Konstrukcje geometryczne

Konstrukcja wielokątów foremnych środkami klasycznymi.
Zagadnienia konstrukcyjne zawsze były ulubionym tematem w geometrii. Można
wykonać wiele różnorodnych konstrukcji posługując się wyłącznie cyrklem i linijką, można
podzielić na połowę odcinek lub kąt, z danego punktu poprowadzić prostą prostopadłą do danej
prostej, itp. Tradycyjne ograniczenie do tych przyrządów sięga starożytności, chociaż sami
Grecy nie unikali stosowania innych przyborów. Gdy mamy do czynienia z konstrukcją
geometryczną, wówczas nie wolno zapominać, że problem nie polega na praktycznym
narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, ale na tym, czy można znaleźć
rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze narzędzia są
idealnie precyzyjne.
Spośród wszystkich
konstrukcji
zagadnienie
zbudowania wielokąta foremnego
o n- bokach jest najbardziej interesujące. Dla pewnych wielkości np. n = 3,4,5,6
–rozwiązania były znane już w starożytności.
Wiadomo z geometrii elementarnej, że możemy środkami klasycznymi skonstruować
trójkąt foremny, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt i dziesięciokąt foremny, wpisany w dany okrąg.
Należy, więc postawić pytanie, co można powiedzieć o liczbie n- boków n-kąta foremnego,
który można za pomocą środków klasycznych skonstruować mając dany promień okręgu
opisanego na tym wielokącie i jakie warunki odnoszące się do liczby n wystarczają by taką
konstrukcję dało się wykonać.
Sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających konstruowalności środkami
klasycznymi n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg wymaga pewnych twierdzeń
pomocniczych dotyczących własności równań
z n  1  0,
z n 1  z n  2  ...  1  0
ich pierwiastków, oraz sum tych pierwiastków.
Moim zamiarem nie jest przeprowadzenie teoretycznego rozpatrywania tego zagadnienia,
lecz przedstawienie tylko tych twierdzeń, które nauczycielom warto przedstawić i poruszyć
wnioski z nich płynące. Do napisania tego artykułu skłoniła mnie chęć pokazania nauczycielom,
że za pomocą środków klasycznych mogą zbudować dowolny wielokąt foremny. A oto przekład
takiej konstrukcji.
Podział okręgu na dowolną liczbę równych części, np. 11 ( rys. 1).
rys. 1
Konstrukcja ogólna. Przez punkt A prowadzimy styczną do okręgu o promieniu r. Ze środka O
prowadzimy prostą OB. pod kątem 30o do OA. Od punktu B na stycznej odmierzamy 3r = BC.
Łączymy punkt C z punktem D prostą. Odcinek CD dzielimy na 11 równych części znanym
sposobem. Od punktu D odmierzamy 2/11 CD = DE, a następnie odcinamy na stycznej odcinek
AF = DE. Od punktu D odkładamy odcinek DG = r. Prosta FG przetnie okrąg w punkcie H,
odcinek AH jest bokiem 11 – kąta „foremnego”.
Konstrukcja geometrycznie poprawna, ale gdy mamy do czynienia z konstrukcją geometryczną
środkami klasycznymi, wówczas nie wolno nigdy zapominać, że zagadnienie nie polega na
praktycznym narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, lecz na tym czy można
znaleźć rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze
narzędzia są idealnie precyzyjne.
Twierdzenia stanowiące podstawę do sformułowania i dowodu warunków koniecznych
i wystarczających konstruowalności n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg.
Twierdzenie 1
Jeżeli n jest liczbą pierwszą,  liczbą naturalną, to do tego, by można było środkami
klasycznymi skonstruować wielokąt foremny o liczbie boków n  , wpisany w okrąg o danym
promieniu, potrzeba i wystarcza, by zachodził jeden z przypadków:
a)  = 1 i n jest liczbą postaci 22  1 , gdzie r jest liczbą całkowitą nieujemną;
r
b)   1 i n = 2.
Liczby pierwsze postaci
2 2  1 nazywamy liczbami Fermata. Z powyższego twierdzenia
r
wynika, że
w okrąg o danym promieniu można środkami klasycznymi wpisać te, i tylko te, wielokąty
o liczbie boków pierwszej, których liczba boków jest liczbą Fermata.
2
Wielokąty takie są ‘wyjątkami ’ w zbiorze wielokątów foremnych.
Istotnie, dla
0
r  0 n  22  1  3
r 1
1
n  22  1  5
2
r  2 n  2 2  1  17
3
r  3 n  2 2  1  257
4
r  4 n  2 2  1  65537
Ogólny przypadek, gdy liczba boków wielokąta jest dowolną liczbą naturalną warunkuje
następne twierdzenie 2, które zawdzięczamy genialnemu matematykowi niemieckiemu F.
Gaussowi.
Twierdzenie 2
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby można było skonstruować n-kąt foremny
wpisany w okrąg o danym promieniu jest, żeby liczba n była liczbą postaci
n  2  lub n  20  p1  p 2  ...  pS ,
gdzie  - jest liczbą naturalną, większą od 1,  0 -jest liczbą całkowitą nieujemną,
p i - różnymi liczbami pierwszymi Fermata dla i=1,2,...,s.
Przykłady konstrukcji wielokątów środkami klasycznymi.
1. Konstrukcje wielokątów o liczbie boków 3  2 n , 4  2 n , n = 0,1,....
Spośród
wszystkich
wielokątów
foremnych
sześciokąt
jest
najłatwiejszy
do
skonstruowania ( rys. 2 ).
rys. 2
Zaczynamy konstrukcję od okręgu o promieniu r. Długość boku sześciokąta foremnego
wpisanego w ten okrąg jest także równa r. Wielokąt można, zatem konstruować odmierzając od
dowolnego punktu kolejno cięciwy o długości r aż do uzyskania wszystkich sześciu
3
wierzchołków sześciokąta. Łącząc, co drugi wierzchołek sześciokąta foremnego otrzymamy
trójkąt foremny wpisany w ten okrąg.
Z foremnego n-kąta możemy otrzymać foremny 2n-kąt przecinając w połowie łuki
okręgu opisanego odpowiadające każdemu bokowi n-kąta, korzystając z konstrukcji dwusiecznej
kąta. Znalezione w ten sposób punkty wraz z wierzchołkami n-kąta są wierzchołkami dla
szukanego 2n-kąta. Zaczynając od średnicy okręgu ( od 2-kąta’) możemy skonstruować 4-kąt,
8-kąt, 16-kąt, ...,2n-kąt ( rys. 3 ). Podobnie możemy otrzymać 12-kąt,
24-kąt, 48-kąt itd. z sześciokąta foremnego ( rys. 2), oraz 20-kąt, 40-kąt, itd. z dziesięciokąta
foremnego.
rys. 3
2. Konstrukcje dziesięciokąta i pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.
I. W ‘Elementach’ Euklides oparł konstrukcję pięciokąta foremnego na tzw. ciągłym
podziale odcinka, zwanym także podziałem złotym. Do tego samego podziału sprowadzamy
najczęściej konstrukcję dziesięciokąta foremnego.
Jeżeli AB jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg O OA  ,
to AOB  36  (rys. 4).
rys. 4
Wtedy ABO  72 , wobec tego prowadząc dwusieczną BD kąta OBA otrzymujemy trójkąty
równoramienne DBA i BOA. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcja
4
OA
AB
AB

AD
.
(1)
Ale OD  DB , ponieważ DOB  DBO  36 , DB  AB , bo BDA  BAD  72 .
Wobec tego OD  AB i z napisanej poprzednio proporcji (1) otrzymamy
OA
OD
OD

AD
.
Odcinek OD jest więc złotą częścią odcinka OA, zatem AB równa się złotej części odcinka OA.
Stąd wniosek:
Bok dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jest złotą częścią promienia tego
okręgu.
a
r
 10
a10 r  a10
Wtedy
2
a10
 ra 10  r 2  0
Rozwiązując ostatnie równanie ze względu na a10 i odrzucając pierwiastek ujemny,
otrzymujemy wzór na długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r:
a10 


r 5 1
.
2
(2)
Aby skonstruować odcinek równy bokowi dziesięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.
Dzielimy promień tego okręgu w stosunku złotym lub wykonujemy konstrukcję bezpośrednio
według wzoru (2).
II. Jedną z dawno znanych konstrukcji, która pochodzi od Herona z Aleksandrii, ilustruje
rysunek 5.
Niech O OA  będzie danym okręgiem, OA  r . Kreślimy promień OB. Prostopadły do
OA. Na odcinku OA jako na średnicy budujemy okrąg. W przecięciu tego okręgu z odcinkiem
łączącym jego środek z punktem B otrzymujemy punkt M.
5
rys. 5
Twierdzimy, że BM  a10 . Istotnie, stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy
2
2
1  1 

2
 BM  r    r   r ,
2
2

  
stąd
2
MB  BM r  r 2  0
BM 


r 5 r
 a10
2
III. Znana jest jeszcze inna konstrukcja odcinków a 5 , a10 , przedstawia ją rysunek 6.
W kole kreślimy dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Znajdujemy na okręgu punkty C i K takie,
że ZC  AK  r położone tak jak na rysunku i zakreślamy okrąg C CK  . W przecięciu
okręgu z odcinkiem OB. Wyznaczamy punkt D. Twierdzimy, że OD  a10 ,
COZ  60 , więc AOC  30 ,
AD  a5 . Istotnie,
AOK  60 , zatem COK  90 .
rys. 6
2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta COK i otrzymujemy CK  2r 2 ,
6
CK  r 2 .
Stosujemy teraz do trójkąta COD uogólnione twierdzenie Pitagorasa:
2
2
2
2
2
CD  CO  OD  2  OC  OD  cos120  
 CO  OD  2  OC  OD 
1
2
Ponieważ CD  CK  r 2 , więc
2
2r 2  r 2  OD  r  OD
2
OD  r  OD  r 2  0
OD 


r 5 r
 a10
2
W trójkącie AOD przyprostokątna OA  r  a 6 , przyprostokątna OD  a10 , a więc
2
przeciwprostokątna AD  a 5 , na mocy zależności a10
 a62  a52 .
IV. Wśród nowych konstrukcji boku dziesięciokąta foremnego warto wymienić
konstrukcję M. Webera ze względu na jej prostotę ( rys. 7) .
Na rysunku 7 jest OC  AB, DOB  60 , AD  AC , a10  OD .
rys. 7
V. W praktyce w rysunku technicznym często stosuje się konstrukcję pięciokąta
foremnego wpisanego w okrąg opartą na konstrukcji astronoma greckiego Ptolemeusza (rys.8).
rys. 8
Prowadzimy w okręgu O OA  dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Niech K oznacza
środek promienia OA, a D punkt przecięcia promienia OS z okręgiem K  KB  . Wtedy
7
BD  a5 ,
OD  a10 . Istotnie kreśląc z punkty O prostą równoległą do DB otrzymamy w
przecięciu tej prostej z KB punkt L. Wtedy OD  BL  a10 .
3.Konstrukcja wielokątów o liczbie boków złożonej.
Euklides skonstruował piętnastokąt foremny wpisany w dany okrąg w następujący
sposób ( rys. 9).
Wybrał punkt A na okręgu i zbudował trójkąt foremny ACF oraz pięciokąt foremny ABCDEFG
wpisany w ten okrąg.
1
Ponieważ AOD  2   360  144 ,
5
1
AOB   360  120
3
oraz DOC  AOD  AOC , więc DOC  144  120  24 .
Zatem odcinek CD jest bokiem piętnastokąta foremnego wpisanego w okrąg. W sposobie tym
istotną
rzeczą
1
 360  ,
5
jest
sprowadzenie
konstrukcji
kąta
1
 360 
15
do
konstrukcji
kątów
1
 360  .
3
rys. 9
Metoda ogólna: Jeżeli liczby m, n są liczbami względem siebie pierwszymi i jeżeli
umiemy skonstruować środkami klasycznymi kąty
360  360 
,
środkowe w danym okręgu, to
m
n
360
możemy też skonstruować tymi środkami kąt
środkowy w tym okręgu.
m n
8
Dowód konstruowalności kąta
360
środkowego opiera się na twierdzeniu z teorii liczb:
m n
Jeżeli m i n są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to można zawsze dobrać takie
dwie liczby całkowite p ,q, że mp+nq=1.
Zatem przy naszych założeniach mamy
360
360
360
 p
q
.
m n
n
m
Na przykład sposób konstrukcji kąta środkowego w danym okręgu równego
1
kąta
51
pełnego i tym samym 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg, znajdziemy w drodze
następującego rozumowania: 51  3  17, 6  3  1  17  1 .
Zatem
360 
360
360 
360 
360 
 6 3
 117 
 6
 1
.
51
51
51
17
3
Aby zbudować kąt
360
środkowy w danym okręgu, skonstruujemy siedemnastokąt foremny
51
i trójkąt foremny wpisany w ten okrąg ( rys. 10).
rys. 10
Wówczas
BOC  6 
360
360 360
 1

,
17
3
51
a odcinek BC jest bokiem 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
9
Konstrukcje przybliżone
Konstrukcja siedmiokąta foremnego
Literatura przedmiotu:
1. Browkin J., „Wybrane zagadnienia algebry”
2. Bryński M., Włodarski L., „Konstrukcje geometryczne”, Biblioteczka DELTY,
3. Courant R., Robbins H., „Co to jest matematyka”,
4. Krygowska Z., „Konstrukcje geometryczne”,
5. Krygowska Z., „Matematyka elementarna z wyższego stanowiska”,
6. Krysicki W., Pisarewska H., Świątkowski T., „Z geometrią za pan brat”,
7. Sierpiński W., „Zasady algebry wyższej”
10