Podstawowe elementy liniowe

Podstawowe elementy liniowe
Własności statyczne i dynamiczne
Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności
dynamiczne. Wyróżniamy sześć grup elementów podstawowych:
1. Bezinercyjne (proporcjonalne)
2. Inercyjne
3. Całkujące
4. Różniczkujące
5. Oscylacyjne
6. Opóźniające.
Własności statyczne określa charakterystyka statyczna, a własności
dynamiczne równanie różniczkowe, transmitancja operatorowa i
widmowa a także charakterystyki czasowe i częstotliwościowe.
Człon bezinercyjny (proporcjonalny)
Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jest następująca:
y=kx,
gdzie y – wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa, k – współczynnik
proporcjonalności (wzmocnienia).
Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi
wzmocnienia:
Y ( s)
G ( s) 
k
X ( s)
Odpowiedzią na skok jednostkowy członu proporcjonalnego jest skok o
wartości k.
h(t)
k
1
t
0
Charakterystyki częstotliwościowe są linią prostą o stałym wzmocnieniu
z przesunięciem fazowym równym 0.
Przykłady realizacji członu proporcjonalnego:
a) dzielnik napięciowy
R1
R2
R2
G ( s)  k 
R1  R2
b) mnożenie przez stałą (wzmacniacz operacyjny)
R2
R1
+
R2
G( s)  k  
R1
Człon inercyjny I rzędu
Ogólna postać równania różniczkowego
pierwszego rzędu jest następująca:
elementu
dy
T
 y  kx
dt
Stąd wynika transmitancja:
k
G ( s) 
Ts  1
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa [s]
inercyjnego
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności
przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
k 1
k
k
1
Y (s)  G(s) X (s) 


Ts  1 s s (Ts  1) T s ( s  1 )
T
t
t


k
y (t )  T (1  e T )  k (1  e T )
T
Transmitancja widmowa jest następująca:
k
k (1  jT )
G( j ) 

jT  1 1   2T 2
Stąd
P ( ) 
k
1   2T 2
kT
Q ( )  
1   2T 2
k
A( ) 
1   2T 2
 ( )  arctg T
Charakterystyki częstotliwościowe członu inercyjnego I rzędu wyglądają
następująco:
Przykładem układu inercyjnego I rzędu jest filtr dolnoprzepustowy RC, w
którym sygnałem wejściowym i wyjściowym jest napięcie, lub silnik
prądu stałego (lub indukcyjny 3-fazowy), w którym skokowe włączenie
zasilania jest sygnałem wymuszającym a wyjściem jest prędkość kątowa
wału silnika.
R
C
Człon całkujący idealny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego idealnego
jest następująca:
dy
 kx
dt
Stąd wynika transmitancja:
k
G (s) 
s
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia
W przypadku szczególnym (k ma wymiar odwrotności czasu), może zajść:
1
G (s) 
Ts
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności
przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
k1 k
Y ( s)  G( s) X ( s) 
 2
ss s
y (t )  kt
Transmitancja widmowa jest następująca:
k
k
G ( j ) 
j
j

Stąd
P ( )  0
Q ( )  
A( ) 
k

k


 ( )  
2
Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego idealnego
wyglądają następująco:
Przykładem układu całkującego jest układ zawierający idealny
kondensator C, przy czym sygnałem wejściowym jest prąd a wyjściowym
napięcie na kondensatorze.
C
C
R
+
1
G (s)  
RCs
Człon całkujący rzeczywisty
Ogólna postać równania różniczkowego
rzeczywistego (z inercją) jest następująca:
elementu
d 2 y dy
T 2 
 kx
dt
dt
Stąd wynika transmitancja:
k
G( s) 
s(Ts  1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.
całkującego
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności
przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
k
1
k
Y ( s)  G( s) X ( s) 
 2
s(Ts  1) s s (Ts  1)

t
T
y (t )  kt  kT (1  e )
Transmitancja widmowa jest następująca:
k
kT
k
G( j ) 

j
2 2
j (1  jT )
1  T
 (1   2T 2 )
Stąd
P ( )  
kT
1  T
k
Q ( )  
 (1   2T 2 )
k
A( ) 
 1   2T 2
1

 ( )  arctg
 arctg T 
T
2
2
2
Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego rzeczywistego
wyglądają następująco:
Przykładem układu całkującego rzeczywistego jest układ filtru RC w
układzie , lub silnik obcowzbudny prądu stałego, w którym
wymuszeniem jest skok napięcia wirnika a wyjściem kąt obrotu wirnika.
R
C
Człon różniczkujący idealny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego
idealnego jest następująca:
dx
yk
dt
Stąd wynika transmitancja:
G ( s)  ks
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia.
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności
przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
1 ks
Y ( s)  G( s) X ( s)  ks   k 1
s s
y (t )   (t )
Transmitancja widmowa jest następująca:
G ( j )  kj  jk
Stąd
P( )  0
Q( )  k
A( )  k
 ( ) 

2
Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego idealnego
wyglądają następująco:
Przykładem układu różniczkującego idealnego jest kondensator idealny
C , przy czym sygnałem wejściowym jest napięcie a wyjściowym prąd.
C
R
C
+
G ( s)   sCR
Człon różniczkujący rzeczywisty
Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego
rzeczywistego (z inercją) jest następująca:
dy
dx
T
yk
dt
dt
Stąd wynika transmitancja:
ks
G (s) 
(Ts  1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności
przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
ks 1
k
Y ( s)  G (s) X ( s) 

(Ts  1) s (Ts  1)
k
y (t )  e
T

t
T
Transmitancja widmowa jest następująca:
kj
k 2T  jk
G( j ) 

2 2
(1  jT )
1  T
Stąd
k T
P( ) 
1   2T 2
k
Q( ) 
2 2
(1   T )
k
A( ) 
2 2
1  T
2
 ( ) 

2
 arctg T
Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego rzeczywistego
wyglądają następująco:
Przykładem układu różniczkującego rzeczywistego jest układ filtru
górnoprzepustowego RC.
C
R
Człon oscylacyjny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest
następująca:
2
d y
dy
T
 T2
 y  kx
2
dt
dt
T22  4T12
2
1
przy czym
Stąd wynika transmitancja:
k
G ( s)  2 2
(T1 s  T2 s  1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T1, T2 – stałe czasowe.
Inna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest
następująca:
2
d y
dy
2
2
T

2



y

k

0
0
0x
2
dt
dt
2
przy czym
 1
2
Stąd wynika transmitancja:
k
G( s)  2 2
(T s  2Ts  1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa,
 – współczynnik tłumienia.
Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności
przekształcenia Laplace’a, otrzymując:
k
1
k
1
Y (s)  G (s) X ( s)  2 2
 2 2
(T1 s  T2 s  1) s (T s  2Ts  1) s
s1, 2
 T2  T22  4T12
2




(



 1)
0
2
2T1
1
1
s1t
y (t )  k[1  2
e  2
e s2t ]
T1 s1 ( s1  s2 )
T1 s2 ( s2  s1 )
y (t )  k[1 
  arctg
e
 0 t
1 
1  2

2
sin( 0 1   2 t   )]
Odpowiedź członu oscylacyjnego na skok jednostkowy wygląda
następująco:
Transmitancja widmowa jest następująca:
k
k[(1   2T 2 )  j 2T ]
G( j )  2

2
2 2 2
2 2 2
T ( j )  j 2T  1 (1   T )  4  T
Stąd
k (1   2T 2 )
P ( )  
2 2 2
2 2 2
(1   T )  4  T
 2kT
Q ( ) 
(1   2T 2 ) 2  4 2 2T 2
k
A( ) 
2 2 2
2 2 2
(1   T )  4  T
 2T
 ( )  arctg
2 2
1  T
Charakterystyki częstotliwościowe członu oscylacyjnego wyglądają
następująco:
Przykładem układu oscylacyjnego jest układ RLC.
R
L
C
Człon opóźniający
Równanie elementu opóźniającego ma postać:
y (t )  x(t   )
skąd na podstawie twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym wynika
transmitancja:
Y ( s)
s
G( s) 
X ( s)
e
Element opóźniający nie zniekształca sygnału wejściowego lecz jedynie
przesuwa go w czasie.
Dziękuję za uwagę!