostokątnej kartki o bokach długości 5𝑥 − 1 i 5𝑥 + 1 wycięto kwadrat o boku
długości 𝑥 − 2. Wyznacz pole otrzymanejfigury.
52. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci
( x  3) 2  2( x  3)(x  3)  ( x  3) 2
53. Zamieo ułamki okresowe na zwykłe i wykonaj dzielenie. Wynik podaj w postaci
ułamka zwykłego nieskracalnego. x 
54. Zapisz w najprostszej postaci
0, (81)
2, ( 45)
3 2 1

7 2
|  8  2 | | 2 3|
.
1 x
2
 1

. Sprawdź czy punkty A   2;  i
x4
x7
 2
B  (3;3) należą do wykresu funkcji f (x ) .
55. Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) 
232 −32 2
56. Rozwiąż nierównośd 216 +32 ∙ 𝑥 > 210 − 211 . Podaj najmniejszą liczbę całkowitą
spełniającą tę nierównośd.
57. Wykorzystując poniższy szkic wykresu funkcji kwadratowej o równaniu 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, gdzie 𝑎 ≠ 0 określ
znak następujących wyrażeo:
a) 𝑎
b) 𝑏
c) 𝑐
d)
𝑎𝑏 −𝑐
𝑏𝑐
e) 4𝑎𝑐 − 𝑏 2
58. Na rysunku jest przedstawiony wykres
funkcji 𝑓.
a) Podaj dziedzinę funkcji 𝑓.
b) Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji 𝑓.
c) Odczytaj wartości funkcji 𝑓 dla argumentu
𝑥 = 5.
d) Podaj zbiór wartości funkcji 𝑓.
e) Podaj maksymalny przedział o długości 3, w
którym funkcja 𝑓 jest rosnąca.
f)Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓
przyjmuje wartości ujemne.
59. Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę
kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyd na wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia
mógłby przechodzid o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
60. Rozwiąż nierównośd 16 ≤ 𝑥 2 a następnie wymieo liczby pierwsze które nie należą do
zbioru rozwiązao.
61. Oblicz najmniejszą i największą wartośd funkcji kwadratowej 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 11 w
przedziale 1,4 .
62. Ala jest o trzy lata starsza od Brygidy, a ich mama ma trzy razy więcej lat niż obie
dziewczynki razem. Trzy lata temu mama miała sześd razy więcej lat, niż miały wtedy jej córki
razem. Ile lat ma obecnie mama, a ile każda z jej córek.
1
3
63. Wiadomo, że 𝑙𝑜𝑔2 3 = 𝑎. Wykaż, że 𝑙𝑜𝑔4 27 = − 2 𝑎.
64. Uzasadnij, że jeżeli 𝑎 + 𝑏 = 1 i 𝑎2 + 𝑏 2 = 7, to 𝑎4 + 𝑏 4 = 31.
65. O funkcji liniowej 𝑓 wiadomo, że 𝑓 1 = 2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt
𝑃 = (−2,3). Wyznacz wzór funkcji 𝑓.
1
66. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 równanie 𝑦 = 2 𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 2 opisuje pewną parabolę.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑏, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią 𝑂𝑥.
67. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną
przez 4.
68. Dwóch studentów pojechało na wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia pokonali 15%
1
całej trasy, drugiego dnia przejechali 3 pozostałej drogi, trzeciego i czwartego dnia
17
przejechali po 120 całej trasy, a piątego dnia przejechali ostatnie 34 km. Oblicz, ile
kilometrów studenci przejechali w ciągu pięciu dni.
69. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną
przez 4.
70. O funkcji liniowej 𝑓 wiadomo, że 𝑓 1 = 2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt
𝑃 = (−2,3). Wyznacz wzór funkcji 𝑓.
71. Funkcja kwadratowa ma następujące własności:
- zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (−∞, 8 ;
- funkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale (−∞, 3 i malejąca w przedziale 3, +∞);
- wykres funkcji 𝑓 przecina oś 𝑂𝑌 w punkcie, którego rzędna jest równa (−10).
Wyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej.
73. Na rysunku obok przedstawiono wykres
funkcji 𝑓. Odczytaj z wykresu:
- dziedzinę i zbiór wartości funkcji 𝑓 ;
- przedziały monotoniczności;
- dla jakich argumentów 𝑥: −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1;
1
- dziedzinę funkcji 𝑔, gdzie 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 1 + 2
1
3
72. Wiadomo, że 𝑙𝑜𝑔2 3 = 𝑎. Wykaż, że 𝑙𝑜𝑔4 27 = − 2 𝑎.
75. Oblicz najmniejszą i największą wartośd funkcji kwadratowej 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 11 w
przedziale 1,4 .
76. Wyznacz liczbę 𝑚 tak aby zbiór (−1; 𝑚 ∩ 𝑚2 ; 1) był jednoelementowy.
77. Oblicz wartośd wyrażenia 2𝑥 + 3𝑦 2𝑥 − 3𝑦 − (2𝑥 − 3𝑦)2 dla 𝑥 = 2, 𝑦 = 8.
78. Przedział A jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których odległośd na osi liczbowej od
liczby 4 jest mniejsza od 2, a przedział B jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których
odległośd od liczby 2 jest mniejsza od 4. Oblicz częśd wspólną i sumę przedziałów A i B.
79. Z dwóch miejscowości odległych o 35 km wyjechały jednocześnie na spotkanie dwie
koleżanki. Gdy się spotkały, obliczyły, że pierwsza z nich jechała ze średnią prędkością 12
km/h, a druga ze średnią prędkością 16 km/h. Ile kilometrów przejechała każda z dziewczyn?
80. Liczba 𝑎 przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, liczba 𝑏 przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4.
Jaką resztę przy dzieleniu przez 7 daje liczba 𝑎 + 𝑏? Uzasadnij odpowiedź.
81. Zamieo ułamek okresowy 2,3(4) na ułamek zwykły niewłaściwy.
82. Oblicz
3
10
2 27 −
3 −1
4
: (−1,2)2
83. Wyznacz liczbę 𝑙𝑜𝑔2 16 + 𝑙𝑜𝑔3 27
2
84. Dla jakich argumentów 𝑥 wartości funkcji 𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 0,5, 𝑥 ∈ 𝑅 jest równa − 5.
85. Wykaż, że liczba 𝑥 =
1
3+ 2
+
1
2+1
− 3 jest całkowita.
86. Oblicz 15% liczby 2,7 i podaj z dokładnością do 0,1. Oblicz błąd względny tego
przybliżenia. Wynik zapisz do trzeciego miejsca po przecinku.