definicje2

  E n nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych dwóch punktów
x, y   punkt z  x  (1  ) y należy do  dla każdego
  [0,1]
Hiperpłaszczyzną H  w przestrzeni En nazywamy zbiór:
Zbiór
H   {x  E n : (a | x)   }, a  E n ,   R
gdzie (a|x) –
iloczyn skalarny wektorów a,x
H
Hiperpłaszczyznę
gdy zachodzi
Zbiór
x  H
  En
istnieje taki punkt
 w punkcie x0,
  H 
nazywamy podpierającą zbiór
0
oraz

  H
albo
nazywamy ograniczonym od dołu (od góry), jeśli
a  E n , że xi  ai , i  1, n (
xi  ai , i  1, n )
Zbiór 
od góry.
 En
nazywamy ograniczonym, jeżeli jest ograniczony od dołu i
Wierzchołkiem zbioru wypukłego
  En
nazywamy taki punkt
x   , dla którego nie istnieją dwa różne punkty
x'  x' ' , x' , x' '  , takie że x  x'(1  ) x' '
  (0,1)
dla każdego
Stożkiem S w przestrzeni En nazywamy taki zbiór punktów x, że dla każdego
  0 punkt   x  S , czyli   S  S
Zbiorem wielościennym nazywamy zbiór

postaci:
m
  {x  E n : (ai | x)  d i } przy czym istnieje takie i, że
i 1
di  0
Wielościanem nazywamy zbiór wielościenny ograniczony.
  E n nazywa
x, y   oraz każdego   [0,1]
Funkcja rzeczywista f określona na wypukłym zbiorze
się wypukłą, jeśli dla każdego
spełniona jest nierówność:
f (x  (1  ) y )  f ( x)  (1  ) f ( y )
Jeśli natomiast
spełniona jest nierówność
f (x  (1  ) y )  f ( x)  (1  ) f ( y )
nazywamy wklęsłą.
Ponadto, jeśli w pierwszym równaniu dla każdego
x, y  
  (0,1)
i każdych
zachodzi nierówność ostra, to funkcję f nazywamy ściśle
wypukłą.
Analogicznie, jeśli w drugim równaniu dla każdego
x, y  
to funkcję
  (0,1)
i każdych
zachodzi nierówność ostra, to funkcję f nazywamy ściśle
wklęsłą.
Rozwiązaniem bazowym układu równań Ax=d odpowiadającym bazie B
nazywamy rozwiązanie x tego układu postaci:
B
B
1


 Bx  d
x  B d
 R
 R


x  0
x  0
gdzie xB – wektor składowych wektora
x odpowiadających kolumnom bazy B; xR – pozostałe składowe
Zmiennymi bazowymi rozwiązania bazowego x nazywamy te składowe
wektora x, które odpowiadają wektorom bazy B. Pozostałe składowe tego
wektora nazywamy zmiennymi wtórnymi.
Rozwiązanie bazowe x odpowiadające bazie B spełniającej warunki:
  AT y  c  0 czyli
dla j  N B
0
nazywamy
 j  (y | aj )  cj  
 j  0 dla j  N R
dualnie dopuszczalnym.
Rozwiązanie dualnie dopuszczalne staje się prymalnie dopuszczalnym, gdy
x>=0 (tzn. xB=B-1d>=0, xR=0)
Problem decyzyjny  jest zadany, jeśli zadany jest zbiór parametrów tego
problemu (bez nadanych wartości) oraz pytanie, na które odpowiedź brzmi
„tak” lub „nie”
Rozmiarem N(z) konkretnego problemu decyzyjnego
z  D
nazywamy
długość łańcucha danych x(z), czyli N(z)=|x(z)|
Złożonością obliczeniową algorytmu  nazywamy funkcję postaci
f  (n)  max{t ( z,  , n) : z  D , N ( z)  n} gdzie t(z,
zD
,n) – liczba elementarnych operacji (kroków DTM) potrzebna do
z  D
rozwiązania problemu
o rozmiarze N(z)=n za pomocą algorytmu
.
Mówimy, że algorytm  ma złożoność obliczeniową wielomianową, jeśli
istnieje stała c>0 oraz wielomian p(n), taki że:

n  n0
f  (n)  cp(n)
co
f  (n)  0( p(n)) . W innych przypadkach mówimy, że
zapiszemy
algorytm  ma złożoność wykładniczą.
Złożonością obliczeniową problemu  nazywamy złożoność najlepszego
możliwego algorytmu rozwiązującego ten problem
Klasą P nazywamy klasę problemów decyzyjnych, których złożoność
obliczeniowa jest wielomianowa
Mówimy, że problem decyzyjny  należy do klasy NP, jeśli istnieje
wielomian p(n) zależny od rozmiaru tego problemu oraz algorytm 
(algorytm weryfikacji potwierdzenia) takie, że dla każdego konkretnego
problemu
z  D
z odpowiedzią „tak” i łańcucha danych x(z) istnieje
łańcuch (potwierdzenie odpowiedzi „tak”) c(x) symboli alfabetu wyjściowego
, dla którego:
- |c(x)|=<p(N(z)),
- algorytm  po otrzymaniu na wejściu sekwencji x(z) # c(x(z)) (# koniec
danych, początek potwierdzania) dochodzi do odpowiedzi „tak” po nie więcej
niż p(N(z)) krokach
Problem decyzyjny  1 jest wielomianowo transformowalny do  2,
jeśli dla dowolnego łańcucha x danych problemu  1 można w
wielomianowym czasie (wielomian zależy od |x(z)|) zbudować łańcuch y
danych problemu  2, taki, że: x(z) będzie łańcuchem danych konkretnego
problemu
z  D 1
z odpowiedzią „tak” wtedy i tylko wtedy, gdy y(z’)
będzie łańcuchem danych konkretnego problemu
„tak”; oznaczmy to następująco:
z ' D 2
z odpowiedzią
1   2
  NP nazywamy NP.- zupełnym , jeśli każdy problem
' NP transformuje się wielomianowo do  tzn.  '  
Problem
Macierz B kwadratową, nieosobliwą o elementach całkowitych nazywamy
unimodularną, gdy D= |det B| =1 gdzie det B - oznacza wyznacznik
macierzy B
Całkowitoliczbową macierz A=(aij)mxn nazywamy całkowicie
unimodularną, gdy każda jej podmacierz kwadratowa, nieosobliwa jest
unimodularna
Podziałem P zbioru S nazywamy zbiór podzbiorów
J
S, takich że:
S  S j
j 1
,
S j  Sk 
S j , j  1, J
dla j  k
zbioru
Oszacowaniem od góry wartości z(x*(j)) nazywamy wartość
zj
, taką, że
z j  z ( x * ( j ))
Oszacowaniem od dołu wartości z(x*(j)) nazywamy wartość
z j , taką, że
z j  z( x ( j ))
*
Wektor zmiennych o ustalonych na drodze Dk wartościach
x (k )  ( x j )
c
xj
jWk nazywamy rozwiązaniem częściowym (w
wierzchołku Sk)
Wektor xd(k)=( x j ), jFk, x j {0,1} nazywamy dopełnieniem
rozwiązania częściowego (w wierzchołku Sk)
Dopełnienie xd(k) nazywamy dopuszczalnym jeśli łącznie z rozwiązaniem
częściowym xc(k) tworzy wektor xS; w przeciwnym przypadku nazywamy
niedopuszczalnym.
Parę (x*, y*) nazywamy punktem siodłowym funkcji F(x,y) w zbiorze AxB,
jeżeli dla każdego xA  En oraz każdego yB  Em zachodzi: F(x*, y)
F(x*, y*) F(x, y*)
Niech zbiór
R
zadania
f ( x * )  min f ( x)
będzie zbiorem
xR
domkniętym w En. Niech
ciąg ( F
Fkz ()
będą funkcjami ciągłymi. Mówimy, że
z
k ) nazywa się ciągiem zewnętrznych funkcji kary, jeśli:
1.
Fkz (x) =0
2.
Fkz (x) >0 dla każdego x R
3.
Fkz1 ( x ) > Fkz (x)
4.
Fkz ( x) k
  dla każdego x R

Niech zbiór
R
dla każdego x R oraz k=0,1,2...
zadania
oraz k=0,1,2...
dla każdego x R oraz k=0,1,2...
f ( x * )  min f ( x)
będzie zbiorem
xR
domkniętym. Niech Fk będzie funkcją określoną na wnętrzu R w zbioru R
dla k=0,1,2,...Ciąg funkcji (Fk) nazywamy ciągiem wewnętrznych funkcji
kar jeśli:
dla każdego x R w , k=0,1,2...
1. Fk(x)>Fk+1(x)>0
2.
Fk ( x) k
 0

3.
Fk ( x l ) l
 

dla każdego x R w ,
dla każdego ciągu (xl), xl R w takiego, że

x l l
 x


x  R ,  R
, k=0,1,2,... gdzie
- brzeg zbioru
R
Kierunek (wektor) sEn nazywamy dopuszczalnym w punkcie x R , że
R , jeśli istnieje taka liczba >0, że dla dowolnego t[0, ]
punkt postaci x’=x+ts należy do zbioru R
względu na zbiór
f ( x * )  min f ( x)
Mówimy, że ograniczenia zadania
są
xR

regularne, gdy zachodzi: dla każdego x R
D( x )  D( x )
Kierunek dopuszczalny sEn w punkcie x R nazywamy
poprawiającym (kierunkiem poprawy) ze względu na funkcję celu f(),
jeśli f(x+ts)<f(x) dla t(0, ], >0 co w przypadku różniczkowalnej funkcji
f() jest równoważne warunkowi: ( f
R
dla t(0, ], >0
( x) | s)  0, x  t  s
należy do