Pola i fale: Ćwiczenia 1

Pola i fale: Ćwiczenia 4
Warunki brzegowe.
Prowadzący ćwiczenia:
mgr inż. Mateusz Marek Krysicki
Adres e-mail:
[email protected]
Strona www:
krysicki.com
Konsultacje (proszę wcześniej o maila):
Środa: 9.00-10.00, p.543
Piątek: 9.00-10.00, p.543
Materiał opracowany przez M. Krysickiego na podstawie
wcześniejszych materiałów do przedmiotów POFA i EFWA
opracowanych przez M. Celuch, W. Gwarka oraz B. Salskiego
Zadanie 1
Płaszczyzna 𝑧 = 0 jest granicą dwóch bezstratnych ośrodków
o następujących parametrach:
Ośrodek 1: 𝑧 < 0, 𝜀1 = 3𝜀0 , 𝜇1 = 4𝜇0 , 𝜎1 = 0;
Ośrodek 2: 𝑧 > 0, 𝜀2 = 6𝜀0 , 𝜇2 = 𝜇0 , 𝜎2 = 0;
W leżącym na granicy punkcie P wektory natężenia pól
elektrycznego i magnetycznego w ośrodku 1 wynoszą
𝑉
𝐴
𝐸1 = 2Ԧ𝑖𝑥 + 4𝑖𝑧
𝐻1 = 2Ԧ𝑖𝑥 + 4𝑖𝑧
.
𝑚
𝑚
Wyznacz wektory natężeń pól elektrycznego i magnetycznego
w punkcie P dla ośrodka 2.
Warunki brzegowe
Składowa normalna wektora indukcji elektrycznej 𝑫 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie gromadzą się ładunki elektryczne na granicy:
𝑛 ∙ 𝐷2 − 𝐷1 = 𝜌𝑤
𝐷2𝑛 − 𝐷1𝑛 = 𝜌𝑤
Składowa normalna wektora indukcji magnetycznej 𝑩 jest zawsze ciągła na granicy ośrodków,
ponieważ nie istnieją ładunki magnetyczne:
𝑛 ∙ 𝐵2 − 𝐵1 = 0
𝐵2𝑛 − 𝐵1𝑛 = 0
Składowa styczna wektora pola elektrycznego 𝑬 jest ciągła na granicy ośrodków:
𝑛 × 𝐸2 − 𝐸1 = 0
𝐸2𝑡 − 𝐸1𝑡 = 0
Składowa styczna wektora pola magnetycznego 𝑯 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie płynie prąd powierzchniowy na granicy:
𝑛 × 𝐻2 − 𝐻1 = 𝐽𝑠
𝐻2𝑡 − 𝐻1𝑡 = 𝐽𝑠
Zadanie 2
Płaszczyzna 𝑧 = 0 jest granicą dwóch bezstratnych ośrodków
o następujących parametrach:
Ośrodek 1: 𝑧 < 0, 𝜀1 = 3𝜀0 , 𝜇1 = 4𝜇0 , 𝜎1 = 0;
Ośrodek 2: 𝑧 > 0, 𝜀2 = 6𝜀0 , 𝜇2 = 𝜇0 , 𝜎2 = 0;
W leżącym na granicy punkcie P wektory natężenia pól elektrycznego i
magnetycznego w ośrodku 1 wynoszą
𝑉
𝐴
𝐸1 = 2Ԧ𝑖𝑥 + 4𝑖𝑧
𝐻1 = 2Ԧ𝑖𝑥 + 4𝑖𝑧
.
𝑚
𝑚
W punkcie P występuje ładunek o gęstości powierzchniowej
𝐶
𝐴
𝜌𝑠 = −24𝜀0 2 oraz prąd powierzchniowy o gęstości 𝐽𝑠 = −4 𝑖𝑦
.
𝑚
𝑚
Wyznacz wektory natężeń pól elektrycznego i magnetycznego
w punkcie P dla ośrodka 2.
Warunki brzegowe
Składowa normalna wektora indukcji elektrycznej 𝑫 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie gromadzą się ładunki elektryczne na granicy:
𝑛 ∙ 𝐷2 − 𝐷1 = 𝜌𝑤
𝐷2𝑛 − 𝐷1𝑛 = 𝜌𝑤
Składowa normalna wektora indukcji magnetycznej 𝑩 jest zawsze ciągła na granicy ośrodków,
ponieważ nie istnieją ładunki magnetyczne:
𝑛 ∙ 𝐵2 − 𝐵1 = 0
𝐵2𝑛 − 𝐵1𝑛 = 0
Składowa styczna wektora pola elektrycznego 𝑬 jest ciągła na granicy ośrodków:
𝑛 × 𝐸2 − 𝐸1 = 0
𝐸2𝑡 − 𝐸1𝑡 = 0
Składowa styczna wektora pola magnetycznego 𝑯 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie płynie prąd powierzchniowy na granicy:
𝑛 × 𝐻2 − 𝐻1 = 𝐽𝑠
𝐻2𝑡 − 𝐻1𝑡 = 𝐽𝑠
Zadanie 3
Po nieskończonej i bardzo cienkiej płycie metalowej pokrywającej
się z płaszczyzną 𝑦 = 0 umieszczonej w próżni płynie prąd o
gęstości powierzchniowej:
𝐴
𝐽𝑠 = 2 𝑖𝑧
.
𝑚
Określić wektory 𝐻, 𝐵 wywołane przez ten prąd w sąsiedztwie
płyty.
Warunki brzegowe
Składowa normalna wektora indukcji elektrycznej 𝑫 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie gromadzą się ładunki elektryczne na granicy:
𝑛 ∙ 𝐷2 − 𝐷1 = 𝜌𝑤
𝐷2𝑛 − 𝐷1𝑛 = 𝜌𝑤
Składowa normalna wektora indukcji magnetycznej 𝑩 jest zawsze ciągła na granicy ośrodków,
ponieważ nie istnieją ładunki magnetyczne:
𝑛 ∙ 𝐵2 − 𝐵1 = 0
𝐵2𝑛 − 𝐵1𝑛 = 0
Składowa styczna wektora pola elektrycznego 𝑬 jest ciągła na granicy ośrodków:
𝑛 × 𝐸2 − 𝐸1 = 0
𝐸2𝑡 − 𝐸1𝑡 = 0
Składowa styczna wektora pola magnetycznego 𝑯 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie płynie prąd powierzchniowy na granicy:
𝑛 × 𝐻2 − 𝐻1 = 𝐽𝑠
𝐻2𝑡 − 𝐻1𝑡 = 𝐽𝑠
Zadanie 4
Płaszczyzna 𝑦 = −𝑥 jest granicą dwóch bezstratnych ośrodków
o następujących parametrach:
Ośrodek 1: 𝑦 < −𝑥, 𝜀1 = 2𝜀0 , 𝜇1 = 4𝜇0 , 𝜎1 = 0;
Ośrodek 2: 𝑦 > −𝑥, 𝜀2 = 4𝜀0 , 𝜇2 = 2𝜇0 , 𝜎2 = 0;
W leżącym na granicy punkcie P wektory natężenia pól
elektrycznego i magnetycznego w ośrodku 1 wynoszą
𝑉
𝐴
𝐸1 = 1Ԧ𝑖𝑥 + 2Ԧ𝑖𝑦 + 3𝑖𝑧
𝐻1 = 4Ԧ𝑖𝑥 + 5Ԧ𝑖𝑦 + 6𝑖𝑧
.
𝑚
𝑚
Wyznacz wektory natężeń pól elektrycznego i magnetycznego
w punkcie P dla ośrodka 2.
Warunki brzegowe
Składowa normalna wektora indukcji elektrycznej 𝑫 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie gromadzą się ładunki elektryczne na granicy:
𝑛 ∙ 𝐷2 − 𝐷1 = 𝜌𝑤
𝐷2𝑛 − 𝐷1𝑛 = 𝜌𝑤
Składowa normalna wektora indukcji magnetycznej 𝑩 jest zawsze ciągła na granicy ośrodków,
ponieważ nie istnieją ładunki magnetyczne:
𝑛 ∙ 𝐵2 − 𝐵1 = 0
𝐵2𝑛 − 𝐵1𝑛 = 0
Składowa styczna wektora pola elektrycznego 𝑬 jest ciągła na granicy ośrodków:
𝑛 × 𝐸2 − 𝐸1 = 0
𝐸2𝑡 − 𝐸1𝑡 = 0
Składowa styczna wektora pola magnetycznego 𝑯 jest ciągła na granicy ośrodków
pod warunkiem, że nie płynie prąd powierzchniowy na granicy:
𝑛 × 𝐻2 − 𝐻1 = 𝐽𝑠
𝐻2𝑡 − 𝐻1𝑡 = 𝐽𝑠
Do poćwiczenia w domu przed kolokwium
1.
Dany jest wektor rzeczywisty: 𝐸 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝑖𝑥 , znajdź wektor zespolony 𝐸 oraz amplitudę
zespoloną 𝐸0
2.
Dany jest wektor rzeczywisty: 𝐻 = 𝐻0 cos 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑖𝑦 , znajdź wektor zespolony 𝐻 oraz
amplitudę zespoloną 𝐻0
3.
Dany jest wektor rzeczywisty: 𝐷 = 𝐷0 sin 𝛽𝑥 − 𝜔𝑡 𝑖𝑦 , znajdź wektor zespolony 𝐷 oraz
amplitudę zespoloną 𝐷0
4.
Dany jest wektor rzeczywisty: 𝐵 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) 𝑖𝑥 + 𝐵 sin(𝛽𝑧 − 𝜔𝑡) 𝑖𝑦 , znajdź wektor
zespolony 𝐵 oraz amplitudę zespoloną 𝐵0
5.
Dana jest amplituda zespolona: 𝐸0 = 𝑖𝑥 , znajdź wektor zespolony 𝐸 oraz wektor rzeczywisty 𝐸
6.
Dana jest amplituda zespolona: 𝐻0 = 𝑖𝑥 + 𝑗𝑖𝑧 , znajdź wektor zespolony 𝐻 oraz wektor
rzeczywisty 𝐻
7.
Dana jest amplituda zespolona: 𝐷0 = 1 + 𝑗 𝑖𝑥 + (1 − 𝑗)𝑖𝑦 , znajdź wektor zespolony 𝐷 oraz
wektor rzeczywisty 𝐷
Odpowiedzi
1.
𝐸 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝑖𝑥
• 𝐸 = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑥
5.
• 𝐸 = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑥
• 𝐸0 = 𝐴𝑖𝑥
2.
• 𝐸 = cos 𝜔𝑡 𝑖𝑥
𝐻 = 𝐻0 cos 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑖𝑦
6.
• 𝐻 = 𝐻0 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑦
• 𝐻0 = 𝐻0 𝑒
3.
−𝑗𝛽𝑧
𝑖𝑦
• 𝐻 = cos 𝜔𝑡 𝑖𝑥 − sin 𝜔𝑡 𝑖𝑧
𝜋
+ 𝜔𝑡 − 𝛽𝑥
2
𝜋
𝑗 2 −𝑗𝛽𝑥 𝑗𝜔𝑡
𝐷 = 𝐷0 𝑒 𝑒
𝑒 𝑖𝑦
𝐷 = 𝐷0 𝑗𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑦
𝐷0 = 𝐷0 𝑗𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑖𝑦
• 𝐷 = 𝐷0 𝑐𝑜𝑠
•
4.
7.
𝑖𝑦
• 𝐵=
𝑥
+
𝐷0 = 1 + 𝑗 𝑖𝑥 + (1 − 𝑗)𝑖𝑦
• 𝐷 = 1 + 𝑗 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑥 + (1 − 𝑗)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑦
• 𝐷 = cos 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 𝑖𝑥 +
+ (cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝑖𝑦
𝐵 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) 𝑖𝑥 + 𝐵 sin(𝛽𝑧 − 𝜔𝑡) 𝑖𝑦
𝐴𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖
𝐻0 = 𝑖𝑥 + 𝑗𝑖𝑧 ,
• 𝐻 = 𝑖𝑥 + 𝑗𝑖𝑧 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑥 + 𝑗𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑧
𝐷 = 𝐷0 sin 𝛽𝑥 − 𝜔𝑡 𝑖𝑦
•
𝐸0 = 𝑖𝑥
𝜋
𝐵𝑒 𝑗 2 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖
• 𝐵0 = 𝐴𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑖𝑥 + 𝐵𝑗𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑖𝑦
𝑦
Przykład
Wektor zespolony

𝐴Ԧ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
Amplituda zespolona
E ( z , t )  E0 ( 2ix  ji y )e j(ωt  βz )
amplituda zespolona

E ( z , t )  E0 ( 2ix  ji y )e  jβz  e jωt
𝐴Ԧ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐴Ԧ0 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
amplituda zespolona


E ( z , t )  Re( E ( z , t ))
Wektor rzeczywisty

E ( z , t )  E0 [2ix cos(ωt  βz )
𝐴Ԧ 𝑟,
Ԧ 𝑡 = ℜ𝔢{𝐴Ԧ 𝑟,
Ԧ𝑡 }
 i ysin(ωt  βz )]
Przejście pomiędzy postaciami
rzeczywistą a zespoloną
𝑒 𝑗𝜃
= cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃
𝑒 𝑗𝜃 − 𝑒 −𝑗𝜃
sin 𝜃 =
2𝑗
cos 𝜃 =
𝑒 𝑗𝜃
+
2
𝑒 −𝑗𝜃


*
A A
A
2




*
A  A A