Zadania z fizyki teoretycznej dla III roku WZSN
advertisement
Zadania z fizyki teoretycznej dla III roku WZSN zestaw I Zadanie 1. Korzystaja̧c z równań Maxwella w postaci calkowej, równań materialowych oraz wzoru na silȩ Lorentza, wyprowadzić jednostki w ukladzie SI dla nastȩpuja̧cych wielkości: E, B, D, H oraz i µ. Zadanie 2. Korzystaja̧c z równań Maxwella i równań materialowych wyprowadzić prawo Ohma oraz prawa Kirchoffa. Zadanie 3. Zakladaja̧c jednorodność i izotropowość ośrodka, wyprowadzić z calkowych równań Maxwella wzór na natȩżenie pola elektrycznego pochodza̧cego od jednorodnie naladowanej plaszczyzny. Zadanie 4. Przy analogicznych zalożeniach wyprowadzić wzór na natȩżenie pola elektrycznego pochodza̧cego od nieskończenie dlugiego prostego prȩta o promieniu R, naladowanego elektrycznie ze stala̧ gȩstościa̧ ρ0 . Zadanie 5. Obliczyć: a) ∇ · r b) ∇f (r) c) ∇ × (e3 × r) , gdzie r jest wektorem polożenia w przestrzeni, r = |r|, a e3 jest elementem bazy ortonormalnej. Zadanie 6. Pokazać na poziomie różniczkowych równań Maxwella, że prawo zachowania ladunku wynika z elektrycznego prawa Gaussa i uogólnionego prawa Ampere’a. zestaw II Zadanie 1. Potencjaly A(r, t) i ϕ(r, t) spelniaja̧ warunek ∇ · A + µεϕ̇ = f (r, t). Jakie równanie musi spelniać potencjal cechowania ψ, by przecechowane potencjaly A0 i ϕ0 spelnialy warunek cechowania Lorentza? Zadanie 2. Sprawdzić, czy funkcja sin(k · r − ωt) może byś rozwia̧zaniem równania d’Alemberta. Zadanie 3. Znaleźć dlugość oraz czȩstość plaskiej fali elektromagnetycznej o wektorze falowym k = (k1 , k2 , k3 ) = (12m−1 , 15m−1 , 16m−1 ), której prȩdkość fazowa wynosi 2·108 m/s. Zadanie 4. Pod jakim ka̧tem (od normalnej) pada na plaszczyznȩ, określona̧ przez równanie 2x1 − x2 + 3x3 = 12, fala plaska o wektorze falowym podanym w zad. 3? Zadanie 5. Pokazć, że ortogonalna transformacja bazy ortonormalnej w R3 , tzn. obrót lub inwersja, nie zmienia postaci laplasjanu. Zadanie 6. Jakie równanie na pole E wynika z elektrycznego prawa Gaussa pod nieobecność ladunków, ale w ośrodku niejednorodnym? zestaw III Zadanie 1. √ Pokazać niezmienniczość interwa lu czasoprzestrzennego τ = r2 − c2 t2 oraz τ 0 = √ c2 t2 − r2 wzglȩdem transformacji zachowuja̧cej postać operatora d’Alemberta. Zadanie 2. Wykreślić krzywe stalego τ i τ 0 we wspólrzȩdnych czasoprzestrzennych (x1 , t). Jak wygla̧da wykres τ = τ 0 = 0? Zadanie 3. Wykreślić osie x01 i t0 we wspólrzȩdnych x1 i t w przypadku; a) β > 0, b) β < 0. Zadanie 4. Wyprowadzić równania la̧cza̧ce wektory falowe i czȩstości fali plaskiej w dwóch różnych ukladach odniesienia przy zalożeniu niezmienniczości fazy wzglȩdem transformacji Lorentza. Zadanie 5. Posluguja̧c siȩ wykresem we wspólrzȩdnych czasoprzestrzennych (x1 , t), zilustrować niezmienniczość kolejności zdarzeń powia̧zanych przyczynowo wzglȩdem transformacji Lorentza oraz możliwość zamiany kolejności niektórych zdarzeń nie powia̧zanych przyczynowo przy przejściu do odpowiedniego ukladu odniesienia. Zadanie 6. Korzystaja̧c z wlasności transformacyjnych czterowektorów: A0µ = αµν Aν oraz 0 tensorów 2. rzȩdu: Tµν = αµρ ανσ Tρσ wykazać, że wielkości typu Aµ Bµ oraz Tµν Sµν , sa̧ niezmiennikami transformacji Lorentza, czyli skalarami. zestaw IV Zadanie 1. Wychodza̧c z postaci szczególnej transformacji Lorentza, wyprowadzić wzory na transformacjȩ Lorentza dla inercjalnych ukladów odniesienia, w których prȩdkość ruchu wzglȩdnego wyraża siȩ odpowiednio (v, v, 0) oraz (−v, −v, 0). Zadanie 2. Wyprowadzić wzór na potencjal wektorowy A0 i skalarny ϕ0 w ukladzie odniesienia poruszaja̧cym siȩ z prȩdkościa̧ v wzglȩdem ukladu, w którym tylko potencjal skalarny ϕ nie znika. Zadanie 3. Znaleźć natȩżenie pola elektrycznego E0 oraz indukcjȩ pola magnetycznego B0 w ukladzie odniesienia, poruszaja̧cym siȩ z prȩdkościa̧ v wzglȩdem ukladu odniesienia, w którym B ≡ 0. Rozważyć w szczególności przypadek jednorodnego pola E skierowanego: a) równolegle do v, b) prostpadle do v. Zadanie 4. Znaleźć potencjal skalarny ϕ oraz natȩżenie pola elektrycznego E dla dwóch identycznych ladunków punktowych q umieszczonych w punktach r1 oraz r2 . Jak zachowuje siȩ potencjal skalarny przy bardzo dużych odleglościach od ladunków? Zadanie 5. Znaleźć potencjal skalarny ϕ oraz natȩżenie pola elektrycznego E dla pary ladunków punktowych: q umieszczonego w punkcie r1 oraz −q umieszczonego w r2 . Jak zachowuje siȩ potencjal skalarny przy bardzo dużych odleglościach od ladunków? Zadanie 6. Znaleźć potencjal skalarny ϕ oraz natȩżenie pola elektrycznego E dla ukladu czterech ladunków punktowych q oraz −q umieszczonych naprzemiennie w wierzcholkach kwadratu o boku a. Jak zachowuje siȩ potencjal skalarny przy bardzo dużych odleglościach od ladunków?
