Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami

Liczby zespolone
Definicja liczb zespolonych
Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi , gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i2 = −1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb zespolonych z1 = a + bi i
z2 = c + di to z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i . Iloczyn liczb zespolonych z1 = a + bi i z2 = c + di to
z1 z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i . Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczany jest (na calym świecie
z wyjatkiem polskich szkól średnich) przez
.
Stwierdzenie 1. (przemienność dzialań)
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 zachodza równości
z1 + z 2 = z 2 + z 1
oraz
z 1 z2 = z 2 z1 ,
czyli dodawanie i mnożenie sa dzialaniami przemiennymi.
Dowód.
Uzasadniamy to w nastepujacy sposób: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = z2 + z1 ,
bo wynik dodawania liczb rzeczywistych nie zależy od kolejności skladników. Teraz mnożenie:
z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ca − db) + (cb + da)i = (c + di)(a + bi) = z 2 z1 ,
bo dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych sa przemienne.
Zamiast pisać a + 0i bedziemy pisać a , zamiast pisać 0 + bi bedziemy pisać bi . Liczby postaci
bi , b ∈
nazywać bedziemy urojonymi. Dzieki tej umowie liczby rzeczywiste to szczególne liczby
zespolone – „te w których nie ma i ”. Liczbe a nazywamy cześcia rzeczywista liczby z = a + bi ,
piszemy Re z = a ; liczbe b – cześcia urojona liczby z = a + bi , piszemy Im z = b
W taki sam sposób sprawdzić można, że zachodzi
Stwierdzenie 2. (la czność, rozdzielność, istnienie różnicy i ilorazu)
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 , z3 zachodza równosci
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) — dodawanie jest la czne,
(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) — mnożenie jest la czne,
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 — mnożenie jest rozdzielne wzgledem dodawania.
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 istnieje dokladnie jedna liczba zespolona z taka, że
z1 + z = z2 , liczba ta zwana jest różnica liczb z2 i z1 i oznaczana symbolem z2 − z1 .
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 6= 0 i z2 istnieje dokladnie jedna liczba zespolona z taka,
że z1 z = z2 , liczba ta zwana jest ilorazem liczb z2 i z1 i oznaczana symbolem
z2
z1
lub z2 /z1 .
Dowód.
Jedynie dowód istnienia ilorazu różni sie nieco od dowodu przemienności dzialań. Przyjmijmy, że
z1 = a + bi , z2 = c + di . Szukamy liczby zespolonej z = x + yi , dla której z2 = zz1 , czyli
c + di = (a + bi)(x + yi) = (ax − by) + (ay + bx)i . Ma wiec być c = ax − by i jednocześnie
d = ay + bx . Otrzymaliśmy wiec uklad równań z niewiadomymi x, y . Mnoża c pierwsze z nich przez
a , drugie przez b i dodaja c stronami otrzymujemy ac + bd = (a2 + b2 )x , zatem x =
218
ac+bd
a2 +b2
, dzielenie
jest wykonalne, bo 0 6= a+bi , wiec co najmniej jedna z liczb a, b jest 6= 0 . Analogicznie otrzymujemy
wzór y =
ad−bc
a2 +b2
.
Wykazaliśmy wszystkie podstawowe wlasności dzialań. Jest oczywiste, że w zbiorze liczb zespolonych zachodza równości 1 · z = z , 0 · z = 0 i 0 + z = z dla dowolnego z ∈
.
Na liczbach zespolonych możemy wiec wykonywać na nich dzialania tak, jak na liczbach rzeczywistych. Na przyklad:
c+di
a+bi
=
(c+di)(a−bi)
(a+bi)(a−bi)
=
(c+di)(a−bi)
a2 −(bi)2
=
(ac+bd)+(ad−bc)i
a2 −b2 i2
=
(ac+bd)+(ad−bc)i
a2 −b2 (−1)
=
ac+bd
a2 +b2
+
Niestety, nie wszystko jest tak jak w przypadku liczb rzeczywistych. W zbiorze
ad−bc
a2 +b2 i .
nie można
w sensowny sposób wprowadzić nierówności. Nadamy temu zdaniu postać twierdzenia, a nastepnie
udowodnimy je.
Twierdzenie o nieistnieniu nierówności w zbiorze liczb zespolonych
W zbiorze
nie istnieje relacja ≺ taka, że
1. Jeśli z1 , z2 ∈
, to zachodzi dokladnie jedna z trzech możliwości:
z1 = z2 albo z1 ≺ z2 albo z2 ≺ z1
(każde dwie liczby można porównać);
2. jeśli z1 ≺ z2 i z2 ≺ z3 , to z1 ≺ z3 (nierówność ma być przechodnia);
3. jeśli z1 ≺ z2 i z ∈
z∈
, to z1 + z ≺ z2 + z (do obu stron nierówności wolno dodać dowolna liczbe
);
4. jeśli z1 ≺ z2 i 0 ≺ z , to zz1 ≺ zz2
(nierówność wolno pomnożyć obustronnie przez dowolna
liczbe z wieksza od 0 ).
Dowód.
Zalóżmy bowiem, że udalo nam sie w jakiś sposób zdefiniować nierówność ≺ w taki sposób, że
spelnione sa warunki 1 – 4. Jeśli 0 ≺ z , to 0 = 0 · z ≺ z · z = z 2 , czyli kwadraty liczb dodatnich
sa dodatnie. Mamy oczywiście z 2 = (−z)2 . Jeśli z ≺ 0 , to 0 = z + (−z) ≺ 0 + (−z) = −z , zatem
0 ≺ (−z)2 = z 2 , wiec również w tym przypadku 0 ≺ z 2 . Wobec tego kwadraty liczb różnych od
zera musza być dodatnie. Mamy 11 = 1 i i2 = −1 , zatem 0 ≺ 1 i jednocześnie 0 ≺ −1 . Dodaja c
do obu stron pierwszej z tych nierówności liczbe −1 otrzymujemy −1 ≺ (−1) + 1 = 0 , co przeczy
temu, że 0 ≺ −1 . Dowód zostal zakończony.
Okazalo sie wiec, że liczb zespolonych porównywać sie nie da. Można oczywiście definiować jakieś
nierówności miedzy liczbami zespolonymi rezygnuja c z cześci warunków 1 – 4, ale takie nierówności
nie sa użyteczne, wiec na ogól nikt tego nie robi.
Liczby zespolone można traktować jako punkty plaszczyzny. Przyjmujemy, że cześć rzeczywista
liczby zespolonej to pierwsza wspólrzedna (czyli pozioma), a cześć urojona to druga wspólrzedna
(pionowa) punktu plaszczyzny. Przy takiej interpretacji suma z1 + z2 liczb zespolonych może być
−→ −→
potraktowana jako koniec wektora, który jest suma wektorów 0z1 i 0z2 .
Definicja
Wartościa bezwzgledna |z| liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe
219
√
a2 + b2 , argumentem
Argz liczby z = a + bi 6= 0 – dowolna liczbe ϕ taka, że cos ϕ =
√ a
a2 +b2
oraz sin ϕ =
√ b
a2 +b2
.
Z definicji tej wynika, że |z| to odleglość punktu z od punktu 0 a argument liczby z , to ka t
→
− →
−
miedzy wektorami 01 i 0z mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
lub Argi = − 3π
2 , Arg(−1 + i) = π −
√
|2| = 2 = | − 2| = |2i| = | − 2i| , |1 + i| = | − 1 + i+ = |1 − i| = | − 1 − i| = 2 .
Arg2 = 0 lub Arg2 = 2004π , Argi =
π
2
π
4
= 34 π itp.
Nierówność trójka ta
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 zachodzi nierówność |z1 +z2 | ≤ |z1 |+|z2 | , jest ona równościa
jedynie wtedy, gdy punkty plaszczyzny odpowiadaja ce liczbom 0, z1 , z2 leża na jednej prostej, przy
czym 0 nie leży miedzy* z1 i z2 .
Dowodu nie podajemy, bo wynika on ze znanych wlasności figur geometrycznych (np. trójka ta),
a ci którzy ich nie pamietaja, moga bez klopotu wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
p
p
p
a1 , b1 , a2 , b2 zachodzi nierówność
(a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 ≤ a21 + b21 + a22 + b22 , staje sie ona
równościa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista t ≥ 0 taka, że z 1 = tz2 lub z2 = tz1 .
Z równości z = a + bi , r = |z| , cos ϕ =
√ a
a2 +b2
i sin ϕ =
√ b
a2 +b2
wynika, że
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) .
Zapisaliśmy liczbe z w postaci trygonometrycznej.
Zalóżmy, że z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) i z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) . Wtedy
z1 z2 = r1 r2 cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 ) =
= r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )
– skorzystaliśmy tu z wzorów
cos(ϕ1 + ϕ2 ) = cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 oraz sin(ϕ1 + ϕ2 ) = cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 ,
z którymi studenci spotykali sie czasem w szkolach. Wykazaliśmy w ten sposób, że wartość bezwzgledna iloczynu dwu liczb zespolonych równa jest iloczynowi ich wartości bezwzglednych, a argument iloczynu dwu liczb zespolonych równa jest sumie ich argumentów. Stosuja c otrzymany wzór
wielokrotnie otrzymujemy
Wzór de Moivre’a
n
r(cos ϕ + i sin ϕ) = rn cos(nϕ) + i sin(nϕ) .
Z tego wzoru wynika, że dla każdej liczby zespolonej w 6= 0 i każdej liczby naturalnej n istnieje
dokladnie n różnych liczb zespolonych z1 , z2 ,. . . , zn takich, że zjn = w dla j = 1, 2, . . . , n . Zalóżmy
bowiem, że w = %(cos ψ + i sin ψ) . Jeśli z = r(cos ϕ + i sin ϕ) i w = z n , to musza być spelnione
√
równości % = r n oraz nϕ = ψ + 2kπ dla pewnej liczby calkowitej k . Wynika sta d, że r = n % , r
jest wiec wyznaczone jednoznacznie. Musi też być ϕ =
ψ
n
+
2kπ
n
. Zastepujac liczbe k liczba k + n
zwiekszamy ka t ϕ o 2π , co nie zmienia liczby z . Różne liczby z otrzymujemy przyjmuja c kolejno
k = 0 , k = 1 ,. . . , k = n − 1 . Otrzymujemy wiec dokladnie n różnych wartości. Latwo zauważyć,
*
nieostro, jedna z liczb z1 ,z2 może być zerem
220
że odpowiadaja ce im punkty plaszczyzny sa wierzcholkami n –ka ta foremnego wpisanego w okra g o
√
promieniu r = n % . Jeśli w = 1 , to wśród tych liczb jest liczba 1 .
Definicja pierwiastka algebraicznego z liczby zespolonej
Algebraicznym pierwiastkiem n –tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy każda liczbe zespolona z , dla której w = z n .
Przyklady
1. Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 2 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0 sa
0π
2π
2π
z1 = cos 0π
2 + i sin 2 = cos 0 + i sin 0 = 1 oraz z2 = cos 2 + i sin 2 = cos π + i sin π = −1 .
0π
2. Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0 sa z1 = cos 0π
2 + i sin 2 = 1 ,
2π
1
z2 = cos 2π
3 + i sin 3 = − 2 + i
√
3
2
4π
1
oraz z3 = cos 4π
2 + i sin 2 = − 2 − i
√
3
2
.
3. Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby −1 = cos π + i sin π sa
z1 = cos π3 + i sin π3 =
1
2
+i
√
3
2
z3 = cos π+4π
+ i sin π+4π
=
3
3
1
2
, z2 = cos π+2π
+ i sin π+2π
= −1 oraz
3
3
−i
√
3
2
.
4. Ponieważ cos 2α + i sin 2α = (cos α + i sin α)2 = cos2 α + 2i cos α sin α + i2 sin2 α =
= cos2 α − sin2 α + 2i cos α sin α , cześci rzeczywiste sa równe i cześci urojone sa równe, wiec
cos 2α = cos2 α − sin2 α i sin 2α = 2 sin α cos α .
5. Ponieważ cos 3α + i sin 3α = (cos α + i sin α)3 = cos3 α + 3i cos2 α sin α + 3i2 cos α sin2 α +
+i3 sin3 α = cos3 α − 3 cos α sin2 α + i 3 cos2 α sin α − sin3 α , i wobec tego
cos 3α = cos3 α − 3 cos α sin2 α = 4 cos3 α − 3 cos α ,
sin 3α = 3 cos2 α sin α − sin3 α = 3 sin α − 4 sin3 α .
Widzimy wiec, że za pomoca liczb zespolonych można powia zać wzory na cos nα i sin nα z
dwumianem Newtona, można przestać poszukiwać tych wzorów w tablicach.
Definicja sprzeżenia
Jeśli z = a + bi , a, b ∈
, to liczbe z = a − bi nazywamy sprzeżona do liczby z .
2 − 3i = 2 + 3i , 13 = 13 , i = −i . Liczba z jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy , z = z .
Jeśli z ∈
/
, to z ∈
jest jedyna liczba taka, że z + z ∈
i jednocześnie z · z ∈
. Prosty dowód
tego stwierdzenia pozostawiam czytelnikom w charakterze ćwiczenia. Mamy też
z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = |z|2 , z + z = 2Rez oraz z − z = 2iImz .
Możemy wiec napisać Rez =
1
2 (z
+ z) i Imz =
1
2i (z
− z) . Punkty plaszczyzny odpowiadaja ce
liczbom z i z sa symetryczne wzgledem osi rzeczywistej.
Przypomnijmy, że argument iloczynu dwu liczb zespolonych równy jest sumie argumentów
skladników. Jest to wlasność przypominaja ce nieco logarytm (logarytm iloczynu to suma logarytmów
czynników). Logarytm to wykladnik potegi. Zdefiniujemy teraz potege o podstawie e .
Definicja potegi o wykladniku zespolonym
z
e = ex+iy = ex cos y + i sin y) dla dowolnej liczby zespolonej z = x + iy , x, y ∈
.
Czytelnik może uznać te definicje za dziwna. Zauważmy jednak, że rozszerza ona definicje potegi
221
o wykladniku rzeczywistym. eπi = e0 cos π + i sin π = −1 , eln 2+πi = eln 2 cos π + i sin π = −2 .
Przyklady można mnożyć.Zauważmy jeszcze, że jeśli z = x + iy , w = u + iv ( x, y, u, v ∈ ), to
ez+w = e(x+u)+i(y+v) = ex+u cos(y + v) + i sin(y + v) = ex eu cos y + i sin y cos v + i sin v =
= ex cos y + i sin y eu cos v + i sin v = ez ew .
Widzimy wiec, że wlaśnie zdefiniowanej potedze liczby e przysluguje podstawowa wlasność poteg.
Definicja potegi byla stopniowo rozszerzana: najpierw uczniowie poznaja potegi o wykladnikach
naturalnych, potem o calkowitych ujemnych, potem o dowolnych wymiernych. Potega o wykladniku
rzeczywistym jest określana tak, by zachować monotoniczność i równość e a+b = ea eb . Ponieważ
zajmujemy sie liczbami zespolonymi, wiec nie można mówić o monotoniczności – w zbiorze liczb
zespolonych nie ma nierówności. Zamiast monotoniczności można zaża dać istnienia pochodnej w
punkcie 0 .
Twierdzenie charakteryzuja ce funkcje ez
Funkcja ez jest jedyna funkcja f :
1
◦
−→
taka, że spelnione sa warunki
f (z + w) = f (z)f (w) dla dowolnych liczb zespolonych z, w oraz
(0)
= 1.
2◦ lim f (z)−f
z
z→0
Drugi warunek wymaga wyjaśnienia. Mówimy, że lim h(z) = G ∈
wtedy i tylko wtedy, gdy
z→z0
lim
|z−z0 |→0
h(z) − G = 0 , w ostatnim wyrażeniu liczby zespolone wystepuja tylko pozornie, wiec to
ostatnie pojecie nie jest nam obce. Ta definicja jest prostym uogólnieniem pojecia granicy znanego z
przypadku rzeczywistego — chodzi o to, że jeśli odleglość miedzy z i z0 jest dostatecznie mala, to
odleglość miedzy wartościa funkcji h w punkcie z i granica G też jest mala. Rozpatrywana granica
(0)
ma być pochodna funkcji f w punkcie 0 . Nasza funkcja ma być rozszerzeniem funkcji
lim f (z)−f
z
z→0
wykladniczej o podstawie e i wykladniku rzeczywistym, wiec jej pochodna w punkcie 0 , powinna
być równa pochodnej funkcji ex w punkcie 0 , czyli powinna być równa 1 .
Tego, że warunki 1◦ i 2◦ definiuja funkcje wykladnicza nie bedziemy dowodzić. Wcześniej
wykazaliśmy, że warunek 1◦ jest spelniony. Naszkicujemy dowód tego, że funkcji ez przysluguje wlasność 2◦ . Można dowieść, np. za pomoca reguly de l’Hospitala*, że lim e
x
x→0
i lim sin yy−y = 0 . Niech r(x) =
y→0
oraz r̃(y) =
sin y−y
y
x
e −1−x
x
dla x 6= 0 i r(0) = 0 , r̂(y) =
−1−x
x
cos y−1
y
= 0 , lim cos yy−1 = 0
y→0
dla y 6= 0 i r̂(0) = 0
dla y 6= 0 i r̃(0) = 0 . Mamy wiec ex − 1 = x[1 + r(x)] , cos y − 1 = yr̂(y) oraz
sin y = y[1 + r̃(y)] . Wobec tego
ez −1
z
=
x
iy
x
iy
(e −1)(e −1)+(e −1)+(e −1)
ex+iy −1
ex eiy −1
=
x+iy = x+iy =
x+iy
x[1+r(x)]·y[r̂(y)+i+ir̃(y)]+x[1+r(x)]+y[r̂(y)+i+ir̃(y)]
=
x+iy
xy
= 1 + x+iy
[1 + r(x)][i + r̂(y) +
=
ir̃(y)] +
x
x+iy r(x)
+
y
x+iy
r̂(y) + ir̃(y) .
Zachodza równości lim r(x) = 0 , lim r̂(y) = 0 oraz lim r̃(y) = 0 . Prawdziwe sa również wzory
x→0
*
y→0
y→0
Wlaściwie z definicji pochodnej i wzorów (ex )0 =ex , (cos y)0 =− sin y , (sin y)0 =cos y .
222
x x+iy
= √ |x|
2
y = √ |y|
≤ 1 , x+iy
2
x +y 2
x +y 2
Stad wynika, że lim e
z→0
Z tego, że lim e
z→0
z
z
−e0
z
−1
z
p
xy √x2 +y2 ·√x2 +y2
≤
√ 2 2
≤ 1 i x+iy
= x2 + y 2 = |z| −−−→ 0 .
x +y
z→0
= 1 . Dowód zostal zakończony.
= 1 wynika, że lim e
z→0
w+z
−ew
z
= ew dla każdej liczby zespolonej w . Zwykle
te ostatnia równość z oczywistych przyczyn zapisujemy jako (ew )0 = ew .
Rozszerzaja c wiec dziedzine funkcji wykladniczej otrzymaliśmy funkcje, która z formalnego
punktu widzenia ma wlasności podobne do funkcji wykladniczej w dziedzinie rzeczywistej. Sa jednak
istotne różnice. Wglebiać sie w nie nie możemy z braku miejsca i czasu, ale o jednej coś powiemy.
Funkcja wykladnicza o podstawie e i wykladniku rzeczywistym jest ściśle rosna ca: jeśli x1 < x2 ,
to ex1 < ex2 . Z funkcja wykladnicza ez jest inaczej. Mamy e2πi = cos 2π + i sin 2π = 1 , zatem
dla każdego z ∈
zachodzi równość ez+2πi = ez e2πi = ez . Funkcja wykladnicza w dziedzinie
zespolonej jest wiec okresowa, jej okresem jest 2πi – liczba czysto urojona. Wartościami tej funkcji
sa wszystkie liczby zespolone (w tym rzeczywiste) z jednym wyja tkiem: 0 6= ez dla z ∈
. Wynika
to natychmiast z tego, że każda liczbe dodatnia r = |w| można zapisać w postaci ex , x ∈
.
Wystarczy przyja ć x = ln r (jest to oczywiście jedyny wybór). Nastepnie przyjmujemy y = Argw i
otrzymujemy równość w = ez , gdzie z = x + iy = ln |w| + iArgw . Piszemy wtedy z = ln w jednak
trzeba pamietać o tym, że w dziedzinie zespolonej symbol ln w może oznaczać która kolwiek z nieskończenie wielu liczb z , dla których zachodzi równość w = ez . Można wiec napisać ln(−1) = πi
albo ln(−1) = −5πi itp. Logarytmów zespolonych używać nie bedziemy, natomiast w niektórych
przypadkach bedziemy stosować potegi o podstawie e i wykladniku nierzeczywistym.
Informacja:
Liczby zespolone sa używane, bo w niektórych sytuacjach nie sposób sie bez nich obejść. Historycznie pierwszym przypadkiem tego rodzaju byl wzór na pierwiastki równania trzeciego stopnia: jeżeli
r
r
q
q
3
3
2
2
3
3
p
q
q
x3 + px + q = 0 , to x = − 2 + 27 + 4 + − 2q − p27 + q4 . Wyprowadzenie tego wzoru nie
jest dlugie, ale opuścimy je. Można przecież po prostu sprawdzić, że zdefiniowana za jego pomoca
liczba jest pierwiastkiem równania x3 + px + q = 0 wstawiaja c ja w miejsce x do tego równania.
Pokażemy natomiast, że stosowanie tego wzoru może być klopotliwe. Niech p = −63 , q = −162 ,
3
2
2
p3
zajmujemy sie wiec równaniem x3 − 63x − 162 = 0 . Mamy 27
+ q4 = p3 + q2 = (−21)3 + 812 =
= − 2700 < 0 . Teraz z tej liczby należy wycia gna ć pierwiastek kwadratowy. Ten pierwiastek nie jest
liczba rzeczywista ! Można pomyśleć, że to dlatego, że nasze równanie nie ma rozwia zań rzeczywistych. Tak jednak nie jest. Mamy bowiem (−3)3 − 63 · (−3) − 162 = 0 , (−6)3 − 63 · (−6) − 162 = 0
oraz 93 − 63 · 9 − 162 = 0 , wiec nasze równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Otrzymujemy
p
p
p
p
√
√
√
√
wiec wzory −3 = 3 81 + −2700 + 3 81 − −2700 , −6 = 3 81 + −2700 + 3 81 − −2700 ,
p
p
√
√
9 = 3 81 + −2700 + 3 81 − −2700 . Wygla da to nieco podejrzanie: prawe strony sa równe, a
lewe różne. To jednak tylko pozór. Sa dwie wartości pierwiastka kwadratowego z danej liczby zespo223
lonej 6= 0 i trzy wartości pierwiastka trzeciego stopnia. Przy tej interpretacji można sie spodziewać
do trzydziestu sześciu pierwiastków tego równania. To jednak nie jest możliwe. Równanie stopnia
trzeciego ma najwyżej trzy pierwiastki (po prostu nie można wybierać wartości tych pierwiastków
w sposób dowolny). Udowodniono, że nie jest możliwe napisanie wzorów na pierwiastki równania
stopnia trzeciego z użyciem dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania, które
nie prowadzilyby do wycia gania pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych w przypadku rzeczywistych wspólczynników i trzech rzeczywistych pierwiastków! Oznacza to, że w tym przypadku bez
liczb zespolonych obyć sie nie można. Zaczeto ich wiec używać w XVI wieku, choć „ich nie bylo”.
Zostaly ostatecznie zaakceptowane na pocza tku XIX wieku, gdy C.F.Gauss pokazal, że można je
potraktować jako punkty plaszczyzny i że wtedy dzialania na liczbach zespolonych zaczynaja mieć
sens geometryczny. Dziś trudno sobie wyobrazić matematyke bez ich użycia.
Kilka zadań
1. Rozwiazać równanie w zbiorze liczb zespolonych
1
z
a. z 2 + 4z + 5 = 0 ;
b. z +
c. z 2 − z̄ 2 = 0 ;
d. z 2 = z ;
e. z 2004 = z ;
f. ez = 1 ;
g. ez = −1 ;
h. ez = i ;
i. z 2 − (3 + i)z + 8 − i = 0 ;
= 0;
j. z 2 − (3 + 7i)z − 10 + 11i = 0 ;
k. z 4 + 5z 2 + 9 = 0 ;
l. z 4 + 8z 3 + 16z 2 + 9 = 0 ;
√
m. |z + i| + |z − i| = 5 .
l. |z + i| + |z − i| = 2 ;
2. Znaleźć liczby rzeczywiste x, y , dla których
a. (5 − 8i)x + (7 + 3i)y = 2 − i
b. (7 + 2i)x − (5 − 4i)y = −1 − i
3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone
a. 21 − i
√
3
2
b. − 21 − i
,
√
3
2
,
√
c. 1 − i 3
4. Ze znanego wzoru na sume pierwszych n wyrazów cia gu geometrycznego wyprowadzić wzór na
sumy: sin ϕ + sin(2ϕ) + · · · + sin nϕ oraz cos ϕ + cos(2ϕ) + · · · + cos(nϕ) .
5. z̄ to punkt symetryczny do punktu z wzgledem osi rzeczywistej. Znaleźć punkty symetryczne
do punktu z wzgledem
a. osi urojonej,
c. prostej o równaniu y =
√
3
3 x,
b. prostej o równaniu y = x ,
√
d. prostej o równaniu y = 3x .
224