potencjał elektrostatyczny

advertisement
Potencjalne pole elektrostatyczne
Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/index.htm.
Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03.pdf do kursu dostępnego na stronie
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm
Przypomnienie
W kursie Fizyki I była mowa o polu grawitacyjnym Ziemi, które jest polem
zachowawczym. Przypomnijmy sobie podstawowe właściwości takiego pola.
Siła oddziaływania grawitacyjnego z jakim Ziemia przyciąga masę m odległą od jej środka
o r wynosi
,
gdzie użyty wersor ma kierunek i zwrot od śr doga Ziemi do punktu, w którym znajduje
się masa m.
Natężenie tego pola jest równe
Rozpatrzmy ciało o masie m poruszające się pod wpływem siły grawitacyjnej; patrz rysunek.
1
Praca siły grawitacji przy przemieszczeniu ciała o masie m od punktu A do B jest
równa
,
z czego wynika, że nie zależy ona od przebytej drogi.
Przy powierzchni Ziemi natężenie pola g jest praktycznie stałe, więc w tym
przypadku
,
co
znów potwierdza niezależność pracy od drogi.
Przypomnijmy, że dana siła F jest zachowawcza (konserwatywna, potencjalna),
jeśli
.
2
Spełnienie tego warunku umożliwia wprowadzenie
potencjalnej U, która różnica ∆U z definicji jest równa
koncepcji
energii
.
W polu grawitacyjnym W=Wg , co pozwala wywnioskować, że
,
gdzie U0 jest energia potencjalną w punkcie odniesienia.
Oprócz energii potencjalnej posługiwaliśmy się również pojęciem
potencjału pola grawitacyjnego
,
co fizycznie określa ujemną wartość pracy wykonanej na jednostkowej masie
przez siłę grawitacji przy przeniesieniu ciała od A do B.
Będziemy podobnie postępowali z polem elektrostatycznym. Siła Coulomba
zależy od odległości tak jak siła grawitacyjna, więc jest zachowawcza. Pozwala to
zdefiniować różnicę potencjałów ∆V między dwoma punktami A i B pola
elektrostatycznego w sposób następujący
,
3
gdzie q0 jest dodatnim ładunkiem próbnym. Różnica potencjałów
∆V
reprezentuje ilość pracy wykonanej (przez siłę Coulomba) na jednostkę ładunku
próbnego przy przemieszczeniu ładunku próbnego q0 od A do B. Pozwala to nam
zapisać związek pomiędzy różnicą potencjałów ∆V i różnicą energii potencjalnej ∆U w
postaci
.
Jednostką potencjału w SI jest wolt; 1 wolt = 1 dżul / 1 coulomb = J/C.
W elektrostatyce częściej stosowaną jednostka jest jeden elektronowolt
Potencjał elektryczny jednorodnego pola elektrostatycznego
Rozważymy ładunek +q poruszający się w kierunku elektrycznego pola
jednorodnego E = E0 (−j); patrz rysunek
4
Ponieważ droga jest równoległa do E, to różnica potencjałów między A i B jest
dana wzorem
Oznacza to, że potencjał w punkcie B jest niższy niż w A. Tak jest rzeczywiście, bo
linie sił pola elektrostatycznego zawsze mają zwrot od miejsc z potencjałem wyższym
do miejsc z potencjałem niższym.
Zmiana energii potencjalnej jest równa
.
Ze względu na to, że q0 > 0, to ∆U < 0. Wniosek: energia potencjalna ładunku
dodatniego maleje, gdy porusza się on wzdłuż linii sił pola elektrycznego.
Co się zmieni, gdy ładunek na drodze od A do B nie będzie poruszał się wzdłuż
linii pola (patrz rysunek)?
W tym przypadku różnica potencjałów wynosi
5
Odnotujmy, że zmiana potencjału na drodze A →C→B jest równa podanemu
wyżej wyrażeniu, ponieważ na odcinku C→B zmiana potencjału jest równa zeru.
Potencjał elektryczny ładunku punktowego
Wyznaczymy teraz różnicę potencjałów miedzy dwoma punktami w polu
elektrycznym ładunku punktowego +Q. Natężenie takiego pola
,
gdzie wersor jest skierowany od źródła do punktu pola (patrz rysunek).
Szukana wartość różnicy potencjałów, po uwzględnieniu równości
,
pozwala policzyć
Ponownie widzimy, że różnica potencjałów ∆V nie zależy od drogi, ale zależy od
punktów początkowych i końcowych. Natomiast wartość potencjału w danym punkcie
pola P zależy od punktu odniesienia.
6
Zazwyczaj wybieramy punkt odniesienia w nieskończoności. Wtedy potencjał VP
w punkcie P wynosi
.
Przy takiej definicji otrzymujemy dla punktu odległego od Q o r
Jeśli mamy do czynienia z układem punktowych ładunków, to korzystając
ponownie z zasady superpozycji, otrzymujemy wartość potencjału pola pochodzącego
od wszystkich ładunków
Zauważmy, że potencjał V(r) jest sumą algebraiczną skalarów (liczb).
7
W poniższej tabeli zestawiono podstawowe charakterystyki pola grawitacyjnego
i elektrycznego.
Energia potencjalna układu ładunków elektrycznych
Jeśli układ ładunków jest tworzony przez czynniki zewnętrzne, to zmiana energii
potencjalnej układu
.
Wyznaczymy energię układu ładunków krok po kroku.
8
Obliczmy najpierw pracę W2 siły zewnętrznej nad przeniesieniem ładunku q2 z
nieskończoności do punktu P odległego od q1 o r12 (patrz rysunek). Praca ta jest równa
Ale
więc
.
Praca siły zewnętrznej jest dodatnia, jeśli oba ładunki są dodatnie. Jest ujemna w
przeciwnym przypadku.
Dodajmy trzeci ładunek do naszego dwuładunkowego układu (patrz rysunek)
Praca jaką teraz musi wykonać siła zewnętrzna jest równa
I całkowita energia potencjalna zgromadzona w układzie 3 ładunków jest dana wzorem
9
.
Uogólniając otrzymany wynik energia potencjalna układu N ładunków jest dana
formułą
.
Ciągłe rozkłady ładunku elektrycznego
Jak wyznaczamy potencjał pola, którego źródłem są ciągłe rozkłady ładunku
elektrycznego?
Potencjał w punkcie P liczymy sumując potencjały pochodzące od ładunków dq
będących częściami ciągłego rozkładu ładunku. Z rysunku wnosimy, że wkład do
potencjału w punkcie P pochodzący od ładunku dq jest równy
a całkowity (sumaryczny) potencjał wynosi
10
.
Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego
za pomocą potencjału pola elektrycznego
Ze związku
wynika równość
.
Przypomnijmy, że
i
.
11
Dlatego
Wprowadźmy operator gradientu
,
wtedy możemy napisać
i ostatecznie
.
Tak więc znając potencjał, licząc jego gradient, wyznaczyć możemy wektor natężenia
pola elektrycznego.
12
Krzywe i powierzchnie ekwipotencjalne
W przypadku dwuwymiarowym krzywa, na której potencjał V(x,y) jest stały nosi nazwę
krzywej ekwipotencjalnej. Ilustruje to poniższy rysunek.
W przypadku
ekwipotencjalne.
trójwymiarowym
stałość
V(x,y,z)
wyznacza
płaszczyzny
Ważna właściwość: Ze względu na związek
wektor E jest
ekwipotencjalnych.
zawsze
prostopadły
do
krzywych
i
powierzchni
Uzasadnienie w przypadku dwuwymiarowym: mała zmiana ∆V(x,y) jest równa
Policzymy teraz tę zmianę odpowiadającą zmianie wektora przesunięcia
,
13
co prowadzi do wyrażenie
Jeśli teraz przesuwamy się po krzywej ekwipotencjalnej (ds jest elementem krzywej
ekwipotencjalnej), to gradient potencjału jest równy zeru, co oznacza z drugiej strony
(równości), że wektor E jest prostopadły do ds oraz jest prostopadły do tej krzywej w
każdym punkcie.
Przykłady krzywych ekwipotencjalnych
Pole jednorodne; krzywe ekwipotencjalne są prostymi; na rys. linie przerywane
Pole ładunku punktowego; krzywe ekwipotencjalne są współśrodkowymi okręgami.
14
Krzywe ekwipotencjalne dipola elektrycznego; pokazano krzywe w jednej płaszczyźnie.
Przykłady
1. Wyznaczyć potencjał pola elektrycznego, którego źródłem jest pręt o dł. L
jednorodnie naładowanego o gęstości liniowej λ. Potencjał wyznaczyć na
symetralnej pręta (patrz rysunek)
15
Postępujemy bardzo podobnie, jak w przypadku wyznaczania natężenia pola
elektrycznego. Wkład dV do potencjału w punkcie P elementu pręta dx’ jest dany
wzorem
Przyjmujemy, że w nieskończoności potencjał jest równy zeru i liczymy całkę
Zastosowano formułę
.
16
Na kolejnym rysunku przedstawiono zależność V(y)/V0 od y/L, gdzie V=λ/4πε0.
W granicznym przypadku, gdy otrzymujemy
.
Możemy teraz obliczyć natężenie pola elektrycznego
,
którego wartość wyznaczyliśmy wcześniej innym rachunkiem.
17
2. Potencjał pola elektrycznego jednorodnie naładowanego pierścienia
Postaramy się znaleźć potencjał w punktach osi OZ. Wkład małego fragmentu
pierścienia do potencjału wynosi
i całkowity potencjał
.
W granicy mamy
18
Możemy również policzyć natężenie pola elektrycznego (wyznaczonego także
wcześniej innym rachunkiem)
.
3. Potencjał pola jednorodnie naładowanego dysku.
Elementarny wkład do potencjału wnoszony cienkim pierścieniem jest równy
19
a wysumowanie po całym dysku
.
W granicznym przypadku || mamy
i potencjał upraszcza się znacznie
.
Wykres zależności potencjału od z/R przedstawia poniższy rysunek
20
Wartość potencjału w środku dysku (z=0) wynosi
,
gdzie
.
Ile wynosi praca potrzebna na przeniesienie ładunku q z nieskończoności do
środka dysku?
Natężenie pola elektrycznego jest dane wzorem
,
co dla prowadzi do wyrażenia
.
Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego za pomocą potencjału
Niechaj zależność potencjału od położenia będzie znana; np.
.
Jak wyznaczamy współrzędne wektora E?
Oto odpowiedź:
.
21
Zestawienie wyników
22
Podsumowanie (w j. ang.)
23
Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/index.htm
Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03.pdf do kursu dostępnego na stronie
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm
24
Download