Definicja 2.1 Relacją równoważności na zbiorze X nazywamy

1
Spis treści
1 Relacje i funkcje
1.1 Podstawowe definicje i przykłady. Najważniejsze klasy
1.2 Sposoby przedstawienia relacji. . . . . . . . . . . . .
1.3 Pojęcie funkcji, podstawowe własności, przykłady . .
1.4 Ćwiczenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
5
6
8
2 Relacja równoważności.
2.1 Definicja i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Relacja równoważności i podział zbioru na klasy abstrakcji. . . . . . . . . . . . .
2.3 Zastosowanie relacji równoważności do konstruowania obiektów matematycznych
2.4 Ćwiczenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
13
14
16
.
.
.
.
17
17
20
21
21
3 Relacje porządku.
3.1 Relacja częściowego porządku . .
3.2 Porządki liniowe. . . . . . . . . .
3.3 Dobre porządki. AC, LKZ i WO.
3.4 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
relacji.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1.
3
1
1.1
Relacje i funkcje
Podstawowe definicje i przykłady. Najważniejsze klasy relacji.
• Definicja 1.1
Relacją dwuargumentową określoną na zbiorze X × Y nazywamy każdy podzbiór
R iloczynu kartezjańskiego X ×Y . Relację określoną na zbiorze X ×X nazywamy relacją w zbiorze
X.
Pojęcie relacji jest podstawowym sposobem przedstawienia zależności między różnymi obiektami.
Przykłady:
(1) Relacja przynależności elementu do zbioru.
(2) Relacja podzielności w zbiorze liczb całkowitych.
(3) Relacja przystawania modulo ustalona liczba naturalna w zbiorze liczb całkowitych.
(3) Relacje ” < ”, ” ¬ ”, ” > ”, ” ­ ” w zbiorze liczb rzeczywistych.
(4) Relacja równoległości prostych na płaszczyźnie.
Fakt, że elementy x, y pozostają w relacji R zapisujemy w postaci
(x, y) ∈ R
lub
xRy
Dziedziną relacji R nazywamy zbiór dom(R)= {x ∈ X :
Obrazem relacji R nazywamy zbiór rng(R)= {y ∈ Y :
W
(xRy)}.
y∈Y
W
(xRy)}.
x∈X
Jeżeli A jest dowolnym podzbiorem dziedziny relacji R, to obrazem zbioru A przez relację R nazywamy zbiór
R[A] = {y ∈ Y :
W
(xRy)}
x∈A
Jeżeli B jest dowolnym podzbiorem zbioru rng(R), to przeciwobrazem zbioru B przez relację R
nazywamy zbiór
R−1 [B] = {x ∈ X :
• Fakt 1.2
W
(xRy)}
y∈B
Prawdziwe są następujące zależności
R[A ∪ B] = R[A]∪R[B],
R[A ∩ B] ⊂ R[A]∪R[B].
D o w ó d. Wykorzystując reguły rachunku zdań otrzymujemy:
y ∈ R[A ∪ B] ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
W
x
W
x
W
x
((x ∈ A ∪ B) ∧ (xRy))
⇐⇒
W
x
(((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ xRy)
((x ∈ A) ∧ (xRy)) ∨ ((x ∈ B)) ∧ (xRy))
((x ∈ A) ∧ (xRy)) ∨
⇐⇒ y ∈ R[A] ∨ y ∈ R[B]
W
x
((x ∈ B)) ∧ (xRy))
⇐⇒
y ∈ R[A] ∪ R[B]
4
y ∈ R[A ∩ B] ⇐⇒
⇐⇒
=⇒
W
x
W
x
W
x
((x ∈ A ∩ B) ∧ (xRy))
⇐⇒
W
x
(((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∧ xRy)
((x ∈ A) ∧ (xRy)) ∧ ((x ∈ B)) ∧ (xRy))
((x ∈ A) ∧ (xRy)) ∧
⇐⇒ y ∈ R[A] ∧ y ∈ R[B]
W
x
((x ∈ B)) ∧ (xRy))
⇐⇒
y ∈ R[A] ∩ R[B]
Na relacjach, jako pewnych podzbiorach zbioru X × Y można wykonywać podstawowe operacje
teoriomnogościowe:
1) Sumą relacji R1 oraz R2 nazywamy relację R1 ∪R2 określoną wzorem
(x, y) ∈ R1 ∪R2 ⇐⇒ (x, y) ∈R1 ∨(x, y) ∈ R2
2) Iloczynem relacji R1 oraz R2 nazywamy relację R1 ∩R2 określoną wzorem
(x, y) ∈ R1 ∩R2 ⇐⇒ (x, y) ∈R1 ∧(x, y) ∈ R2
Relację odwrotną do relacji R określamy wzorem
R−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ R}.
Jeżeli R oraz S są dwiema relacjami w zbiorze X, to złożeniem tych relacji nazywamy relację
określoną wzorem
R ◦ S= {(x, z) :
W
y
((x, y) ∈ R∧(y, z) ∈ R)}.
Przykład
Określamy na IN relacje R, S zależnościami:
Wówczas
2|(m − n)
⇐⇒
nRm
n(R ∪ S)m
n(R ∩ S)m
⇐⇒
oraz
nRm
⇐⇒
2|(m − n) ∨ 5|(m − n)
2|(m − n) ∧ 5|(m − n)
⇐⇒
5|(m − n)
⇐⇒
10|(m − n)
Kilka niżej zdefiniowanych własności relacji odgrywa szczególnie ważną rolę.
Relację R określoną na zbiorze X nazywamy:
• zwrotną, jeżeli
V
(xRx)
x∈X
• przeciwzwrotną, jeżeli
V
x∈X
• symetryczną, jeżeli
V
V
x∈X y∈X
• przechodnią, jeżeli
V
V
¬(xRx)
(xRy −→ yRx)
V
x∈X y∈X z∈X
(xRy ∧ yRz −→ xRz)
5
• słabo antysymetryczną, jeżeli
V
V
V
V
x∈X y∈X
• silnie antysymetryczną, jeżeli
x∈X y∈X
• spójną, jeżeli
V
V
x∈X y∈X
Przykłady:
(xRy ∨yRx).
(xRy ∧ yRx −→ x = y)
(xRy −→ ¬yRx)
(1) Relacjami zwrotnymi są: identyczność na dowolnym zbiorze X (tzn. R= {(x, x) : x ∈ X}), równoległość w zbiorze prostych na płaszczyźnie, podzielność w zbiorze liczb całkowitych, podobieństwo
figur płaskich.
(2) Relacjami przeciwzwrotnymi są: relacja ostrej mniejszości w zbiorze liczb rzeczywistych, prostopadłości w zbiorze prostych na płaszczyźnie.
(3) Relacjami symetrycznymi są: identyczność na dowolnym zbiorze X, równoległość w zbiorze prostych na płaszczyźnie, podobieństwo figur płaskich.
Na relacjach, jako pewnych podzbiorach zbioru X × Y można wykonywać podstawowe operacje teoriomnogościowe:
(4) Relacjami przechodnimi są: identyczność na dowolnym zbiorze X , równoległość w zbiorze prostych na płaszczyźnie, relacja mniejszości w zbiorze liczb rzeczywistych, podzielność w zbiorze liczb
całkowitych, podobieństwo figur płaskich.
(5) Relacjami słabo antysymetrycznymi są: podzielność w zbiorze liczb całkowitych, relacja słabej
mniejszości w zbiorze liczb rzeczywistych.
(6) Relacją silnie antysymetryczną jest relacja ostrej mniejszości w zbiorze liczb rzeczywistych.
(7) Relacjami spójnymi są: relacja słabej mniejszości w zbiorze liczb rzeczywistych.
Tranzytywnym domknięciem relacji R nazywamy relację powstałą z R przez dorzucenie możliwie
najmniejszej liczby par tak, by powstała relacja była przechodnia.
1.2
Sposoby przedstawienia relacji.
Jeżeli zbiory X i Y są skończone, to każdą relację na X × Y można jednoznacznie zdefiniować na
przykład przez:
• wypisanie elementów relacji, czyli wszystkich par (x, y) ∈ R.
• utworzenie diagramu relacji, w którym wyrażenie ”x −→ y” oznacza, że xRy.
• utworzenie macierzy wartości logicznych. Jeżeli X = {x1 , x2 , . . . , xn }, Y = {y1 , y2 , . . . , ym },
to macierz wartości logicznych jest macierzą wymiaru m × n, przy czym
aij =
(
0 gdy
1 gdy
(xi , yj ) ∈
/R
(xi , yj ) ∈ R
Jest oczywiste, że:
1) Zwrotność relacji oznacza, że jej macierz wartości logicznych ma na głównej przekątnej same 1.
6
2) Relacja R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R= R−1 . Macierz takiej relacji jest symetryczna względem głównej przekątnej.
3) Relacja R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R◦R⊂ R.
Przykład
Niech Y = X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i zdefiniujmy
nRm
⇐⇒
(n|m) ∧ (n 6= m)
Wówczas relację R możemy zapisać na trzy sposoby:
1)
R= {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (3, 9), (4, 8)},
2
4
2)
ւ
↓
ց
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
4
5
6
7
8
9
3)
3
ց
6
ւ
5
0
0
0
0
0
0
0
0
6
1
1
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
ց
9
8
3
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
0
0
0
0
0
0
0
8
1
0
1
0
0
0
0
0
9
0
1
0
0
0
0
0
0
Ponieważ relacja podzielności jest przechodnia, więc jest równa swemu tranzytywnemu domknięciu.
Szukając tranzytywnego domknięcia relacji
1
2
3
4
5
1.3
1
0
0
0
1
0
2
0
1
0
0
0
3
1
0
0
0
0
4
0
0
1
1
0
5
1
1
0
0
1
otrzymujemy
1
2
3
4
5
1
1
0
1
1
0
2
0
1
0
0
0
3
1
0
1
1
0
4
1
0
1
1
0
5
1
1
1
1
1
Pojęcie funkcji, podstawowe własności, przykłady
Funkcją nazywamy relację f spełniającą warunek
^
^
^
x∈X y1 ∈Y y2 ∈Y
(xRy1 ∧ xRy2 −→ y1 = y2 ).
Jeżeli relacja { jest funkcją i x ∈ dom(f ), to istnieje dokładnie jeden y ∈ rng({). Oznaczamy go na
ogół symbolem f (x). Zapis f : X −→ Y oznacza, że f jest funkcją o dziedzinie dom(f ) = X i obrazie
rng(f ) = Y .
Funkcję f : X −→ Y nazywamy:
7
• injekcją (lub różnowartościową), jeżeli spełniony jest warunek
^
^
x1 ∈dom(f ) x2 ∈dom(f )
(x1 6= x2 −→ f (x1 ) 6= f (x2 )),
• surjekcją, jeżeli rng(f ) = Y ,
• bijekcją, jeżeli jeżeli jest injekcją i surjekcją.
• Fakt 1.3
Jeżeli relacja f jest funkcją, to prawdziwe są równości::
a) f −1 [A ∪ B] = f −1 [A] ∪ f −1 [B],
b) f −1 [A ∩ B] = f −1 [A] ∩ f −1 [B],
c) f −1 [rng(f ) \ A] = dom(f ) \ f −1 [A].
D o w ó d. a) jest prawdziwe dla dowolnej relacji, co wykazaliśmy na poprzednim wykładzie.
b)
x ∈ f −1 [A ∩ B] ⇐⇒ f (x) ∈ A ∩ B ⇐⇒ (f (x) ∈ A) ∧ (f (x) ∈ B)
⇐⇒ (x ∈ f −1 [A]) ∧ (f −1 [B]) ⇐⇒ x ∈ f −1 [A] ∩ f −1 [B]
c) dowodzi się podobnie.
Przykłady.
1) f (n) = 2n jest funkcją różnowartościową ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych.
Funkcja ta jest surjekcją zbioru IN na zbiór liczb naturalnych parzystych.
2) f (x) = 2x jest bijekcją zbioru IR na zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
3) f (x) = arctgx jest bijekcją zbioru IR na zbiór (− π2 , π2 ).
4) f (z) = z jest bijekcją zbioru CC liczb zespolonych na siebie.
5) f : IN −→ {0, 1, 2, 3, 4}, f (n) jest resztą z dzielenia liczby n przez 5. Funkcja f jest surjekcją,
ale nie jest injekcją.
6) f, g : IN × IN −→ IN,
injekcjami.
f (m, n) = m + n,
g(m, n) = max{m, n} są surjekcjami, ale nie są
7) Iloczyn kartezjański
Wspomniane na drugim wykładzie pojęcie indeksowanej rodziny zbiorów możemy teraz sprecyzować.
• Definicja 1.4
Jeżeli T i Ω sĄ dowolnymi zbiorami, to indeksowaną rodziną zbiorów (At )t∈T
nazywamy każdą funkcję F określoną na dziedzinie T o wartościach w zbiorze potęgowym 2Ω .
Pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów można również uogólnić na przypadek dowolnej ilości zbiorów.
• Definicja 1.5
Iloczynem kartezjańskim rodziny zbior˘w (At )t∈T , gdzie At ⊂ Ω dla wszystkich
t ∈ T, nazywamy zbi˘r
Y
t∈T
(
At = f : f jest funkcją, dom(f ) = T ∧
^
t∈T
)
(f (t) ∈ At ) .
8
n
Q
Jeľeli T = {1, 2, . . . , n} ( T = IN, ) to piszemy
k=1
Ak
∞
Q
lub
Ak .
k=1
8) Funkcje charakterystyczne
Zdefiniowaliśmy pojęcie funkcji posługując się pierwotnym pojęciem zbioru. Pokażemy teraz, jak
można podzbiory dowolnie ustalonej przestrzeni Ω reprezentować za pomocą funkcji.
• Definicja 1.6
Funkcją charakterystyczną zbioru A ⊂ Ω nazywamy funkcję
χA : Ω −→ {0, 1} określoną wzorem
χA (x) =
(
1 gdy x ∈ A
0 gdy x ∈
/A
Zatem każdemu podzbiorowi A ⊂ Ω odpowiada pewna funkcja określona na Ω o wartościach w zbiorze
dwuelementowym {0, 1}. Ale i na odwrót. Każda funkcja określona na Ω o wartościach w zbiorze
dwuelementowym {0, 1} wyznacza pewien podzbiór zbioru Ω, którego jest funkcją charakterystyczną.
Jeżeli f : Ω −→ {0, 1}, to f = χf −1 {1} , bo
χf −1 {1} (x) = 1 ⇐⇒ x ∈ f −1 {1} ⇐⇒ f (x) ∈ {1} ⇐⇒ f (x) = 1
χf −1 {1} (x) = 0 ⇐⇒ x ∈
/ f −1 {1} ⇐⇒ f (x) ∈
/ {1} ⇐⇒ f (x) = 0
1.4
Ćwiczenia.
1. Relację R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5)} na zbiorze {1, 2, 3, 4, 5} przedstawić w sposób graficzny i napisać jej macierz wartości logicznych.
2. Relację R = {(a, a), (b, c), (a, c)} na zbiorze {a, b, c} przedstawić w sposób graficzny i napisać
jej macierz wartości logicznych. Znaleźć domknięcie tranzytywne tej relacji.
3. Relację R zadaną w sposób graficzny
2
4
ւ
ց
3
ց
↓
ւ
6
ւ
8
ց
ց
1
5
ւ ↓
9
7
ւ
zapisać jako zbiór par i sporządzić jej macierz wartości logicznych.
4. Macierz wartości logicznych relacji R określonej na zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ma postać
1
2
3
4
5
6
7
1
0
0
0
1
0
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
0
1
1
0
0
0
4
1
0
0
0
0
0
0
5
1
1
1
0
0
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
7
1
0
1
0
0
1
1
9
Zapisać jako zbiór par i zaproponawać jej przedstawienie graficzne.
5. Podać przykłady relacji:
(a) antysymetrycznej i przechodniej, która nie jest zwrotna,
(b) symetrycznej, która nie jest zwrotna ani przechodnia.
6. Niech X = {−2, −1, 0, 1, 2}. Każdą z następujących relacji zapisać jako zbiór par uporzadkowanych. Przedstawić każdą z tych relacji w sposób graficzny. Napisać dla każdej z tych relacji
macierz wartości logicznych.
(a) mRn ⇐⇒ m ¬ n,
(b) mRn ⇐⇒ mn = 0,
(c) mRn ⇐⇒ m + n = 0,
(d) mRn ⇐⇒ mn = n,
(e) mRn ⇐⇒ m2 + n2 = 2,
(f) mRn ⇐⇒ m2 − n2 = 1.
7. Sprawdzić, które z omówionych na wykładzie własności ma każda z relacji z poprzedniego
zadania.
8. Niech f (x) = x2 . Wyznaczyć zbiory:
f ([−1, 1]),
f ([0, 1]),
f −1 ([−1, 1]),
f ([−1, 2]),
f −1 ([0, 1]),
f −1 ([−1, 2]).
9. Niech f (x) = tg x, g(x) = arctgx. Wyznaczyć zbiory:
f
π π
− ,
4 4
,
f
g([−1, 1]),
π π
− ,
4 2
g
"
−1
10. Niech f : IN −→ IN, f (n) =
f (IN),
h i
n
3
π π
− ,
6 3
,
f
π π
,√
3
3
#!
,
g
"
,
f
−1
1 1
−√ , √
3 3
1 1
−√ , √
3 3
"
([−1, 1]),
f
−1
#!
"
π π
,√
4
2
,
g
−1
!!
#!
,
.
, gdzie [a] oznacza część całkowitą liczby a. Wyznaczyć zbiory
f −1 ({0}),
f −1 ({1, 2}),
f −1 ({7, 17, 37}).
11. Niech f : IN −→ IN, f (n) = n5 , gdzie n5 oznacza resztę z dzielenia liczby n przez 5. Wyznaczyć
zbiory
f (IN),
f −1 ({0}),
f −1 ({1}),
f −1 ({2}),
√
f (IN ∩ (π, 111)).
10
2
2.1
Relacja równoważności.
Definicja i przykłady
• Definicja 2.1
Relacją równoważności na zbiorze X nazywamy relację, która jest na tym zbiorze
zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Przykłady
1) Relacja równości w dowolnym zbiorze X, czyli
IdX = {(x, x) : x ∈ X}.
Relacja ta jest podzbiorem każdej relacji równoważności na X. Natomiast relacja równoważności
X × X zawiera każdą inną relację równoważności w X.
2) Relacja przystawania figur płaskich.
3) Relacja podobieństwa figur płaskich.
4) Niech c będzie zbiorem wszystkich ciągów zbieżnych liczb wymiernych. Relacja określona na c
zależnością
(an )R(bn )
⇐⇒
lim (an − bn ) = 0
n→∞
jest relacją równoważności. Mamy bowiem:
- (an )R(an ), bo n→∞
lim (an − an ) = 0,
- (an )R(bn )
=⇒ (an )R(bn ), bo lim (bn − an ) = lim (an − bn ) = 0,
n→∞
n→∞
- n→∞
lim (an − bn ) = 0 oraz n→∞
lim (bn − cn ) = 0, to
lim (an − cn ) = n→∞
lim (an − bn ) + (bn − cn ) = 0.
n→∞
5) Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Na zbiorze ZZ liczb całkowitych definiujemy
relację ≡n (tzw. relacja przystawania modulo n) za pomocą zależności
x ≡n y
⇐⇒
n|x − y.
Relacja ta jest:
- zwrotna, bo dla każdej liczby całkowitej x mamy n|x − x, gdyż x − x = 0 = n · 0,
- symetryczna, bo dla każdych dwu liczb całkowitych x, y, jeżeli x − y = n · k, to y − x = n · (−k),
- przechodnia, bo jeżeli x − y = n · k oraz y − z = n · l, to x − z = (x − y) + (y − z) = n · (k + l).
Pod wieloma względami kongruencje zachowują się podobnie jak równości, można je dodawa† i
mnożyć (ale nie dzielić!) stronami. Przypuśćmy bowiem, że a = b (mod m) i c = d(mod m. Oznacza
to, że liczby (a − b) i (c − d) dzielą się przez m, ale wtedy również ich suma dzieli się przez m:
m|(a + b) − (c + d), czyli a + b = c + d (mod m).
Zamiast o sumie możemy mowić oczywiście także o różnicy. Natomiast dla iloczynu korzystamy z
faktu, że wielokrotność liczby podzielnej przez m jest podzielna przez m, więc z naszych założeä
wynika, że
m|ac − bc i m|bc − bd,
11
a stąd m|ac − bd.
Co do dzielenia, to zauważmy, że z kongruencji: 6 = 2(mod 4) wcale nie wynika przystawanie 3 do 1
przy module 4.
Przystawanie liczb a i b modulo m oznacza, że dają one tę samą resztę przy dzieleniu przez m.
Liczba a przystaje do zera modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy m|a. Mnożąc daną kongruencję przez
siebie dochodzimy do wniosku, że kongruencje można rownież potęgować stronami (ścisły dowód
prowadzimy przez indukcję względem wykładnika potęgi), kombinując te wyniki razem otrzymujemy
twierdzenie:
Twierdzenie 1 Jeśli f (x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz a = b(mod m), to
również f (a) = f (b)(mod m).
W języku kongruencji wygodnie jest formułować i dowodzić klasyczne twierdzenia teorii liczb. Zajmiemy się teraz niektórymi z nich.
Dla dowolnej liczby m > 0 przez Pm oznaczmy zbiór dodatnich liczb mniejszych od m i względnie
pierwszych z m:
Pm = {k < m : N W D(k, m) = 1}.
Dla liczby pierwszej p mamy więc Pp = {1, 2, ..., p − 1}. Przez Φ(m) oznacza się liczbę elementów
zbioru Pm . Funkcja Φ(m) nazywa się funkcją Gaussa. Oznaczmy przez r1 , r2 , · · · , rΦ(m) wszystkie
elementy zbioru Pm . Niech a będzie liczbą dodatnią taką, że N W D(a, m) = 1. Wówczas reszty z
dzielenia iloczynów: ar1 , r2 , · · · , arΦ(m) przez m wypełniają cały zbiór Pm . Aby to uzasadnić, zauważmy, że te reszty są mniejsze niż m oraz względnie pierwsze z m, bo każdy z iloczynów ari jest liczbą
względnie pierwszą z m. Wszystkie te reszty są więc elementami zbioru Pm . Równocześnie stwierdzamy, że są one różne między sobą, bo dla i 6= j liczba ari nie przystaje do arj modulo m. Mamy więc
Φ(m) elementów zbioru Pm , czyli wszystkie jego elementy. Dla każdego i < m istnieje więc j < m
takie, że
ari = rj (mod m)
Mnożąc te kongruencje stronami otrzymujemy:
Φ(m)
Y
Φ(m)
ri = aΦ(m)
i=1
Y
rj .
j=1
Oznaczając przez r iloczyn wszystkich ri możemy to zapisać:
r = raΦ(m) (mod m),
czyli m|r(aΦ(m)−1) )
Ponieważ liczby m i r są względnie pierwsze, więc m|(aΦ(m) − 1).
Udowodnione w ten sposób twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Eulera, a wnioskiem z niego jest
tzw. Małe Twierdzenie Fermata:
Twierdzenie 2 (MAťE TWIERDZENIE FERMATA): Jeśli p jest liczbą pierwszą i p nie dzieli a, to
ap−1 = 1 (mod p).
Stąd ap = a (mod p), czyli p|(ap −a).
12
Pojęcie kongruencji stanowi teoretyczną podstawę dla cech podzielności. Jeżeli potrafimy dla pewnej
funkcji f : N → N pokazać, że n i f (n) dają tę samą resztę z dzielenia przez p, to w szczególności
dotyczy to reszty 0 i można sformułować cechę podzielności przez p: Liczba n dzieli się przez p wtedy
i tylko wtedy, gdy f (n) dzieli się przez p. Oczywiście użyteczność takiej cechy podzielności zależy
od tego jaka jest funkcja f , czy łatwo obliczyć jej wartości i czy f (n) < n. Jeśli tak jest, to taką
cechę można stosować wielokrotnie, obliczając f(f(n)), f(f(f(n))) itd, aż otrzymamy liczbę dostatecznie
małą.
Przypomnijmy podstawowe cechy podzielności w systemie o podstawie 10.
• Fakt 2.2
Liczba a = cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 jest podzielna:
• przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy c0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
• przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba cn +cn−1 +· · ·c2 +c1 +c0 jest podzielna przez 3.
• przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba c1· 10+c0 jest podzielna przez 4.
• przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba c0 = 0 lub c0 = 5.
• przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest podzielna przez 2 i przez 3.
• przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba c2 ·102 + c1 ·10 + c0 jest podzielna przez 8.
• przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba liczba cn +cn−1 +· · ·c1 +c0 jest podzielna przez 9.
• przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba c0 = 0.
• przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba c0 −c1 +c2 −c3 +· · ·+(−1)n · cn jest podzielna przez 11.
D o w ó d. Wykorzystamy pojęcie kongruencji.
1) Ponieważ 10 ≡2 0, a kongruencje można dodawać i mnożyć stronami, więc ck 10k ≡2 0
każdego k =, 1, . . . , n, a stąd
dla
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡2 c0 .
2) Ponieważ 10 ≡3 1, a kongruencje można dodawać i mnożyć stronami, więc ck 10k ≡3 0 dla każdego
k =, 1, . . . , n, a stąd
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡3 cn + cn−1 + · · · + c2 + c1 + c0 .
3) Ponieważ 10 ≡4 2, więc 10k ≡4 0 dla k = 2, 3, . . . , n.
Stąd ck 10k ≡4 0 dla każdego k = 2, 3, . . . , n, więc
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡4 c1 · 10 + c0 .
4) Ponieważ 10 ≡5 0, a kongruencje można dodawać i mnożyć stronami, więc ck 10k ≡5 0 dla każdego
k =, 1, . . . , n, a stąd
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡5 c0 .
5) Liczba a jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3.
6) Ponieważ 10 ≡8 2, więc 10k ≡8 0 dla k = 3, . . . , n. Stąd ck 10k ≡8 0 dla każdego k = 3, . . . , n,
więc
13
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡8 c1 · 10 + c0 .
7) Ponieważ 10 ≡9 1, więc ck 10k ≡9 ck dla każdego k = 0, 1, . . . , n a stąd
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡9 cn + cn−1 + · · · + c2 + c1 + c0 .
8) Podobnie, ponieważ 10 ≡11 −1, więc ck 10k ≡11 ck · (−1)k dla każdego k = 0, 1, . . . , n, a stąd
cn · 10n + cn−1 · 10n−1 + · · · + c2 · 102 + c1 · 10 + c0 ≡11 (−1)n cn + (−1)n−1 cn−1 + · · · + c2 − c1 + c0 .
Przykłady
1) Wykazać, że liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7.
R o z w i ą z a n i e. Ponieważ 2222 ≡ 3 (mod 7), więc
22225 ≡ 35 (mod 7) oraz 22226 ≡ 36 ≡ 1 (mod 7).
Stąd 22226·925 ≡ 1 (mod 7). Mnożąc kongruencje stronami otrzymujemy
22225550 · 22225 ≡ 35 ≡ 5 (mod 7).
Podobnie licząc mamy kolejno
5555 ≡ 4 (mod 7),
55552 ≡ 2 (mod 7) oraz 55556 ≡ 1 (mod 7).
Podnosząc tę kongruencję do potęgi 370 otrzymujemy
55552220 ≡ 1 (mod 7), więc 55552222 ≡ 2 (mod 7),
co po dodaniu stronami daje
22225555 + 55552222 ≡ 5 + 2 ≡ 0 (mod 7),
czyli liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7.
2.2
Relacja równoważności i podział zbioru na klasy abstrakcji.
• Definicja 2.3
Niech R będzie relacją równoważności na zbiorze X. Klasą abstrakcji elementu
x ∈ X względem relacji R nazywamy zbiór
[x]R = {y ∈ X : xRy}
Przykłady
1) W relacji przystawania modulo n klasy abstrakcji są postaci
[k]≡n = {k + mn : m ∈ ZZ}
dla k = 0, 1, . . . , n − 1
2) W relacji z przykładu 5) w klasie abstrakcji ustalonego ciągu (an ) są wszystkie ciągi posiadające
tę samą granicę, co ciąg (an ).
Zauważmy, że:
1) Ponieważ relacja R jest zwrotna, więc dla każdego elementu x ∈ X
14
x ∈ [x]R dla każdego elementu x ∈ X
2) Jeżeli xRy, to x ∈ [y]R , więc [x]R ⊂ [y]R . Podobnie [x]R ⊂ [y]R . Zatem
xRy
=⇒
[x]R = [y]R .
3) Jeżeli [x]R ∩[y]R 6= ∅, czyli istnieje z ∈ X takie, że xRz oraz yRz, to z symetrii i przechodniości
relacji R wynika, że xRy. Zatem
[x]R ∩[y]R 6= ∅
=⇒ [x]R = [y]R
Wykazaliśmy powyżej, że każda relacja równoważności określona na zbiorze X wyznacza rozbicie
(podział) tego zbioru na rozłączne niepuste podzbiory, które w sumie dają cały zbiór X.
Ale i S
na odwrót! Niech A = (At )t∈T będzie rodziną rozłącznych podzbiorów zbioru X taką, że
At . Wówczas zależność
X=
t∈T
xRy =⇒
W
t∈T
x, y ∈ At
określa na X relację równoważności, co jest zupełnie jasne.
2.3
Zastosowanie relacji równoważności do konstruowania obiektów matematycznych
Konstrukcja zbioru liczb całkowitych
W zbiorze liczb naturalnych określone są dwa działania: dodawanie i mnożenie. Niestety, w zbiorze IN
nie wszystkie równania postaci m +x = n oraz m ·x = n mają rozwiązanie. Aby zagwarantować sobie
rozwiązanie każdego z równań pierwszej postaci, rozszerzamy zbiór IN do zbioru liczb całkowitych
ZZ = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .},
przy czym z definicji liczba −n jest jedynym ”obiektem”, który spełnia warunek n + (−n) = 0.
Spróbujmy uściślić to dość mgliste pojęcie ”obiekt”. Zbiór ZZ jest zatem najmniejszym zbiorem zawierającym IN oraz wszystkie różnice (n − m), gdzie n, m ∈ IN. Tworzywem, z którego zbudujemy te,
nieokreślone dotąd, różnice, są pary liczb naturalnych (odjemna i odjemnik). Oczywiście, jak wiemy
z doświadczenia, różne takie pary mogą wyrażać tę samą liczbę, np. 3 − 7 = 5 − 9, wprowadzamy
więc relację równoważności par, którą można zdefiniować bez użycia pojęcia odejmowania, za pomocą
samego tylko dodawania. Przeprowadźmy następującą konstrukcję. Rozważamy iloczyn kartezjański1
IN × IN, i relację równoważności
(m, n) ≈ (m′ , n′ )
⇐⇒
m + n′ = m′ + n.
Utożsamiając elementy równoważne w powyższym sensie otrzymujemy zbiór klas równoważności
(IN × IN)//≈ . W zbiorze (IN × IN)//≈ wprowadzamy działania:
1
René Descartes zwany Kartezjuszem, (1596–1165), matematyk i filozof francuski. W swym wydanym w roku
1637 dziele ”Rozprawa o metodzie” połączył algebrę z geometrią wprowadzając układ współrzędnych, co umożliwiło
liczbowy opis figur geometrycznych, sformułował pojęcie funkcji, wprowadził konwencję, że stałe oraz parametry
oznacza się początkowymi literami alfabetu, a niewiadome i zmienne — koäcowymi literami alfabetu. Jego prace dały
początek współczesnej algebrze. Kartezjusz jest twórcą słynnej maksymy ”Cogito ergo sum”.
15
• dodawanie określone wzorem [(m, n)]≈ + [(m′ , n′ )]≈ = [(m + m′ , n + n′ )]≈
• mnożenie określone wzorem [(m, n)]≈ · [(m′ , n′ )]≈ = [(m · m′ + n · n′ , m · n′ + n · m′ )]≈ .
W dalszym ciągu elementy zbioru (IN × IN)//≈ będziemy krótko oznaczać literami a, b, c, . . ., zaś sam
zbiór (IN × IN)//≈ — literą ZZ.
Nietrudno sprawdzić, że określone wyżej działania mają następujące własności:
(1) dodawanie jest łączne i przemienne, tzn. dla dowolnych a, b, c ∈ ZZ zachodzą równości:
(a + b) + c = a + (b + c) oraz a + b = b + a;
(2) element 0 = [(0, 0)]≈ jest elementem neutralnym dodawania, tzn. dla dowolnego a ∈ ZZ mamy
a + 0 = 0;
(3) dla dowolnego a ∈ ZZ istnieje a′ ∈ ZZ taki, że zachodzi równość a + a′ = 0. Element a′ spełniający powyższy warunek nazywamy elementem przeciwnym do elementu a. W dalszym ciągu
będziemy go oznaczać symbolem −a.
Konstrukcja zbioru liczb wymiernych
Liczby naturalne służą do ustalania liczebności zbiorów lub kolejności elementów. W życiu codziennym trzeba nie tylko liczyć poszczególne przedmioty, lecz także mierzyć różne wielkości takie, jak:
długość, pole, ciężar czy czas. Potrzeba wyrażenia za pomocą liczb takich wielkości, które można
dzielić na dowolnie małe części doprowadziła do wprowadzenia liczb wymiernych a następnie niewymiernych.
Algebraicznie liczby wymierne otrzymujemy, rozważając iloczyn kartezjaäski ZZ × IN+ . Jego elementy, czyli pary uporządkowane, których pierwszym elementem jest liczba całkowita a drugim –
m
i nazywamy ułamkiem.
liczba naturalna różna od zera, oznaczamy w dalszym ciągu symbolem
n
Zatem, zgodnie z naszą umową, m – licznik ułamka jest dowolną liczbą całkowitą, zaś n – mianownik ułamka jest zawsze liczbą całkowitą dodatnią. W zbiorze ułamków wprowadzamy relację
równoważności ułamków:
m
m′
≃ ′ ⇐⇒ mn′ = m′ n
n
n
ťatwo sprawdzić, że ≃ jest relacją typu równoważności oraz, że ułamek powstały przez skrócenie
bąd« rozszerzenie (tzn. podzielenie lub pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę naturalną różną od zera) danego ułamka jest z nim równoważny. Z tego wynika, że w każdej klasie
abstrakcji znajduje się dokładnie jeden ułamek nieskracalny, tzn. taki, którego licznik i mianownik
są względnie pierwsze. Każdą klasę abstrakcji nazywamy liczbą wymierną, a o każdym ułamku
należącym do danej klasy mówimy, że reprezentuje on tę liczbę wymierną. Tak otrzymany zbiór klas
abstrakcji będziemy w dalszym ciągu oznaczać przez CQ, a jego elementy — pojedynczymi literami
alfabetu: x, y, . . . .
W zbiorze ułamków określamy działania:
• Dodawanie i odejmowanie
m 1 n2 + n1 m 2
m1 m2
+
=
,
n1
n2
n1 n2
m1 m2
m 1 n2 − n1 m 2
−
=
.
n1
n2
n1 n2
• Mnożenie i dzielenie przez ułamek, którego licznik jest różny od zera
m1 m2
m1 m2
·
=
,
n1 n2
n1 n2
m1 m2
m 1 n2
:
=
.
n1 n2
n1 m 2
16
Definicje dodawania i mnożenia ułamków przenosi się na klasy abstrakcji, przy czym sprawdza się, że
wynik działania na klasach, zdefiniowanego przez działanie na reprezentantach, nie zależy od wyboru
reprezentantów z klas.
Ponieważ każdą liczbę całkowitą n można utożsamić z ułamkiem o mianowniku 1, więc będziemy po
prostu uważać, że zbiór ZZ jest podzbiorem zbioru CQ, a elementy zbioru CQ będziemy krótko oznaczać
pojedynczymi literami x, y, . . ., o ile nie będzie nam zależało na podkreśleniu ich „natury”.
2.4
Ćwiczenia.
1. Sprawdzić, czy następujące relacje są relacjami równoważności:
a) xRy ⇐⇒ 3|x + y na ZZ,
b) xRy
c) xRy
⇐⇒
⇐⇒
d) (x, y)R(a, b)
e) (x, y)R(a, b)
3|2x + 3y na ZZ,
3|x2 − y 2 na ZZ,
⇐⇒
⇐⇒
x + y = a + b na IN2 ,
max{x, y} = max{a, b} na IN2 .
2. Ile jest relacji równoważności na zbiorze {1, 2, 3}? A na zbiorze {1, 2, 3, 4}?
3. W zbiorze 5-elementowych ciągów binarnych (ciągów o elementach 0,1) wprowadzamy relację:
ciąg (an ) pozostaje w relacji R z ciągiem (bn ), jeżeli ciąg (bn ) powstaje z ciągu (an ) przez
cykliczne przesunięcie w prawo. Czy jest to relacja równoważności?
17
3
3.1
Relacje porządku.
Relacja częściowego porządku
• Definicja 3.1
Relację R⊂ X × X nazywamy częściowym porządkiem na zbiorze X, jeżeli R
jest na tym zbiorze zwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna.
Przykłady
1) Relacja słabej nierówności ¬ na zbiorach liczbowych IN, ZZ, CQ, IR.
2) Relacja zawierania na zbiorze 2Ω , gdzie Ω jest dowolnym zbiorem.
3) Relacja podzielności w zbiorze liczb naturalnych dodatnich.
• Definicja 3.2
Jeżeli R⊂ X × X jest dowolną relacją a A - jakimkolwiek podzbiorem zbioru X, to
obcięciem relacji R do zbioru A nazywamy relację R|A =R∩A × A.
Oczywiście obcięcie częściowego porządku do dowolnego podzbioru A zbioru X jest dalej częściowym
porządkiem.
Częściowe porządki najwygodniej jest przedstawiać graficznie za pomocą tzw. diagramów Haasego. W takim diagramie nie umieszczamy strzałek wynikających ze zwrotności relacji ani strzałek
wynikających z jej przechodniości.
Przykłady
Niech
R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (b, c), (c, d)}
R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (b, c), (b, d)}.
Diagramy Haasego tych porządków mają postać
d
↑
c
a
ր
c
տ
a
ր
d
տ
b
ր
b
• Definicja 3.3
Mówimy, że dwa częściowe porządki hX, ≺i oraz hY, i są izomorficzne, jeżeli istnieje bijekcja f : X −→ Y taka, że
^ x,y∈X
(x ≺ y ←→ f (x) f (y)).
O porządkach izomorficznych mówimy, że są podobne.
Przykład
Na zbiorze {a, b, c, d} rozważamy częściowy porządek
R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (a, b), (b, d), (c, d)},
18
którego diagram Haasego ma postać
d
ր
b
տ
տ
c
ր
a
Rozważmy teraz relację zawierania na zbiorze potęgowym P ({a, b}). Jej diagram Haasego ma postać
{a}
{a, b}
ր
տ
տ
ր
∅
{b}
Widać, że diagramy Haasego tych porządków są identyczne i łatwo zdefiniować funkcję ustalającą
ich izomorfizm:
f = {(a, ∅), (b, {a}), (c, {b}), (d, {a, b})}.
Można udowodnić, że każdy porządek częściowy jest izomorficzny z relacją zawierania na pewnym
zbiorze potęgowym.
W zbiorze z częściowym porządkiem są w naturalny sposób wyróżnione pewne elementy.
• Definicja 3.4
Niech hX, i będzie częściowym porządkiem. Element a ∈ X nazywamy:
• elementem -największym, jeżeli (
V
x∈X
• elementem -najmniejszym, jeżeli (
)(x a),
V
x∈X
)(a x),
)(a x ∧ a 6= x),
• elementem -maksymalnym, jeżeli ¬(
W
• elementem -minimalnym, jeżeli ¬(
)(x a ∧ a 6= x).
x∈X
W
x∈X
• kresem górnym zbioru ∅ 6= A ⊂ X, jeżeli jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A,
tzn.
(
V
x∈X
)(x a)
oraz
(
V
b∈X
)((
V
x∈X
)(x b) −→ a ¬ b).
• kresem dolnym zbioru ∅ 6= A ⊂ X, jeżeli jest największym ograniczeniem dolnym zbioru A,
tzn.
(
V
x∈X
)(a x)
oraz
(
V
b∈X
)((
V
x∈X
)(b x) −→ b ¬ a).
19
Przykłady:
1) W porządku R1 element d jest największy (i oczywiście maksymalny), a w porządku R2 elementy
c, d są maksymalne, natomiast nie ma elementu największego. Kresem górnym podzbioru {a, b, c} w
porządku R1 jest c, a w porządku R2 zbiór {a, b, c} kresu górnego nie posiada.
2) W zbiorze IN każdy podzbiór ma element najmniejszy. Jest to treś† tzw. zasady minimum: Każdy
niepusty podzbiór Z zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy, tzn. istnieje k0 2 Z taki, że dla
każdego n 2 Z jest n ­ k0 .
Fakt powyższy nie jest już prawdziwy w żadnym ze zbiorów ZZ, CQ, IR, bo elementu najmniejszego nie
mają np.:
a) zbiór liczb całkowitych ujemnych ,
b) { pq : p ∈ ZZ, q ∈ IN \ {0}, 0 < pq < 1},
c) (0, 1).
3) Rozważmy na płaszczyźnie IR2 częściowy porządek określony zależnością
(x, y) (x′ , y ′ )
obcięty do podzbiorów
K1 = {(x, y) : x2 + y 2 ¬ 1},
⇐⇒
x ¬ x′ ∧ y ¬ y ′
K2 = {(x, y) : |x| + |y| ¬ 1},
K3 = {(x, y) : max{|x|, |y|} ¬ 1}.
Zbiorami elementów maksymalnych w tym porządku są odpowiednio zbiory
A1 = {(x, y) : x2 + y 2 ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0},
A2 = {(x, y) : |x| + |y| ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0},
A3 = {(x, y) : max{|x|, |y|} ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0}.
W zbioraćh K1 , K2 nie ma elementu największego, a w zbiorze K3 elementem największym jest (1, 1).
4) W zbiorze hIR, ¬i każdy podzbiór ograniczony z góry (z dołu) ma kres górny (dolny), o czym mówi
następujące twierdzenie.
• Twierdzenie 3.1
(o ciągłości zbioru liczb rzeczywistych).
Każdy niepusty zbiór A ⊂ IR ograniczony z góry ma kres górny. Każdy niepusty zbiór A ⊂ IR ograniczony z dołu ma kres dolny.
Twierdzenie to precyzuje podstawową własność zbioru liczb rzeczywistych odróżniającą ten zbiór od
zbioru liczb wymiernych.
Fakt, że w zbiorze CQ liczb wymiernych twierdzenie 3.1 nie jest prawdziwe, łatwo zauważyć i nietrudno
udowodnić. Np. zbiór A = {w 2CQ : w2 < 2} jest oczywiście ograniczony z góry (np. przez 2), jednak
zbiór jego ograniczeń górnych nie posiada elementu najmniejszego. Załóżmy bowiem, że z 2CQ jest
jakimś ograniczeniem zbioru A z góry, czyli z 2 ­ 2 i we«my jakiekolwiek wymierne 0 < h < 1 takie, że
z 2 −2
h < 2z+1
. Mamy wówczas
z2 − 2
(2z − h) ­ z 2 − (z 2 − 2) = 2.
2z + 1
Zatem każde ograniczenie zbioru A z góry można troszkę zmniejszyć otrzymując wciąż jeszcze ograniczenie z góry, co dowodzi, że nie ma najmniejszego ograniczenia zbioru A z góry (w zbiorze liczb
wymiernych !).
(z − h)2 = z 2 − 2hz + h2 = z 2 − h(2z − h) > z 2 −
20
3.2
Porządki liniowe.
• Definicja 3.5
spójna, czyli
Częściowy porządek (X, ) nazywamy liniowym porządkiem, jeżeli relacja jest
V
V
x∈X y∈X
(xRy ∨ yRx).
Przykłady
1) Relacja słabej nierówności ¬ na zbiorach liczbowych IN, ZZ, CQ, IR jest porządkiem liniowym.
2) Porządek leksykograficzny.
Niech Ω będzie zbiorem niepustym. Nazywamy go dalej alfabetem, a jego elementy - literami.
Przestrzenią słów nad alfabetem Ω nazywamy zbiór
Ω∗ =
S
Ω{0,1,2,...,n−1} .
n∈IN
Do zbioru tego doliczamy słowo puste oznaczane dalej symbolem ε. Długość słowa σ oznaczamy symbolem |σ|. Relacja zawierania jest naturalnym częściowym porządkiem na Ω, czyli dla σ :
{0, 1, . . . , m} −→ Ω oraz η : {0, 1, . . . , n} −→ Ω definiujemy
σ¬η
⇐⇒
σ ⊂ η.
Najmnijszym elementem jest w tym porządku oczywiście słowo puste.
Konkatenacją (złożeniem) słów σ i η nazywamy słowo ση otrzymane przez dopisanie do końca
słowa σ słowa η. Oczywiście
εσ = σε = σ
oraz
σ⊆η
⇐⇒
W
η = σδ.
δ∈Ω∗
Jeżeli η = σδ, to mówimy, że słowo σ jest prefiksem słowa η, a powyższy częściowy porządek na
przestrzeni słów nazywamy porządkiem prefiksowym. Okazuje się, że można go rozszerzyć do
tzw. porządku leksykograficznego, który jest już porządkiem liniowym, przyjmując
σ lex η
⇐⇒
(σ ¬ η) ∨
W
(σ(n) ≺ η(n)) ∧ (
n∈dom(σ∩η)
V
(σ(k) = η(k))).
k<n
Wprost z definicji wynika, że
jeżeli σ ¬ η to σ lex η.
• Fakt 3.6
Jeżeli jest porządkiem liniowym w alfabecie Ω, to lex jest porządkiem liniowym na
przestrzeni słów Ω∗ .
D o w ó d. Relacja lex jest:
1) zwrotna, bo dla dowolnego σ ∈ Ω∗ jest σ ¬ σ, więc też σ lex σ,
2) słabo antysymetryczna, bo trzeba pokazać, że jeżeli σ lex η oraz η lex σ, to σ = η.
Niech więc σ lex η oraz η lex σ. Jeżeli σ ¬ η oraz η ¬ σ, to oczywiście σ = η.
Jeżeli σ ¬ η i σ 6= η, to |σ| < |η|. Wówczas σ = {(1, σ(1)), (2, σ(2)), . . . , (|σ|, σ(|σ|))} oraz η =
21
{(1, σ(1)), (2, σ(2)), . . . , (|σ|, σ(|σ|)), (|σ| + 1, η(|σ| + 1)), . . . , (|η|, η(|η|))}. i oczywiście dla |η| > |σ|
nie może zachodzić drugi człon alternatywy w definicji zależności η lex σ.
3) przechodnia, co pokazuje się podobnie.
Jeżeli hX, i jest częściowym porządkiem, to podzbiór A ⊂ X nazywamy łańcuchem, jeżeli relacja
rozważana na zbiorze A jest liniowym porządkiem, czyli
V
a,b∈A
(a ¬ b ∨ b ¬ a).
Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeżeli
3.3
V
x∈A
(x ¬ a).
Dobre porządki. AC, LKZ i WO.
• Definicja 3.7
Porządek liniowy (X, ¬) nazywamy dobrym porządkiem, jeżeli spełniony jest warunek
V
A⊂X
(A 6= ∅ ⇐⇒
W
V
(a ¬ x)),
a∈A x∈A
co oznacza, że każdy niepusty podzbiór zbioru X ma element najmniejszy.
Zasada minimum mówi, że zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany przez relację słabej mniejszości. Z definicji dobrego porządku wynika, że w szczególności sam zbiór X ma element najmniejszy.
Niech a będzie dowolnym, ale nie - największym, elementem zbioru X. Wówczas w zbiorze {x ∈ X : a < x}
jest element najmniejszy, czyli istnieje najmniejszy element większy od elementu a. Ta własność przysługuje
relacji słabej mniejszości w IN, ale nie mają jej porządki hIR, ¬i oraz hCQ, ¬i. Jest niemal oczywiste, że
porządek liniowy na dowolnym zbiorze skończonym jest porządkiem dobrym.
Niech A= (At )t∈T będzie dowolną rodziną zbiorów. Zbiór S nazywamy selektorem rodziny A, jeżeli
S⊂
S
t∈T
At
oraz
V W
t∈T x
(S ∩ At = {x}).
Zakończmy nasz krótki wykład z teorii relacji sformułowaniem jednego z fundamentalnych twierdzeń matematyki.
• Twierdzenie 3.2
Następujące zdania są równoważne:
Aksjomat Wyboru: Każda rodzina zbiorów niepustych parami rozłącznych ma selektor.
Lemat Kuratowskiego-Zorna: Niech hX, ¬i będzie takim częściowym porządkiem, że dla każdego łańcucha A istnieje ograniczenie górne zbioru A. Wtedy w częściowym porządku hX, ¬i istnieje element maksymalny.
Zasada dobrego uporządkowania: Na każdym zbiorze istnieje dobry porządek.
3.4
Ćwiczenia
1. W porządku {(a, a), (a, b), (a, c), (b, c), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (c, d)} wskazać elementy
minimalne i maksymalne. Zbadać istnienie elementu największego i najmniejszego. Wyznaczyć
ograniczenia z góry zbiorów A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {b, c}. Znaleźć wszystkie łańcuchy.
2. Czy relacja mniejszości < na IR oraz relacja podzielności w zbiorze liczb całkowitych są częściowymi porządkami?
22
3. Znaleźć element najmniejszy w porządku hIN \ {0}, |i oraz elementy minimalne w porządku
hIN \ {0, 1}, |i, gdzie | oznacza relację podzelności na zbiorze liczb naturalnych.
4. Uporządkować leksykograficznie zbiór wszystkich 4-literowych słow zbudowanych z liter a, b.
5. Uporządkować leksykograficznie wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3, 4} zaopatrzonego w porządek naturalny.
6. Rozważamy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5} (uporządkowanego naturalnie) z
porządkiem leksykograficznym. Wyznaczyć elementy stojące na miejscach: 25,26,49,96,119,120.