LISTA II

LISTA II
1. Kula o masie 40 g porusza się z prędkością 1000/s. (a) Jaką długość fali możemy z nią
związać? (b) Dlaczego falowa natura kuli nie ujawnia się poprzez efekty dyfrakcyjne?
Odp.: (a) λ =1,7.10-35m.
2. Jony sodu są przyspieszane poprzez różnicę potencjałów 300 V. (a) Jaki pęd uzyskują
te jony? (b) Jaka jest ich długość fali de Broglie’a?
Odp.: (a) 1,9.10-21kg.m/s
(b) 3,5.10-13m.
3. Akcelerator elektronowy w Stanford dostarcza elektrony o energii 50 GeV (1GeV=
109eV). Wiązki elektronów o tej energii mają długość fali, odpowiednią do badania
poprzez doświadczenia rozproszeniowe subtelnych szczegółów struktury jąder. Jaka to
jest długość fali i jaki jest jej stosunek do wielkości średniego jądra? (Przy tych
energiach wystarczy użyć skrajnie relatywistycznego związku między pędem a
energią, mianowicie p=E/c. Tego samego związku używa się dla światła (równanie
(42-2a)). Stosuje się on zawsze wtedy, kiedy energia kinetyczna cząstki jest dużo
większa niż jej energia spoczynkowa moc2, jak to ma miejsce w naszym przypadku.)
4. Największa, osiągalna zdolność rozdzielcza mikroskopu ograniczona jest tylko przez
używaną do obserwacji długość fali. Oznacza to, że najmniejsze obiekty, które mogą
być rozróżnione, mają w przybliżeniu wielkość równą długości fali. Załóżmy, że
chcemy zobaczyć „wnętrze” atomu. Przyjmując, że atom ma średnicę równą 0,10 nm,
oznacza to, że pragniemy rozróżnić szczegóły wielkości około 0,10 nm. Wyjaśnić
(a) Jaka minimalna energia atomów potrzebna jest do tego celu, jeśli używamy
mikroskopu elektronowego? (b) Jaka minimalna energia fotonów jest potrzebna,
jeżeli używamy mikroskopu świetlnego? (c) Jaki mikroskop jest praktyczniejszy do
tego rodzaju pomiarów?
Odp.: (a) 1,5.104 eV. (b) 1,2.105 eV.
5. W powtórzeniu doświadczenia Thomsona mającym na celu pomiar e/m elektronu
wiązka elektronów o energiach 1,0.104 eV była kolimowana przez szczelinę o
szerokości 0,50 nm. Dlaczego dyfrakcja fali elektronowej na tej szczelinie nie zakłóca
kształtu wiązki z niej wychodzącej?
Odp.: Długość fali de Broglie’a (0,012 nm) jest dużo mniejsza od szerokości
szczeliny.
6. Sporządzić wykres długości fali de Broglie’a w zależności od energii kinetycznej dla
(a) elektronów i (b) protonów. Ograniczyć się do wartości energii, do których dobrze
stosuje się mechanika klasyczna. Wygodnie jest przyjąć, że maksymalna energia
kinetyczna na każdym wykresie ma być równa około 5% energii spoczynkowej moc2
poszczególnej cząstki.
7. Jaka jest długość fali atomu wodoru poruszającego się z prędkością średniej energii
kinetycznej w stanie równowagi cieplnej przy 20oC?
Odp.: 0,15 nm.
8. Zgodnie z zasadą odpowiedniości oczekujemy klasycznych wyników dla atomu
Bohra, gdy n→∞. A więc gdy n rośnie, długość fali de Broglie’a związana z
elektronem (wielkość kwantowa) powinna w końcu stać się mniejsza niż promień
orbity. Istotnie, oczekujemy że dla n→∞ będzie λ/r→0. Czy tak właśnie będzie?
9. (a) Oblicz w przybliżeniu najmniejszą energię elektronu jeśli miałby się on mieścić w
obszarze jądra atomowego. (Średnica około 1,4.10-14m?) (b) Porównaj to z kilku MeV
energii wiążącej protony i neutrony w jądrze; czy na podstawie tych wyników
możemy oczekiwać znalezienia elektronów wewnątrz jądra?
1
10. Elektron przechodzi ze stanu określonego na rysunku 50-8 przez n=3 do stanu
określonego na tym rysunku przez n =2 Przejściu temu towarzyszy emisja
promieniowania elektromagnetycznego. Jakie są: (a) energia emitowanego
pojedynczego fotonu? (b) odpowiadająca jej długość fali?
Odp.: (a) 1,9 eV. (b) 660nm.
11. Pokazać, że wstanie podstawowym atomu wodoru prawdopodobieństwo Pr, że
elektron znajduje się wewnątrz kuli o promieniu r jest dane wzorem
2
2r
-2r/a 2r
Pr = 1 – e ( 2 
 1 ).
a
a
Czy wzór ten daje wartości przewidywane dla (a) r = 0 i (b) r = ∞? (c) Wyraźnie
określić różnicę między znaczeniem tego wyrażenia a znaczeniem wzoru podanego w
paragrafie 50-4.
Odp.: (a) Zero. (b) 1; w obu wypadkach zgodnie z oczekiwaniami.
12. Jakie jest prawdopodobieństwo, że elektron w stanie podstawowym atomu wodoru
znajduje się wewnątrz kuli, której promień równa się promieniowi pierwszej orbity
Bohra?
13. Niepewność położenia elektronu wynosi około 0,050nm, co odpowiada promieniowi
pierwszej orbity Bohra w atomie wodoru. Jaka jest niepewność określenia pędu
elektronu?
14. W przykładzie 2 energia elektronu była dokładnie zadana rozmiarami pudełka. Jak
można to pogodzić z faktem, że jeśli obowiązuje zasada nieoznaczoności, niepewność
lokalizacji elektronu nie może tu przewyższać 1,0.10-9m?
15. Korzystając z zasady nieoznaczoności ΔpxΔx ≥ h pokazać, że jeśli L jest składową
momentu pędu wzdłuż linii prostopadłej do kierunku x,a φ jest kątem azymutalnym
wokół tej linii (rys.), to ΔLΔ φ≥ h; (patrz pytanie 13)
L
x
φ
px
2