Potencjał elektryczny ładunku punktowego
advertisement
Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03.pdf do kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm Przypomnienie W kursie Fizyki I była mowa o polu grawitacyjnym Ziemi, które jest polem zachowawczym. Przypomnijmy sobie podstawowe właściwości takiego pola. Siła oddziaływania grawitacyjnego z jakim Ziemia przyciąga masę m odległą od jej środka o r wynosi , gdzie użyty wersor ma kierunek i zwrot od śr doga Ziemi do punktu, w którym znajduje się masa m. Natężenie tego pola jest równe Rozpatrzmy ciało o masie m poruszające się pod wpływem siły grawitacyjnej; patrz rysunek. 1 Praca siły grawitacji przy przemieszczeniu ciała o masie m od punktu A do B jest równa , z czego wynika, że nie zależy ona od przebytej drogi. Przy powierzchni Ziemi natężenie pola g jest praktycznie stałe, więc w tym przypadku , co znów potwierdza niezależność pracy od drogi. Przypomnijmy, że dana siła F jest zachowawcza (konserwatywna, potencjalna), jeśli . 2 Spełnienie tego warunku umożliwia wprowadzenie potencjalnej U, która różnica U z definicji jest równa koncepcji energii . W polu grawitacyjnym W=Wg , co pozwala wywnioskować, że , gdzie U0 jest energia potencjalną w punkcie odniesienia. Oprócz energii potencjalnej posługiwaliśmy się również pojęciem potencjału pola grawitacyjnego , co fizycznie określa ujemną wartość pracy wykonanej na jednostkowej masie przez siłę grawitacji przy przeniesieniu ciała od A do B. Będziemy podobnie postępowali z polem elektrostatycznym. Siła Coulomba zależy od odległości tak jak siła grawitacyjna, więc jest zachowawcza. Pozwala to zdefiniować różnicę potencjałów V między dwoma punktami A i B pola elektrostatycznego w sposób następujący , 3 gdzie q0 jest dodatnim ładunkiem próbnym. Różnica potencjałów V reprezentuje ilość pracy wykonanej (przez siłę Coulomba) na jednostkę ładunku próbnego przy przemieszczeniu ładunku próbnego q0 od A do B. Pozwala to nam zapisać związek pomiędzy różnicą potencjałów V i różnicą energii potencjalnej U w postaci . Jednostką potencjału w SI jest wolt; 1 wolt = 1 dżul / 1 coulomb = J/C. W elektrostatyce częściej stosowaną jednostka jest jeden elektronowolt Potencjał elektryczny jednorodnego pola elektrostatycznego Rozważymy ładunek +q poruszający się w kierunku elektrycznego pola jednorodnego E = E0 (j); patrz rysunek 4 Ponieważ droga jest równoległa do E, to różnica potencjałów między A i B jest dana wzorem Oznacza to, że potencjał w punkcie B jest niższy niż w A. Tak jest rzeczywiście, bo linie sił pola elektrostatycznego zawsze mają zwrot od miejsc z potencjałem wyższym do miejsc z potencjałem niższym. Zmiana energii potencjalnej jest równa . Ze względu na to, że q0 > 0, to U < 0. Wniosek: energia potencjalna ładunku dodatniego maleje, gdy porusza się on wzdłuż linii sił pola elektrycznego. Co się zmieni, gdy ładunek na drodze od A do B nie będzie poruszał się wzdłuż linii pola (patrz rysunek)? W tym przypadku różnica potencjałów wynosi 5 Odnotujmy, że zmiana potencjału na drodze A CB jest równa podanemu wyżej wyrażeniu, ponieważ na odcinku CB zmiana potencjału jest równa zeru. Potencjał elektryczny ładunku punktowego Wyznaczymy teraz różnicę potencjałów miedzy dwoma punktami w polu elektrycznym ładunku punktowego +Q. Natężenie takiego pola , gdzie wersor jest skierowany od źródła do punktu pola (patrz rysunek). Szukana wartość różnicy potencjałów, po uwzględnieniu równości , pozwala policzyć Ponownie widzimy, że różnica potencjałów V nie zależy od drogi, ale zależy od punktów początkowych i końcowych. Natomiast wartość potencjału w danym punkcie pola P zależy od punktu odniesienia. 6 Zazwyczaj wybieramy punkt odniesienia w nieskończoności. Wtedy potencjał VP w punkcie P wynosi . Przy takiej definicji otrzymujemy dla punktu odległego od Q o r Jeśli mamy do czynienia z układem punktowych ładunków, to korzystając ponownie z zasady superpozycji, otrzymujemy wartość potencjału pola pochodzącego od wszystkich ładunków Zauważmy, że potencjał V(r) jest sumą algebraiczną skalarów (liczb). 7 W poniższej tabeli zestawiono podstawowe charakterystyki pola grawitacyjnego i elektrycznego. Energia potencjalna układu ładunków elektrycznych Jeśli układ ładunków jest tworzony przez czynniki zewnętrzne, to zmiana energii potencjalnej układu . Wyznaczymy energię układu ładunków krok po kroku. 8 Obliczmy najpierw pracę W2 siły zewnętrznej nad przeniesieniem ładunku q2 z nieskończoności do punktu P odległego od q1 o r12 (patrz rysunek). Praca ta jest równa Ale więc . Praca siły zewnętrznej jest dodatnia, jeśli oba ładunki są dodatnie. Jest ujemna w przeciwnym przypadku. Dodajmy trzeci ładunek do naszego dwuładunkowego układu (patrz rysunek) Praca jaką teraz musi wykonać siła zewnętrzna jest równa I całkowita energia potencjalna zgromadzona w układzie 3 ładunków jest dana wzorem 9 . Uogólniając otrzymany wynik energia potencjalna układu N ładunków jest dana formułą . Ciągłe rozkłady ładunku elektrycznego Jak wyznaczamy potencjał pola, którego źródłem są ciągłe rozkłady ładunku elektrycznego? Potencjał w punkcie P liczymy sumując potencjały pochodzące od ładunków dq będących częściami ciągłego rozkładu ładunku. Z rysunku wnosimy, że wkład do potencjału w punkcie P pochodzący od ładunku dq jest równy a całkowity (sumaryczny) potencjał wynosi 10 . Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego za pomocą potencjału pola elektrycznego Ze związku wynika równość . Przypomnijmy, że i . 11 Dlatego Wprowadźmy operator gradientu , wtedy możemy napisać i ostatecznie . Tak więc znając potencjał, licząc jego gradient, wyznaczyć możemy wektor natężenia pola elektrycznego. 12 Krzywe i powierzchnie ekwipotencjalne W przypadku dwuwymiarowym krzywa, na której potencjał V(x,y) jest stały nosi nazwę krzywej ekwipotencjalnej. Ilustruje to poniższy rysunek. W przypadku ekwipotencjalne. trójwymiarowym stałość V(x,y,z) wyznacza płaszczyzny Ważna właściwość: Ze względu na związek wektor E jest ekwipotencjalnych. zawsze prostopadły do krzywych i powierzchni Uzasadnienie w przypadku dwuwymiarowym: mała zmiana V(x,y) jest równa Policzymy teraz tę zmianę odpowiadającą zmianie wektora przesunięcia , 13 co prowadzi do wyrażenie Jeśli teraz przesuwamy się po krzywej ekwipotencjalnej (ds jest elementem krzywej ekwipotencjalnej), to gradient potencjału jest równy zeru, co oznacza z drugiej strony (równości), że wektor E jest prostopadły do ds oraz jest prostopadły do tej krzywej w każdym punkcie. Przykłady krzywych ekwipotencjalnych Pole jednorodne; krzywe ekwipotencjalne są prostymi; na rys. linie przerywane Pole ładunku punktowego; krzywe ekwipotencjalne są współśrodkowymi okręgami. 14 Krzywe ekwipotencjalne dipola elektrycznego; pokazano krzywe w jednej płaszczyźnie. Przykłady 1. Wyznaczyć potencjał pola elektrycznego, którego źródłem jest pręt o dł. L jednorodnie naładowanego o gęstości liniowej . Potencjał wyznaczyć na symetralnej pręta (patrz rysunek) 15 Postępujemy bardzo podobnie, jak w przypadku wyznaczania natężenia pola elektrycznego. Wkład dV do potencjału w punkcie P elementu pręta dx’ jest dany wzorem Przyjmujemy, że w nieskończoności potencjał jest równy zeru i liczymy całkę Zastosowano formułę . 16 Na kolejnym rysunku przedstawiono zależność V(y)/V0 od y/L, gdzie V=/40. W granicznym przypadku, gdy 𝐿 ≫ 𝑦 otrzymujemy . Możemy teraz obliczyć natężenie pola elektrycznego , którego wartość wyznaczyliśmy wcześniej innym rachunkiem. 17 2. Potencjał pola elektrycznego jednorodnie naładowanego pierścienia Postaramy się znaleźć potencjał w punktach osi OZ. Wkład małego fragmentu pierścienia do potencjału wynosi i całkowity potencjał . W granicy 𝑧 ≫ 𝑅 mamy 18 Możemy również policzyć natężenie pola elektrycznego (wyznaczonego także wcześniej innym rachunkiem) . 3. Potencjał pola jednorodnie naładowanego dysku. Elementarny wkład do potencjału wnoszony cienkim pierścieniem jest równy 19 a wysumowanie po całym dysku . W granicznym przypadku |𝑧| ≫ 𝑅 mamy i potencjał upraszcza się znacznie . Wykres zależności potencjału od z/R przedstawia poniższy rysunek 20 Wartość potencjału w środku dysku (z=0) wynosi , gdzie . Ile wynosi praca potrzebna na przeniesienie ładunku q z nieskończoności do środka dysku? Natężenie pola elektrycznego jest dane wzorem , co dla 𝑅 ≫ 𝑧 prowadzi do wyrażenia . Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego za pomocą potencjału Niechaj zależność potencjału od położenia będzie znana; np. . Jak wyznaczamy współrzędne wektora E? Oto odpowiedź: . 21 Zestawienie wyników 22 Podsumowanie (w j. ang.) 23 Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/index.htm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03.pdf do kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm 24
