poss_intro

ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
Opracował: M. Kwiesielewicz
Zadeh (1978) wprowadził pojęcie rozkładu możliwości jako rozmyte
ograniczenie, kóre odziaływuje w sposób elastyczny na wartości
przypisane danej zmiennej.
Definicja. Niech F będzie zbiorem rozmytym, zdefiniowanym na
przestrzeni rozważań U z funkcją przynależności  F , ze stopniem
przynależności
 F u , rozumianym jako zgodność (ang.
compatibility) elementu u z pojęciem F. Niech ponadto X będzie
zmienną przyjmującą wartości w U oraz niech F jest rozumiane jako
ograniczenie rozmyte R X  związane z X. Wówczas zdanie “X jest
F” , które można przedstawić jako:
R X   F ,
co wyraża rozkład możliwości  X że zmienna X jest równa R X  :
 X  R X  .
Powyższą zależność mozna zapisać również jako:
X  F .
Funkcja rozkładu możliwości związana ze zmienną X lub funkcja
rozkładu mozliwości  X jest określona następująco:
 X  F ,
Jak wynika z powyższej definicji rozkład możliwości można opisać
za pomocą zbioru rozmytego, natomiast funkcję rozkładu możliwości
za pomocą funkcji charakterystycznej zbioru rozmytego.
Inne podejście do teorii możliwości zaproponowali Dubois i Prade
(1983).
Experyment statystyczny - rzut monetą.
Zbiór zdarzeń elementarnych X  x1  orzeł, x 2  reszka .
Założymy, że moneta jest zniekształcona (ang. biased):
1
1  p1   p2  1  p1 .
2
Można wprowadzić stopień potrzeby (ang. necessity) na korzyść
zajścia zdarzenia x1 zdefiniowany następująco:
n1  p1  p2 ,
co również oznacza niemożliwość zajścia zdarzenia x 2 . Odpowiedni
stopień możliwości zajścia zdarzenia x 2 wyrazi się następującą
zależnością:
 2  1  n1  2 p2 .
Pozostałe stopnie zdefiniowane są następująco:
n2  0, 1  1.
Warto zauważyć, że danemu zdarzeniu przyporządkowana jest para
(potrzeba, możliwość).
W oparciu o przedstawioną ideę można zdefiniować transformację
prawdopodobieństwo - możliwość i odwrotnie.
ZAŁOŻENIA:
 zbiór zadarzeń elementarnych: X  x i ; i  1,2, n


 uporządkowanie p1  p2  pn , gdzie pi  P x i  ,
n
i 1
pi  1
 P jest miarą prawdopodobieństwa
 Ai  x1 , x 2 , x i  oraz A0   .
Definicja. Stopniem potrzeby zajścia zdarzenia A  X jest dodatkowa
ilość prawdopodobieństwa związanego ze zdarzeniami elementarnymi
ze zbioru A w porównaniu z ilością prawdopodobieństwa przypisaną
najczęściej występującemu zdarzeniu nie należącemu do zbioru A:


N  A   max p j  max pk ,0 .


xk A
x j A
Jeśli A  Ai otrzymujemy
u


N  Ai    p j  pi1 , i  1,  , n ,
j 1
gdzie: pn1  0 .
Jeśli N(A) Potraktujemy jako stopień niemożliwości wystąpienia
zdarzenia przeciwnego A , wówczas można zdefiniować stopień
możliwości zajścia zdarzenia A jako:
A  X
  A  1  N  A .
Jeśli przyjmiemy, że  ( A) jest miarą możliwości w sensie Zadeha
(1978), wówczas otrzymamy:
  A  max  i
xi A
Uwaga. Miara możliwości i miara potrzeby mogą być obliczone na
podstawie rozkładu możliwości, który jest zdefiniowany za pomocą
zbioru rozmytego:
N  A  inf 1  F  x ,   A  sup F  x  ,
x A
x A
gdzie F jest zbiorem rozmytym związanym z rozkładem możliwości.
Na podstawie przedstawionych zależności otrzymujemy (Dubois and
Prade 1983):
 Transformacja prawdopodobieństwo-możliwość:
i  i   min pi , p j 
n
j 1
 Przekształcenie odwrotne:
i  1,, n
n
pi  
j i
1
 i   j 1  , gdzie:  n1  0 .
j
 Dla przypadku ciągłego (Dubois and Prade 1982):
x  R   x    min p x, p t dt
R
 Spełniony jest warunek:
A N  A  P A    A .!!!!
Teoria Shafera (1976)
Definicja. Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych ,
rodzina
S
jej
podzbiorów
oraz
dowolne
zdarzenie
A, Ai  S , i  1,2,, n . Funkcja pewności jest funkcją rzeczywistą
Bel spełniającą następujące aksjomaty
(i)
A  S   , P A  0 ,
(ii)
(iii)
A1 , A2 ,, An  S  ; zachodzi:
P   1, P()  0, ,
n
 n 
 n 
n 1
Bel   Ai    Bel Ai    Bel Ai  Aj  1 Bel   Ai  .
 i 1  i 1
 i 1 
j i
Definiuje on przekształcenie m, nazywane podstawowym
przyporządkowaniem probabilistycznym, przyporządkowujące część
wiedzy każdemu ze zdarzeń:

m  0,

 m B  1 .
B


Zbiór elementów fokalnych określa się następująco: B / m B   0 .
Na podstawie elementów fokalnych dla danego zdarzenia A można
policzyć dwie miary:
pewności (ang. belief):
Bel A 
 m B
B A
oraz wiarygodności (ang. plausibility):
Pl A 
 m B
B  A
Podejście zaproponowane przez Shafer’a wywodzi się
Dempster’a (1967).
z pracy
ZAŁOŻENIA:
 elementy
fokalne
odpowiadają
stochastycznego ze zbioru X,
wynikom
eksperymentu
 istnieje pewne odwzorowanie które każdemu wynikowi x  X
przyporządkowuje rzeczywiste zdarzenie   x   ,
 p(x) jest estymowanym prawdopodobieństwem wyniku x.
Przyporządkowanie podstawowe definiuje się następująco:
 p x 
gdy A    x 
A m A  
.
w przeciwnym przypadku
 0
Uwaga.   x  A
statystycznego:
modeluje
niedokładność
eksperymentu
Mamy tu do czynienia z tzw. niedokładnym prawdopodobieństwem:
Bel A  P  A  Pl A
Jeśli zbiór wyników X potrafimy uporządkować:
x  ,, x    X ,   x      x  
1
p
1
p
to miara pewności i wiarygodności stają się odpowiednio miarami
potrzeby i możliwości.
Uwagi. W oparciu o przedstawione podejście można zaproponować
sposób opisu rozpatrywanego modelu w zależności od typu
dostępnych danych:
 jeśli dane są dokładne i posiadamy ich wystarczającą liczbę
stosujemy podejście probabilistyczne;
 jeśli dane są niedokładne, ale zgodne stosujemy podejście
możliwościowe Dubois i Prade’a;
 jeśli dane są niedokładne i niezgodne stosujemy podejście Shafer’a
 jeśli dane są niedokładne i operujemy pojęciami nieostrymi
stosujemy podejście rozmyte.
Metody identyfikacja funkcji przynależności
Istnieje kilka głównych metod określania funkcji przynależności:
 subiektywna ewaluacja,
 metody ad-hoc,
 transformacja w oparciu o histogram,
 określenie funkcji przynależności w oparciu o teorię możliwości,
 fuzzyfikacja przestrzeni rozważań,
 skalowanie psychologiczne,
Przykład. Załóżmy, że rozważamy zbiór osób pracujących przy
danym typie maszyny i zamierzamy utworzyć zbiór rozmyty
“popełniający błędy”. Wtedy macierz R może wyglądać następująco:
Jan
Marek
Jerzy
Marian
Jan
1
1/3
1/5
1/7
Marek
3
1
1/3
1/5
Jerzy
5
3
1
1/5
Marian
7
5
5
1
Element (Jan,Marian)=7 oznacza, że ekspert z dużą preferencją
kwalifikuje Jana w stosunku do Mariana do zbioru “popełniający
błędy”, innymi słowy Jan w dużo większym stopniu należy do zbioru
“popełniający błędy”.
Metoda średniej geometrycznej:

n


j 1

1
n
 i    rij  , i  1,, n .
Otrzymujemy:
 Jan  3.20,  Marek  150
. ,  Jerzy  0.76,  Marian  0.27 ,
co po normalizacji da nam zbiór rozmyty o funkcji przynależności:
 A  1/ Jan  0.47 / Marek  0.24 / Jerzy  0.08 / Marian .
Metody ad-hoc polegają na określeniu przez eksperta wartości
modalnych funkcji przynależności oraz jej nośnika. Ponieważ w tym
przypadku zaniedbywany jest kształt funkcji L i R przyjmuje się
wówczas najczęściej, że są one liniowe..
Dubois i Prade (1988) proponują
identyfikację funkcji
przynależnośći w oparciu o  - przekroje (Rys. 14.), stosując 5-7
stopniową skalę lingwistyczną (Tablica 2.2.).
 (x)
F
A
B
C
D
E
0
X
Rysunek 14. Poziomy przynależności
Tablica 2. Pięiostopniowa skala lingwistyczna
Stopień zgodności
A Zupełna zgodność
B Dobra zgodność
C Zgodność
D Słaba zgodność
E Niezgodność
Poziom
przynależnośći
1
0.75
0.5
0.25
0
Przykład.
Załóżmy, że ekspert ma oszacować rozmyte
prawdopodobieńśtwo awarii elementu systemu i jego zadaniem
najbardziej możliwa wartość prawdopodobieństwa wynosi pm oraz
zawiera się ono w przedziale  pl , pu  . Wówczas rozmyte
prawdopodobieństwo awarii wyniesie ~
p   pl , p m , pu  .
Przykład.
ZAŁOŻENIA:
 na podstawie oceny grupy osób mamy uzyskać zbiór rozmyty
“wysoka temperatura”,
 wszystkie osoby są zgodne, że wysoka temperatura zawiera się w
przedziale T  50,100 C
 T jest zdyskretyzowane na n podprzedziałów Ti , i 1, , n. ,
 każdą osobę poproszono o wyrażenie swojej subiektywnej oceny
jaka temperatura ze zbioru T jest dla niego wysoka
 przy odpowiednio dużej liczbie odpowiedzi (danych) jesteśmy w
stanie policzyć prawdopodobieństwa pTi , i  1,, n .
 wynikiem eksperymentu jest:
“wysoka temperatura” = t,100 ,
co można zapisać: t Ti
 t   t i ,100 .
 podstawowe przyporządkowanie jest zdefiniowane następująco:
mt i ,100  PTi  z zagnieżdżonymi elementami fokalnymi.
Wówczas otrzymujemy:
t
 wysoka temperatura t   Pl t   PTi  .
ti  t
Uwaga. Funkcja przynależności zbioru rozmytego “wysoka
temperatura” jest dystrybuantą miary prawdopodobieństwa otrzymanej
na podstawie eksperymentu statystycznego.
Przykład.
Załóżmy, że grupa q ekspertów nie jest zgodna co do oceny
prawdopodobieństwa wystąpienia awarii elementu systemu i każdy z
ekspertów jest w stanie podać przedział liczbowy w którym to
prawdopodobieństwo się znajduje: a k , bk , k  1,, q .
Ponadto
załóżmy, że podane przedziały liczbowe na siebie nachodzą:
q
a, b  a k , bk   
k 1
Przyjmijmy następujące oznaczenie:
q
 A, B  a
k 1
k
, bk  .
Zdefiniujmy I i ; 1,, n zagnieżdżonych przedziałów liczbowych:
a, b  I
1
 I 2  I n   A, B
Odpowiedni zbiór rozmyty F można policzyć następująco:
 F  x   Plx   m I i    x ,
x I i
co można zapisać (Dubois and Prade 1986, 1988):
 F  x  0 jeśli x  I n ,
 F  x    m I j  jeśli x  I \ I , i  2 ,
i
i 1
n
j 1
 F  x  1 jeśli x  I1 ,
gdzie: I i \ I i 1 należy rozumieć jako różnicę zbiorów I i oraz I i1 .
Uwagi.
Warto podkreślić, że jeśli nie potrafimy zanaleźć
odpowiedniego odwzorowania  tak aby uzyskać zagnieżdżone
elementy fokalne, to w przypadku zastosowania teorii możliwości
uzyskamy nieznormalizowany zbiór rozmyty tzn.: sup F  x   1.
x
Ponieważ teoria możliwości zakłada normalizację pozostaje nam
podejście Shafer’a
i operowanie na miarach pewności
i wiarygodności.