Kompendium matematyczne

Matematyka – kompendium - podstawy
Spis treści:
Stałe matematyczne Nazwy liczb Alfabet grecki Jednostki miar
Systemy liczbowe pozycyjne: dziesiętny, dwójkowy,...; rzymski - addytywny
Najważniejsze podzbiory liczb
Zaokrąglanie liczb
Ułamki – reguły podstawowe
Proporcje, proporcjonalność
Liczby naturalne
Działania na liczbach naturalnych
Kolejność wykonywania działań
Oś liczbowa
Porównywanie liczb
Cechy podzielności liczb
Ułamki zwykłe rozszerzanie, skracanie, NWD, NWW Ułamki dziesiętne
Potęgowanie i pierwiastkowanie
Proporcjonalność, proporcja
Procenty
Liczby wymierne Wyrażenia algebraiczne
Równania i nierówności
Rozwiązywanie równań
Układy równań
Układ współrzędnych kartezjańskich
Funkcje
Jednostki długości i powierzchni
Geometria
Podstawowe figury geometryczne : punkt, prosta, płaszczyzna
Figury geometryczne definiowalne z pojęć pierwotnych: półprosta, odcinek, łamana, kąt płaski,
wielokąt
Figury geometryczne: trójkąt, prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb, trapez, deltoid. Okrąg
Kąty Symetralna odcinka Dwusieczna kata Trójkąty Czworokąty Sześciokąt foremny Wielokąty
foremne – zestawienie
Trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa Trójkąt równoboczny, wysokość trójkąta Cechy
przystawania trójkątów
Przekątna kwadratu Trójkąt prostokątny z kątami 90, 60 stopni, oraz 90 i 45 stopni Okrąg opisany
na trójkącie i wpisany w trójkąt
Obwody i pola figur płaskich
Osie symetrii
Koło i okrąg Wzajemne położenie 2 okręgów Wzajemne położenie okręgu i prostej Katy w kole
Twierdzenie Talesa Jednokładność i podobieństwo figur
Stereometria: Wielościany graniastosłupy ostrosłup walec kula stożek
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Potęgi Notacja wykładnicza Pierwiastki Liczby niewymierne Usuwanie niewymierności z
mianownika
Wzory skróconego mnożenia Przedziały liczbowe Wartość bezwzględna
Elementy statystyki opisowej
Link zewnętrzne
Kompendium – matematyka
1
Stałe matematyczne
Π = 3,141592653589793…
e = 2,1718281828459
3,14 – stosunek obwodu koła do jego średnicy.
2,72 - podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba
Nepera)
√2 = 1,414213562…
√3 = 1,732050807…
√10 = 3,162277660168…
√5= 2,236067977499…
√7 = 2.64575131106…
1/√2 = √2/2 = 0,70711 1/√3 = √3/3 = 0,57735
1 radian = 360°/2π ≈57,29578⁰ =
57°17'44,80625'' Radian, rad, w układzie SI uzupełniająca
jednostka kąta płaskiego.
Radian to kąt płaski zawarty pomiędzy promieniami koła, wycinający z okręgu tego koła łuk o
długości równej promieniowi.
Nazwy dużych liczb
tysiąc
milion
miliard
bilion
biliard
trylion
kwadrylion
kwintylion
sekstylion
103
105
109
1012
1015
1018
1024
1030
1036
1000
1 000 000
1 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000
Nazwy liczb
Przedrostki
piko
nano
mikro
mili
centy
decy
deka
hekto
kilo
mega
giga
tera
peta
eksa
Oznaczenie
p
n
μ
m
c
d
da
h
k
M
G
T
P
E
Potęgi liczby 10
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
0,000 000 000 001
0,000 000 001
0,000 001
0,001
0,01
0,1
10
100
1000
1 000 000
1 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1000 0003
Nazwa liczby
bilionowa
miliardowa
milionowa
tysięczna
setna
dziesiąta
dziesięć
sto
tysiąc
milion
miliard
bilion
biliard
trylion
Alfabet grecki
Służy np. do zapisu stałych matematycznych czy oznaczeń kątów
Kompendium – matematyka
2
Jednostki miar
Jednostki podstawowe układu SI
Nazwa wielkości
nazwa jednostki
skrót literowy
długość
metr
m
masa
kilogram
kg
czas
sekunda
s
natężenie prądu
amper
A
temperatura
kelwin
K
ilość substancji
mol
mol
Kompendium – matematyka
3
światłość źródła światła
kandela
cd
Jednostki długości
Jednostki najczęściej stosowane w układzie SI :
Podstawowa jednostka: 1 m
Jednostki długości malejąco:
1 km - kilometr 1 hm - hektometr
1 m - metr 1
- milimetr
Jednostki długości rosnąco:
1 mm 1 cm 1 dm 1 m
1 hm 1 km
dm – decymetr 1 cm – centymetr
1 mm
Podstawowe zależności między jednostkami długości
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm = 0,01 hm = 0,001 km
1 km = 1000 m = 10 hm = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm = 0,1 m = 0.001 hm = 0.0001 km
1 cm - 10 mm = 0,1 dm = 0.01 m = 0.0001 hm = 0.00001 km
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0.001 m = 0.00001 hm = 0.000001 km
Zamiana jednostek długości - zasady
1 km = 1*1000m = 1000 m ==> 1000 m = 1 km więc 1 m = 1/1000 km = 0,001 km np. 10 m = 10 *
0,001 km = 0,01km
1 dm = 10 cm ==> 1 cm = 1/10 dm = 0,1 dm np. 200 cm = 200*0,1 dm = 20 dm
1 dm = 10 cm = 10 * 10 mm = 100 mm ==> 100 mm = 1 dm ==> 1 mm = 1/100 dm = 0,01 dm np. 100
mm = 100 * 0,01 dm = 1 dm
1 cm = 10 mm ==> 1 mm = 1/10 cm = 0,1cm np. 100 mm = 100 * 0,1 cm = 10 cm
1 m = 100 cm ==> 1 cm = 1/100 m = 0,01 m np. 200 cm = 200*0,01 m = 2 m
Inne jednostki długości
Anglosaskie:
1 cal = 25,4 mm
1 stopa = 12 cali = 0.3048 m
1 jard = 3 stopy = 36 cali = 0.9144 m
1 mila angielska = 1760 jardów = 5280 stóp = 1609.344 m = 1.609344 km
1 mila morska = 1852 m = 1,852 km
Jednostki pola powierzchni
1 mm2 = 1 mm * 1 mm = 0,01 cm2 = 0,0001 dm2 – kwadrat o boku 1 mm
1 cm2 =1 cm * 1 cm = 10 mm * 10 mm = 100 mm2 = 0,01 dm2 – kwadrat o boku 1 cm
1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 - kwadrat o boku 1 dm
1 m2 = 1 m * 1 m = 10 dm * 10 dm = 100 dm2 = 100 cm * 100 cm = 10000 cm2 = 1 000000 mm2
1 km2 = 1 000000 m2 = 10 000 a = 100 ha – kwadrat o boku 1 km
1 a = 100 m2 = 0,01 ha – kwadrat o boku 10 m
1 ha = 100 a = 10 000 m2 = 0,01 km2 - kwadrat o boku 100 m
Jednostki masy
1 t = 10 q = 1000 kg = 100000 dag = 1000000 g = 1000000000 mg
1 q = 0,1t = 100 kg
Kompendium – matematyka
4
1 kg = 100 dag = 1000 g = 1000000 mg = 0,001 t
1 dag = 10 g = 0,01 kg
1 g = 1000 mg = 0,1 dag = 0.001 kg
1 kg = 100 dag = 1000 g =1000000 mg
1 mg = 0,001 g
Zasada zamiany
Np.
1 kg = 100 dag ==> 1 dag = 1/100 kg = 0,01 kg
Jednostki objętości i pojemności
metr sześcienny 1 m3 = 1000 dm3 = 1000000 cm3 = 106 cm3 = 1000000000 mm3 = 109 mm3 =
1000 l = 100000 cl = 1000000 ml =106 ml = 10 hl
decymetr sześcienny 1 dm3 = 1000 cm3 = 0,001 m3 = 1000000 mm3 = 0,001 m3 = 1 l = 1000
ml = 100 cl = 0,01 hl
centymetr sześcienny 1 cm3 = 1000 mm3 = 0,001 dm3 = 0.000001 m3 = 0.001 l = 1 ml = 0,1 cl =
0.00001 hl
litr 1 l = 1000 cm3 = 1 dm3 = 1000000 mm3 = 1000 ml = 100 cl = 0,01 hl = 0,001 m3
hektolitr 1 hl = 100 l = 100 dm3 = 108 mm3 = 105 cm3 = 0,1 m3 = 100000 ml = 10000 cl
mililitr 1 ml = 0,001 l = 1 cm3 = 1000 mm3 = 0.001 dm3 = 10-6 m3 = 0,1 cl = 0.00001 hl = 10-5 hl
centylitr 1cl = 10000 mm3 = 10 cm3 = 0,01 dm3 = 0.00001 m3 = 0,01 l = 0.0001 hl
Systemy liczbowe
Systemy pozycyjne: dziesiątkowy o podstawie 10 , cyfry 0, 1..9; dwójkowy o podstawie 2,
cyfry 0, 1;
ósemkowy o podstawie 8, cyfry 0..7; szesnastkowy o podstawie 16, cyfry 0, 1, …9, A, B, C, D,
E, F
Dziesiątkowy – dziesiętny system pozycyjny – cyfry arabskie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
10 jednostek rzędu niższego daje jednostkę rzędu bezpośrednio wyższego:
10 jedności – 1 dziesiątka,
10 dziesiątek – setka
10 setek – tysiąc
10 tysięcy – 1 dziesiątka tysięcy
10 dziesiątek tysięcy – 1 setka tysięcy
10 setek tysięcy – milion
1 dziesiątka
10 jedności
10
101
1 setka
10 dziesiątek
100
102
1 tysiąc
10 setek
1000
103
1 milion
1 000 000
100000
106
1 miliard
1 000 000 000
1000000000
109
…
Kompendium – matematyka
5
1 bilion
milion do kwadratu
1012
1 trylion
milion do potęgi 3
1024
1 kwadrylion
milion do potęgi 4
1024
1 kwintylion
Milion do potęgi 5
1030
Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny , system arabski) – pozycyjny
system liczbowy,
w którym podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10;
do zapisu liczb potrzebne jest w nim 10 cyfr, którymi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Liczby zapisuje się jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej
podstawę systemu,
niekiedy grupowanych po trzy (Okcydent) lub cztery (część Orientu).
Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny – przecinek dziesiętny lub kropka
dziesiętna
(często w programach komputerowych oraz w krajach anglosaskich).
Przykładowo zapis „645,7” z separatorem dziesiętnym w postaci przecinka oznacza
Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem
stosowanym niemal we wszystkich krajach.
Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem
Arabów.
Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej
się właśnie bankowości,
gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne.
W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system
rzymski.
W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na
korzyść arabskiego.
Przykład:
234178645,7 = 2*108 + 3*107 + 4*106 + 1*105 + 7*104 + 8*103 + 6*102 + 4*101 + 5*100 + 7*10-1
= 2*100000000 + 3*10000000 +4*1000000 +100000 + 7*10000 + 8*1000 +6*100 +4*10 +5*1 +7*0,1
Liczba
Potęgi
10
Grupa milionów
setki dziesiątki
2
3
8
7
jedności
4
6
Grupa tysięcy
setki dziesiątki
1
7
5
4
jedności
8
3
Grupa jedności
setki dziesiątki
6
4
2
1
jedności
5
0
7
1
Zapis od końca:
234178645 = 7*10-1 + 5*100 + 4*101 + 6*102 + 8*103 + 7*104 + 1*105 + 4*106 + 3*107 + 2*108
Dwójkowy system liczbowy, system binarny – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest
liczba 2.
Kompendium – matematyka
6
Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.
Np. 1, 10 = 210 , 11 =310 100 = 410 101 = 510
Rzymski system zapisywania liczb zwany też łacińskim – addytywny system liczbowy,
w podstawowej wersji używa 7 znaków: I, V, X, L, C, D, M.
W systemie rzymskim używamy znaków: I, V, X, L, C, D, M
Oznaczenia: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M -1000
Za pomocą tych znaków można zapisać liczby od 1 d0 3999.
Jest to system addytywny, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości znaków
cyfrowych.
Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 400 i 900, gdzie stosuje się odejmowanie.
Zasadą jest by używać jak najmniejszej ilości znaków.
Obok siebie mogą stać najwyżej 3 znaki I, 3 znaki X, 3 znaki C lub 3 znaki M.
Obok siebie nie mogą stać znaki: V, L, D.
4 = 5-1 = IV
6 = 5+1 = VI
9 = 10 -1 = IX
11 = 10 +1 1 = XI
12 = 12 + 2 = XII
Przykłady: zapis miesięcy: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII
4 = 5-1 = IV
6 = 5+1 = VI
9 = 10 -1 = IX 11 = 10 +1 1 = XI
12 = 12 + 2 = XII
Inne przykłady:
40 = 50-10 = XL 90 = 100 – 10 = XC
1815 = MDCCCXV
400 = 500 – 100 = CD
1944 = MCMXLIV
900 = 1000 -100 = CM
1969 = MCMLXIX
1950 = MCML
Najważniejsze podzbiory liczb rzeczywistych
Liczby
Symbol Objaśnienie
Przykłady
Naturalne
N
0, 1, 2 i kolejne
lub 1, 2, 3 i kolejne
To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią
umowy
Całkowite
C
Liczby naturalne, liczby do nich przeciwne i 0
W
Liczby dające się przedstawić w postaci ułamka
n/m,
0, 2, 14, 1/2, 1/3, gdzie n liczba całkowita, m - liczba naturalna
123/124
Rozwinięcie dziesiętne skończone lub
nieskończone okresowe
Wymierne
Niewymierne IW
Liczby rzeczywiste nie będące liczbami
wymiernymi.
Kompendium – matematyka
1, 2, 3, 1000
1, 2, 0, -1, -5 ...
√2, π
7
Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe
Zaokrąglanie liczb
Pierwsza z cyfr którą odrzucamy: 1, 2, 3, 4 – zaokrąglamy w dół
Np. 5,4 ≌ 5; 25,21 ≌ 25,2
Pierwsza z cyfr którą odrzucamy: 5, 6, 7, 8, 9 – zaokrąglamy w górę
Np. 5,7 ~= 6; 146 ~= 150
Podstawowe prawa arytmetyki
Prawo przemienności
a+b=b+a
a*b=b*a
3 + 7=7+ 8
5*4=4*5
Prawo łączności
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
(a * b) * c = a * (b * c)
(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania
a * (b + c) = a*b + a*c
a * (b - c) = a*b - a*c
2*(5+3) = 2*5 + 2*3
2*(5-3) = 2*5 - 2*3 = 10 – 6 = 4
Działania z liczbą 0
a+0=0+a=a
a*0=0*a=0
a–0=a
0 –a = -a
0+0=0
0–0=0
0: a = 0 dla a <> 0
a:0 nie jest wykonalne
Prawa znaków
Wyciąganie wspólnego czynnika
+ax + bx = +(a + b) x = x(a + b)
-ax – bx = -(a + b)x = -x(a + b)
ax – bx = (a – b)x = x(a – b)
-ax + bx = -(a - b)x = -x(a –b)
Otwieranie nawiasów
a + (b + c -d) = a + b + c –d
a – (b + c –d ) = a –b –c +d
2x + 3x = (2 + 3)x = 5x
-2x – 3x = -(2 + 3)x = -5x
2x – 3x = (2 -3)x = (-1)x = -x
-2x +3x = -(2-3)x = -(-1) x = x
2 + (3 + 4 - 5) = 2 + 3 + 4 - 5
2 – (3 + 4 - 5) = 2 – 3 - 4 + 5
Mnożenie
Kompendium – matematyka
8
(+a) * (+b) = (-a) * (-b) = +a*b
- znaki jednakowe
2*3 = (-2)*(-3) = 6
(+a) * (-b) = (-a) * (+b) = -a*b
- znaki różne
2*(-3) = (-2)*3 = -2*3 = -6
+*+=+
-*- = -
+*- = -
-*+ = -
+:- = -
-:+ = -
Dzielenie
+a / +b = - a / -b = + a/b
10:5 = (-10) +(-5) = 10/5 = 2
-a / +b = +a / -b = - a/b
-2:3 = 2:(-3) = -2/3
+:+=+
-:- = -
Ułamki – reguły podstawowe
Reguła podstawowa: Wartość ułamka nie zmieni się, gdy licznik i mianownik pomnożymy
lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera
Rozszerzanie ułamków:
a/b = a*c / b*c
3/10 = (3*4)/(10*4) = 12/40
a/b ± c = (a ± b *c) / b
2/3 + 5 = (2 + 5*3) / 3 = 17/3 = 5 2/3 = 5,(6)
Skracanie ułamków
a/b = (a:n) / (b:n)
12/40 = (12:4) / (40:4) = 3/10
(a*c) / (b*c) = a/b
(3*4) / (10*4) = 3/10
Dodawanie i odejmowanie ułamków
a/c ± b/c = (a ± b) /c
2/3 + 1/3 = (2+1)/3 = 3/3 = 1
a/c ± (b + d)/c = 1/c * (a ± b ± d)
Kompendium – matematyka
9
2/3 + (1 + 4)/3 = 1/3 * (2 + 1 + 4 ) = 1/3* 7 = 7/3 = 2 1/3 = 2,(3)
a/b ± c/d = (ad ± bc) /bd
2/5 + 4/7 = (2*7 + 5*4) / (5*7 = (14 + 20) / 35 = 34/35 = 0,9714…
Mnożenie ułamków
(a/b) * c = (a*c) /b
(2/3) * 5 = (2*5) / 3 = 10/3 = 3 1/3 = 3,)3)
a/b * c/d = (a*c)/(b*d)
(2/3) * (5/4) = (2*5)/(3*4) = 10/12 = 5/6 = 0,8(3)
Dzielenie ułamków
(a/b) : c = (1/b) * (1/c) = ( a: c) / b = a/ (b*c)
(2/3):5 = 0,(6)/ 5 = 0,1(3)
2/(3*5) = 2/15 = 0,1(3)
(2/3)*(1/5) = 0,(6)*0,2 =0,1(3) (2:5) / 3 =0,4/5 = 0,1(3)
a/b : c/d = a/b * d/c = (a*d) / (b*c)
2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = (2*5) / (3*4 ) = 10/12 = 0,8(3)
(a:b) / (c:d) = (a*d ) / (b*c)
(2:3) / (4:5) = (2*5) / (3*4) = 10/12 = 0,8(3)
Proporcje
a : b = c : d lub a/b = c/d to a * d = b * c
a*d = b*c
a = b*c /d
b = a*d /c
c = a*d /b
d = b*c /a
iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych
Przykład:
y/x = 4 /5  5y = 4x y = 4x / 5
Inne proporcje
a / (a ± b) = c / (c ± d)
 a*(c + d) = c*(a + b)
(a ± b) / b = (c ± d) / d
 d*(a ± b) = b*(c ± d)
(a + b) / (a –b) = (c + d )/ (c – d)
 (a + b)*(c - d) = (a - b)*(c + d)
Kompendium – matematyka
10
Wielkości proporcjonalne
Proporcjonalność prosta
Proporcjonalność prosta – taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami x i y, w
której ich iloraz jest stały
y/x = a = const
Dwie wielkości x i y są wprost proporcjonalne, gdy obie jednocześnie rosną albo maleją tyle
samo razy,
Równanie proporcjonalności prostej:
y = a*x
gdzie a jest liczbą rzeczywistą różną od 0
Zależność w proporcjonalności prostej określa funkcja liniowa.
Wykresem takiej funkcji jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych,
o współczynniku kierunkowym a (a = tangens kąt nachylenia prostej do osi x) i wyrazie
wolnym b równym 0.
Obie wielkości y i x są wprost proporcjonalne.
Kompendium – matematyka
11
Przykład:
10 książek kosztuje 100 zł
5 książek kosztuje y zł
y:100 = 5:10 y/ 100 = 5/10
y = 100/10 *5 = 10 *x = 50 zł
Ogólnie: x – ilość książek, y – cena książek
y = a *x
x – ilość książek,
a = 10 
y = 10*x
W zagadnieniach praktycznych, mówiąc o wielkościach wprost proporcjonalnych mówimy o
wielkościach przyjmujących wartości dodatnie.
Proporcjonalność odwrotna
Wielkości zmienne x i y, takie, że x i y są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, są odwrotnie
proporcjonalne,
gdy w procesie zmian ich iloczyn jest stały – zapisujemy to:
x*y = a = const , gdzie a <> 0
Liczbą a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności.
Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ze wzrostem jednej wielkości, druga maleje tyle
samo razy.
y = a/ x
Kompendium – matematyka
12
Zależność w proporcjonalności odwrotnej dla 4 zmiennych można opisać wzorem y * x = c * d
Stąd y = c/d * x
Podstawiając c * d = a otrzymujemy:
y = a/x
a, x, y różne od 0
Wielkości x i y nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.
Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza, że każda z wielkości jest wprost proporcjonalna do
odwrotności drugiej wielkości.
Dwie wielkości odwrotnie proporcjonalne mogą przyjmować wartości ujemne.
Wykresem proporcjonalności odwrotnej wielkości x i y, gdy x <> 0, jest hiperbola o równaniu y = a/x
- funkcja homograficzna.
Kompendium – matematyka
13
Przykłady:
Przykład 1
15 robotników wykonuje pracę w 8 dni
4 robotników wykonuje pracę w y dni
y/8 = 15/4
y = 8*15/ 4 = 120/4 = 30 dni
y = 120/x
- x – ilość robotników
y(4) = 8*15 / 4 = 120/4 = 30 dni
Ogólnie x – ilość robotników, y – ilość dni
y = a/x
a = 8*15 = 120 
y = 120/x
Przykład 2
Przykładem funkcji homograficznej i proporcjonalności odwrotnej jest zależność prędkości v,
drogi s i czasu t.
s = v*t
v = s/ t
t = s/v
Przykład 3
Pole P prostokąta o bokach x i y = 36
P=x*y
y = P/x
x * y = 36
y = 36/x
x = 36/y
Przykład 4
Zakup y litrów benzyny o cenie x za litr za stałą kwotę K.
Np. K = 100 zł
K=y*x
y = K/x
Kompendium – matematyka
14
y 100/ x
Liczby naturalne
Liczby naturalne N: 0, 1, 2, 3, 4, … lub 1, 2, 3, 4, ...
Działania na liczbach naturalnych
Dodawanie
a+b=c
składnik + składnik = suma
np. 2 + 3 = 15
Dodawanie może zawierać dowolną liczbę składników.
Przemienność: - można zmieniać kolejność składników
a+b=b+a
np. 9 +15 = 15+9
Łączność: (a + b) + c = a + (b + c)
np. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
Zero w dodawaniu: a + 0 = a
Dodawanie pisemne
Obliczając sposobem pisemnym sumę dwóch liczb, podpisujemy
jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.
1523
+ 374
1897
W rachunku pisemnym dodawanie rozpoczynamy od rzędu jedności. Jeśli w pewnym rzędzie suma
wynosi więcej niż 9 jednostek,
to przenosimy dziesiątkę do rzędu wyższego.
Odejmowanie
Odejmowanie
a–b=c
odjemna – odjemnik = różnica
Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania
a – b = a + (-b) = -b + a
Kompendium – matematyka
15
Obliczając sposobem pisemnym różnicę dwóch liczb, podpisujemy jedności pod jednościami,
dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.
W rachunku pisemnym odejmowanie rozpoczynamy od rzędu jedności.
W przypadku, gdy cyfra odjemnej jest mniejsza od cyfry odjemnika należy zamienić jednostki
niższego rzędu na jednostki wyższego rzędu
(popularnie nazywane "pożyczaniem").
http://matematyka.opracowania.pl/odejmowanie_pisemne/
Dodawanie i odejmowanie to działania odwrotne, dlatego wynik odejmowania możesz sprawdzić
dodając odjemnik do różnicy.
Jeśli w danym rzędzie wykonanie odejmowania jest niemożliwe, zamieniasz jednostkę wyższego
rzędu na 10 jednostek niższego rzędu
np. 1 dziesiątkę na 10 jedności, 1 setkę na 10 dziesiątek itd.
Przykład 1: 1825 -362 = 1463
Przykład 2: 20003 -1659 = 18344
Kompendium – matematyka
16
Mnożenie
a*b=c
czynnik * czynnik = iloczyn
Przemienność mnożenia: a * b = b * c
np. 3 * 8 = 8 * 3
Mnożenie może zawierać dowolną liczbę czynników
Łączność mnożenia:
(a * b) * c = a * (b * c)
1*a = a
a*1 = a
a*0 = 0
Prawo rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania
(a + b)*c = a * c + b*c (a - b)*c = a * c - b*c
Mnożenie sposobem pisemnym
http://matematyka.opracowania.pl/mno%C5%BCenie_pisemne_przez_liczby_wielocyfrowe/
Przykłady
Mnożenie liczb z zerami na końcu
Kompendium – matematyka
17
Nie wykonujemy mnożenia przez wewnętrzne zera.
Dzielenie
a:b=c
dzielna : dzielnik = iloraz
Dzielenie przez 0 nie istnieje
np. 24:3=8
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia
a:b=c
a/b=c

c*b=a
Jeżeli dzielna i dzielnik są liczbami zakończone zerami to możemy przed wykonaniem dzielenia
skreślić w każdej z tych liczb tyle samo zer.
Np. 35000:700 = 35:7 = 5
Własności dzielenia:
Rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania
(a + b) : c = a : b + c : b (a - b) : c = a : b – c : b np. (10+6):2 = 10:2 + 6:2 = 8
Kompendium – matematyka
18
0:a=0
a:a=1
a≠0
a≠0
Dzielenie z resztą ,
a : b = c r. d  a = c*b + r
np. 24:9 = 2 r. 6 bo 2*9 + 6 = 24
Dzielenie liczb sposobem pisemnym
http://www.matemaks.pl/dzielenie-pisemne-liczb.php
http://matematyka.opracowania.pl/dzielenie_pisemne_przez_liczby_jednocyfrowe/
Należy pamiętać, że dzielenie sposobem pisemnym zaczynamy od największego rzędu.
Przykłady:
Przykład dzielenia z resztą
2387 : 9
Kompendium – matematyka
19
Potęgowanie – mnożenie tych samych czynników
a*a*a … * a = an
n- wykładnik potęgi ( liczba czynników mnożenia), a – podstawa potęgi
a0 = 1 dla a ≠ 0
a*a= a2 - druga potęga lub kwadrat liczby a
a*a*a= a3 - trzecia potęga lub sześcian liczby a
Przykłady:
2*2 = 22 = 4;
2*2*2 = 23 = 8;
120 = 1
Kolejność wykonywania działań:
1.
2.
3.
4.
Działania w nawiasach
Potęgowanie i pierwiastkowanie
Mnożenie i dzielenie
Dodawanie i odejmowanie
Obliczenia wartości wyrażenia algebraicznego, w którym występują nawiasy, zaczyna się od działań w
nawiasach najbardziej wewnętrznych.
Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym nie ma nawiasów, to kolejność wykonywania działań jest
następująca:
Kompendium – matematyka
20
potęgowanie i pierwiastkowanie, potem mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania, a
następnie dodawanie i odejmowanie,
również w kolejności ich występowania.
(2 + 30) – (120 – 3*4*23) = 32 – (120 -12*8) = 32 –(120 – 96) = 32 – 24 = 8
Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko odejmowanie albo dodawanie i odejmowanie,
to działania te wykonujemy w takiej kolejności, w jakiej są zapisane, od strony lewej do prawej.
43 - 11 + 6 - 10 + 5 = 32 + 6 - 10 + 5 = 38 - 10 + 5 = 28 + 5 = 33
Jeżeli w wyrażeniu występuje dzielenie i mnożenie to wykonujemy działania w kolejności od lewej do
prawej.
20:5*4:2 = 4*4:2 = 16:2 = 8
Jeżeli w wyrażeniu występuje kilka działań i nie ma nawiasów, to jako pierwsze wykonujemy
mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania,
a następnie wykonujemy dodawanie i odejmowanie w kolejności ich występowania.
Jeżeli w wyrażeniu występuje kilka działań i nie ma nawiasów, to jako pierwsze wykonujemy
mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania,
a następnie wykonujemy dodawanie i odejmowanie w kolejności ich występowania.
40 - 5 ·6 + 6 = 40 - 30 + 6 = 10 +16 = 16
Oś liczbowa
Oś liczbowa –część prostej podzielonej na równe części, zwane jednostkami, zakończonej strzałką,
(oznaczającą zwrot), z zaznaczonym punktem początkowym (zerowym) O
Porównywanie liczb
Z 2 liczb naturalnych większa jest ta, która ma więcej cyfr.
Np. a = 1234, b = 999 a> b bo a ma więcej cyfr
Porównywanie różnicowe – określamy o ile większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej.
O ile mniejsza jest liczba 15 od liczby 20?
20 – 15 = 5. Liczba 15 jest mniejsza o 5 od liczby 20
Porównywanie ilorazowe – określamy ile razy większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej.
Kompendium – matematyka
21
Ile razy liczba 30 jest większa od liczby 10?
30:10 = 3
Odp. Liczba 30 jest 3 razy większa od liczby 10.
Liczbę 36 przedstaw w postaci sumy 2 liczb, tak, aby pierwsza była 2 razy większa od drugiej.
X – druga liczba, 2x – pierwsza liczba
2x + x = 36
3x = 36
x = 12 2x = 24
12 + 24 = 36 Odp. Liczba pierwsza to 24 a liczba druga to 12.
Zadania tekstowe – schemat rozwiązania:
1.
2.
3.
4.
5.
Wypisujemy dane
Wypisujemy szukane
Zapisujemy rozwiązanie – obliczenia
Formułujemy odpowiedź.
Sprawdzamy, czy zadanie rozwiązane poprawnie.
Cechy podzielności liczb
Cechy podzielności liczb
Dzielnik n
Liczba dzieli się przez n …
Przykład
2
… jeśli ostatnią liczby cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8 – czyli
liczba jest parzysta
126 – dzieli się przez 2
127 – nie dzieli się przez 2
3
Jeśli suma cyfr liczby dzieli się przez 3
123 – suma cyfr = 6 dzieli się
przez 3
1234567890 dzieli się przez 3,
bo suma cyfr = 45 dzieli się
przez 3, a dlatego, że 4+5 =9
dzieli się przez 3
4
Jeśli liczba zapisana dwiema ostatnimi jej cyframi
dzieli się przez 4
- 2 ostatnie cyfry tworzą liczbę dzielącą się przez 4
1234567890 nie dzieli się
przez 4,
bo ostatnie 2 cyfry tworzą
liczbę 90,
która nie dzieli się przez 4 (90
= 80 +10, 10 nie dzieli się przez
4)
5
Jeśli ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
90 dzieli się przez 5
65 dzieli się przez 5
6
Jeśli liczba dzieli się przez 2 i przez 3
42 dzieli się przez 2 i przez 3
62 nie dzieli się przez 6
Kompendium – matematyka
22
8
Jeśli 3 ostatnie cyfry tworzą liczbę (3-cyfrową)
podzielną przez 8
9
Jeśli suma cyfr dzieli się przez 9
12345678 dzieli się przez 9, bo
36 się dzieli
10
Jeśli ostatnią cyfrą jest 0
160 dzieli się przez 10
11
Jeśli różnica sumy cyfr stojących na miejscach
parzystych i sumy cyfr na miejscach nieparzystych
jest podzielna przez 11
(może być też równa zero)
12345678 nie dzieli się przez
11 bo
1-2+3-4+5-6+7-8 = -4, co nie
dzieli się przez 11
12
Jeśli suma cyfr dzieli się przez 3 i przez 4
12345678 nie dzieli się przez
12
24 dzieli się przez 12
25
Jeśli 2 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez
25 lub są zerami
75, 100 – dzielą się przez 25
100
Jeśli kończy się dwoma zerami
1200 – dzieli się przez 100
UŁAMKI
Ułamki zwykłe
- Licznik/Mianownik: licznik, kreska ułamkowa, mianownik, np.
Ułamek właściwy – licznik mniejszy od mianownika, np. 3/4
Ułamek niewłaściwy – licznik jest liczbą większą lub taką samą jak mianownik. np. 5/4
Liczba mieszana – złożona z całości i ułamka właściwego. np. 2¼
Rozszerzanie ułamków – mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera.
Ułamek nie zmienia wartości po rozszerzeniu.
Np. ¼ = 1*5 / 4*5 = 5/9
Skracanie ułamków – dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
Ułamek po skróceniu nie zmienia wartości.
15/20 = 15:5 / 20:5 = ¾
Ułamki, których nie da się już skrócić (uprościć), takie ułamki nazywamy nieskracalnymi.
np. 1/3, ¾, 6/7
Ułamki są nieskracalne, wtedy gdy licznik i mianownik nie mają takich samych dzielników większych
od liczby 1.
O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1, mówimy, że są względnie
pierwsze.
Ułamkiem nieskracalnym nazywamy taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie
pierwszymi
Kompendium – matematyka
23
NWD
Do skracania ułamków wykorzystuje się pojęcie największego wspólnego dzielnika NWD.
NWD wykorzystuje się podczas redukcji ułamków do postaci nieskracalnej (tzn. takiej, w której licznik
i mianownik są względnie pierwsze).
Przykładowo największym wspólnym dzielnikiem liczb 20 i 30 jest 10, a 45 i 60 jest 15.
NWD (20, 30) = 10, bo 10 jest największą liczbą, przez którą można podzielić liczby 20 i 30.
NWD (45, 60) = 15
45/60 = 45:15 / 60/15 = ¾
Pierwsza metoda wyznaczenia NWD
20/30 = 20:10 / 30:10 = 2/3
20 |2
30 | 2
10 |2
15 | 3
5|5
5|5
1|
1|
2*5 = 10
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i zaznaczamy wspólne dzielniki.
Mnożymy wspólne dzielniki i uzyskujemy największy wspólny dzielnik
Druga metoda obliczenia NWD
NWD(20, 30)
Rozkładamy obie liczby na czynniki, dopóki są one wspólne i mnożymy wspólne dzielniki
20, 30 |2
10, 15 |5
2, 3 |
nie ma teraz wspólnego dzielnika – koniec obliczeń
2*5=10
NWD(20, 30) = 10
NWD(280, 150)
280, 150 | 2
140, 75 | 5
28, 15 |
Kompendium – matematyka
24
NWD(280, 150) = 2*5 =10
NWD (525, 2310)
525, 2310 | 3
175, 770 | 5
35, 154 | 7
5, 22 | - nie ma już dalej wspólnego dzielnika
NWD (525, 2310) = 3*5*7 = 105
Trzecia metoda obliczenia NWD – algorytm Euklidesa
Algorytm Euklidesa jest szybkim sposobem obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch
(zwłaszcza dużych) liczb całkowitych.
Algorytm Euklidesa obliczenia NWD
Dzielimy z resztą liczbę a przez liczbę b
o jeżeli reszta = 0, to NWD(a, b) = b
o jeżeli reszta ≠ 0, to przypisujemy liczbie a wartość liczby b,
liczbie b wartość otrzymanej różnicy, a następnie wykonujemy ponownie punkt 1.
Przykład NWD (282, 78)
Rozwiązanie:
Zaczynamy od podzielenia liczby 282 przez liczbę 78 z resztą:
282 : 78 = 3, reszty 48
Otrzymaliśmy resztę różną od zera, zatem teraz podzielimy liczbę b przez różnicę.
Ten schemat będziemy powtarzać do momentu otrzymania reszty równej 0.
78 : 48 = 1, reszty 30
48 : 30 = 1, reszty 18
30 : 18 = 1, reszty 12
18 : 12 = 1, reszty 6
12 : 6 = 2, reszty 0
Otrzymaliśmy resztę równą zero, zatem szukany NWD będzie równy ostatniej niezerowej
reszcie:
NWD (282, 78) = 6
NWD (20,30)
30:20 =1 r. 10 20:10 = 2, r. 0 NWD (30, 20) = 10 - największa niezerowa reszta
Porównywanie ułamków:
- jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik
- takie same liczniki, to większy jest o mniejszym mianowniku
- jeśli nie mają równych liczników ani mianowników to należy je doprowadzić do wspólnego
mianownika lub licznika za pomocą rozszerzania
Skracanie ułamków – podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę
Np.
Rozszerzanie ułamków – pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera
Np.
Ułamki po skróceniu i rozszerzeniu są równe (mają tę samą wartość).
Kompendium – matematyka
25
Działania na ułamkach zwykłych
Dodawanie i odejmowanie
Jeśli mają jednakowe mianowniki to dodajemy lub odejmujemy liczniki, mianownik bez zmian.
Jeśli dodajemy ułamki mieszane to dodajemy całości do całości a ułamki do ułamków.
Jeśli ułamki maja różne mianowniki, to najpierw należy je sprowadzić do wspólnego mianownika,
a potem dodać liczniki, mianowniki bez zmian.
+
NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność
Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność
Metody obliczenia NWW:
1) Wypisujemy kolejne wielokrotności i wybieramy najmniejszą wspólną.
Np. NWW(12, 15)
- wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48, 60
- wielokrotności 15: 15, 30, 45, 60
NWW(12, 15) = 60
2) Druga metoda – razem rozkładamy na czynniki, aż do uzyskania 2 jedynek:
12, 15 | :3
najpierw wspólne czynniki
4, 5 | : 4
potem czynniki kolejno z każdej liczby aż do uzyskania jedynek
1, 5 | : 5
1, 1
3 * 4 * 5 = 60
3) Metoda – oddzielnie rozkładamy na czynniki
12 | 2
15 | 3 3 wystąpiło w liczbie I, więc nie uwzględniamy do NWW
6|2
5|5
3|3
1
1
Wybieramy wszystkie czynniki z I liczby oraz te z drugiej, które nie występowały w I liczbie.
2*2*3*5 = 60
Mnożenie ułamków
Ułamki zwykłe - mnożymy licznik przez licznik a mianownik przez mianownik
Liczby mieszane należy zamienić na ułamki niewłaściwe
Kompendium – matematyka
26
Mnożenie liczby mieszanej przez liczbę całkowitą
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy
1½ * 5 = 3/2 * 5 = 3*5 /2 = 15/2 = 7 ½
lub mnożymy część całkowitą ułamka i część ułamkową liczby mieszanej przez liczbę całkowitą i
dodajemy wyniki
1½ * 5 = 1 * 5 + ½ * 5 = 5 + 5/2 = 5 + 2 ½ = 7 ½
Dzielenie ułamków
Pierwszy ułamek pozostawiamy bez zmian, znak dzielenia zamieniamy na znak mnożenia, a drugi
ułamek odwracamy
2/3 : 5/8 = 2/3 * 8/5 = 2*8 / 3*5 = 16 / 15 = 1 1/15
Liczby mieszane zamieniamy najpierw na ułamki niewłaściwe.
Ułamki dziesiętne
Ułamek dziesiętny to ułamek, w którym zamiast kreski ułamkowej jest przecinek dziesiętny,
oddzielający część całkowitą od części ułamkowej.
Ułamki dziesiętne to zapisane za pomocą przecinka ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 itp.
Przykłady:
1/10 = 0,1
3/10 = 0,3
1/100 = 0,01
1/1000 = 0,001 27/10 = 2,7
W ułamku dziesiętnym jest tyle miejsc po przecinku, ile jest zer w mianowniku ułamka zwykłego.
Budowa ułamka dziesiętnego
61,2345
Całości 61
Części dziesiętne - 2, części setne - 3, części tysięczne – 4, części 10-tysięczne – 5
Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne
1) Jeśli to możliwe rozszerzamy ułamek zwykły tak, aby mianownik był równy 10 lub 100, 1000
itp.
½ = 1*5 / 2*5 = 5/10 = 0,5; 3/25 = 12/100 = 0,12; 2/5 = 4/10 = 0,4 7/8 = 875/1000 = 0,875
2) Jeśli rozszerzenie nie jest możliwe (gdy np. mianownik to 3, 7, 11,13 itp.) to kreskę ułamkową
zastępujemy znakiem dzielenia.
Wykonujemy dzielenie sposobem pisemnym.
Kompendium – matematyka
27
Działania na ułamkach dziesiętnych
http://www.math.edu.pl/dzialania-na-ulamkach-dziesietnych
Dodawanie i odejmowanie sposobem pisemnym – podpisujemy przecinek pod przecinkiem
Na końcu zawsze można dopisać dowolną liczbę zer i skreślić zera w części końcowej.
Odejmowanie można zawsze sprawdzić za pomocą dodawania.
W przypadku odejmowania, jeżeli odjemna ma mniej miejsc po przecinku niż odjemnik, miejsca te
uzupełniamy zerami.
Mnożenie ułamków przez 10, 100, 1000 itd. – przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest
zer.
Np. mnożenie przez 100 – przesuwamy o 2 miejsca w prawo.
Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000 itp. – przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc
ile jest zer w dzielniku.
Np. dzielenie przez 1000 – przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo.
Mnożenie ułamków sposobem pisemnym.
Podpisujemy ułamki tak, by ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnia cyfra drugiego ułamka.
Po wykonaniu mnożenia dodajemy liczbę miejsc po przecinku i tyle będzie miejsc po przecinku w
wyniku.
Zera końcowe można pominąć przy mnożeniu, jeśli są po przecinku.
- Jeśli zera są w części całkowitej, jako ostatnie cyfry, można je pominąć przy mnożeniu a dopisać w
wyniku.
Ponieważ mnożenie jest przemienne, podczas mnożenia pisemnego warto liczbę z większą liczbą cyfr
umieścić nad liczbą z mniejszą liczbą cyfr.
Dzielenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym
Najpierw należy przekształcić dzielnik w liczbę naturalną.
W tym celu należy pomnożyć dzielną i dzielnik przez 10, 100, 1000 itp., by dzielnik nie był ułamkiem.
Kompendium – matematyka
28
Nie musimy się tu godzić na dzielenie z resztą, bo stawiając w wyniku przecinek, można dopisywać
zera do reszty
i kontynuować działania do uzyskania wymaganej dokładności wyniku.
http://www.matemaks.pl/ulamki.php?tid=214
http://www.matematykam.pl/ulamki_dziesietne.html
Kompendium – matematyka
29
Potęgowanie, pierwiastkowanie
Potęgowanie polega na mnożeniu przez siebie podstawy potęgi tyle razy,
ile wynosi wykładnik potęgi.
an = a*a*a … a
a2 = a*a
a3 = a*a*a
( n czynników a), a – podstawa potęgi, n – wykładnik potęgi
np. 32 = 3*3 = 9
np. 23 = 2*2*2 = 8
Wzory związane z obliczaniem potęg o wykładnikach całkowitych i ułamkowych:
(-a)2n = + a2n
- potęga parzysta
(-a) = (-a)*(-a)*(-a)*(-a) = a4 - parzysta ilość n
4
(-a)2n+1 = -a2n+1
(-a)3 = (-a)*(-a)*(-a)* = -a3
- potęga nieparzysta
- nieparzysta ilość n
an*am = an+m
np. 23*24 = 26
a *a = (a*a*a)*(a*a) = a3+2 = a5
3
2
an / am = an-m
a4/a3 = (a*a*a )/ (a*a*a ) = a
a4/a3 = a4-3 = a1 = a
a-n = 1/an =(1/a)n
a-2 = 1/a2 = (1/a)2
1/a-2 = a2
(an)p = anp
(a3)2 = a3*2 = a2*3 = a6
am/n = n√am
a2/3 = 3√a2
- pierwiastek n -tego stopnia z a do potęgi m
a1/n = n√a
a1/2 = √a
a-1/n = 1 / n√a
a-1/2 = 1 / √a
Podsumowanie najważniejszych wzorów
Kompendium – matematyka
30
Pierwiastki
Pierwiastek składa się z symbolu pierwiastka, stopnia pierwiastka i liczby pierwiastkowanej.
Pierwiastkowanie polega na podaniu liczby, która podniesiona do potęgi o tym samym wykładniku
jak stopień pierwiastka, dałby liczbę pod pierwiastkiem.
Pierwiastek drugiego stopnia - pierwiastek kwadratowy
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a to taka liczba, której kwadrat jest równy a.
Liczbę tę oznaczamy symbolem √a
Kwadrat liczby nie może być liczbą ujemną.
Inaczej jest w przypadku sześcianów liczb.
√a = b to b2 = a
Np. √4 = 2 bo 22 = 4;
a >=0
√121 = 11 bo 112 = 121
Pierwiastek sześcienny z dowolnej liczby a to taka liczba, której trzecia potęga jest równa a.
Liczbę tę oznaczamy 3√a
3
√a = b to b3 = a a dowolna liczba rzeczywista
√8 = 2 to 23 = 8
3
3
√-64 = -4 to )-4)3 = 64
3
√-a = - 3√a
n
√am = b bm = a
Niektóre pierwiastki są liczbami niewymiernymi – nie można ich przedstawić w postaci ilorazu liczb
całkowitych.
Np. √2 √3
Działania na pierwiastkach
3
√a2 = a
√a3 = a
√a * √a = a
√a * 3√a * 3√a = a
3
Kompendium – matematyka
31
Procenty
Procent danej wielkości to jedna setna tej wielkości.
Procenty to zapisane w inny sposób ułamki o mianowniku 100.
Procent = 1/100 całości
1% = 1/100 = 0,01
12% = 12/100 = 0,12
130% = 130/100 = 1,3
P% = 0,01*p = p* 1/100 = p/100
P% wielkości K to p/100 * K
Zamiana procentu p na ułamek – dzielimy procent przez 100
x = p/100
35% = 35/100 = 0,35 = 7/20
12,5% = 12,5:100 = 0,125
Istnieją 3 podstawowe zadania związane z obliczeniami procentowymi:
- obliczenie procentu danej liczby
- obliczenie liczby, gdy dany jest jej procent
- obliczenie jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba
Przykład:
a) Oblicz 12% liczby 80
12% * 80 = 0,12*80 = 9,6
b) Oblicz liczbę, której 30% wynosi 10,5
10,5 / 30% = 10,5 / 0,3 = 105/3 = 35
c) Jaki procent liczby 120 stanowi 40?
40/120 * 100% = 1/3 * 100% = 100/3 % = 33 1/3 % = 33,(3) %
W obliczeniach procentowych często korzystamy z proporcji :
a/b = c/d
Stosujemy „regułę trzech”
a = b*c / d
b = a*d / c
c = a*d / b
d = b*c / d
Obliczanie procentu z danej liczby - obliczanie wartości w procentu p danej liczby a
– pomnożenie liczby a przez procent p zapisany w postaci ułamka
w = p% /100 * a
a – dana liczba, p – procent danej liczby a, w – szukana wartość p% z a
b = p% / 100 * a
a – dana liczba, p – procent danej liczby a, b – szukana wartość p% z a
Przykłady:
1 Oblicz 30% z liczby 120:
Dane: a = 120, p = 30%. Szukane w
Kompendium – matematyka
32
I metoda – zastosowanie wzoru
30%*120 = 30/100 * 120 = 30*120 / 100 = 36
lub 0,30*120 = 36
II metoda – zastosowanie proporcji
Wykorzystanie proporcji
a to 100%
b to p%
b/a = p/100
b = a * p /100 = p/100 * a
b = 120*30/100 = 36
2 Produkcja w wysokości 120 sztuk ma być zwiększona o 10 %. Ile sztuk trzeba zrobić więcej?
w = 10% / 100% * liczba = 10/100 * 20 = 10*120/100 = 12 sztuk
lub w = 0,10 * 120 = 12
Gdy szukamy p % danej liczby a, gdzie p < 100, otrzymujemy liczbę mniejszą od liczby a
Gdy szukamy p % danej liczby a, gdzie p > 100, otrzymujemy liczbę większą od liczby a
Przykład
15% liczby 180 = 0,15*180 = 27
27 < 180
120 % liczby 180 = 1,20*180 = 216
216 > 180
Obliczanie liczby x na podstawie danego jej procentu
(dana wartość liczby w przy procencie p%)
p%/100% * x = w
x = w*100% /p% = w/p *100
x = w/p * 100
Przykłady:
1. Znajdź liczbę, której 30% jest równe 123.
Dane: w = 125, p = 30%. Szukane x
x = 123/30*100 = 410
lub
30%x = 123
0,3 x = 123 /:0,3
X = 123/0,3 = 410
1. Znajdź liczbę, której 5% wynosi 10
5%a = 10
a=10/5%  a = 10/0,05 = 1000/5 = 200
lub 0,05a = 10 /0,05 a = 10/0,05 = 200
2. Wyroby końcowe ważą 300 kg, zaś straty materiału to 20%. Ile materiału zużyto?
z = 300/80 * 100 = 375 kg
3. Ile ważyły gotowe wyroby, gdy przy stracie 20% zużyto 600 kg?
z = 600/120 * 100 = 500kg
Jakim procentem danej liczby a jest druga liczba b – dzielimy liczby i mnożymy prze 100%
Kompendium – matematyka
33
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, zaczynamy od ustalenia, jakim ułamkiem
jednej liczby jest druga, a następnie zamieniamy ten ułamek na procent.
x = b/a * 100%
Przykłady:
1) Jakim procentem liczby 48 jest liczba 12?
a = 12, b = 48
12/48 = ¼
¼* 100% = 25%
2) W wyborach brało udział 200 osób, Kowalski uzyskał 150 głosów.
Ile procent wyborców głosowało na Kowalskiego.
150/200 * 100% = 0,75 * 100% = 75%
3) Towar kosztował 450 zł. Obecnie kosztuje 396 zł. O ile % obniż ono cenę?
I sposób:
396/450 * 100% = 88%
100% - 88% =12%
II sposób
450-396 = 54
54/450 = 54/450 * 100% = 12%
Podatki – VAT (Value Added Tax)
Cena towaru brutto = cena netto + wartość VAT
Wartość VAT = %VAT* netto
VAT = netto * %VAT = 0,01VAT*netto
Brutto = netto + %VAT * netto = netto*(1 + %VAT/100)
Netto = brutto / (1 + %VAT/100)
Przykład 1:
Cena towaru netto = 35 zł, stawka VAT = 7%. Oblicz cenę brutto (z podatkiem VAT).
Dane: cena netto = 35, %VAT = 7%
Szukane: cena brutto i wartość VAT
Cena towaru brutto = cena netto + VAT
VAT = %VAT * netto
netto = 35, %VAT = 7%
VAT = 7% * 35 = 0,07 *35 = 2,45
brutto = netto + VAT = 35 + 2,45 = 37,45
lub: brutto = (1 + VAT%/100)*netto
brutto = 1,07*35 = 37,45
Przykład 2:
Cena towaru brutto z 7% podatkiem VAT = 37 zł 45 gr. Oblicz cenę netto ora podatek VAT.
Dane: cena brutto = 37,45 zł i %VAT = 7%
Szukane: x = cena netto, wartość VAT
1,07*x = 37,45
x = 37,45 / 1,07 = 35 – cena netto
VAT = brutto – netto
Kompendium – matematyka
34
VAT = 37,45 – 35 = 2,45 zł
Operacje bankowe
Lokata na procent prosty i procent składany
Procent prosty – dochód w postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim
w następnym okresie oszczędzania
W przypadku stosowania procentu prostego odsetki nie są doliczane do kapitału na następny okres,
czyli w następnym okresie
nadal podlega oprocentowaniu tylko sam początkowy wkład pieniężny
Odsetki i kapitał przy oprocentowaniu prostym
Odsetki za
1 roku
m miesięcy
t dni
okres
p*K / 100
p*K*m / (100*12)
p*K*t / (100*365)
Kapitał po
K*(1+p/100)
K*(1+p*m*/(100*12)) K*(1 +
okresie
p*t/(100*365))
K – kapitał złożony w banku, p – oprocentowanie (stopa procentowa)
n lat
p*K*n /100
K*(1 + p*n
/100)
Przykład: Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent prosty.
Roczna stopa oprocentowania była równa 8% i miała być stała przez cały okres lokaty.
Oblicz stan Kowalskiego po upływie 2 lat.
Rozwiązanie:
K = 2000 zł, p = 8%
Stan konta po upływie
1 roku: 2000 zł + odsetki 8 * 2000 / 100 = 2000 + 160 = 2160 zł
2 lat: 2000 zł + odsetki 8*2000*24 / (100*12) = 2000 + 320 = 2320 zł
Obliczenie bezpośrednie według wzoru z tabeli – po 2 latach
K = 2000*(1 + 8* 2 /100) = 2000*(1 + 2 * 8/100) = 2000*(1 + 0,16) = 2000 * 1,16 = 2320 zł
Kapitalizacja odsetek
Procent składany – sposób oprocentowania kapitału, polegający na tym, że odsetki po roku (lub
innym okresie oszczędzania),
w którym obowiązuje ustalona stopa procentowa, dopisywane są do kapitału i procentują wraz z nim
w następnym okresie oszczędzania
Procent składany i kapitalizacja odsetek
Jeżeli kapitalizacja odsetek (dopisanie odsetek do złożonego kapitału) następuje po upływie
każdego roku,
to po n latach kapitał Kn wyniesie:
Kk = K*(1 + p/100)n
Gdzie: K – kapitał wpłacony do banku na n okresów przy danym oprocentowaniu p% w każdym z
okresów (np. roku),
Kompendium – matematyka
35
a odsetki będą kapitalizowane po każdym z n okresów;
Kk – kapitał na zakończenie okresu lokaty
Przykład: Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent składany.
Oprocentowanie w skali roku wynosi 8%. Ile otrzyma pieniędzy po 6 miesiącach, po roku i po 2
latach?
Rozwiązanie: K 2000 zł, p = 8%, n = 2 lata
- po 6 miesiącach
8%/2 = 4% - oprocentowanie na pół roku
4% * 2000 zł – 0,04 * 2000 = 80
2000 + 80 = 2080 zł
lub 1.04*2000 = 2080zł – po 6 miesiącach
- po I roku
8% * 2000 = 0,08 * 2000 = 160
2000 + 160 = 2160 zł - po I roku
- po II roku
8% * 2160 = 0,08 * 2160 = 172,80 zł
2160 + 172,80 = 2332,80 zł - po 2 latach
Obliczenie kapitału na zakończenie lokaty po 2 latach bezpośrednio według wzoru z procentem
składanym
K2 = K*(1 + 8/100)2 = 2000 * (1 + 8/100)2 = 2000* 1,082 = 2332,80
Jeżeli kapitalizacja następuje t razy w roku, to po n latach kapitał wyniesie
Kk = K * (1 + p/(100*n)t*n
Punkty procentowe
Punkt procentowy - jednostka różnicy między dwiema wartościami jednej wielkości
podanymi w procentach.
Na przykład wzrost jakiejś wielkości z 20% do 30% jest równy 10 punktom procentowym.
Zadania:
1 Bank obniżył oprocentowanie kredytu z 15% na 13,5%.
O ile punktów procentowych bank obniżył oprocentowanie kredytu?
pp = 15% - 13,5% = 1,5 punktu procentowego
Bank obniżył oprocentowanie o 1,5 punktu procentowego
O ile procent mniej zapłaci kredytobiorca?
p /100 = 1,5 / 15 - proporcja
p = 1,5*100/15= 150/15 = 10%
Odsetki od kredytu zmniejszyły się o 10%.
Oznacza to zmniejszenie się wysokości odsetek o 10% od poprzedniej wielkości ( nie w ogóle).
2 Bezrobocie wzrosło z11% do 13%.
O ile punktów procentowych wzrosło bezrobocie?
O ile procent wzrosło bezrobocie?
pp = 13% - 11% = 2%
p/100 = 2/11
p = 100*2/11 = 200/11 = 18,18%
Bezrobocie wzrosło o ok. 18,18% w stosunku do poprzedniego poziomu.
Kompendium – matematyka
36
Promile
Promil – 1/1000 część pewnej wielkości lub liczby
Jest to ułamek o mianowniku 1000 lub ułamkiem dziesiętnym z trzema miejscami po przecinku
1%o = 1/1000 = 0,1%
1% = 10%o
15%0 = 15/1000 = 0,015
Promilami posługujemy się wówczas, gdy omawiamy bardzo małe części jakiejś większej całości,
na przykład zawartość alkoholu we krwi, próby złota, srebra.
Zmiana promili na liczbę:
125%o = 125/1000 = 1/8 = 0,125
Zmiana liczby na promile
1/8 * 1000%o = 1000/8 = 125%o
Obliczanie promila danej liczby
Zadanie: obliczyć 15‰ liczby 600.
15/1000 * 600 = 9
Zamiana promili na procenty (pomniejszamy promile 10 razy)
50%o = 50/10 % = 5%
Zamiana procentów na promile (powiększamy procent 10 razy)
20% = 20*10 %o = 200%o
Proporcjonalność
Proporcjonalność prosta
y = a*x - równanie prostej
Proporcjonalność odwrotna
a*b = c*d = k
y = a/x – równanie hiperboli
Proporcja
a*d = b*c
a = b*c /d
b = a*d /c
c = a*d /b
d = b*c /a
Kompendium – matematyka
37
Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych proporcji
Liczby wymierne
Liczby naturalne N: 0, 1, 2, 3 …
Liczby całkowite C– liczby naturalne i liczby do nich przeciwne – liczby dodatnie i ujemne
Liczby wymierne W– które można zapisać w postaci ułamka zwykłego: n/m , gdzie n, m – liczby
całkowite
Wartość bezwzględna - odległość liczby od zera na osi liczbowej – zawsze dodatnia
|x| = x, gdy x >= 0 ; |x| = -x, gdy x < 0
|x| >=0, |-x| = |x|, √x2 = |x|
|5| = 5, |-5| = 5
|0| = 0
|x – a| = b  x = a + b i x = a - b
Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych
9 + 16 = 25
-9 + (-16) = -(9+16) = -25 lub -9 – 16 = -25
-57 + 13 = -(57-13) = -44
62 + (-9) = + (62 -9) = 53 lub 62 -9 = 53
78 – (-50) = 78+50 = 128
Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych:
(+)*(+) = (+);
(-)*(+)=(+)
(-)*(-)=(+)
(-7)*(-5) = 35
Pierwiastek n - tego stopnia
Pierwiastek arytmetyczny stopnia n liczby nieujemnej a, to liczba nieujemna b, spełniająca bn = a.
Zapisujemy symbolicznie n√a i czytamy pierwiastek n -tego stopnia z liczby a.
= b, wtedy i tylko wtedy, gdy bn =a
a - liczba podpierwiastkowa, b - pierwiastek n -tego stopnia z a (wynik pierwiastkowania). n - stopień
pierwiastka,
Kompendium – matematyka
38
Pierwiastek stopnia drugiego (n = 2) nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym.
Zapisujemy √a. Np. √16 = 4 bo 42 = 16
Ponadto pierwiastkowanie stopnia parzystego nie jest wykonalne dla liczb ujemnych – tylko dla liczb
większych lub równych zero.
Pierwiastek stopnia trzeciego (n = 3) nazywany jest pierwiastkiem sześciennym.
Zapisujemy 3√a. Np. 3√27 = 3 bo 33 = 27
Pierwiastkowanie stopnia nieparzystego jest wykonalne dla wszystkich liczb rzeczywistych
(dodatnich, ujemnych i zero).
Nie każdy pierwiastek jest liczbą wymierną.
Pierwiastek, który nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb wymiernych, jest liczbą niewymierną.
Np. √2
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne – liczby i litery połączone znakami działań matematycznych i nawiasami
Jednomian – liczba, litera, iloczyn liczb i liter, np. –x, 1/2x 13abc,
Suma algebraiczna –składa się z jednomianów, np. 2x+5
Redukcja wyrazów podobnych – dodanie lub odjęcie wyrazów różniących się tylko współczynnikiem,
np. 2x – 3x + 5 – 2 = -x +3
Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę, np. 2*(3x-5) = 6x -10
Równość – 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, np. 2x +5 = 10
Nierówność – 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem nierówności : >, <, >=, <=
Równania i nierówności
Równanie to wyrażenie algebraiczne połączone z liczbą lub z drugim wyrażeniem algebraicznym
znakiem równości (=).
Niewiadoma równania (oznaczona literą) – liczba której szukamy.
Może być układ równań z wieloma niewiadomymi.
Litery występujące w równaniach nazywamy niewiadomymi układu.
Stopień równania jest równy najwyższemu wykładnikowi przy niewiadomej.
Rozwiązaniem równania nazywamy liczbę, której podstawienie zamiast niewiadomej daje równw
wartości po obu stronach równania, czyli L = P.
Liczba jest rozwiązaniem równania (spełnia to równanie) jeżeli obie strony tego równania mają dla
niej tę samą wartość liczbową.
Kompendium – matematyka
39
Równania, które mają takie same rozwiązania nazywamy równaniami równoważnymi.
Jeżeli przeniesiemy z jednej strony równania na drugą dowolny wyraz ze znakiem przeciwnym to
równanie nie zmieni się (jest równoważne danemu).
Równanie oznaczone ma jedno rozwiązanie.
Równanie nieoznaczone ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Równanie sprzeczne nie ma rozwiązań.
Sposoby rozwiązywania równań – metody podstawowe (szkoła podstawowa)
Suma niewiadomej i liczby
x + 1 = 4 x +1 – 1 = 4 -1 x = 4
od sumy 4 odejmujemy liczbę (tu 1)
Różnica niewiadomej i liczby:
y–3=8
y – 3 + 3 = 8 + 3 y = 11 do różnicy dodajemy odjemnik (tu 3)
Różnica liczby i niewiadomej
9–b=5
b = 9 -5
b=4
Iloczyn niewiadomej i liczby
2c = 10 c = 10/2
c=5
Dzielimy wynik przez liczbę przy niewiadomej
Iloraz niewiadomej i liczby
x/4 = 12
x = 12*4
x = 48 Mnożymy wynik przez dzielnik
Iloraz liczby i niewiadomej
6/z = 3
z = 6:3 z = 2
Dzielimy dzielną przez iloraz
Od odjemnej odejmujemy różnicę
Rozwiązywanie równań – zasady
Każdą nową postać równania zapisujemy w nowym wierszu, aby znak równości znajdował się jeden
pod drugim.
Po zakończeniu warto sprawdzić, czy dobrze rozwiązane równanie.
Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej do równania.
Obliczamy osobno wartość lewej strony L i prawej strony P.
L ma się równać P.
Przenoszenie wyrażeń na drugą stronę równania
Łatwą metodą rozwiązywania równań jest przenoszenie na drugą stronę równania ze zmianą znaku.
Przykłady:
Przykład 1
2x – 5 = 3
2x = 3 + 5
2x = 8 /: 2
x = 8:2
x=4
L = 2*4 -5 = 8-5 =3
P=3
L=P
Kompendium – matematyka
40
Przykład 2
2y + 3 = 3y -4
2y – 3y = -4 – 3
-y = -7 /: (-1)
Y = -7/ (-1)
Y=7
L = 2*7 + 3 = 17
P = 3*7 – 4 = 17
L=P
http://www.matematykam.pl/rownania.html
Rozwiązywanie równań (gimnazjum)
Istnieją trzy rodzaje równań: oznaczone, tożsame i sprzeczne.
Równanie oznaczone
To jest w rzeczywistości „zwykłe” równanie, w którym dochodzimy do wyniku x=…,
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest obliczony x.
Rozwiązywanie równania
Aby rozwiązać równanie, wystarczy trzymać się paru podstawowych zasad.
W celu ułatwienia rozwiązania, kolejność wykonywania poszczególnych działań można podzielić na 3
podstawowe kroki.
Kolejne kroki i zasady, którymi należy się kierować, przedstawiono na przykładzie:
2x + 3(3x-5) -10 = 5x+5
Krok I:
Wykonujemy wszystkie możliwe do wykonania działania, po obu stronach równania.
Zasady: Wyrażenia z „x” są wyrażeniami algebraicznymi i wszelkie działania (dodawanie,
odejmowanie, mnożenie . . .)
wykonujemy zgodnie z zasadami działań na wyrażeniach algebraicznych.
2x + 9x – 15 -10 = 5x + 5
11x -25 = 5x + 5
Krok II:
Przystępujemy do niego, gdy nie ma już żadnych możliwych do wykonania działań po obu
stronach równania.
Przenosimy wszystkie wyrażenia z „x” na lewo, a liczby na prawo.
Po przeniesieniu wykonujemy ostatnie działania po obu stronach równania.
Zasady: Wyrażenia, które przenosimy z jednej strony na drugą zmieniają swój znak.
11x -5x = 5 + 25
Kompendium – matematyka
41
6x = 30
Krok III:
Dzielimy obie strony równania, przez liczbę stojącą przy „x”.
Zasady: Zapisujemy to działanie po prawej stronie równania: /:6.
Dzielimy obie strony równania przez liczbę 6.
6x = 30 /: 6
x=5
Równanie tożsame (tożsamościowe)
Równanie tożsame ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozpoznajemy je w trakcie liczenia.
W pewnym momencie wszystkie wyrażenia po obu stronach równania skracają się do 0
i powstaje równość: 0 = 0.
Wtedy piszemy: „Równanie jest tożsame”
oraz zapisujemy: x R (czyt. x należy do zbioru liczb rzeczywistych),
można też zapisać zdanie równoważne z zapisem x R : „
Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań”.
Przykład:
2(x-1) = 2x +2
2x -2 + 4 = 2x +2
2x +2 = 2x +2
2x -2x = 2 -2
0=0
Równanie jest tożsame x
R
Równanie sprzeczne
Równanie sprzeczne nie ma rozwiązań.
W trakcie liczenia, dochodzimy do momentu w którym powstaje sprzeczność ( np. 0 = 9),
wtedy znak równości przekreślamy: ( 0 9 ).
Następnie należy zapisać: „Równanie jest sprzeczne” oraz x
(czyt. x należy do zbioru pustego),
można też zapisać słownie: „Brak rozwiązań”.
Przykład:
5x – 9 = 2x +3(x-2)
5x -9 = 2x +3x -6
5x -5x = 9 -6
0 3
X
Nierówności
Rozwiązywanie nierówności nie różni się znacząco od rozwiązywania równań.
W nierównościach zamiast znaku „=” mamy znak nierówności.
Kompendium – matematyka
42
W porównywaniu do równań mamy tu do czynienia z dwoma podstawowymi różnicami:
1) W trakcie obliczeń, gdy zachodzi konieczność pomnożenia lub podzielenia całego równania przez
liczbę ujemną,
należy zmienić znak nierówności na przeciwny - obrócić znak nierówności w drugą stronę.
2) Po uzyskaniu rozwiązania, należy zaznaczyć je na osi oraz za pomocą przedziału liczbowego.
Przykład
2(x+1) – 3 4x +3
2x +2 -3
4x +3
2x -4x
3+1
-2x
4 / : (-2)
x -2
Teraz należy zaznaczyć wynik na osi liczbowej
Układy równań
Układ równań – połączenie pewnej ilości równań.
Układy równań służą do zapisywania i rozwiązywania zadań i problemów, w których występuje więcej
niż jedna niewiadoma.
Jeżeli układ tworzą 2 równania z 2 niewiadomymi, to parę liczb, która spełnia oba równania
równocześnie, nazywamy rozwiązaniem układu równań
Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu
równań algebraicznych,
funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań
składowych.
Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych
równań.
Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie.
Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:
Kompendium – matematyka
43




przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego
tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),
przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami
niektóre ze zmiennych uległy redukcji),
wzory Cramera,
metoda eliminacji Gaussa.
W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje
tabela:
Nazwa układu
równań
Rozwiązanie
algebraiczne
Oznaczony
Rozwiązaniem jest
dokładnie jedna
para liczb (x, y)
Nieoznaczony
Nieskończenie
wiele rozwiązań
Warunek i przykład
,
Dwie proste
przecinające
się
Dwie proste
pokrywające
się
lub
Sprzeczny
Interpretacja
graficzna
Brak rozwiązań
Dwie różne
proste
równoległe
Układ 2 równań liniowych z 2 niewiadomymi
Jeżeli dwa równania liniowe zapiszemy jedno pod drugim i połączymy klamrą otrzymamy układ
równań
I stopnia z dwiema niewiadomymi:
Rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi to znaczy znaleźć taką parę liczb, która spełnia
jednocześnie oba równania.
Metody rozwiązywania układów równań:
- metoda podstawiania (eliminacji)
- metoda przeciwnych współczynników.
- metoda wyznacznikowa – wzory Cramera
- metoda graficzna – przecięcie prostych na wykresie
Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczamy jedną z niewiadomych
Kompendium – matematyka
44
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pozostałych równań (drugiego równania), eliminując z nich
niewiadomą
Równania te możemy traktować jako nowy, prostszy układ równań do rozwiązania – w przypadku 2
równań – jedno równanie z jedną niewiadomą.
Przykład 1
I
x + 4y = 0
II
2x +3y = 25
I
x = -4y
II
2(-4y) + 3y = 25
I
x = -4y
II
-5y = 25
I
x = -4y
II
y = -5
Rozwiązanie: x = -4*(-5) = 20; y = -5
Sprawdzenie:
I
L = 20+4*(-5) = 0
P=0
L =P
II
L = 2*20 + 3*(-5) = 40-15 = 25 P = 25 L = P
Przykład 2
4x + y = 40
x–y=5
x = 5+y
4(5+y) + y = 40
20 + 4y + y = 40
5y = 20
y=4
x -4 =5
x=9
Metoda przeciwnych współczynników – operacji elementarnych
Rozwiązania układu nie zmienią się, jeżeli:
- pomnożymy jedno z równań przez liczbę różną od zera
- do jednego z równań dodamy stronami inne równanie układu
- od jednego z równań odejmiemy stronami inne równanie układu
Przykłady:
1)
4x -5y = 39
5x + 5y = 78 / +
-----------------9x + 0 = 117
x = 117/9
x = 13
4*13 -5y = 39
5y = 52-39
y = 13/5
2)
4x -7y = 41
/ *3
Kompendium – matematyka
45
5x + 3y = 63
/ *7
-------------12x -21 y = 123
35x + 21y = 441 / +
------------------47x
= 564
X = 12
4*12 -7y = 41
-7y = -7
y=1
Rozwiązywanie przez porównanie
Przykład:
7x –y = 90
2x –y = 24
------------y = 7x -90
y = 2x -24
------------7x -99 = 2x -24
5x = 75
x =15
y = 7*15 -99
y = 105 -99
y=6
Rozwiązywanie metodą wyznacznikową – wzory Cramera
Dany układ równań:
a1*x + b1*y = c1
a2*x + b3*y = c2
x = Wx / W; y = Wy/W,
W = | a1 b1 |
| a2 b2 |
Wx = | c1 b1 |
| c2 b2 |
Wy = | a1 c1 |
| a2 c2|
Przykład
8x -3y =16
5x +6y =13
W = | 8 -3 |
| 5 6 | = 8*6 + 5*3 = 63
Wx = | 46 -3 |
| 13 6 | = 46*6 +13*3 = 315
Wy = |8 46 |
Kompendium – matematyka
46
| 5 13 | = 8*13 -5*46 = -126
x = 315/63 = 5
y = -126 /63 = -2
Dla każdego układu równań I stopnia z 2 niewiadomymi zachodzi jeden z 3 przypadków:
1. Układ ma jedno rozwiązanie – układ oznaczony
2. Układ nie ma rozwiązań – układ sprzeczny
3. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań – układ nieoznaczony
3x -4y = x + 1
-0,5x + y =3
3x -4y = x +1
Y = 3 + 0,5x
3x -4 (3+0,5x) = x+1
3x -12 -2x = x+1
3x -2x –x = 12 +1
0*x = 13
- równanie sprzeczne – żadna liczba x nie spełnia równania
X – 0,3 y =0,2
5x -1 = 1,5y
X = 0,3y +0,2
5x -1 = 1,5
5*(0,3y +0,2) -1 = 1,5y
1,5 y -1,5y = 0
0*y = 0
Równanie tożsamościowe – spełnia dowolna liczba x
Układ współrzędnych kartezjańskich
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o osiach
prostopadłych.
Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł.
René Descartes), który wprowadził te idee w 1637.
Układ współrzędnych kartezjańskich ( na płaszczyźnie ) to dwie prostopadłe do siebie osie liczbowe:
oś odciętych x oraz oś rzędnych y.
Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery nieskończone obszary
nazywane ćwiartkami,
z których każdy ograniczony jest dwoma półosiami. Numeruje się je często cyframi rzymskimi I, II, III,
IV.
Kompendium – matematyka
47
Funkcje
Kompendium – matematyka
48
Funkcja – przyporządkowanie każdemu elementowi z jednego zbioru dokładnie jednego elementu z
drugiego zbioru. zbioru.
Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie
elementom zbioru X elementów zbioru Y,
(f : X → Y), w którym każdemu elementowi x ∈ X odpowiada dokładnie jeden element y ∈ Y.
Funkcja f odwzorowująca zbiór X w zbiór Y (f X → Y) – przyporządkowanie, w którym każdemu
elementowi x ze zbioru X odpowiada dokładnie
jeden element ze zbioru Y.
f: X → Y
oznacza, że f jest funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y.
Zapis y = f(x) czytamy: zmienna y jest funkcją zmiennej x
x – zmienna niezależna, y – zmienna zależna
x - argument funkcji, y = f(x) - wartość funkcji dla argumentu x lub obraz elementu x.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego argumenty argumentami.
Wartością funkcji f w punkcie x jest y: y = f(x), jeżeli y jest elementem zbioru Y przyporządkowanym
przez funkcję f argumentowi x.
Jeśli każdy element zbioru Y jest wartością funkcji f w pewnym punkcie zbioru X, to mówimy, ze f
odwzorowuje zbiór X na zbiór Y.
Zbiór złożony z tych elementów zbioru Y, dla których istnieje element x ze zbioru X, taki, że y = f(x),
nazywamy
zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy Yf lub Zw
Jeżeli funkcja f elementowi x ∈ X przyporządkowuje element y ∈ Y to
liczbę x nazywamy argumentem funkcji f
liczbę y wartością funkcji f.
Wszystkie argumenty funkcji tworzą dziedzinę, a wszystkie wartości funkcji tworzą zbiór
wartości funkcji.
Dziedziną funkcji Df nazywamy zbiór tych wszystkich elementów x, dla których funkcja jest określona
f: X → Y – X jest dziedzina funkcji f, Y – zbiór wartości funkcji
Zbiór Y nazywamy też przeciwdziedziną funkcji.
Funkcje oznaczamy zwykle małymi literami: f, g, h.
Wykres funkcji f: X f : X → R, gdzie X ⊂ R nazywamy zbiór punktów { (x, f(x)) x ∈ X}
Miejsce zerowe funkcji – każdy argument, dla którego funkcja ma wartość równą zero.
xo jest miejscem zerowym funkcji f, gdy f(xo) – 0
Miejsce zerowe jest równe odciętej punktu, w którym wykres funkcji przecina oś odciętych x.
Funkcja f jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych argumentów x1, x2 zachodzi implikacja: (x1 ≠
x2 ) => f(x1) ≠ f(x2) )
Funkcja jest rosnąca w przedziale <a, b>, gdy w przedziale tym wraz ze wzrostem argumentów
funkcji rosną jej wartości.
Jeżeli x1 < x2, to f(x1) < f(x2)
Kompendium – matematyka
49
Funkcja jest malejąca w przedziale <a, b>, gdy w przedziale tym wraz ze wzrostem argumentów
funkcji maleją jej wartości.
Jeżeli x1 < x2, to f(x1) > f(x2)
Funkcja jest stała w przedziale <a, b>, gdy w przedziale tym wraz ze wzrostem argumentów funkcji
jej wartości się nie zmieniają – są stałe.
Jeżeli x1 < x2, to f(x1) = f(x2)
Funkcję można określić za pomocą:
 przepisu słownego
 tabeli
 grafu
 wzoru, np. y = 2x, f(x) = 2x, f: x →2x
 wykresu

zbioru par uporządkowanych, np. {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
Przykład: y = 2x
Przepis słowny: Każdej z liczb -1, 0, 1, 2 przyporządkuj liczbę y, która jest jej dwukrotnością
Wzór funkcji: y = 2x
Tabela
x
y=2x
-1
-2
0
0
1
2
2
4
Zbiór par uporządkowanych: {(-1, -2), (0, 0), (1,2), (2,4) }
Kompendium – matematyka
50
Wykres funkcji
Dziedzina funkcji: Df = R Zbiór wartości funkcji: Yf = R
Przykłady dziedzin funkcji:
F(x) = 1 / (x-1)
Df = { x ∈ R: x -1
0} = { x ∈ R: x
1 }= R – {1}
F(x) = √(x+1)
Df = { x ∈: x+2 >= 0} = { x ∈ R: x >= -2 }= < -2;
nieskończoność)
Funkcje parzyste i nieparzyste
Kompendium – matematyka
51
Funkcja f jest parzysta, jeżeli dla dowolnego x należącego do dziedziny, element –x też należy do
dziedziny oraz zachodzi równość:
F(-x) = f(x)
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy
Funkcja f jest nieparzysta, jeżeli dla dowolnego x należącego do dziedziny, element –x też należy do
dziedziny oraz zachodzi równość:
F(-x) = - f(x)
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych O.
Funkcje okresowe
Mówimy, że funkcja y = f(x) jest funkcją okresową o okresie T, jeśli istnieje taka liczba T ≠ 0,
która dodana do dowolnej dopuszczalnej wartości argumentu nie zmienia wartości funkcji,
tzn. f(x + T) = f(x) dla dowolnego x ∈ Df
Najmniejszą liczbę dodatnią o tej własności (jeżeli istnieje) nazywamy okresem podstawowym
(zasadniczym) funkcji.
Wykres funkcji okresowej po przesunięciu o wektor [T, 0] pokrywa się sam z sobą.
Przekształcenia wykresów funkcji
Translacje:
y = f(x – p) – przesunięcie wykresu o wektor u = [p, 0]
Gdy p > 0 to w prawo, gdy p < 0 to w lewo o wartość |p|
Gdy p > 0 i y = f(x), to aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem:
y = f (x - p), przesuwamy równolegle do osi x wykres funkcji f(x) o p jednostek w prawo, czyli o
wektor u = [p, 0]
Y = f (x +p), przesuwamy równolegle do osi x wykres funkcji f(x) o p jednostek w lewo czyli o wektor
u = [-p, 0]
Przykład: g(x) = f(x-5)
Kompendium – matematyka
52
y = f(x) + q - przesunięcie wykresu o wektor v = [0, q]
Wykres f(x) przesuwamy równolegle wzdłuż osi x o |q| jednostek
 W górę, gdy q > 0
 W dół, gdy q < 0
y = f(x –p) + q – przesunięcie wykresu o wektor w = [p, q]
- wzdłuż osi x o wektor u = [p, 0] oraz równolegle do osi y o wektor v = [0, q]
Przykład: f(x) = x2 g(x) = f(x-5)2 + 3
Kompendium – matematyka
53
Symetrie
y = f(-x) – przekształcenie wykresu przez symetrię względem osi Oy
- symetria względem osi y
Kompendium – matematyka
54
Y = f(-x)
f(x) = 2x+3
g(x) = f(-x) = 2*(-x) +3
y = -f(x) - przekształcenie wykresu przez symetrię względem osi Ox
- symetria względem osi x
F(x) =x, g(x) = -f(x) = -x
Kompendium – matematyka
55
F(x) =2x+1, g(x) = -f(x) = -(2x+1)
Kompendium – matematyka
56
y = - f(-x) - przekształcenie wykresu przez symetrię względem początku układu współrzędnych O(0,
0)
Wykresy funkcji y = f(x) i y = f(-x) są wzajemnie symetryczne względem osi x. Ich dziedziny są
identyczne.
Kompendium – matematyka
57
Wykresy funkcji y = f(x) i y = f(-x) są wzajemnie symetryczne względem osi y.
Wartości tych funkcji dla argumentów przeciwnych są takie same.
Wykres funkcji g(x) = -f(-x), gdzie f(x) = x2-x+1
y = f(|x|) – złączenie figur: części wykresu leżącej po prawej stronie osi Oy i na tej osi
oraz odbicia symetrycznego wykresu z prawej strony osi Oy względem osi Oy. (część po lewej stronie
Oy nie jest brana pod uwagę).
y = |f(x)| - złączenie figur: części wykresu nad osią Ox wraz z punktami na osi Ox oraz odbicia
symetrycznego części
wykresu leżącego pod osią Ox, względem osi Ox.
g(x) = |f(x)| = f(x), gdy f(x) >= 0 (funkcja f ma wartości dodatnie)
g(x) = |f(x| = –f(x), gdy f(x) < 0 (funkcja f ma wartości ujemne)
Wykres funkcji g(x) = |f(x)|, gdzie f(x) = x2 –x -5
Kompendium – matematyka
58
y = k*f(x) , gdzie k <> 0 – zmiana położenia wg zasad:
gdy |k| > 1, to punkty wykresu oddalają się |k| -krotnie od osi Ox (rozciąganie wzdłuż osi Oy);
jeśli |k| < 1 to punkty wykresu przybliżają się 1/|k| - krotnie do osi Ox (wykres ścieśnia się).
jeśli k > 0 to punkty wykresu pozostają po tej samej stronie osi Ox, jeśli k < 0, to punkty przechodzą
na drugą stronę osi Ox
Jeżeli y = f(x) i g(x) = k*f(x), gdzie k <> 0, to do wykresu funkcji f należą punkty (x, f(x), a do wykresu
funkcji g punkty (x, k*f(x))
g(x) = (x, k*f(x))
Przekształcenie, w którym obrazem wykresu funkcji f jest wykres y = k*f(x), gdzie k <> 0,
nazywamy powinowactwem prostokątnym o osi x i skali k.
Wykres funkcji g(x) = k*f(x) =3*f(x), gdzie f(x) = x2 –x -2, k =3
Kompendium – matematyka
59
y = g(x) = f(k*x), gdzie k <> 0 – do wykresu funkcji f należą punkty (x, f(x)), a do wykresu funkcji g
punkty
g(x) = (1/k*x, f(x))
Jeśli |k| > 1 to punkty wykresu g(x) przybliżają się |k| - krotnie do osi Oy (wykres ścieśnia się wzdłuż
osi Ox);
jeśli |k| < 1 to oddalają się 1/|k| - krotnie od osi Oy (wykres rozciąga się wzdłuż osi Ox).
Jeśli k > 0 to pozostają po tej samej stronie osi Oy, a jeśli a < 0 to położone są po przeciwnej stronie
osi Oy.
Przekształcenie y = f(k*x), gdzie k <> 0, nazywamy powinowactwem prostokątnym o osi y i skali k.
Wykres funkcji g(x) = f(k*x), gdzie k = 2, f(x) = x2 –x -2
Kompendium – matematyka
60
Wzory różnych znanych funkcji
https://www.megamatma.pl/uczniowie/Wzory/funkcje-wzory/wykresy-funkcji
Funkcja liniowa:
f(x) = ax +b , a, b
Proporcjonalność prosta y = ax , a
Funkcja kwadratowa:
R – wykres jest prostą
R,, a ≠0
f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 - trójmian kwadratowy;
funkcja wielomianowa drugiego stopnia, np. y = x2 +5x -6
Kompendium – matematyka
61
Funkcja homograficzna y = (ax + b) / (cx + d); a, b, c, d
R , c ≠ 0, cx + d ≠ 0
Hiperbola, proporcjonalność odwrotna: y = a/x, gdzie x ≠ 0 i a ≠ 0
Wielomiany trzeciego stopnia: y = ax3 + bx2 + cx + d ; a, b, c
R, a ≠ 0
Wielomiany n – tego stopnia : W(x) = an*xn … + a1*x + a0
Funkcje wymierne:
f(x) = W(x) / V(x), np. f(x) = (ax+b) / (cx+d)
Funkcje potęgowe:
f(x) = x
r
r
R
x
Funkcje wykładnicze: f(x) = a , a > 0, a ≠ 1,
Funkcje logarytmiczne: f(x) = log a x a > 0, a ≠ 1,
Funkcje trygonometryczne: sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)
Inne, np. cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji
trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
arcsin(x), arccosx(x), arctg(x< arcctg(x), arcsec(x), arccsc(x)
y = arcsin(x) ⇔ x = sin(y); y = arccos(x) ⇔ x = cos(y); Dziedziną tych funkcji jest przedział <-1, 1)
y = arctg(x) ⇔ x = tg(y); y = arcctg(x) ⇔ x = ctg(y). Dziedziną tych funkcji jest zbiór liczb
rzeczywistych R
Jednostki długości i powierzchni - podstawowe
Jednostki długości:
1 mm – milimetr
Kompendium – matematyka
62
1 cm – centymetr = 10 mm
1 dm – decymetr = 10 cm = 100 mm
1 m – metr = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 km – kilometr = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
Jednostki pola powierzchni
1 mm2 = 1 mm * 1 mm – kwadrat o boku 1 mm
1 cm2 =1 cm * 1 cm = 10 mm * 10 mm = 100 mm2 – kwadrat o boku 1 cm
1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 - kwadrat o boku 1 dm
1 m2 = 1 m * 1 m = 10 dm * 10 dm = 100 dm2 = 100 cm * 100 cm = 10000 cm2 = 1 000000 mm2
1 km2 = 1 000000 m2 = 10 000 a = 100 ha – kwadrat o boku 1 km
1 a = 100 m2 – kwadrat o boku 10 m
[ar]
1 ha = 100 a = 10 000 m2 - kwadrat o boku 100 m
[hektar]
Geometria
Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi)
jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur
geometrycznych i zależności między nimi.
Aksjomaty w geometrii:
• Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych
• Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta
• Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległą do prostej l.
Pojęcia pierwotne w geometrii, to: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń.
FIGURY GEOMETRYCZNE
Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył
geometrycznych.
Badaniem właściwości figur płaskich zajmuje się dział geometrii zwany planimetrią (geometrią
płaszczyzny).
Planimetria
Figury płaskie
LINIA:
Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię,
POWIERZCHNIA:
Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię, np. koło pojazdu.
BRYŁA:
Przez ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę.
Podstawowe figury geometryczne
Punkt, prosta, półprosta, odcinek.
Dodawanie i odejmowanie odcinków.
Kompendium – matematyka
63
Punkt jest podstawową figurą geometryczną
Oznaczamy go kropką i podpisujemy wielkimi literami Np. . P . A
Prosta – linia o nieskończonym promieniu krzywizny, składająca się z nieskończenie wielu punktów.
Prosta - szczególny przypadek krzywej nieograniczonej z obydwu stron, o nieskończonym promieniu
krzywizny w każdym punkcie
Jest to zbiór punktów opisanych następującym równaniem ogólnym Ax + By + C = 0, gdzie A i B nie
mogą być równocześnie równe zeru.
Proste oznaczamy małymi literami alfabet, np. k, l, m.
Np. _____________ k
Zaznaczając na prostej k punkt A, mówimy, że punkt A należy do prostej k, zapisujemy A
Zapis
odczytujemy: punkt
k
nie należy do prostej
Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.
Przez dwa różne punkty można poprowadzić tylko jedną prostą.
Prostą przechodząca przez punkty
oznaczamy prosta
A_________________________________B
Proste równoległe, prostopadle, przecinające się pod dowolnym kątem
Dwie proste na płaszczyźnie nazywamy równoległymi, jeśli pokrywają się lub nie mają punktów
wspólnych.
Dwie proste są prostopadłe jeśli miary wszystkich kątów wierzchołkowych utworzonych przez te
proste są równe.
Jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to kąt stworzony przez ich przecięcie jest kątem prostym,
który ma miarę 90° lub π/2 radianów.
Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie – 2 prostopadłe osie liczbowe o wspólnym
początku.
Dowolne proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.
Płaszczyzna – płaska powierzchnia
Płaszczyzna, jedno z pojęć pierwotnych geometrii.
W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna
nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
Płaszczyznę można obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając
sobie je rozciągające się "w nieskończoność".
Płaszczyznę można zdefiniować jako miejsce geometryczne punktów przestrzeni równoodległych od
wybranych dwóch punktów.
Płaszczyznę wyznaczają trzy, nie-współliniowe punkty albo prosta i punkt nie należący do prostej.
Każda prosta na płaszczyźnie dzieli ją na 2 części - półpłaszczyzny
Figury definiowalne z jednostek podstawowych:
półprosta, odcinek, łamana, kąt płaski, wielokąt
Półprosta to część prostej ograniczona z jednej strony punktem, który jest jej początkiem.
Punkt na prostej dzieli ją na dwie półproste.
Kompendium – matematyka
64
Odcinek to część prostej ograniczona z dwóch stron punktami, wraz z tymi punktami. Punkty te
nazywamy końcami odcinka.
Odcinek o końcach
oznaczamy
lub
Łamana – składa się z odcinków połączonych ze sobą tak, że koniec jednego jest początkiem
drugiego.
Łamane zwyczajne zamknięte, otwarte,
Łamana przecinająca się zamknięta, przecinająca się otwarta
Wielokąt – łamana zwyczajna zamknięta, wraz z wnętrzem.
Kompendium – matematyka
65
Wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej miary, nazywamy
wielokątem foremnym.
Figury geometryczne
Kompendium – matematyka
66
Figury podstawowe, pola i obwody
Trójkąt – wielokąt o trzech bokach.
Trójkąt to najmniejsza figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i
niewspółliniowe punkty płaszczyzny.
Trójkąty: dowolny (różnoboczny), równoramienny, równoboczny, prostokątny.
Suma długości 2 boków trójkąta jest większa od trzeciego boku.
Każdy trójkąt jest wielokątem wypukłym. Ma 3 kąty, których suma = 180 stopni.
Obwód trójkąta:
Ob. = a + b + c
Pole trójkąta
P = ½ *a*h
Czworokąty: dowolny, prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb, trapez, trapez równoramienny,
trapez prostokątny, deltoid.
Wielokąty foremne: pięciokąt, sześciokąt, ośmiokąt …
Prostokąt – czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.
Prostokąt ma długość, szerokość . W prostokącie można narysować 2 przekątne.
Obwód prostokąta:
Ob. = 2a + 2b = 2*(a + b)
Pole prostokąta:
P=a*b
Kompendium – matematyka
67
Kwadrat – prostokąt, który ma wszystkie boki równe. Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem
prostym.
Ob. = 4a
P = a * a = a2
Równoległobok – czworokąt, który ma 2 pary boków równoległych.
Ob. = 2a + 2b = 2 (a + b)
P =a*h
Romb – równoległobok o bokach równej długości. Przekątne przecinają się pod katem prostym i
dzielą się na połowy.
Ob. = 4a
P = a*h = ½ d1 * d2 gdzie d1, d2 – przekątne rombu
Trapez – czworokąt, który ma parę boków równoległych
Ob. = a + b + c + d
P = ½ * (a + b) * h
Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równo oddalonych od pewnego ustalonego punktu,
zwanego środkiem okręgu.
Promień okręgu – odcinek łączący dowolny punkt okręgu z jego środkiem. Oznaczamy go r lub R.
Cięciwa okręgu – odcinek łączący 2 różne punkty okręgu.
Średnica okręgu – cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Jest to najdłuższa cięciwa. Oznaczamy
przez d.
Długość średnicy jest równa podwojonemu promieniowi: d = 2r
Koło – okrąg wraz z jego wnętrzem.
Ob. = 2πr = π*d – obwód
P = πr2 - pole
Kąty
Kąt płaski,
część płaszczyzny ograniczona dwoma półprostymi (ramionami kąta) wychodzącymi z
jednego punktu (wierzchołka kąta)
Kąt płaski – część płaszczyzny wyznaczone przez 2 półproste.
Kompendium – matematyka
68
Rodzaje kąta:
zerowy - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się , a tym samym im równy. Miara kąta
zerowego jest równa 0 [rad] =0°.
ostry - α < 90° - kąt o mierze większej od 0 [rad] =0°, lecz mniejszej od π/2 [rad] =90°.
prosty - α = 90° - kąt przystający do swojego kąta przyległego. Miara kąta prostego wynosi π/2
[rad] =90°.
rozwarty - 90° < α < 180°- kąt o mierze większej od π/2 [rad] =90°, lecz mniejszej od π [rad]=180°.
półpełny - α = 180° - każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do
prostej. Miara kąta półpełnego wynosi π [rad]=180°.
pełny - α =360° - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie.
Miara kąta pełnego wynosi 2π [rad]=360°.
wypukły - α <= 180°- kąt, który jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π
[rad]=180° albo równa 2π [rad]=360°.
wklęsły - 180° < α < 360° - kąt, który nie jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest większa niż π
[rad=180°], lecz mniejsza niż 2π [rad]=360°.
Kąty wypukłe < 1800
Kąty wklęsłe > 1800 i < 3600
∘
Kompendium – matematyka
69
Kąty pełne – 3600
Kąty półpełne 1800
Kąty rozwarte > 900 i < 1800
Katy proste = 900
Kąty ostre < 900
Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe
Kąty przyległe – kąty, które maja wspólny wierzchołek, jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona
tworzą prostą.
Suma kątów przyległych wynosi 180°.
Kąty wierzchołkowe – kąty o równych miarach, mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona wzajemnie
się przedłużają
Dwie pary kątów wierzchołkowych powstają w wyniku przecięcia dwóch prostych:
Kompendium – matematyka
70
Kąty odpowiadające
Kąty naprzemianległe
Kompendium – matematyka
71
Kąty naprzemianległe wewnętrznie i zewnętrznie
Katy jednostronne zewnętrznie i wewnętrznie
Kompendium – matematyka
72
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
Jeżeli dwie proste, przetniemy trzecią, którą nazywamy wówczas prostą sieczną,
to utworzy się 8 kątów, mających następujące nazwy:
Kompendium – matematyka
73
Kąty 3 i 6 oraz 4 i 5 - kąty naprzemianległe wewnętrzne
Kąty 1 i 8 oraz 2 i 7 - kąty naprzemianległe zewnętrzne
Kąty 1 i 5, 3 i 7, 2 i 6, 4 i 8 - kąty odpowiadające
Kąty 3 i 5, 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrzne
Kąty 3 i 5, 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrzne
Pomiędzy kątami, które tworzy sieczna z 2 prostymi równoległymi są pewne zależności:
Symetralna odcinka
Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez środek
odcinka.
Każdy punkt symetralnej odcinka jest równo oddalony od końców odcinka.
Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.
Konstrukcja symetralnej odcinka oraz wyznaczenie środka odcinka AB
Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną danego odcinka AB należy:
Kompendium – matematyka
74
1. Zakreślić cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o identycznym promieniu
większym od połowy długości odcinka AB.
Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.
2. Poprowadzić prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.
Wyznaczona prosta jest szukaną symetralną.
Powyższa konstrukcja jest również stosowana do wyznaczenia środka odcinka
ponieważ punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem jest właśnie tym środkiem.
W każdym trójkącie symetralne wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie będącym
środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
Okrąg opisany na trójkącie
Środek okręgu opisanego na trójkącie, znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych
boków trójkąta
(symetralna to prosta dzieląca odcinek na pół i przecinająca go pod kątem prostym).
Kompendium – matematyka
75
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dwusieczna kąta
Dwusieczna kąta – półprosta, o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty
przystające.
Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii.
Konstrukcja dwusiecznej kąta AOB
Aby narysować dwusieczną, należy:
1. Z wierzchołka O danego kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie
ramiona kąta w punktach A, B
2. Z punktów A i B o tym samym co poprzednio promieniu (lub innym jednakowym)
zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C
3. Półprosta OC jest dwusieczną
Narysuj kąt α o wierzchołku A. Przy pomocy cyrkla wyznacz na jego ramionach punkty B i C
(przecięcie okręgu o promieniu BC z ramionami kata).
Z punktów B i C o jednakowym rozstawie (może być jak rozstaw poprzedni) zaznacz przecinające się
łuki w punkcie M.
Z punktu A przez punkt M narysuj półprostą k, która jest dwusieczną kąta α – dzieli kąt na połowy.
Definicja dwusiecznej:
Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego /
ścian kąta dwuściennego.
Kompendium – matematyka
76
Własności:
Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca
przez wierzchołek kąta

(dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd
nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy).


Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta.
W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie - w środku okręgu wpisanego w
trójkąt.
Kompendium – matematyka
77
Twierdzenie o dwusiecznej - dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie
dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
Dowód. Stosunek pól trójkątów o równej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw,
na które tę wysokość opuszczono.
P2/P1 = c2*h/ c1*h = c2*h * h/c1 = c2/c1 = b/a
Trójkąty:
Różnoboczne - różne boki
Równoramienne – obliczanie kąta miedzy ramionami lub kątów przy podstawie
Równoboczne – równe boki i kąty
Ostrokątne – kąty mniejsze od 90 stopni
rozwartokątne – jeden kąt rozwarty
prostokątne – jeden kąt prosty
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t
A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty
Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.
Podział trójkątów ze względu na boki:



trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; i równe kąty
Kompendium – matematyka
78
Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej
przeciwległy bok
Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem
geometrycznym (barycentrum) trójkąta.
Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum
z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka
łączącego barycentrum ze środkiem boku.
Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego
środek.
Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem
okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem
okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Kompendium – matematyka
79
Okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt
Kompendium – matematyka
80
Trójkąt różnoboczny
Trójkąt, którego każdy bok jest innej długości, to trójkąt różnoboczny.
Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.
|AB| < |AC| + |BC|,
c<a+b
|AC| < |AB| + |BC|,
b<c+a
|BC| < |AB| + |AC|.
a<c+b
Trójkąt równoramienny
Trójkąt, którego dwa boki są równej długości nazywamy trójkątem
równoramiennym.
|AC| = |CB α = β.
Boki równe nazywamy ramionami, trzeci bok nazywamy podstawą.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę. α = β.
Jeżeli trójkąt jest równoramienny, to kąty przylegające do jego podstawy są równe.
Trójkąt równoramienny posiada co najmniej jedną oś symetrii przecinającą podstawę w połowie
długości oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona.
W trójkącie równoramiennym dwie wysokości są równe.
Trzecia wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części, a półprosta, w której leży ta
wysokość, dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych miarach.
Trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
Kompendium – matematyka
81
Twierdzenie Pitagorasa:
a2 + b2 = c2
a, b – długości przyprostokątnych, c – długość przeciwprostokątnej
Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa
kwadratowi przeciwprostokątnej.
Długości boków trójkąta prostokątnego na podstawie twierdzenie Pitagorasa :
c=
a=
b=
a2 + b2 = c2
h=
Kompendium – matematyka
82
Trójkąt prostokątny z kątami 90° 30° i 60° oraz 90°, 45°, 45°
h = a √3
c = a√2
Trójkąt równoboczny, wysokość trójkąta równobocznego
Kompendium – matematyka
83
Trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości nazywamy trójkątem
równobocznym.
Trójkąt równoboczny to szczególny trójkąt, który posiada następujące własności:
- wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°,
- wysokość trójkąta równobocznego h = a*√3 / 2
- wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty
prostokątne,
- wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków
tego trójkąta,
- wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1 :2,
- punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem
okręgu opisanego na trójkącie,
- promień okręgu wpisanego w trójkąt r=1/3 *h lub r = a*√3 / 6
- promień okręgu opisanego na trójkącie R=2/3 h lub R = a √3 / 3
- pole trójkąta P=1/2 a*h lub P=a2 * √3 / 4.
Wysokość trójkąta równobocznego: h
Pole trójkąta równobocznego:
=
P
R+r=h
Podstawowe wzory dotyczące trójkąta dowolnego:
Obwód: Obw. = a + b + c
Pole:
P = ½ a*h
Kompendium – matematyka
84
Kompendium – matematyka
85
Cechy przystawania trójkątów
Dwa trójkąty są przystające, jeżeli ich odpowiednie boki i kąty są równe.
Cecha bok –bok -bok ( bbb)
Jeżeli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta to trójkąty są
przystające
Cecha bok – kąt – bok ( bkb)
Jeżeli 2 boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta i kąty zawarte między
tymi bokami są równe, to trójkąty są przystające.
Cecha kąt – bok – kąt (kbk)
Jeżeli bok jednego trójkąt jest równy bokowi drugiego trójkąta i kąty przylegające do tego boku są
równe odpowiednim kątom przylegającym do odpowiedniego boku
drugiego trójkąta – to trójkąty są przystające.
Boki trójkąta
Trzy odcinki są bokami trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych 2 boków jest większa od
boku trzeciego
Boki a kąty trójkąta
Naprzeciw dłuższego boku trójkąta leży większy kąt i na odwrót – naprzeciw większego kąta leży
większy bok.
Czworokąty:
różnoboczne,
trapezy,
równoległoboki,
prostokąty,
romby,
Kompendium – matematyka
86
kwadraty,
deltoidy
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
Czworokąt to płaszczyzna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z czterech odcinków.
punkty A, B, C, D, to wierzchołki czworokąta,
odcinki AB, BC, CD, DA to boki czworokąta,
kąty α, β, γ, δ to kąty wewnętrzne czworokąta.
Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 360°.
α + β + γ + δ = 360°.
Czworokąt jest figurą wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są kątami
wypukłymi.
Czworokąt jest figurą wklęsłą wówczas, gdy jeden z jego kątów wewnętrznych jest kątem wklęsłym.
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Ob = 2a + 2b - obwód
P = a · b - pole
- przekątna
Własności prostokąta
- przeciwległe boki są równe i równoległe,
- sąsiednie boki są prostopadłe,
- każdy z kątów jest kątem prostym,
- przekątne są równe i dzielą się na połowy,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie,
- przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Kwadrat
Kompendium – matematyka
87
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe.
Przekątna kwadratu, wysokość trójkąta prostokątnego równobocznego
d2 = a2 + a2
d = a√2
Własności kwadratu
- wszystkie boki są równe,
- przeciwległe boki są równoległe,
- wszystkie kąty są proste,
- przekątne są równej długości,
- przekątne dzielą się na połowę pod kątem prostym,
- przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów kwadratu,
- przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne,
- punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu,
- punkt przecięcia przekątnych wyznacza środek okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie.
Okrąg wpisany w kwadrat
Kompendium – matematyka
88
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego - o dwóch parach boków
równoległych.
Ob = 2a + 2b
P = a · h = a · b · sinα
P= ½ * d1 * d2 ⋅sinγ
Własności równoległoboku:
- przeciwległe boki są równoległe,
Kompendium – matematyka
89
- przeciwległe boki są tej samej długości,
- przekątne dzielą się na połowy,
- przeciwległe kąty są równe,
- suma dwóch sąsiednich kątów równa jest 180°,
- przekątne dzielą się na połowy i wyznaczają punkt, będący środkiem ciężkości równoległoboku
- przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty
- na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie możne opisać okręgu i nie można też w niego
wpisać okrąg.
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Jest to szczególny przypadek równoległoboku.
Ob = 4a
P = a · h = a2 · sinα
P= ½ * d 1*⋅d 2
Własności rombu
- wszystkie boki są równe,
- przeciwległe boki są równoległe,
- suma miar dwóch kątów sąsiednich wynosi 180°,
- przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów,
- przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym,
- punkt przecięcia przekątnych rombu wyznacza środek okręgu wpisanego w romb,
- przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii rombu.
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Kompendium – matematyka
90
a - podstawa dolna trapezu
b - podstawa górna trapezu
c, d - ramiona trapezu,
h - wysokość trapezu
Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°.
α + δ = 180°,
β + γ = 180°.
Obwód trapezu:
Pole trapezu:
Ob = a + b + c + d
P = ½ * (a+b) *h
Trapez równoramienny – ma równe ramiona
Kąty przy tej samej podstawie trapezu równoramiennego mają równe miary.
α + β = 180⁰
Przekątne p w trapezie równoramiennym mają równe długości.
Trapez równoramienny posiada oś symetrii będącą symetralną jednej z podstaw.
Trapez, którego jedno ramię tworzy kąty proste z podstawami, nazywa się trapezem prostokątnym.
Kompendium – matematyka
91
W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe d jest wysokością trapezu h.
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych,
w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.
Ob = 2a + 2b
P= ½ * d1 ⋅d2
P = a · b · sin α
Własności deltoidu
- kolejne boki są równe,
- kąty między różnymi bokami są równe,
- przekątne są prostopadłe,
- przekątna d2 dzieli deltoid na dwa trójkąty równoramienne
Sześciokąt foremny
Kompendium – matematyka
92
Okrąg opisany na czworokącie i okrąg wpisany
Obwody i pola figur płaskich
Figura
Oznaczenia
Obwód L
Pole
Promienie okręgu
opisanego – R
i wpisanego - r
Trójkąt
a, b, c – boki
ha, hb, hc –
wysokości
z boków a, b, c
α, β, γ –kąty
naprzeciw a, b, c
L = a+b+c
Jeśli trójkąt
równoramienny
to
L = a + 2b
W trójkącie
równobocznym
L = 3a
P = ½ *a* ha,
P = ½ *b*hb
P = ½*c*hc
P = ½*a*b*sin γ
P = ½*b*c*sin α
P = ½*a*c*sin β
R=
α+ β+ γ = 180
0
P =√p(p-1)*(p-b)*(p-c),
gdzie p =1/2*(a+b+c)
P = abc/(4R) = rp
R = abc/( 4P)
r=
(
)(
)(
r=
2
P=2*R *sinα*sin β sin γ
2
Kwadrat
a - bok
L = 4a
P=a
Prostokat
a, b - boki
L = 2a + 2b
L = 2*(a+b)
P = a*b
Równoległobok
a, b – boki
ha, - wysokość
L = 2a + 2b
L = 2*(a+b)
P = a*ha
P=b*hb
Kompendium – matematyka
R = ½ *a * √2
R=½*a
przekątna
d= 2
R = d/2
R=
r – nieokreślone
okręgu nie można
wpisać
93
)
Romb
Trapez
Deltoid –
przekątne
prostopadłe
Koło
Wycinek
kołowy
opuszczona na a
hb – wysokość
opuszczona na b
a – bok
e, f – przekątne
rombu
a, b – podstawy
c, d - ramiona
a, b – boki
e, f - przekątne
r – promień
d - średnica
r – promień koła
α – kąt środkowy,
na którym oparty
jest łuk
L = 4a
P = a*h
P = ½ * e*f
L = a+b+ c+d
L = 2a + 2b
P = ½ * (a+b)*h
h – wysokość trapezu
P=½*e*f
L = 2π*r
L = π*d
L = * 2π*r
P = π*r2
P = π*d2 /4
Pw = L = * 2π*r2
L=
* π*r
L=
* π*d
r=½*h
r = ½ a * sin α
R – nieokreślone
Wielokąty foremne:
trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny …
Wielokąt foremny
Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty równe.
Kąt środkowy (pomiędzy promieniami okręgu opisaneg0) wielokąta foremnego
αs = 3600 /n , gdzie n – ilość boków (kątów) wielokąta.
Kąt wewnętrzny ( kąt między sąsiednimi bokami)
αw = 1800 - αs = 1800 *(n-2) / n
Suma kątów wewnętrznych wielokąta zamkniętego: S αw = (n-1)* 1800
Ilość przekątnych dowolnego n - kąta: n*(n-3)/2
Figura
Trójkąt
równoboczny
Rysunek
Promień
okręgu
opisanego R
h=
R = 2/3 * h
Promień
okręgu
wpisanego r
r = 1/3 * h
a=a
a =a 3/3
Pole S
P=
P=
Kąt
wewnętrzny
a2
600
Kąt środkowy
0
= 360/n = 120
R+r=h
Kompendium – matematyka
94
Kwadrat
R = ½ *d
r=½a
P = a2
900
P=
1200
a=a
Sześciokąt
foremny
R=a
2
r=
__________________________________________________________________________________
______________________________________
Osie symetrii
Symetrie
Symetria osiowa
Symetrię osiową względem prostej k nazywamy również odbiciem symetrycznym względem prostej k
lub symetrią względem prostej k.
Każdy punkt prostej k jest punktem stałym symetrii
Kompendium – matematyka
95
Przykłady
Odcinek ma 2 osie symetrii – prostą przechodzącą przez odcinek i symetralną odcinka
Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii, a trójkąt równoboczny 3 osie symetrii
Kwadrat ma 4 osie symetrii
Prostokąt – 2 osie
Romb – 2 osie
Równoległobok, który nie jest rombem nie ma osi symetrii
Trapez równoramienny – jedna oś symetrii
Deltoid – 1 oś symetrii
Koło – nieskończenie wiele osi symetrii – każda prosta przechodząca przez środek koła
Symetria środkowa – symetria względem punktu
Dwa punkty P i P’ są symetryczne do siebie względem danego punktu O, jeżeli punkt O jest środkiem
odcinka PP’.
Symetrią środkową względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie
płaszczyzny, w którym punkt O jest stały,
a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka
AA'.
Symetrię środkową o środku O nazywamy również odbiciem symetrycznym względem punktu O lub
symetrią względem punktu O.
Punkt O jest punktem stałym symetrii środkowej.
Figura f ma środek symetrii S, jeżeli punkty symetryczne względem S do punktów figury f też
należą do f.
Punkt S nazywamy środkiem symetrii figury f.
Kompendium – matematyka
96
Środek symetrii figury – punkt względem którego obrazem figury jest ta sama figura.
Figura mająca jeden środek symetrii nazywa się środkowo symetryczną.
Przykłady
Równoległobok ma środek symetrii – punkt przecięcia przekątnych
Prosta ma nieskończenie wiele środków symetrii
Koło ma środek symetrii – środek koła
Żaden trójkąt nie ma osi symetrii.
Symetria w układzie współrzędnych – względem początku układu współrzędnych.
Punktem symetrycznym do punktu A = (x, y) jest punkt A’ = (-x, -y),
punktem symetrycznym do punktu B = (-x, y) jest punkt B’ = (x, -y)
Kompendium – matematyka
97
Oś symetrii figury
Oś symetrii figury jest prostą, względem której figura ta jest do siebie symetryczna osiowo.
Oś symetrii dzieli figurę na 2 części przystające.
Figura f ma oś symetrii k, jeżeli punkty symetryczne względem k do punktów figury f też należą do f.
Prostą k nazywamy osią symetrii figury f.
Figurę, która posiada co najmniej jedną oś symetrii nazywamy osiowosymetryczną.
Figury z jedną osią symetrii
Figury z 2 osiami symetrii
Kompendium – matematyka
98
Figury z 3 osiami symetrii
Osie symetrii wśród wielokątów:
trójkąt równoramienny - 1 oś symetrii,
trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii,
kwadrat - 4 osie symetrii,
prostokąt - 2 osie symetrii,
romb - 2 osie symetrii,
równoległobok - nie posiada osi symetrii
trapez równoramienny - 1 oś symetrii,
deltoid - 1 oś symetrii.
Figury z nieskończoną ilością osi symetrii: okrąg, koło.
Kompendium – matematyka
99
Koło i okrąg
Koło o środku O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów, które leżą w odległości od punktu O nie
większej niż r.
Koło to część płaszczyzny ograniczona okręgiem wraz z tym okręgiem.
Okrąg-o środku O i promieniu r to zbiór punktów, które leżą w odległości r od punktu O. Oznaczamy
o(O, r)
Okrąg - krzywa, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości r od danego punktu O zwanego
środkiem okręgu.
r - promień; O - środek koła lub okręgu, d – średnica = 2r
Cięciwa – odcinek, którego końce leżą na okręgu.
Najdłuższa cięciwa nazywa się średnicą d.
Łuk – część okręgu, zawarta miedzy 2 punktami leżącymi na okręgu, wraz z tymi punktami.
Wycinek koła – część koła zawarta między 2 promieniami wraz z tymi promieniami i łukiem.
Dwa promienie dzielą koło na 2 wycinki.
Odcinek koła – część koła zawarta między cięciwą i łukiem wraz z tą cięciwą i łukiem.
Cięciwa dzieli koło na 2 odcinki.
Kompendium – matematyka
100
Wzajemnie położenie dwóch okręgów
Rozłączne
Przecinające się
Styczne zewnętrzne
Styczne wewnętrznie
Kompendium – matematyka
101
Wzajemnie położenie okręgu i prostej
Okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych – odległość prostej od środka okręgu jest promienia
Mają 2 punkty wspólne - odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od promienia
Mają dokładnie jeden punkt wspólny – styczna do okręgu. Odległość stycznej jest równa długości
promienia.
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej w tym punkcie.
Kompendium – matematyka
102
Dwie styczne przecinające się wyznaczają dwa odcinki równej długości.
Długość okręgu i pole koła
Długość okręgu: L = 2πr
Pole koła: P = πr2
o
Długość łuku okręgu o kącie środkowym α i promieniu r: Ł = α/ 180 * πr
o
Pole wycinka koła: Pw = α/ 360 * πr
2
2
Kompendium – matematyka
103
__________________________________________________________________________________
__________________________________________
Kąty w kole
Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła, a ramiona zawierają promienie.
Wszystkie kąty środkowe oparte na łuku o tej samej długości, w tym samym okręgu są równe.
Kąt wpisany – kąt, którego wierzchołek znajduje się na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy.
Wszystkie kąty wpisane w ten sam okrag oparte na tym samym łuku są równe.
Własności kątów wpisanych i opisanych:
1. Jeżeli kąty środkowe w kole mają równe miary, to długości łuków, na których opierają się te
kąty są takie same.
Kompendium – matematyka
104
2. Jeżeli kąt wpisany i opisany oparte są na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest 2
razy większa od miary kata wpisanego
3. Jeżeli kąt wpisany jest opary na półokręgu (średnicy), to ten kąt jest kątem prostym
4. Jeżeli kąty wpisane oparte są na łukach tej samej długości to mają te same miary.
Kompendium – matematyka
105
Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przetnie się dwiema prostymi równoległymi,
to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta
są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez proste na drugim
ramieniu kąta.
Kompendium – matematyka
106
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Jeżeli ramiona kąta przetnie się 2 prostymi i długości odcinków wyznaczonych przez te proste
Na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu
kąta, to te proste są równoległe.
Kompendium – matematyka
107
Jednokładność i podobieństwo figur
Jednokładność o środku S i skali k to przekształcenie punktu A na A’, w którym:
punkty S, A i A’ są współliniowe oraz |SA’| = k*|SA|
Jednokładność odwrotna to jednokładność o skali ujemnej.
Własności jednokładności:
Środek jednokładności, punkt i jego obraz są współliniowe
Odcinek i jego obraz są odcinkami równoległymi
Stosunek długości odcinka i jego obrazu jest równy k
Stosunek pól figur jednokładnych jest równy k2
Podobieństwo figur
Figury są podobne, jeżeli odpowiednie odcinki jednej figury są proporcjonalne do odpowiednich
odcinków drugiej figury.
Skala podobieństwa figur k – stosunek odcinków proporcjonalnych.
Kompendium – matematyka
108
Dwa prostokąty są podobne, jeżeli stosunek długości dwóch prostopadłych boków jednego
prostokąta
jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta
Cechy podobieństwa trójkątów:
Trójkąty są podobne jeżeli:
Kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe kątom drugiego trójkąta
Boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta
Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między
tymi bokami są równe.
Stosunek pól 2 figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa
P2 / P1 = k2
Stereometria - bryły
Wielościany
Kompendium – matematyka
109
Wielościanem wypukłym nazywamy każdą bryłę wypukłą, której brzeg jest sumą mnogościową
skończonej liczby wielokątów.
Ścianą wielościanu wypukłego nazywamy taki wielokąt, który jest częścią wspólną płaszczyzny i
brzegu wielościanu.
Krawędzią wielościanu nazywamy bok jego ściany.
Wierzchołkiem wielościanu nazywamy wierzchołek jego ściany.
Twierdzenie Eulera
Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to
w-k+s=2
Pole powierzchni wielościanu równe jest sumie pól wszystkich jego ścian.
Wielościany foremne
Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi
wielokątami foremnymi
i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.
Wielościany foremne: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan…
Czworościan (tetraedr)
Ma 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.
Sześcian (heksaedr)
Ma 6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.
Graniastosłupy
Kompendium – matematyka
110
Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany (zwane podstawami) są przystającymi wielokątami
leżącymi w płaszczyznach równoległych,
a pozostałe ściany są równoległobokami.
Podstawy są równoległe
Ściany zawarte w płaszczyznach podstaw nazywamy podstawami graniastosłupa.
Pozostałe ściany są równoległobokami i nazywamy je ścianami bocznymi graniastosłupa.
Graniastosłup, którego podstawą jest n-kąt, nazywamy graniastosłupem n-kątnym.
Wysokość H graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego
końcami są punkty wspólne tej prostej
z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa.
Przekątną graniastosłupa nazywamy każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw
graniastosłupa i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa.
Wśród graniastosłupów wyróżniamy graniastosłupy proste i pochyłe
Graniastosłup prosty to figura przestrzenna, której podstawy są przystającymi
wielokątami, a wszystkie ściany boczne są prostokątami.
Kompendium – matematyka
111
Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są
prostopadłe do podstaw.
Graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi nazywamy
graniastosłupem prawidłowym.
W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są figurami przystającymi.
Jeżeli graniastosłup ma w podstawie wielokąt o n-kątach to:
- liczba ścian
- liczba wierzchołków
- liczba krawędzi
s = n+2
w = 2n
k= 3n
- n – ilość wierzchołków (boków, kątów) podstawy
Kompendium – matematyka
112
Prostopadłościan – graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami
H = c – wysokość prostopadłościanu
P = 2Pp + Pb - pole całkowite
P = 2ab + 2bc + 2bH
V = a*b*H - objętość prostopadłościanu
W podstawie: prostokąt o wymiarach a * b
Liczba ścian
6
Liczba wierzchołków 8
Liczba krawędzi
12
Sześcian – graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami
Szczególny przypadek prostopadłościanu.
Kompendium – matematyka
113
Siatka sześcianu
Sześcian
W podstawie: kwadrat a x a
Liczba ścian: 6
Liczba wierzchołków: 8
Liczba krawędzi: 12
Graniastosłup trójkątny
Kompendium – matematyka
114
Graniastosłup prawidłowy trójkątny – w podstawie ma trójkąt równoboczny
Siatka
Kompendium – matematyka
115
Ostrosłup
Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa,
jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa,
są trójkątami o wspólnym wierzchołku
Wspólny wierzchołek ścian bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywamy spodkiem wysokości
ostrosłupa.
Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości
ostrosłupa.
Sumę powierzchni wszystkich ścian bocznych ostrosłupa nazywamy powierzchnią boczną
graniastosłupa.
Kompendium – matematyka
116
Sumę powierzchni bocznej i podstawy ostrosłupa nazywamy powierzchnią całkowitą
ostrosłupa.
Ostrosłup o dowolnej podstawie
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o polu podstawy Pp i polu powierzchni
bocznej Pb jest równe:
Pc = Pp + Pb
Objętość ostrosłupa o polu podstawy Pp i wysokości H jest równa
V= 1/3 * Pp * H
Czworościan foremny – podstawa i ściany boczne – trójkąty równoboczne o krawędzi a
Pc = a2 * √3
V = 1/3 * Pp * H
V = 1/3 * a3 * √12
Ostrosłup prawidłowy n–kątny
Pb = n/2 * a * hs
P = Pp + Pb
V = 1/3 * Pp * H
Walec
Kompendium – matematyka
117
Walec:
Pp = π * r2
Pb = 2* π * r * H
Pc = 2*Pp + Pb = 2 π r (H + r)
Kula
Kompendium – matematyka
118
Kula:
P = 4/3 * π * R2 = π * d2
V = 4/3 * π * R2 = 1/6 * π * d2
Stożek
r – długość promienia podstawy, l – długość tworzącej stożka
Pp = π r2
Pb = π * r * l
Pc = Pp + Pb = π r2 + π * r * l = π r (r + l)
V = 1/3 * Pp * H
Kompendium – matematyka
119
Działania arytmetyczne w zbiorze liczb rzeczywistych
Potęgi liczbowe
an = a*a*a … an
- n razy
0n = 0
a0 = 1
a<> 0
a1 = 1
a2 = a*a
a do potęgi drugiej lub a do kwadratu
3
a = a*a*a
a do potęgi trzeciej lub a do sześcianu
Potęga liczby ujemnej jest dodatnia, jeśli wykładnik jest parzysty: np. (-2)2 = (-2)*(-2) = 4
Potęga liczby ujemnej jest ujemna, jeśli wykładnik jest nieparzysty: np. (-3)3 = -27
Działania na potęgach
Mnożenie potęg:
an * am = am+n ,
np. 52*51 = 52+1= 53
Dzielenie potęg:
am : an = am-n, dla a<>, 0
np. 25:23 =25-1 = 21 = 2
Potęgowanie potęgi:
(an)m = an*m np. (23)2 = 26 = 64
Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach:
an * bn = (a*b)n
42 * 22 = (4*2)2 = 82 = 64
Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach:
an : bn = (a : b)n
dla b <> 0
Potęga o wykładniku całkowitym
a-n = (1/a)n
dla a <>0
(a/b)-n = (b/a)n
dla a, b <>0
Notacja wykładnicza
Notacją wykładniczą liczby b nazywamy zapis tej liczby w postaci iloczynu liczby a oraz
potęgi liczby 10.
Notacja wykładnicza polega na zapisaniu liczby w postaci iloczynu składającego się z 2
czynników:
pierwszy to liczba większa/równa 1 i mniejsza od 10, drugi czynnik to potęga liczby 10
Kompendium – matematyka
120
b= a* 10n
a – liczba spełniająca warunek 1 = a < 10 10n – potęga liczby 10 o
wykładniku całkowitym n
Przykłady:
360000000 = 3,6 * 10 8
Liczba 3,6 spełnia warunek 1 <= 3,6 <10
-5
0,0000576 = 5,76 * 10
Liczba 0,0000576 = 5,76 / 105 = 5,76 * 105
25,7*107 = 2,57 * 10*107 = 2,57*108
0,064*10-8 = 6,4*10_2*10-8 = 6,4*10-10
Pierwiastki
Pierwiastek drugiego stopnia (pierwiastek kwadratowy) z liczby nieujemnej a (a>=) to taka liczba
nieujemna b,
która podniesiona do potęgi drugiej daje liczbę podpierwiastkową a
√a = b, gdy b2 = a
√4 = 2, bo 22 = 4
√0,25 = 0,5, bo 0,52 = 0,25
Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny) z liczby a, to taka liczba b,
która podniesiona do potęgi trzeciej daje liczbę podpierwiastkową a
= b, gdy b3 = a
np.
= 2 bo 23 = 8
Pierwiastek n - tego stopnia
Pierwiastek n - tego stopnia, n>= 2 , z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, która
podniesiona do potęgi n równa się liczbie a.
=b, wtedy i tylko wtedy, gdy bn =a
Własności pierwiastków
√a * √b =
dla a>= 0 i b >0
=
dla a
i b> 0
Potęga o wykładniku wymiernym dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n
Kompendium – matematyka
121
a(1/n) n = a
Wyłączanie czynniki przed znak pierwiastka
√50 = 2 2
2
Włączanie czynnika pod znak pierwiastka
2*√3 = √4 * √3 = √12
Liczby niewymierne
Liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku
całkowitym.
Przykłady: √2 √3
liczba π
Liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych.
Usuwanie niewymierności z mianownika
np. 1/√2 = √2 /2
=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat sumy
(a + b)2 =a2 +2ab + b2
Kwadrat różnicy
(a -b)2 =a2 – 2ab + b2
Kompendium – matematyka
122
Iloczyn sumy i różnicy 2 wyrażeń jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń:
(a + b) * (a – b) = a2 – b2
(a3 + b3) = (a + b)*(a2 –ab + b2)
(a3 - b3) = (a - b)*(a2 + ab + b2)
(a + b)3 =a3 + 3a2b +3ab2 + b3
(a - b)3 =a3 - 3a2b +3ab2 - b3
(a + b)n = an + (n 1)*an-1 + (n 2 )*an-2*b2 + … (n n-1)*a*bn-1 + bn gdzie (n k) symbol Newtona
(n k) = n! / (k! * (n-k)! )
Przedziały liczbowe
Dla danych liczb a i b takich, że a < b definiuje się przedziały liczbowe następująco:
Przedziały ograniczone:
Przedział otwarty o końcach a i b, a < b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x, które spełniają
warunek a < x < b
Zapisujemy to symbolicznie jako (a; b);
(a; b) = {x
R: a < x < b} – zapis przedziału otwartego o końcach a i b .
Przedział obustronnie domknięty o końcach a i b, a < b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x, które
spełniają warunek a ≤ x ≤ b
Zapisujemy to symbolicznie jako <a; b>;
<a; b> = {x
R: a ≤ x ≤ b } – zapis przedziału obustronnie domkniętego końcach a i b .
Przedział lewostronnie domknięty o końcach a i b, a < b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x, które
spełniają warunek a ≤ x < b
Zapisujemy to symbolicznie jako <a; b);
<a; b) = {x
R: a ≤ x < b } – zapis przedziału lewostronnie domkniętego końcach a i b .
Analogiczne przedział prawostronnie domknięty (a; b> (a; b> = {x
Kompendium – matematyka
R: a < x ≤ b }
123
Przedział otwarty nieograniczony (a; + ∞) nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które spełniają
warunek a > a.
Symbolicznie zapisujemy jako (a; + ∞) = {x
R: x> a }
Przedział domknięty nieograniczony <a; + ∞) nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które
spełniają warunek a ≥ a.
Symbolicznie zapisujemy jako <a; + ∞) = = {x
R: x≥ a }
Przedziały nieograniczone
Kompendium – matematyka
124
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna liczby x ∈ R nazywamy odległość punktu o współrzędnej x od początku osi
liczbowej.
Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x|, wartość bezwzględną a jako |a| itd.
Przykłady:
|5| = 5, |-5| =5; czyli |-5| = 5 = |5|;
|1/2| = |-1/2| = ½
Odległość między punktami o współrzędnych a, b na osi liczbowej to |a – b|
Odległość punktów I b oznaczamy |AB|.
Zapis definicja wartości bezwzględnej
|x| = { x dla x ≥ 0
{ -x dla x < 0
|a| = { a dla a ≥ 0
{ -a dla a < 0
|a| ≥0
| a – b | = |b – a|
{a/b| = |a|/|b| gdy b ≠ 0
|ab| = |a|*|b|
|a + b | < |a| + |b|
√a2 = |a|
Wartość bezwzględna różnicy liczb a i b czyli |a – b| jest równa odległości liczby a od liczby b na osi
liczbowej.
---------------o------------------------o---------------------------------o-------------- x
0
a
|a –b| = |b - a|
b
Elementy statystyki opisowej
Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych
uzyskanych podczas badania statystycznego.
Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumowanie zbioru danych i wyciągnięcie
pewnych podstawowych wniosków i uogólnień na temat zbioru.
Statystykę opisową stosuje się zazwyczaj jako pierwszy i podstawowy krok w analizie
zebranych danych.
Podstawowym zadaniem statystyki opisowej jest badanie rozkładu wartości pojedynczych
cech w populacjach liczących wiele elementów.
Do badań takich potrzebny jest zwykle zestaw danych uzyskany w wyniku pomiaru badanej
cechy.
Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:
1. Opis tabelaryczny.
Dane przedstawiane są w postaci tabel.
Dla małych zbiorów danych tabele mogą prezentować wszystkie dane, w przeciwnym przypadku
tworzy się podsumowania.
Kompendium – matematyka
125
2. Graficzna prezentacja wyników.
Dane prezentowane są w formie graficznej, np. histogram, krzywa liczebności, wykres
pudełkowy.
3. Wyznaczanie miar rozkładu.
Do opisu służą miary rozkładu, obliczane na podstawie uzyskanych danych.
Interpretacja wartości tych miar dostarcza informacji na temat charakteru rozkładu cechy.
Miary można podzielić na kilka podstawowych kategorii:
miary położenia, np. średnie: arytmetyczna, geometryczna, kwadratowa, harmoniczna; oraz
mediana, dominanta.
miary zróżnicowania (rozproszenia): np. odchylenie standardowe, wariancja.
miary asymetrii
miary koncentracji
Miary statystyczne pozwalają na ocenę rozkładu wartości badanej cechy w zestawie danych.
Miary wartości średniej (tendencji centralnej)
Do oceny wartości średniej zestawu danych służą różne średnie oraz miary takie jak mediana i
dominanta
Średnia arytmetyczna liczb x1, x2, x3, … xn - liczby rzeczywiste
xa = (x1 + x2 + x3 + … xn) / n
Średnia ważona liczb x1, x2, x3 … xn (liczby rzeczywiste) z wagami odpowiednio p1, p2, p3, … pn
(liczby dodatnie)
(pi – wagi odpowiadające spostrzeżeniom xi – liczby dodatnie)
xw = (p1*x1 + p2*x2 + p3*x3 + … pn*xn) / (p1 + p2 + p3 + … pn)
Przykład zastosowania: średnia ważona ocen ucznia – różna skala wartości ocen – odpowiednie wagi
Średnia geometryczna liczb x1, x2, x3 … xn (liczby nieujemne)
xg = n√(x1*x2*x3* … xn)
Średnia harmoniczna liczb x1, x2, x3 … xn (liczby różne od zera)
xh = n / (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn)
Średnia kwadratowa liczb x1, x2, x3, … xn - liczby rzeczywiste
xk = √(x12 + x22 + … + xn2)/n
Mediana Me
Mediana zestawu danych Me rozdziela zestaw danych na 2 w przybliżeniu równe części:
do jednej części należą dane o wartości nie większej od mediany, a do drugiej dane o wartości nie
większej od mediany.
W celu wyznaczenia mediany należy zestaw danych uporządkować rosnąco (od najmniejszej do
największej wartości)
Jeśli zestaw danych składa się z nieparzystej ilości danych, to medianą jest wartość stojąca w środku
zestawu.
Jeśli zestaw danych składa się z parzystej ilości danych, to medianą jest średnia arytmetyczna 2
wartości stojących w środku zestawu.
Kompendium – matematyka
126
Dominanta – wartość modalna, moda
Dominanta zestawu danych x1, x2, x3, … xn nazywamy wartość Do, która w tym zestawie powtarza się
najczęściej.
W zestawie danych może być więcej niż jedna dominanta.
Miary zróżnicowania
Służą do oceny odchyleń wartości cechy od wartości średniej w rozpatrywanym zestawie danych.
Do najważniejszych miar zróżnicowania (rozproszenia) należą: wariancja i odchylenie standardowe.
Wariancja zestawu danych x1, x2, x3, … xn , dla średniej arytmetycznej xs
2
2
2
2
σ2 = ( (x1 – xs ) + (x1 – xs ) + (x2 – xs ) + … (xn – xs ) ) / n
lub
σ2 = ( x12 + x22 + … + xn2 ) /n - xs2
Wariancja określa średni kwadrat odchyleń liczb zestawu danych od średniej tego zestawu
Odchylenie standardowe zestawu danych x1, x2, x3, … xn
σ = √ σ2
Odchylenie standardowe określa średnie odchylenie liczb w zestawie danych od średniej zestawu.
Przykład:
x1 = 4, x2 = 5 ; p1 = 2, p2 = 3
xa = (4 + 5) / 2 = 4,5
xw =(2*4 + 3*5)/(2 +3) = (8 + 15)/5 = 23/5 = 4,6
Linki zewnętrzne:
Wykresy: http://www.jogle.pl/wykresy/
http://eszkola.pl/matematyka http://www.idg.pl/ftp/pc_1548/advanced.grapher.207.html
http://matemaks.pl/
http://www.jogle.pl/wykresy/ http://matemaks.pl/program-do-rysowania-wykresow-funkcji.php
http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=wykres-funkcji
http://portalmatematyczny.pl/rysowanie-wykresu-funkcji
http://pl.numberempire.com/graphingcalculator.php
Programy do instalacji: http://www.idg.pl/ftp/pc_1548/advanced.grapher.207.html
Portale
Szkoła podstawowa: http://www.matzoo.pl/ http://matmag.pl/
http://matematyka.opracowania.pl/podstawowa/ http://www.math.edu.pl/testy-sp
Gimnazjum, liceum i inne:
http://www.matemaks.pl/
http://www.matematyka.pl/ http://www.math.edu.pl/ http://www.matemaks.pl
http://www.serwis-matematyczny.pl/ http://www.matematykam.pl/
http://www.wolframalpha.com/ http://zadane.pl/ http://www.matzoo.pl/
Kompendium – matematyka
127
http://www.nowiny24.pl/matura http://www.serwis-matematyczny.pl/ http://www.matzoo.pl/
http://www.nowiny24.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20120430/MATURA_Z_MATEMATYKI_2012/12
0439999 http://matematyka.pisz.pl/ http://www.zadania.info/
http://www.matemaks.pl/wykres-funkcji.php http://www.jogle.pl/wykresy/
http://www.wykresyfunkcji.pl/ http://www.matematyka.pl/61976.htm
Kompendium – matematyka
128