Wykład 6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 6
6. Ciążenie powszechne (grawitacja)
6.1 Prawo powszechnego ciążenia
Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym
ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m1 i m2. Skoro siła
jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m1 i m2
oddzielnie czyli:
F  m1m2
Newton zastanawiał się również, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze
wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości
takiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księżyc bowiem
natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka sama jak pomiędzy
Ziemią i każdym ciałem.
Przykład 1
Obliczmy jakie jest przyspieszenie Księżyca i jaki jest stosunek przyspieszenia
Księżyca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?
Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po
okręgu). Wówczas:
4 2 RK
v2
a
  2 RK 
RK
T2
gdzie RK jest odległością od Ziemi do Księżyca. Ta odległość wynosi 3.86·105 km,
a okres obiegu Księżyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc
a = 2.73·10-3 m/s2
W pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. Stąd stosunek
przyspieszeń wynosi:
a/g = 1/3590  (1/60)2
W granicach błędu a/g = RZ2 / RK2 .
Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między
dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi
(odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia
F~
m1 m 2
r2
Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc
6-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
F G
m1m2
r2
(6.1)
Newton oszacował wartość stałej G zakładając średnią gęstość Ziemi  = 5·103 kg/m3
(porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego np. Si = 2.8·103 kg/m3,
Fe = 7.9·103 kg/m3).
Punktem wyjścia jest równanie:
F G
m1m2
r2
Jeżeli weźmiemy r = RZ to otrzymamy:
F G
m1m2
RZ2
Zgodnie z II zasadą Newtona F = ma, gdzie a = g.
Stąd
mm
G 1 2 2  mg
RZ
więc
gRZ2
G
MZ
Wiemy, że MZ = VZ więc
G
gRZ2
3g

4
 RZ3 4RZ
3
Uwzględniając RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartością
tylko o 10% większą niż ogólnie przyjęta wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2.
Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi,
Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w
środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat
później (wtedy też sformułował rachunek całkowy).
Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to
samo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia
spadanie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy
obiegu.
Przykład 2
Jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo?
F = ma
6-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
F G
MKm
R2
gdzie MK jest masą Księżyca, a R promieniem orbity po jakiej krąży moduł o masie m.
Ponieważ przyspieszenie
4 2 R
a
T2
więc
 4 2 R 
M m
G K2  m 2 
R
 T 
T2 
4 2 R 3
GM K
T  2
R3
GM K
Podstawiając wartości liczbowe: promień Księżyca R = 1740 km, masę MK = 7.35·1022
kg i G = 6.67·10-11 Nm2/kg2, otrzymamy T = 6.5·103 s czyli 108 minut.
6.2 Doświadczenie Cavendisha
Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego założenia o średniej
wartości gęstości Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro o super wielkiej
gęstości to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony dużym błędem. Czy można
wyznaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć
błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?
W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych
w odległości x (rysunek).
m1
m2
F
F
x
Wówczas siła
F = Gm1m2/x2
czyli
G
Fx 2
m1m2
6-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość
F = 6.67·10-9 N tj. 109 razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za mała by ją wykryć (dokładnie)
zwykłymi metodami.
Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, że siła
potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest
bardzo mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich
pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w
pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki
obrócił się pręt (rysunek b). Pomiar wykonane metodą Cavendisha dają wartość G =
6.67·10-11 Nm2/kg2.
b)
a)
m
M
M
m

6.2.1 Ważenie Ziemi
Mając już godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył MZ z równania:
gRZ2
MZ 
G
Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył
też masę Słońca, Jowisza i innych planet, których satelity zostały zaobserwowane. Np.
na rysunku poniżej niech M będzie masą Słońca, a m masą planety krążącej wokół
Słońca np. Ziemi.
6-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
M
R
m
Wtedy
F = GMm/R2
Ponieważ przyspieszenie
a = 42R/T
to z równania F = ma otrzymujemy
G
 4 2 R 
Mm
 2 

m
R2
 T 
czyli
M 
4 2 R 3
GT 2
Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne
obliczenia można przeprowadzić dla innych planet.
6.3 Prawa Keplera ruchu planet
Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego ciążenia, Johannes Kepler
stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły
hipotezę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem
odwagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno
zwolennika systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, że nawet Galileusz został
zmuszony do publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, że papież był
jego przyjacielem.
Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po
skomplikowanych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania
orbity Marsa trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości.
Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić że Mars
i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa,
które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładnością.
Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę.
6-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
 Pierwsze prawo Keplera
Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.
 Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.
 Trzecie prawo Keplera
Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty
ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).
R13 T12
Dla orbit kołowych 3  2
R2 T2
Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem
R3 T 2
w jednym z ognisk oraz, że 13  12 . Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad
R2 T2
dynamiki. Przykładowo wyprowadźmy III prawo Keplera dla planet poruszających się
po orbitach kołowych.
Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej
planety:
4 2 R13
M 
GT12
a dla drugiej
4 2 R23
M 
GT22
Porównując otrzymamy
R13 R23
R13 T12

czyli

T12 T22
R23 T22
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód można pominąć).
6.4 Ciężar
Ciężar zazwyczaj definiujemy jako siłę ciążenia działającą na ciało. W pobliżu
powierzchni Ziemi dla ciała o masie m będzie ona równa mg. Na Księżycu ciężar jest
mniejszy w porównaniu z ciężarem na Ziemi około sześć razy.
MKm
FK
R K2
M R2

 K Z2  0.165
M m M Z RK
FZ
G Z2
RZ
G
Definicja ciężaru może być myląca. Np. astronauta pomimo, że działa na niego jeszcze
siła ciążenia uważa, że jest w stanie nieważkości. Fizjologiczne odczucie ciężaru czyli
ile siły trzeba włożyć np. do podniesienia ręki.
6-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
6.4.1 Ciężar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna
Ważną konsekwencją tego, że siła grawitacyjna działająca na ciało jest
proporcjonalna do jego masy, jest możliwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły
grawitacyjnej. Można to zrobić używając wagi sprężynowej albo porównując siły
grawitacyjne działające na masę znaną (wzorzec) i na masę nieznaną innymi słowy
ważąc ciało na wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy tę samą
właściwość. Np. gdy spróbujemy pchnąć klocek po idealnie gładkiej poziomej
powierzchni to wymaga to pewnego wysiłku, a przecież ciążenie nie pojawia się tu w
ogóle. Konieczność przyłożenia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we
wzorze F = ma. Nazywamy ją masą bezwładną m. W innej sytuacji utrzymujemy ten
klocek uniesiony w górę w stanie spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli
bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku. Ale musimy używać siły o wartości równej
przyciąganiu grawitacyjnemu między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło. Odgrywa
tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje jego przyciąganie przez inne obiekty takie
jak Ziemia i siła jest tu dana wzorem
F G
m' M Z
RZ2
gdzie m' jest masą grawitacyjną. Czy m i m' ciała są sobie równe?
Masa bezwładna m1 spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi ma
przyspieszenie a1, przy czym
m 'M
m1 a1  G 1 2 Z
RZ
jeżeli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to
m2 a 2  G
m2 ' M Z
RZ2
Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy
m1 a1 m1 '

m2 a 2 m2 '
Widzimy, że jeżeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to
stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Jeżeli dla jednej
substancji ustalimy, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to
będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że a1 = a2 z
dokładnością 10-10. Te wyniki sugerują, że masa bezwładna jest równa masie
grawitacyjnej. To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności.
Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu
(laboratorium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia
ogólnej teorii względności Einsteina.
6-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
6.5 Pole grawitacyjne
Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy ważne w fizyce pojęcie pola. Nasze
rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie
przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się natomiast masa m. Wektor r opisuje
położenie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między
tymi masami (równanie 6.1) możemy zapisać w postaci wektorowej
F  G
Mm r
Mm
 G 3 r
2
r r
r
(6.2)
Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora (r)
przy czym
F
M
 (r )   G 3 r
(6.3)
m
r
Jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy inną masę np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać
siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora (r)
F '  m'  ( r )
Widzimy, że wektor (r) nie zależy od obiektu na który działa siła (masy m) ale zależy
od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r).
Oznacza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa
m odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu
(działania), czyli pole.
Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa
wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala
uniezależnić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.
Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Jest ono bardzo
użyteczne również przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Źródłami i
obiektami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego
ładunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w
dalszych rozdziałach.
Chociaż pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo użyteczne i znacznie
upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami,
możemy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem
siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.
Z polem sił wiąże się nie tylko przestrzenny rozkład wektora natężenia pola, ale
również przestrzenny rozkład energii. Właśnie zagadnieniom dotyczącym pracy i energii
są poświecone następne rozdziały.
6.5.1 Pole grawitacyjne wewnątrz kuli
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest
równe Gm/r2 tj. tak jakby cała masa była skupiona w środku kuli (przykład z satelitą).
Jakie jest jednak pole wewnątrz czaszy?
6-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2
w punkcie P wewnątrz czaszy (rysunek poniżej). Fragment A1 czaszy jest źródłem siły
F1 ~ A1/(r1)2 ciągnącej w lewo. Powierzchnia A2 jest źródłem siły ciągnącej w prawo F2
~ A2/(r2)2 .
A1
A2
r1
P
r2
Mamy więc
F1
A r2
 1 22
F2 A2 r1
Z rozważań geometrycznych widać, że
A1 r12

A2 r22
(pola powierzchni stożków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
F1
1
F2
Tak więc wkłady wnoszone przez A1 i A2 znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą
czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero. Tak więc wewnątrz czaszy pole
grawitacyjne jest równe zeru. Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości
też jest zero bo możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw
koncentrycznych.
Na rysunku poniżej przedstawiono pełną kulę o promieniu R i masie M.
P
r
R
W punkcie P pole pochodzące od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi więc
tylko od kuli o promieniu r czyli
a = Gm/r2 lub a = GV/r2
6-9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dla kuli V = 4r3/3. Gęstość  
M
4 3
R
3
więc pole w punkcie P wynosi a  G
M
r
R3
Widzimy, że pole zmienia się liniowo z r.
a
g
2
~1/r
~r
RZ
r
6-10