PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA
advertisement
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów borelowskich to klasa podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej, które można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych tej przestrzeni. Rozkład prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo przyjęcia każdej możliwej wartości przez zmienną losową (jeśli jest ona dyskretna), lub jej prawdopodobieństwo znalezienia się w konkretnym przedziale (jeśli jest ciągła). DYSTRYBUANTA Jeśli zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału liczb rzeczywistych, wówczas rozkład prawdopodobieństwa możemy jednoznacznie opisać przez dystrybuantę. Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze liczb rzeczywistych. Wówczas dystrybuantą nazywamy funkcję F:R→R daną wzorem: F(t)=P((-∞;t]) DYSKRETNY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Mówimy że rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, jeżeli zbiór wartości przyjmowanych przez zmienną losową z niezerowym prawdopodobieństwem jest skończony lub przeliczalny. CIĄGŁY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Mówimy że rozkład prawdopodobieństwa jest ciągły, jeżeli jego dystrybuanta jest funkcją ciągłą. W węższym sensie, rozkład prawdopodobieństwa nazywamy (bezwzględnie) ciągłym jeśli posiada on funkcję gęstości. FUNKCJA GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa na R. Wówczas gęstością prawdopodobieństwa nazywamy taką nieujemną funkcję f(x) całkowalną w sensie Lebesgue'a, że dla każdego zbioru borelowskiego B⊆R P B=∫ f x dx B Stąd wniosek, że: x F x = ∫ f u du −∞ FUNKCJA MASY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Niech X będzie dyskretną zmienną losową. Wówczas funkcję masy prawdopodobieństwa definiujemy jako fX(x)=P(X=x) ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY Rozkład ten określa sytuację, gdy dane zdarzenie może z określonym prawdopodobieństwem zakończyć się sukcesem lub porażką. masa prawdopodobieństwa: p dla k=1, 0<p<1 1-p dla k=0 0 w pozostałych wypadkach dystrybuanta: 0 dla k<0 1-p dla 0≤k<1 1 dla k≥1 wartość oczekiwana: p wariancja: p(1-p) ROZKŁAD JEDNOSTAJNY DYSKRETNY Rozkład, w którym prawdopodobieństwo każdego z n zdarzeń jest jednakowe. masa prawdopodobieństwa: 1/n dla a≤k≤b, kєZ 0 w przeciwnym wypadku dystrybuanta: 0 dla k<a k −a1 n dla a≤k≤b 1 dla k≥b ab wartość oczekiwana: 2 ab mediana: 2 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY DYSKRETNY masa prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Rozkład opisujący liczbę sukcesów dla n niezależnych prób. masa prawdopodobieństwa: n p k 1− pn− k k dystrybuanta: n−k n k 1− p ∫ tn −k−1 1−tk dt 0 wartość oczekiwana: mediana: [np] wariancja: np(1−p) np ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) masa prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD GEOMETRYCZNY Rozkład opisujący prawdopodobieństwo, że proces Bernoulliego pierwszy sukces odniesie w k-tej próbie. masa prawdopodobieństwa: 1− pk−1 p dystrybuanta: 1−1− p k wartość oczekiwana: −log 2 ] mediana: [ log 1− p 1− p wariancja: p2 1/p ROZKŁAD GEOMETRYCZNY masa prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD POISSONA Rozkład wyrażający prawdopodobieństwo liczbę wystąpienia danego zdarzenia w danym czasie, o ile znana jest średnia częstotliwość tych zdarzeń i są one od siebie niezależne. masa prawdopodobieństwa: λ k −λ e k! dystrybuanta: k λi e ∑ i =0 i ! −λ wartość oczekiwana: 1 0,02 mediana:.≈[ λ − ] 3 λ wariancja: λ λ ROZKŁAD POISSONA masa prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY Rozkład, w którym gęstość jest stała i niezerowa na przedziale [a,b] oraz zerowa poza nim. gęstość prawdopodobieństwa: 1 b−a dla 0 dla a≤x≤b x<a lub x>b dystrybuanta: 0 dla x<a 1-p dla a≤x<b 1 dla x≥b wartość oczekiwana: mediana: wariancja: ab 2 b−a 2 12 ab 2 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD TRÓJKĄTNY gęstość prawdopodobieństwa: 2 x−a b−a c−a 2b− x b−a b−c dla a≤x≤c dla c≤x≤b dystrybuanta: 2 x−a b−a c−a 2 b−x 1− b−ab−c dla a≤x≤c dla c≤x≤b wartość oczekiwana: abc 3 ROZKŁAD TRÓJKĄTNY gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD WYKŁADNICZY Rozkład ten opisuje czas pomiędzy wydarzeniami w procesie Poissona, tj. wydarzeniami, które dzieją się w sposób ciągły, niezależnie od siebie, ze stałą średnią częstotliwością. gęstość prawdopodobieństwa: λe−λx dystrybuanta: 1-λe−λx wartość oczekiwana: 1/λ mediana: ln2 λ wariancja: λ-2 ROZKŁAD WYKŁADNICZY gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA) Rozkład używany do opisu wielu zmienny losowych, które dążą do skupiania się wokół pewnych wartości średnich. Jego częstość występowania wiąże się z tym, że wielkości będące sumą dużej ilości zmiennych losowych, podlegają rozkładowi normalnemu. gęstość prawdopodobieństwa: 2 1 2πσ 2 e − x−m 2σ 2 dystrybuanta: 1 z 1erf 2 2 wartość oczekiwana: mediana: m wariancja: σ2 t 2 −t e dt erf(x)= ∫ π 0 2 m ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA) gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta ROZKŁAD CHI KWADRAT Rozkład o k stopniach swobody, dotyczy zmiennej losowej, która jest sumą kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Często używany we wnioskowaniu statystycznym, np. testowaniu hipotez. gęstość prawdopodobieństwa: 1 k 2 k 2 Γ 2 x k −x −1 2 2 e dystrybuanta: 1 k Γ 2 γ k x , 2 2 wartość oczekiwana: mediana: k 1− 2 wariancja: 9k 2k 3 k ROZKŁAD CHI KWADRAT gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta bibliografia: http://brain.fuw.edu.pl/edu/STAT:Rozk%C5%82ady http://www.math.uni.wroc.pl/~s200154/prawdopodobienstwo.pdf http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Rachunek_prawdopodobie %C5%84stwa_i_statystyka/Wyk%C5%82ad_6:_Rozk%C5%82ady_prawdopodobie %C5%84stwa_i_zmienne_losowe http://home.agh.edu.pl/~bartus/index.php? action=statystyka&subaction=rozklady_dyskretne http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution
