Funkcja Cobba-Douglasa - E-SGH

Ekonometria
WYKŁAD 7
Piotr Ciżkowicz
Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych
Plan
Czym się zajmiemy:
1. Modele liniowe i nieliniowe – przykłady
2. Funkcje produkcji
3. Modele zmiennej jakościowej
Modele liniowe
►Modele liniowe względem parametrów i zmiennych np.:
►Modele liniowe względem parametrów, lecz nieliniowe
względem zmiennych np.:
lub w postaci ogólnej:
►Jeśli funkcja g (y)=y, to model jest bezpośrednio liniowy
względem parametrów , w przeciwnym przypadku model jest
linearyzowany np.
lub po zlinearyzowaniu:
Typowe modele liniowe wzg. parametrów
►Modele bezpośrednio liniowe:
► Modele funkcji kwadratowej (zależność U-kształtna)
►Model ze zmiennymi interakcyjnymi
► Modele linearyzowane:
►Model potęgowy:
►Model wykładniczy:
► Model hiperboliczny:
Interpretacja parametrów regresji w modelach z
logarytmami
►Model liniowy : poziom – poziom - wyjaśnione wcześniej
►Model logarytmiczny : poziom – logarytm
Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o
► Model wykładniczy : logarytm– poziom
Interpretacja: wzrost x o 1 prowadzi do wzrostu y o
► Model potęgowy: logarytm– logarytm
Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o
jednostek
Co oznacza przyrost logarytmu?
►Wyrażenie
oznacza tempo wzrostu
zmiennej x
►Dla zmiennej przekrojowej oznacza natomiast procentowy
przyrost zmiennej x
►Dowód:
►Z rozwinięcia Taylora mamy
stąd dla
mamy:
Elastyczność a logarytmy
►Elastyczność cząstkowa zmiennej y po zmiennej x dana jest
wzorem:
►Dowód: oznaczając u=lny, v=lnx, x=e^lnx=e^v otrzymujemy
Interpretacja parametru w wykładniczym modelu trendu
►W modelu postaci
parametr stojący przy zmiennej t oznacza stopę wzrostu
zmiennej y
►Dowód:
co ze wzoru Maclaurina jest równe
Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna
►Funkcja logistyczna to funkcja określona wzorem
►Wykres funkcji logistycznej postaci
Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna
►Własności funkcji logistycznej:
► parametr
jest poziomem nasycenia zmiennej y, gdyż zachodzi :
►dla t= 0 funkcja przyjmuje
►punktem przegięcia funkcji jest
►funkcję można sformułować w innej wersji, w której przyjmuje
wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do modelowania
prawdopodobieństwa (podstawa tzw. modelu logistycznego)
Funkcja produkcji - własności (1)
►Funkcja produkcji opisuje zależność między nakładami czynnikami
produkcji wartością wytworzonego dzięki nim produktu.
►Funkcja produkcji może bazować na danych mikro (nakłady i wyniki
poszczególnych przedsiębiorstw), bądź danych makroekonomicznych
(województwo, sektor, kraj itp.)
►Ogólna postać ekonometrycznej funkcji produkcji:
𝑌 = 𝑓(𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , … , 𝑋𝐽 , 𝜀)
gdzie Y – wielkość produktu, X – nakład czynnika produkcji o
indeksie 1…J, 𝜀 - czynniki losowe wpływające na produkt
Funkcja produkcji - własności (2)
►Estymacja ekonometrycznej funkcji produkcji może bazować na
danych przekrojowych (np. 1000 firm z danego województwa w danym
roku), szeregach czasowych (np. produkcja i nakłady danego
przedsiębiorstwa w 30 kolejnych kwartałach) lub danych panelowych
(np. wielkość produkcji i nakładów w 15 sektorach gospodarki w
latach 2000-2015)
►Funkcja produkcji jest zazwyczaj funkcją nieliniową; niektóre z jej
postaci można zlinearyzować (por. dalej funkcję produkcji CobbaDouglasa)
►Funkcja produkcji zazwyczaj spełnia szereg własności – dla
uproszczenia przedstawione są dla funkcji dwuczynnikowej postaci:
𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
Funkcja produkcji - własności (3)
►(1) Funkcja produkcji jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna
►(2) Wartości funkcji oraz jej argumenty są nieujemne (wykres znajduje
się w pierwszym oktancie układu (Y, K, L)
►(3) Warstwice funkcji produkcji dla (K,L) tworzą izokwanty produkcji –
linie obrazujące kombinację czynników produkcji dających tę samą
wielkość produktu; izokwanty są wypukłe w przestrzeni (K, L); dla
danej wielkości produktu są opisane wzorem :
𝑌0 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
►(4) Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest dodatnia; jest to
pierwsza pochodna funkcji produkcji po danym czynniku produkcji;
mierzy o ile zmienia się produkt jeśli ceteris paribus nakład czynnika
zmienia się o jednostkę
𝜕𝑌
𝑓𝐾 =
> 0,
𝜕𝐾
𝜕𝑌
𝑓𝐿 =
>0
𝜕𝐿
Funkcja produkcji - własności (4)
►(5) Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest malejącą funkcją
nakładów tego czynnika; jest to druga pochodna po danym czynniku
produkcji; własność oznacza , że zwiększanie danego czynnika
produkcji ceteris paribus prowadzi do coraz mniejszego wzrostu
produktu
2
2
𝑓𝐾𝐾
𝜕 𝑌
=
< 0,
2
𝜕𝐾
𝜕 𝑌
𝑓𝐿𝐿 = 2 < 0
𝜕𝐿
►(6) Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest rosnącą funkcją
nakładów drugiego czynnika; jest to pochodna mieszana po obu
czynnikach produkcji; własność oznacza, że zwiększanie danego
czynnika produkcji ceteris paribus prowadzi zwiększenia
produkcyjności krańcowej drugiego czynnika produkcji
𝑓𝐾𝐿
𝜕2𝑌
=
> 0,
𝜕𝐾𝜕𝐿
𝑓𝐿𝐾
𝜕2𝑌
=
>0
𝜕𝐿𝜕𝐾
Funkcja produkcji - własności (5)
►(7) Funkcja produkcji jest jednorodna; stopień jednorodności funkcji
jest określony przez r we wzorze:
𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝑟 𝑓(𝐾, 𝐿)
Stopień jednorodności funkcji definiuje tzw. efekty skali:
►jeśli r<1, to funkcja wykazuje malejące korzyści skali tzn. że
zwiększenie każdego z czynników produkcji o x% powoduje
zwiększenie produktu o mniej niż x%;
►jeśli r=1, to funkcja wykazuje stałe korzyści skali tzn. że
zwiększenie każdego z czynników produkcji o x% powoduje
zwiększenie produktu o x%;
►jeśli r>1, to funkcja wykazuje rosnące korzyści skali tzn. że
zwiększenie każdego z czynników produkcji o x% powoduje
zwiększenie produktu o więcej niż x%.
Funkcja produkcji - własności (6)
►(8) Czynniki produkcji są substytucyjne w procesie produkcji.
Oznacza to, że ten sam poziom produktu można osiągnąć różnymi
kombinacjami nakładów czynników produkcji.
►Stopień zastępowania czynników produkcji określa Krańcowa Stopa
Substytucji (KSS); określa ona jaka powinna być wielkość wzrostu
(spadku) jednego z czynników produkcji, aby przy spadku (wzroście)
drugiego czynnika produkcji o jednostkę produkt pozostawał stały
►KSS jest równa współczynnikowi nachylenia stycznej do izokwanty w
punkcie równym wyjściowej kombinacji czynników produkcji.
►KSS wyznaczamy ze wzoru na różniczkę zupełną tzn.:
𝑑𝑌 =
𝜕𝑌
𝑑𝐾
𝜕𝐾
+
𝜕𝑌
𝑑𝐿=𝑓𝐾
𝜕𝐿
𝑑𝐾 + 𝑓𝐿 𝑑𝐿
Ponieważ produkt ma być stały to dY=0, a stąd
𝐾𝑆𝑆 =
𝑑𝐾
𝑑𝐿
=−
𝑓𝐿
,
𝑓𝐾
1
𝐾𝑆𝑆
=
𝑑𝐿
𝑑𝐾
=−
𝑓𝐾
𝑓𝐿
Funkcja produkcji - własności (7)
►(9) Elastyczność produkcji względem czynnika produkcji mierzona w
danym punkcie mówi o ile procent zmieni się Y jeśli dany czynnik
produkcji zmieni się o 1 proc. w otoczeniu punktu wyznaczonego
przez daną kombinację czynników produkcji:
𝐸𝑌
𝐾
𝜕𝑌 𝜕𝐾 𝜕𝑙𝑛𝑌
𝜕𝑌 𝜕𝐿 𝜕𝑙𝑛𝑌
=
=
, 𝐸𝑌 𝐿 =
=
𝑌 𝐾
𝜕𝑙𝑛𝐾
𝑌 𝐿
𝜕𝑙𝑛𝐿
►(10) Elastyczność substytucji mówi o ile proc. zmienia się relacja
czynników produkcji (K/L – techniczne uzbrojenie pracy) w reakcji na
1 proc. zmianę KSS; mierzy stopień wypukłości izokwanty
𝜕(𝐾 𝐿) 𝜕𝐾𝑆𝑆
𝜎=
(𝐾 𝐿) 𝐾𝑆𝑆
Funkcja Cobba-Douglasa (1)
►Funkcja postaci
𝛼𝐽
𝛼1 𝛼2
𝑌 = 𝛼0 𝑋1 𝑋2 … 𝑋𝐽 𝜀
lub w formule dwuczynnikowej
𝑌 = 𝑎𝐾 𝑏 𝐿𝑐 𝜀
►Funkcja bazuje na modelu potęgowym i jest liniowa względem
parametrów – po zlinearyzowaniu przyjmuje postać:
𝑙𝑛𝑌 = 𝑙𝑛𝑎 + 𝑏𝑙𝑛𝐾 + 𝑐𝑙𝑛𝐿 + 𝑙𝑛𝜀
►(3) Izokwanta produkcji dla Y0:
𝑙𝑛𝐾 = 𝑙𝑛𝑌0 − 𝑙𝑛𝑎 − 𝑐𝑙𝑛𝐿 /𝑏
►(4) Produkcyjność krańcowa:
𝜕𝑌
𝑓𝐾 =
= 𝑎𝑏𝐾 𝑏−1 𝐿𝑐 > 0,
𝜕𝐾
𝜕𝑌
𝑓𝐿 =
= 𝑎𝑐𝐾 𝑏 𝐿𝑐−1 > 0
𝜕𝐿
Funkcja Cobba-Douglasa – izokwanty dla funkcji o
parametrach a=0.8, b=0.66, c=0.33
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Y=50
Y=80
60
Y=110
80
Funkcja Cobba-Douglasa (2)
►(5) Produkcyjności krańcowe są malejącą funkcją danego nakładu
produkcji, jeśli tylko b i c <1
𝜕2𝑌
𝑏−2 𝑐
𝑓𝐾𝐾 =
=
𝑎𝑏(𝑏
−
1)𝐾
𝐿 < 0,
2
𝜕𝐾
𝜕2𝑌
𝑓𝐿𝐿 = 2 = 𝑎𝑐(𝑐 − 1)𝐾 𝑏 𝐿𝑐−2 < 0
𝜕𝐿
►(6) Produkcyjności krańcowe są rosnącą funkcją drugiego czynnika
produkcji
𝑓𝐾𝐿 = 𝑓𝐿𝐾
𝜕2𝑌
𝜕2𝑌
=
=
= 𝑎𝑏𝑐𝐾 𝑏−1 𝐿𝑐−1 > 0
𝜕𝐾𝜕𝐿 𝜕𝐿𝜕𝐾
Funkcja Cobba-Douglasa (3)
►(7) Funkcja jest jednorodna stopnia r=b+c
𝑏
𝑐
𝑏+𝑐
𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝑎 𝜆𝐾
𝜆𝐿
=𝜆
𝑎𝐾 𝑏 𝐿𝑐 = 𝜆𝑏+𝑐 𝑓(𝐾, 𝐿)
Efekty skali zależą więc od sumy współczynników b i c:
►jeśli b+c<1, to funkcja wykazuje malejące korzyści skali
►jeśli b+c=1, to funkcja wykazuje stałe korzyści skali
►jeśli b+c>1, to funkcja wykazuje rosnące korzyści skali
►(8) Krańcowa stopa substytucji jest funkcją technicznego uzbrojenia
pracy
𝐾𝑆𝑆 =
1
𝐾𝑆𝑆
=
𝑑𝐾
𝑑𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝐾
=−
𝑓𝐿
𝑓𝐾
=−
𝑓𝐾
𝑓𝐿
=
𝑎𝑐𝐾 𝑏 𝐿𝑐−1
−
𝑎𝑏𝐾𝑏−1 𝐿𝑐
=
𝑎𝑏𝐾𝑏−1 𝐿𝑐
−
𝑎𝑐𝐾 𝑏 𝐿𝑐−1
=
𝑐𝐾
𝑐
− =− 𝑈
𝑏𝐿
𝑏
=
𝑏𝐿
𝑏1
− =−
𝑐𝐾
𝑐𝑈
Funkcja Cobba-Douglasa (4)
►(9) Elastyczności produkcji względem czynników produkcji
𝐸𝑌
𝐾
𝜕𝑌 𝜕𝐾 𝜕𝑙𝑛𝑌
𝜕𝑌 𝜕𝐿 𝜕𝑙𝑛𝑌
=
=
= 𝑏 , 𝐸𝑌 𝐿 =
=
𝑌 𝐾
𝜕𝑙𝑛𝐾
𝑌 𝐿
𝜕𝑙𝑛𝐿
= 𝑐Elastyczności produkcji względem czynników produkcji. W
►(10)
funkcji Cobba- Douglasa jest ona stała i zawsze wynosi 1
𝑐𝐾
−
𝜕(𝐾 𝐿) 𝜕𝐾𝑆𝑆
1
1
𝑐
𝐿
𝑏
𝜎=
=
= 𝑐 −
(𝐾 𝐿) 𝐾𝑆𝑆
𝜕𝐾𝑆𝑆 𝜕(𝐾 𝐿) 𝐾
𝑏
−
𝑏
𝐿
=1
Estymacja funkcji Cobba-Douglasa
►W praktyce funkcję CD estymujemy metodą najmniejszych
kwadratów logarytmując wyjściowe wartości poszczególnych
zmiennych
►Za pomocą testu liniowych restrykcji możemy przetestować
hipotezę o charakterze korzyści skali (stałe, rosnące lub
malejące)
►W modelach bazujących na szeregach czasowych często do
funkcji produkcji dodaje się parametr opisujący zmiany produktu
w czasie niezależne od poziomu czynników produkcji
𝑏 𝑐 𝑑𝑡
𝑌 = 𝑎𝐾 𝐿 𝑒 𝜀
lub dla postaci zlinearyzowanej
𝑙𝑛𝑌 = 𝑙𝑛𝑎 + 𝑏𝑙𝑛𝐾 + 𝑐𝑙𝑛𝐿 + 𝑑𝑡 + 𝑙𝑛𝜀
Wartość parametru d informuje o ile procent zmienia się wartość
produktu w każdej jednostce czasu. Jest interpretowana jako miara
postępu technologicznego.
Modele zmiennej jakościowej
►Zmienne jakościowe stosowane są do kwantyfikacji cech
jakościowych np. płci, przedziału dochodów, jakości produktu
itp.
►Bardzo często zmienne te przyjmują postać binarną
(zerojedynkową) np. 1- kobieta, 0- mężczyzna
►Modele zmiennej jakościowej to takie, w których zmienną
objaśnianą w modelu jest zmienna jakościowa zazwyczaj zerojedynkowa.
►Zmienne objaśniające mogą być zarówno zmiennymi
jakościowymi, jak i ilościowymi
►Postać funkcyjna zależności może być różna, w szczególności
może mieć charakter nieliniowy
Liniowy Model Prawdopodobieństwa (1)
►LMP w postaci teoretycznej zapisujemy jako
gdzie y(i) jest zmienną zero-jedynkową
►Wartości empiryczne zmiennej objaśnianej są równe 0 lub 1,
jednak wartości teoretyczne (wynikające z modelu) nie mają
takich ograniczeń
►Jaka jest interpretacja wartości teoretycznych y(i)? Co oznacza
wartość 0.3, jeśli zmienna objaśniana przyjmuje wartość 1, gdy
dana osoba jest bezrobotna, a 0 gdy pracująca?
►Należy zauważyć, że:
natomiast z postaci funkcyjnej modelu wynika, że
Liniowy Model Prawdopodobieństwa (2)
►Z powyższego wynika że:
𝑝𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑘𝑖
co oznacza, że wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej może
być interpretowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna
y(i) przyjmie wartość 1
► Interpretacja parametrów strukturalnych LMP odnosi się do
zmian prawdopodobieństwa w reakcji na jednostkową zmianę
wartości zmiennej objaśniającej przy innych czynnikach
niezmienionych.
Liniowy Model Prawdopodobieństwa (3)
►Przykład: oszacowano LMP postaci:
gdzie y(i) przyjmuje wartość 1, gdy dane gospodarstwo domowe
posiada mieszkanie na własność i 0 w pozostałych przypadkach,
zaś zmienna x określa miesięczny dochód rozporządzalny
gospodarstwa domowego w tys. zł.
►Przy dochodzie rozporządzalnym równym 10 tys. zł
prawdopodobieństwo tego, że dane gospodarstwo domowe
posiada mieszkanie na własność wynosi 0.5, zaś wzrost dochodu
o 1 tys. zł prowadzi do wzrostu prawdopodobieństwa posiadania
mieszkania o 0.03.
Liniowy Model Prawdopodobieństwa (4)
Główne ograniczenia LMP:
►Ograniczenie nr 1:
►składniki losowe w LMP nie mają rozkładu normalnego;
► analizując własności składnika losowego na podstawie
poznanych wcześniej testów, dochodzimy do wniosku, że
charakteryzuje się on heteroskedastycznością gdyż zachodzi:
► utrudniona jest więc ocena istotności dokonywana na
podstawie standardowych testów
►Ograniczenie nr 2:
► teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej mogą być
mniejsze od 0 i większe od 1
► uniemożliwia to ich interpretację w kategoriach
prawdopodobieństwa
Liniowy Model Prawdopodobieństwa (5)
Model logitowy (1)
►Model logitowy bazuje na funkcji logistycznej określonej
wzorem
►Przykład funkcji logistycznej:
Model logitowy (2)
►Funkcję logistyczną można sformułować w innej wersji, w której
przyjmuje wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do
modelowania prawdopodobieństwa:
►Model prawdopodobieństwa ma więc postać:
gdzie:
►Z powyższego wynika, że
Model logitowy (3)
►Logit to logarytm ilorazu szans, czyli relacji
prawdopodobieństwa zdarzenia, dla którego y przyjmuje
wartość 1 i zdarzenia przeciwnego – relacja z zakładów
bukmacherskich
►Przykład: przy strzelaniu do tarczy i prawdopodobieństwie
trafienia w jej środek równym 0.33 iloraz szans wynosi ½, czyli
szansa na trafienie vs. szansa na nietrafienie mają się jak 1 do 2.
►Iloraz szans ma postać
zaś logit:
Model logitowy (4)
►Z powyższego wynika interpretacja parametrów strukturalnych,
która jest inna niż w LMP.
►Z powyższego wynika, że zmiana wartości zmiennej
jednostkę prowadzi do wzrostu ilorazu szans o
o
►Wpływ zmian wartości zmiennej
na wartość
prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną objaśnianą
wartości 1 definiujemy jako efekt krańcowy i wyznaczamy ze
wzoru
Model logitowy (5)
►Uwaga do interpretacji efektu krańcowego: wartość efektu
krańcowego jest funkcją wartości pozostałych zmiennych
objaśniających modelu. Oznacza to, że efekt krańcowy jest
nieliniowy:
► wpływ na prawdopodobieństwo tej samej zmiany
jednostkowej zmiennej objaśniającej prowadzi do innej
zmiany prawdopodobieństwa w zależności od pozostałych
wartości zmiennych objaśniających
► wartość efektu krańcowego podaje się dla zadanej wartości
wszystkich zmiennych objaśniających modelu.
►W pakietach ekonometrycznych podaje się efekty krańcowe dla
średniej wartości prawdopodobieństwa.
Model logitowy (6)
►Standardowe miary dopasowania (stosowane w przypadku
zwykłego modelu liniowego) w modelu logitowym nie znajdują
zastosowania.
►W modelu logitowym stosuje się inne metody estymacji, gdyż
jest to model nieliniowy. Zazwyczaj jest to Metoda Największej
Wiarygodności, gdzie maksymalizuje się funkcję wiarygodności
postaci
►Na podstawie tej metody wyznacza się (wyliczany standardowo
w większości pakietów) współczynnik pseudo-R^2 McFadena :
gdzie LMP to wartość funkcji wiarygodności dla pełnego modelu
(zawierającego wszystkie zmienne objaśniające) zaś LMZ to
wartość funkcji wiarygodności dla modelu zredukowanego do
wyrazu wolnego
Model logitowy (6)
►Druga standardowa miara dopasowania bazuje na tzw. tablicy
trafności prognoz ex post konstruowanej według następującej
procedury:
► po estymacji parametrów modelu dokonuje się oszacowania
wartości teoretycznych prawdopodobieństw według wzoru:
► dla tak wyznaczonych prawdopodobieństw wyznaczamy
wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej według
► (1)
jeśli próba jest zbilansowana tzn.
liczba 0 i 1 dla zmiennej objaśnianej jest mniej więcej równa
►(2)
jeśli próba jest niezbilansowana, przy
czym
jest równa udziałowi wartości 1 w wartościach Y(i)
(tzw. metoda optymalnej wartości granicznej Cramera)
Model logitowy (7)
► w kolejnym kroku tworzy się tablicę postaci:
Empiryczne
Teoretyczne
Razem
Y=1
Y=0
Y=1
N11
N10
N1.
Y=0
N01
N00
N0.
Razem
N.1
N.0
N
►wyznaczamy wartość tzw. R^2 zliczeniowego postaci
Model probitowy
►W modelu probitowym wartość prawdopodobieństwa określona
jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego tzn.
gdzie:
►Efekty krańcowe w tym modelu mają postać
gdzie
jest funkcją gęstości standardowego rozkładu normalnego
►Relacja między parametrami modelu logitowego i probitowego
jest dana wzorem
Model tobitowy
►Jest to jeden z modeli służących do estymacji w przypadku
zmiennej ograniczonej, czyli przyjmującej wartość liczbową w
jakimś przedziale (gdy są obserwowalne) oraz wartość
jakościową poza tym przedziałem (wtedy nadajemy im jakąś
umowną wartość np. 0).
►Najczęściej model opisujący kształtowanie się takiej zmiennej
ma postać
►Model ten zwany też modelem normalnej regresji cenzurowanej ma
zastosowanie w modelowaniu np.
► wydatków na zakup mieszkania w gospodarstwach domowych
► przychodów z pracy w danym okresie wśród osób o różnym
statusie na rynku pracy
► nakładów inwestycyjnych w danym okresie
Dziękuję za uwagę