Statystyka

Statystyka
Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
2017
Podstawowe rozkłady
zmiennych losowych
Rozkłady
zmiennych
skokowych
Rozkład zero-jedynkowy
Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może być
zdarzenie A lub zdarzenie do niego przeciwne Ā. Niech:
P(A) = p,
P(A) = 1− p.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych tego doświadczenia definiujemy
zmienną losową X w następujący sposób:
⎧⎪ 1, gdy ω ∈A,
X(ω ) = ⎨
⎪⎩ 0, gdy ω ∉A.
Rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej dany jest funkcją
prawdopodobieństwa:
P(X = 1) = p,
P(X = 0) = 1− p.
Rozkład zero-jedynkowy
Wartość oczekiwana tej zmiennej jest równa
E(X) = 1⋅ p + 0 ⋅(1− p) = p.
Wariancja i odchylenie standardowe są równe:
Var(X) = (1− p)2 ⋅ p + (0 − p)2 ⋅(1− p) = p(1− p),
SD(X) =
p(1− p).
Przykład. Agent ubezpieczeniowy wie (z doświadczenia), że
prawdopodobieństwo sfinalizowania umowy w czasie umówionego
spotkania wynosi 0,2. Agent umawia się na jedno spotkanie dziennie.
Liczba zawieranych dziennie umów jest zmienną losową X o
rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p = 0,2. Jej rozkład dany
jest funkcją prawdopodobieństwa określoną za pomocą tabeli:
Liczba umów zawartych
w ciągu dnia
0
1
Prawdopodobieństwo
0,8
0,2
E(X) = p = 0,2,
SD(X) = 0,2 ⋅(1− 0,2) = 0, 4.
Agent zawiera dziennie średnio 0,2 ± 0,4 umowy.
Rozkład dwumianowy
(Bernoulliego)
Rozpatrujemy doświadczenie zwane schematem Bernoulliego.
Polega ono, jak wiemy, na n-krotnym powtarzaniu tego samego
doświadczenia, kończącego się wyłącznie dwoma wynikami: albo
sukcesem, z prawdopodobieństwem p, albo porażką, z
prawdopodobieństwem q = 1 - p. Na zbiorze zdarzeń elementarnych
tego doświadczenia określamy zmienną losową X jako liczbę
uzyskanych sukcesów w n próbach.
Zgodnie z tym co powiedzieliśmy o prawdopodobieństwie
takiego zdarzenia, rozkład zmiennej losowej X opisuje funkcja
prawdopodobieństwa dana wzorem:
⎛ n ⎞ k n−k
P(X = k) = ⎜ ⎟ ⋅ p q ,
⎝ k⎠
k = 0,1,2,…,n.
Rozkład dwumianowy
(Bernoulliego)
Można łatwo pokazać, że wartość oczekiwana i odchylenie
standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym są dane
wzorami:
E(X) = np,
SD(X) = npq.
Zauważmy również, że z formalnego punktu widzenia, zmienną
losową X można traktować jako sumę n niezależnych zerojedynkowych: X1, X2, …, Xn o rozkładzie zero-jedynkowym z tym
samym parametrem p:
X = X1 + X2 +…+ Xn .
Przykład. Nasz Agent postanowił umawiać się na 6 spotkań
dziennie. Liczba zawieranych dziennie umów jest zmienną losową X o
rozkładzie dwumianowym z parametrami p = 0,2 i n = 6. Jej rozkład
dany jest funkcją prawdopodobieństwa:
⎛ 6⎞
k
6−k
P(X = k) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 ,
⎝ k⎠
k = 0,1,…,6.
Obliczone na podstawie tego wzoru prawdopodobieństwa
podajemy w poniższej tabeli:
Liczba umów zawartych
w ciągu dnia, k
Prawdopodobieństwo
P(X = k)
0
1
2
3
4
5
6
0,26214 0,39322 0,24576 0,08192 0,01536 0,00154 0,00006
Zgodnie ze wzorem na wartość oczekiwaną i odchylenie
standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym mamy
E(X) = np = 6 ⋅ 0,2 = 1,2,
SD(X) = 6 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,98.
Agent zawiera dziennie średnio 1,2 ± 0,98 umowy.
Wykres funkcji prawdopodobieństwa
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
Rozkłady Bernoulliego w n = 20 próbach z różnymi parametrami p
p = 0,2
p = 0,4
p = 0.5
p = 0,9
0,3
0,225
0,15
0,075
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Rozkłady Bernoulliego z parametrem p = 0,5 i w różnych parametrach n
n=5
n = 15
n = 50
n = 75
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64
Rozkład Poissona
Jeśli zmienna losowa jest liczbą zajść pewnego zdarzenia
losowego w określonym przedziale czasu, np. liczbą awarii
urządzenia w ciągu tygodnia, liczbą wypadków samochodowych w
ciągu miesiąca, to jej rozkład opisuje funkcja prawdopodobieństwa
postaci:
µ k ⋅ e− µ
P(X = k) =
,
k = 0,1,2, 3,…
k!
gdzie 𝛍 jest wartością oczekiwaną rozkładu i jednocześnie jego
wariancją:
E(X) = µ,
Var(X) = µ.
Przykład. W pewnym przedsiębiorstwie zaobserwowano, że w
ciągu miesiąca zdarzają się średnio 2 wypadki. Oznaczmy przez X
zmienną losową, która jest liczbą wypadków w losowo wybranym
miesiącu. Zmienna ta (teoretycznie) może przyjmować każdą wartość
k = 0, 1, 2, … . Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym
wartościom k obliczamy, korzystając z funkcji prawdopodobieństwa
rozkładu Poissona, przyjmując parametr 𝛍 = 2.
Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu nie
będzie wypadków wynosi:
2 ⋅e
P(X = 0) =
0!
0
−2
1
= 2 = 0,135.
e
Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu będą 4
wypadki jest równe:
2 4 ⋅ e−2
2
P(X = 4) =
= 2 = 0,09.
4!
3e
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest też dobrym przybliżeniem rozkładu
dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n jest duża (n > 20), a
prawdopodobieństwo sukcesu p jest niewielkie (p < 0,05) oraz przy
rosnącej liczbie prób iloczyn np jest stały (lub zmierza do stałej).
Wówczas przyjmuje się 𝛍 = np. Poniżej oba rozkłady dla parametrów:
n = 100, p = 0,01
R. dwumianowy
R. Poissona
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Rozkład hipergeometryczny
Rozważmy eksperyment polegający na losowaniu ze zwracaniem
n elementów z populacji liczącej N elementów. Wiemy, że w populacji
frakcja interesujących nas elementów wynosi p = R/N. Jeśli zmienna
losowa X zlicza interesujące nas elementy w pobranej próbie, to
podlega ona rozkładowi dwumianowemu z parametrami n i p.
Odmienną sytuację mamy wtedy, gdy losujemy próbę bez
zwracania (p zmienia się, bo nie zwracamy). Opisana zmienna losowa
X podlega wówczas rozkładowi hipergeometrycznemu.
⎛ R⎞ ⎛ N − R⎞
⎜⎝ k ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ n − k ⎟⎠
P(X = k) =
,
⎛ N⎞
⎜⎝ n ⎟⎠
k = 0,1,2,...,min{R,n}.
Przykład. W tym roku na rynek kapitałowy w Polsce weszło 10
nowych spółek, ale tylko 3 z nich (jak wiemy z doświadczenia) będą
miały zadowalające wyniki. Takie spółki będziemy traktować jako
wyróżnione przez inwestorów, a zakup ich akcji jako sukces. Pewna
osoba zakupiła cztery akcje różnych spółek. Niech zmienną losową X
będzie liczba akcji spółek dobrze prosperujących wśród wszystkich
zakupionych akcji.
Zmienna X może przyjmować wartości k = 0, 1, 2, 3 (tylko 3 spółki
mają dodatni wynik finansowy) z prawdopodobieństwami opisanymi
rozkładem hipergeometrycznym (osoba nie kupowała dwa razy akcji
tej samej spółki)
⎛ 3⎞ ⎛ 10 − 3⎞
⎛ 3⎞ ⎛ 10 − 3⎞
⋅
⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 − 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 4 − 1 ⎟⎠
P(X = 0) =
= 0,17, P(X = 1) =
= 0,5,
⎛ 10 ⎞
⎛ 10 ⎞
⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎛ 3⎞ ⎛ 10 − 3⎞
⎛ 3⎞ ⎛ 10 − 3⎞
⋅
⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 − 2 ⎟⎠
⎜⎝ 3⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 4 − 3 ⎟⎠
P(X = 2) =
= 0, 3, P(X = 3) =
= 0,03.
10
10
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜⎝ 4 ⎟⎠
⎜⎝ 4 ⎟⎠
Poniżej podana jest tabela rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X:
xi
0
1
2
3
pi
0,17
0,5
0,3
0,03
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych akcji
czterech spółek znajdą się przynajmniej dwie akcje społek dobrze
prosperujących? Prawdopodobieństwo to policzymy następująco
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0, 3 + 0,03 = 0, 33.
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
Rozkład hipergeometryczny
Wartość oczekiwana i wariancja
hipergeometrycznym dane są wzorami:
nR
E(X) = np =
,
N
zmiennej
o
rozkładzie
n
1−
N.
Var(X) = np(1− p)⋅
1
1−
N
Jeżeli
liczebność
populacji
N
rośnie,
to
rozkład
hipergeometryczny jest zbieżny do rozkładu dwumianowego:
⎛ R⎞ ⎛ N − R⎞
⎜⎝ k ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ n − k ⎟⎠ ⎛ n ⎞
k
n−k
P(X = k) = lim
= ⎜ ⎟ p (1− p) .
N→∞
⎛ N⎞
⎝ k⎠
⎜⎝ n ⎟⎠
Rozkład geometryczny
Jeśli w doświadczeniu losowym schematu Bernoulliego zamiast
liczbą sukcesów będziemy się interesowali zmienną losową X, będącą
liczbą doświadczeń aż do pojawienia się pierwszego sukcesu, to
określimy rozkład geometryczny. Funkcja prawdopodobieństwa tego
rozkładu to:
P(X = k) = pq k−1 ,
k = 0,1,2,…
gdzie
p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,
q = 1 - p - prawdopodobieństwo porażki.
Rozkład geometryczny
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej o rozkładzie
geometrycznym wyrażają się wzorami:
1
E(X) = ,
p
q
Var(X) = 2 .
p
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Przykład. Najnowsze badania wskazują na 14% procentowy
udział Pepsi-Coli w rynku napojów bezalkoholowych i 36% udział
Coca-Coli. Firma badająca rynek chce przeprowadzić test smakowy na
konsumentach Pepsi. Potencjalnych uczestników badania wybiera się
przez losowe odsiewanie konsumentów napojów bezalkoholowych
dotąd, aż trafi się na konsumenta Pepsi-Coli. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że pierwszy losowo wybrany konsument
będzie konsumentem Pepsi? Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeba
będzie zbadać dwóch, trzech, czterech konsumentów, by trafić na
pierwszego konsumenta Pepsi?
To, że pierwsza zbadana osoba okaże się konsumentem Pepsi jest
sukcesem w naszym doświadczeniu. Jego prawdopodobieństwo
wynosi p = 0,14. Korzystając z funkcji prawdopodobieństwa mamy:
P(X = 1) = pq1−1 = p = 0,14, P(X = 2) = pq 2−1 = 0,14 ⋅ 0,86 = 0,12,
P(X = 3) = pq 3−1 = 0,14 ⋅ 0,86 2 = 0,1 P(X = 4) = pq 4−1 = 0,14 ⋅ 0,86 3 = 0,09.
Rozkłady
zmiennych
ciągłych
Rozkład jednostajny w przedziale
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale [a, b],
jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem:
⎧ 0
⎪
⎪ 1
f (x) = ⎨
⎪ b−a
⎪⎩ 0
dla
x<a
dla a ≤ x ≤ b
dla
x>b
1/(b-a)
a
b
Rozkład jednostajny w przedziale
Wartość oczekiwana i wariancja tej zmiennej losowej wynoszą:
∞
a+b
E(X) = ∫ xf (x)dx =
,
2
−∞
∞
2
(b
−
a)
2
Var(X) = ∫ (x − E(X)) f (x)dx =
.
12
−∞
Dystrybuanta rozkładu tej zmiennej losowej jest dana wzorem:
⎧ 0
⎪
⎪ x−a
F(x) = P(X ≤ x) = ⎨
⎪ b−a
⎪⎩ 1
dla
x<a
1
dla a ≤ x ≤ b
dla
x>b
0
a
b
Przykład. Czas oczekiwania na to, aby prowadzący ćwiczenia
podał ocenę z kolokwium jest zmienną losową o rozkładzie
jednostajnym w przedziale [3 dni, 8 dni]. Jaki jest przeciętny czas
oczekiwania na ocenę?
Zgodnie ze wcześniej podanym wzorem:
a + b 3+ 8
E(X) =
=
= 5,5,
2
2
(b − a)2 5 2
Var(X) =
=
= 2,08.
12
12
Zatem
SD(X) = Var(X) = 1, 44,
więc przeciętny czas oczekiwania na ocenę szacujemy na 5 dni 12
godzin z odchyleniem plus minus 1 dzień 10,5 godziny.
Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeśli jej funkcja
gęstości określona jest wzorem:
⎧⎪ 0
f (x) = ⎨
−λx
λ
e
⎪⎩
dla
dla
x<0
x≥0
y
λ
0
x
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy ma zmienna losowa X będąca odstępem
czasu między zajściem dwóch zdarzeń, które charakteryzuje rozkład
Poissona. Na przykład, jeśli liczba samochodów, które przybywają do
stacji obsługi w ciągu minuty ma rozkład Poissona, to odcinek czasu
między przybyciem dwóch kolejnych samochodów (mierzony na skali
ciągłej) ma rozkład wykładniczy.
Dystrybuanta rozkładu wykładniczego jest postaci:
⎧⎪
0
F(x) = ⎨
−λx
⎪⎩ 1− e
dla x < 0
dla x ≥ 0
Wartość oczekiwana i wariancja wynoszą: E(X) = 1/λ, Var(X) = 1/λ.
Przykład.Czas jaki maszyna działa zanim ulegnie awarii (czyli
odstęp między kolejnymi awariami) ma rozkład wykładniczy z
parametrem λ = 2 godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo
bezawaryjnej pracy maszyny przez co najmniej jedną godzinę? jaki jest
średni odstęp między awariami?
Interesuje nas pole pod wykresem funkcji gęstości na prawo od
punktu x = 1. Korzystając z dystrybuanty mamy
P(X > 1) = 1− P(X ≤ 1) = 1− F(1) = 1− (1− e−2 ) = 0,1353.
Średnim odstępem między awariami jest E(X) = 1/2 godziny.
y
2
P(X>1)
0
1
x
Rozkład normalny (Gaussa)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami 𝛍 i 𝛔,
jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem:
⎛ (x − µ )2 ⎞
1
f (x) =
exp ⎜ −
,
2
⎟
2σ ⎠
⎝
σ 2π
f(x)
𝛍
− ∞ < x < +∞.
f(x)
1
σ 2π
𝛍-𝛔
𝛍
𝛍+𝛔
Rozkład normalny (Gaussa)
⎛ (x − µ )2 ⎞
1
f (x) =
exp ⎜ −
,
2
⎟
2σ ⎠
⎝
σ 2π
− ∞ < x < +∞.
Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej X
mającej rozkład normalny wynoszą:
E(X) = µ,
SD(X) = σ .
Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością
oczekiwaną 𝛍 i odchyleniem standardowym 𝛔 zapisujemy jako:
X ~ N( µ, σ ).
Rozkład normalny (Gaussa)
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(𝛍, 𝛔)
jest określona wzorem
1
F(x) =
σ 2π
⎛ (t − µ )2 ⎞
∫−∞ exp ⎜⎝ − 2σ 2 ⎟⎠ dt ,
x
− ∞ < x < +∞.
f(x)
F(x) = P(X ≤ x)
𝛍
x
N(5,1)
N(5,2)
N(10,2)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Standaryzowany rozkład normalny
Zmienna losowa Z ma rozkład normalny standaryzowany, gdy
ma parametry 𝛍 = 0 i 𝛔 = 1, tzn. Z ~ N(0, 1). Wtedy funkcja gęstości jest
postaci
⎛ x2 ⎞
1
f (x) =
exp ⎜ − ⎟ ,
⎝ 2⎠
2π
f(x)
0
− ∞ < x < +∞.
f(x)
0,4
0
-3
-2
-1
0
68,3%
95,4%
99,7%
1
2
3
f(x)
0,4
0
-2,58
-1,96 -1,64
0
90%
95%
99%
1,64 1,96
2,58
Krzywa y = f(x) jest symetryczna względem osi y,
✤ Pole pod całą krzywą jest równe 1,
✤ Pola zaciemnione na rysunku są równe,
✤ Pole pod lewym ogonem jest równe F(-z), a pod prawym ogonem
jest równe 1 - F(z).
✤
f(x)
0,4
P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z)
P(Z < -z)
0
-z
0
z
Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej Z
standardowym rozkładzie normalnym. Wtedy zachodzą wzory:
✤ F(-z) = 1 - F(z),
✤ P( -z < Z < z ) = F(z) - F(-z) = 2F(z) - 1.
f(x)
0,4
P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z)
P(Z < -z)
0
-z
0
z
o
Standaryzowany rozkład normalny
Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego zostały ułożone w
tablice postaci:
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,0
0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392
0,1
0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356
0,2
0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257
0,3
0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058
0,4
0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724
0,5
0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226
0,6
0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537
Standaryzowany rozkład normalny
Przykład. F(-0,32) = 1 - F(0,32)=1 - 0,62552 = 0,37448;
P(-0,5 < Z < 0,5) = 2F(0,5) - 1 =2·0,69146 - 1=0,38292.
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,0
0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392
0,1
0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356
0,2
0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257
0,3
0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058
0,4
0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724
0,5
0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226
0,6
0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537
0,0
0,50000
0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,53586
0,1
0,53983
0,54380
0,54776
0,55172
0,55567
0,55962
0,56356
0,56749
0,57142
0,57535
Znajdowanie prawdopodobieństw w tablicach
standaryzowanego rozkładu normalnego
0,2
0,57926
0,58317
0,58706
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0,3
0,61791
0,62172
0,62552
0,62930
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0,4
0,65542
0,65910
0,66276
0,66640
0,67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0,5
0,69146
0,69497
0,69847
0,70194
0,70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,72240
0,6
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
1. 0,75804
Znajdziemy
prawdopodobieństwo,
że wartość
standary0,76115 0,76424
0,76730 0,77035 0,77337 0,77637
0,77935 0,78230
0,78524
zowanej
normalnej
losowej
się między
a 1,56.0,81327
0,8 0,78814
0,79103 zmiennej
0,79389 0,79673
0,79955 znajdzie
0,80234 0,80511
0,80785 00,81057
0,7
0,9
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
0,84849 −0,85083
0,85543− 0,85769
0,85993
0,86214
P(00,84134
< Z <0,84375
1,56)0,84614
= F(1,56)
F(0) =0,85314
0,94062
0,5 = 0,
44062
1,0
1,1
0,86433
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
1,2
x
1,3
0,0
1,4
0,1
1,5
0,2
1,6
0,3
1,7
0,4
1,8
0,5
1,9
0,88493
0,00
0,90320
0,50000
0,91924
0,53983
0,93319
0,57926
0,94520
0,61791
0,95543
0,65542
0,96407
0,69146
0,97128
0,88686
0,01
0,90490
0,50399
0,92073
0,54380
0,93448
0,58317
0,94630
0,62172
0,95637
0,65910
0,96485
0,69497
0,97193
0,88877
0,02
0,90658
0,50798
0,92220
0,54776
0,93574
0,58706
0,94738
0,62552
0,95728
0,66276
0,96562
0,69847
0,97257
0,89065
0,03
0,90824
0,51197
0,92364
0,55172
0,93699
0,59095
0,94845
0,62930
0,95818
0,66640
0,96638
0,70194
0,97320
0,89251
0,04
0,90988
0,51595
0,92507
0,55567
0,93822
0,59483
0,94950
0,63307
0,95907
0,67003
0,96712
0,70540
0,97381
0,89435
0,05
0,91149
0,51994
0,92647
0,55962
0,93943
0,59871
0,95053
0,63683
0,95994
0,67364
0,96784
0,70884
0,97441
0,89617
0,06
0,91309
0,52392
0,92785
0,56356
0,94062
0,60257
0,95154
0,64058
0,96080
0,67724
0,96856
0,71226
0,97500
0,89796
0,07
0,91466
0,52790
0,92922
0,56749
0,94179
0,60642
0,95254
0,64431
0,96164
0,68082
0,96926
0,71566
0,97558
0,89973
0,08
0,91621
0,53188
0,93056
0,57142
0,94295
0,61026
0,95352
0,64803
0,96246
0,68439
0,96995
0,71904
0,97615
0,90147
0,09
0,91774
0,53586
0,93189
0,57535
0,94408
0,61409
0,95449
0,65173
0,96327
0,68793
0,97062
0,72240
0,97670
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
1,0
0,84134
0,84375
0,84614
0,84849
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
Znajdowanie prawdopodobieństw w tablicach
standaryzowanego rozkładu normalnego
1,1
0,86433
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
1,2
0,88493
0,88686
0,88877
0,89065
0,89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
1,3
0,90320
0,90490
0,90658
0,90824
0,90988
0,91149
0,91309
0,91466
0,91621
0,91774
1,4
0,91924
0,92073
0,92220
0,92364
0,92507
0,92647
0,92785
0,92922
0,93056
0,93189
1,5
0,93319
0,93448
0,93574
0,93699
0,93822
0,93943
0,94062
0,94179
0,94295
0,94408
2.0,94520
Znajdziemy
prawdopodobieństwo,
że 0,95254
wartość
0,94630 0,94738
0,94845 0,94950 0,95053 0,95154
0,95352standary0,95449
1,7 0,95543
0,95637 0,95728
0,95818losowej
0,95907 będzie
0,95994 mniejsza
0,96080 0,96164
0,96246 0,96327
zowanej
normalnej
zmiennej
od -2,47.
1,6
1,8
0,96407
0,96485
0,96562
0,96638
0,96712
0,96784
0,96856
0,96926
0,96995
0,97062
0,97778 0,97831 0,97882
1− 0,97725
0,99324
= 0,00676
0,97932
0,97982
0,98030
0,98077
0,98124
0,98169
2,1
0,98214
0,98382
0,98422
0,98461
0,98500
0,98537
0,98574
2,2
0,98610
0,98645
0,98679
0,98713
0,98745
0,98778
0,98809
0,98840
0,98870
0,98899
x
2,3
0,00
0,98928
0,01
0,98956
0,02
0,98983
0,03
0,99010
0,04
0,99036
0,05
0,99061
0,06
0,99086
0,07
0,99111
0,08
0,99134
0,09
0,99158
0,0
2,4
0,50000
0,99180
0,50399
0,99202
0,50798
0,99224
0,51197
0,99245
0,51595
0,99266
0,51994
0,99286
0,52392
0,99305
0,52790
0,99324
0,53188
0,99343
0,53586
0,99361
0,1
2,5
0,53983
0,99379
0,54380
0,99396
0,54776
0,99413
0,55172
0,99430
0,55567
0,99446
0,55962
0,99461
0,56356
0,99477
0,56749
0,99492
0,57142
0,99506
0,57535
0,99520
0,2
2,6
0,57926
0,99534
0,58317
0,99547
0,58706
0,99560
0,59095
0,99573
0,59483
0,99585
0,59871
0,99598
0,60257
0,99609
0,60642
0,99621
0,61026
0,99632
0,61409
0,99643
0,3
2,7
0,61791
0,99653
0,62172
0,99664
0,62552
0,99674
0,62930
0,99683
0,63307
0,99693
0,63683
0,99702
0,64058
0,99711
0,64431
0,99720
0,64803
0,99728
0,65173
0,99736
0,4
2,8
0,65542
0,99744
0,65910
0,99752
0,66276
0,99760
0,66640
0,99767
0,67003
0,99774
0,67364
0,99781
0,67724
0,99788
0,68082
0,99795
0,68439
0,99801
0,68793
0,99807
P(Z0,97128
< −2,0,97193
47) =0,97257
P(Z >0,97320
2, 47)0,97381
= 1−0,97441
P(Z ≤0,97500
2, 47)0,97558
= 1− F(2,
=
0,97615 47)
0,97670
1,9
2,0
0,98257
0,98300
0,98341
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
Znajdowanie wartości z przy danym
prawdopodobieństwie
1. Znajdziemy taką wartość standaryzowanej zmiennej losowej
normalnej Z, by prawdopodobieństwo, że zmienna Z przyjmie
wartość mniejszą od z było równe 0,40.
P(Z < z) = 0, 40
Z własności dystrybuanty zmiennej losowej Z wynika, że
poszukiwane z < 0.
P(Z < z) = P(Z > −z) = 1− P(Z ≤ −z) = 1− F(−z).
Stąd należy rozwiązać równanie
lub równoważnie
1− F(−z) = 0, 4
F(−z) = 0,6
Znajdowanie wartości z przy danym
prawdopodobieństwie
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
x
0,0
x
0,1
0,0
0,2
0,1
0,3
0,2
0,4
0,3
0,5
0,4
0,6
0,5
0,7
0,6
0,8
0,7
0,9
0,8
1,0
0,9
1,1
1,0
F(−z)
0,04= 0,6
0,05
0,00
0,01
0,02
0,03
0,50000
0,00
0,53983
0,50000
0,57926
0,53983
0,61791
0,57926
0,65542
0,61791
0,69146
0,65542
0,72575
0,69146
0,75804
0,72575
0,78814
0,75804
0,81594
0,78814
0,84134
0,81594
0,86433
0,84134
0,50399
0,01
0,54380
0,50399
0,58317
0,54380
0,62172
0,58317
0,65910
0,62172
0,69497
0,65910
0,72907
0,69497
0,76115
0,72907
0,79103
0,76115
0,81859
0,79103
0,84375
0,81859
0,86650
0,84375
0,50798
0,02
0,54776
0,50798
0,58706
0,54776
0,62552
0,58706
0,66276
0,62552
0,69847
0,66276
0,73237
0,69847
0,76424
0,73237
0,79389
0,76424
0,82121
0,79389
0,84614
0,82121
0,86864
0,84614
0,51197
0,03
0,55172
0,51197
0,59095
0,55172
0,62930
0,59095
0,66640
0,62930
0,70194
0,66640
0,73565
0,70194
0,76730
0,73565
0,79673
0,76730
0,82381
0,79673
0,84849
0,82381
0,87076
0,84849
0,06
0,07
0,08
0,09
0,52392
0,06
0,56356
0,52392
0,60257
0,56356
0,64058
0,60257
0,67724
0,64058
0,71226
0,67724
0,74537
0,71226
0,77637
0,74537
0,80511
0,77637
0,83147
0,80511
0,85543
0,83147
0,87698
0,85543
0,52790
0,07
0,56749
0,52790
0,60642
0,56749
0,64431
0,60642
0,68082
0,64431
0,71566
0,68082
0,74857
0,71566
0,77935
0,74857
0,80785
0,77935
0,83398
0,80785
0,85769
0,83398
0,87900
0,85769
0,53188
0,08
0,57142
0,53188
0,61026
0,57142
0,64803
0,61026
0,68439
0,64803
0,71904
0,68439
0,75175
0,71904
0,78230
0,75175
0,81057
0,78230
0,83646
0,81057
0,85993
0,83646
0,88100
0,85993
0,53586
0,09
0,57535
0,53586
0,61409
0,57535
0,65173
0,61409
0,68793
0,65173
0,72240
0,68793
0,75490
0,72240
0,78524
0,75490
0,81327
0,78524
0,83891
0,81327
0,86214
0,83891
0,88298
0,86214
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
0,51595
0,04
0,55567
0,51595
0,59483
0,55567
0,63307
0,59483
0,67003
0,63307
0,70540
0,67003
0,73891
0,70540
0,77035
0,73891
0,79955
0,77035
0,82639
0,79955
0,85083
0,82639
0,87286
0,85083
0,51994
0,05
0,55962
0,51994
0,59871
0,55962
0,63683
0,59871
0,67364
0,63683
0,70884
0,67364
0,74215
0,70884
0,77337
0,74215
0,80234
0,77337
0,82894
0,80234
0,85314
0,82894
0,87493
0,85314
Stąd -z = 0,26, a więc poszukiwana wartość z, to z = -0,26.
Znajdowanie wartości z przy danym
prawdopodobieństwie
2. Znajdziemy przedział położony symetrycznie wokół 0,
któremu odpowiada prawdopodobieństwo 0,80 znalezienia wartości
standaryzowanej normalnej zmiennej losowej w tym przedziale.
Szukamy zatem z takiego, że
P(−z < Z < z) = 0,8
Z własności dystrybuanty zmiennej losowej Z wynika, że
poszukiwane z < 0.
P(−z < Z < z) = 2F(z) − 1
Szukamy więc takiego z, że
2F(z) − 1 = 0,8
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
Znajdowanie wartości z przy danym
prawdopodobieństwie
0,0
0,50000
0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,53586
0,1
0,53983
0,54380
0,54776
0,55172
0,55567
0,55962
0,56356
0,56749
0,57142
0,57535
0,2
0,57926
0,58317
0,58706
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0,3
0,61791
0,62172
0,62552
0,62930
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0,4
0,65542
0,65910
0,66276
0,66640
0,67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0,69146 0,69497
Równanie
0,69847
0,70194
0,70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,72240
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
0,5
0,73891
2F(z)
− 1 =0,74215
0,8
0,6
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,7
0,75804
0,76115
0,76424
0,76730
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,78524
0,8
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0,9
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
1,0
x
1,1
0,0
1,2
0,1
1,3
0,2
1,4
0,84134
0,00
0,86433
0,50000
0,88493
0,53983
0,90320
0,57926
0,91924
0,84375
0,01
0,86650
0,50399
0,88686
0,54380
0,90490
0,58317
0,92073
0,84614
0,02
0,86864
0,50798
0,88877
0,54776
0,90658
0,58706
0,92220
0,84849
0,03
0,87076
0,51197
0,89065
0,55172
0,90824
0,59095
0,92364
0,85083
0,04
0,87286
0,51595
0,89251
0,55567
0,90988
0,59483
0,92507
0,85314
0,05
0,87493
0,51994
0,89435
0,55962
0,91149
0,59871
0,92647
0,85543
0,06
0,87698
0,52392
0,89617
0,56356
0,91309
0,60257
0,92785
0,85769
0,07
0,87900
0,52790
0,89796
0,56749
0,91466
0,60642
0,92922
0,85993
0,08
0,88100
0,53188
0,89973
0,57142
0,91621
0,61026
0,93056
0,86214
0,09
0,88298
0,53586
0,90147
0,57535
0,91774
0,61409
0,93189
0,3
1,5
0,61791
0,93319
0,62172
0,93448
0,62552
0,93574
0,62930
0,93699
0,63307
0,93822
0,63683
0,93943
0,64058
0,94062
0,64431
0,94179
0,64803
0,94295
0,65173
0,94408
0,4
1,6
0,65542
0,94520
0,65910
0,94630
0,66276
0,94738
0,66640
0,94845
0,67003
0,94950
0,67364
0,95053
0,67724
0,95154
0,68439
0,95352
0,68793
0,95449
0,5
1,7
0,69146
0,95543
0,69497
0,95637
P(−1,29
<
Z
<
1,29)
=
0,8
0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226
0,68082
0,95254
0,95728
0,95818
0,95907
0,95994
0,96080
0,71566
0,96164
0,71904
0,96246
0,72240
0,96327
0,6
1,8
0,72575
0,96407
0,72907
0,96485
0,73237
0,96562
0,73565
0,96638
0,73891
0,96712
0,74215
0,96784
0,74537
0,96856
0,74857
0,96926
0,75175
0,96995
0,75490
0,97062
jest równoważne równaniu
F(z)
= 0,9
0,82639
0,82894
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
Stąd poszukiwana wartość z, to z = 1,29 czyli
Przekształcenia normalnej zmiennej
losowej
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z
parametrami 𝛍 i 𝛔, czyli X ~ N(𝛍, 𝛔). Wówczas zmienna losowa Z
określona wzorem
X−µ
Z=
σ
ma standaryzowany rozkład normalny, czyli Z ~ N(0, 1).
Przekształceniem odwrotnym jest
X = µ + Zσ .
Przy powyższych przekształceniach prawdopodobieństwa się nie
zmieniają. To tłumaczy fakt, że tablice skonstruowano tylko dla
standaryzowanego rozkładu normalnego.
b− µ⎞
⎛ X − µ b− µ⎞
⎛
P(X < b) = P ⎜
<
= P⎜ Z <
⎟
⎟
⎝ σ
⎝
σ ⎠
σ ⎠
a− µ⎞
⎛ X − µ a− µ⎞
⎛
P(X > a) = P ⎜
>
= P⎜ Z <
⎟
⎟
⎝ σ
⎝
σ ⎠
σ ⎠
b− µ⎞
⎛ a− µ X − µ b− µ⎞
⎛ a−µ
P(a < X < b) = P ⎜
<
<
= P⎜
<Z<
⎟
⎟
⎝ σ
⎝ σ
σ
σ ⎠
σ ⎠
Korzystanie z przekształcenia
rozkładu normalnego
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
x
0,0
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,50000
0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,53586
1.0,53983
Niech0,54380
X ~0,54776
N(50,0,55172
10). Znajdziemy
prawdopodobieństwo,
0,55567 0,55962 0,56356
0,56749 0,57142 0,57535 że
wartości
zmiennej
są większe
od 60, 0,59871
czyli P(X
> 60).
0,2 0,57926
0,58317 X
0,58706
0,59095 0,59483
0,60257
0,60642 0,61026 0,61409
0,1
0,3
0,61791
0,62172
0,62552
0,62930
0,4
0,65542
0,65910
0,66276
0,66640
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,5
50 60
− 500,67724
⎛ X − 0,67003
⎞
0,67364
0,68082 0,68439
P(X > 60) = P ⎜
>
= P(Z > 1) =
⎟
0,69146 0,69497 0,69847 0,70194
0,71566 0,71904
⎝ 100,70540 0,70884
⎠
10 0,71226
0,6
0,72575
0,7
0,75804
0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857
= 1−
P(Z ≤ 1) = 1− F(1) = 1− 0,84 = 0,16.
0,65173
0,68793
0,72240
0,75175
0,75490
0,78230
0,78524
0,8
Tablica
wartości
dystrybuanty
rozkładu
normalnego
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673 standaryzowanego
0,79955 0,80234 0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
x
0,9
0,00
0,81594
0,01
0,81859
0,02
0,82121
0,03
0,82381
0,04
0,82639
0,05
0,82894
0,06
0,83147
0,07
0,83398
0,08
0,83646
0,09
0,83891
0,0
1,0
0,50000
0,84134
0,50399
0,84375
0,50798
0,84614
0,51197
0,84849
0,51595
0,85083
0,51994
0,85314
0,52392
0,85543
0,52790
0,85769
0,53188
0,85993
0,53586
0,86214
0,1
1,1
0,53983
0,86433
0,54380
0,86650
0,54776
0,86864
0,55172
0,87076
0,55567
0,87286
0,55962
0,87493
0,56356
0,87698
0,56749
0,87900
0,57142
0,88100
0,57535
0,88298
0,2
1,2
0,57926
0,88493
0,58317
0,88686
0,58706
0,88877
0,59095
0,89065
0,59483
0,89251
0,59871
0,89435
0,60257
0,89617
0,60642
0,89796
0,61026
0,89973
0,61409
0,90147
0,3
1,3
0,61791
0,90320
0,62172
0,90490
0,62552
0,90658
0,62930
0,90824
0,63307
0,90988
0,63683
0,91149
0,64058
0,91309
0,64431
0,91466
0,64803
0,91621
0,65173
0,91774
0,76115
0,76424
0,76730
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
Korzystanie z przekształcenia
rozkładu normalnego
2. Przypuśćmy, że wiemy iż pewna zmienna X ~ N(120, 𝛔), czyni
nie znamy 𝛔. Wiemy natomiast, że P(X > 125) = 0,05. Ile wynosi 𝛔?
125 − 120 ⎞
5⎞
5⎞
⎛
⎛
⎛
P(X > 125) = P ⎜ Z >
= P ⎜ Z > ⎟ = 1− P ⎜ Z ≤ ⎟
⎟
⎝
⎠
⎝
⎝
σ
σ⎠
σ⎠
Otrzymujemy więc równanie
⎛ 5⎞
0,05 = 1− F ⎜ ⎟
⎝σ ⎠
równoważne z równaniem
⎛ 5⎞
F ⎜ ⎟ = 0,95.
⎝σ ⎠
0,6
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
0,7
0,75804
0,76115
0,76424
0,76730
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,78524
0,8
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0,9
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
1,0
0,84134
0,84375
0,84614
0,84849
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
1,1
0,86433
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
1,2
0,88493
0,88686
0,88877
0,89065
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
1,3
0,90320
0,90490
0,90658
0,91309
0,91466
0,91621
0,91774
Korzystanie z przekształcenia
rozkładu normalnego
1,4
x
1,5
0,0
1,6
0,1
1,7
0,2
1,8
0,3
1,9
0,4
2,0
0,5
2,1
0,6
2,2
0,7
2,3
0,8
2,4
0,9
Tablica wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
0,91924
0,00
0,93319
0,50000
0,94520
0,53983
0,95543
0,57926
0,96407
0,61791
0,97128
0,65542
0,97725
0,69146
0,98214
0,72575
0,98610
0,75804
0,98928
0,78814
0,99180
0,81594
0,92073
0,01
0,93448
0,50399
0,94630
0,54380
0,95637
0,58317
0,96485
0,62172
0,97193
0,65910
0,97778
0,69497
0,98257
0,72907
0,98645
0,76115
0,98956
0,79103
0,99202
0,81859
0,92220
0,02
0,93574
0,50798
0,94738
0,54776
0,95728
0,58706
0,96562
0,62552
0,97257
0,66276
0,97831
0,69847
0,98300
0,73237
0,98679
0,76424
0,98983
0,79389
0,99224
0,82121
Stąd odszukujemy, że
skąd
⎛ 50,89251
⎞ 0,89435
F ⎜ ⎟ = 0,95.
0,90824⎝ σ
0,90988
⎠ 0,91149
0,92364
0,03
0,93699
0,51197
0,94845
0,55172
0,95818
0,59095
0,96638
0,62930
0,97320
0,66640
0,97882
0,70194
0,98341
0,73565
0,98713
0,76730
0,99010
0,79673
0,99245
0,82381
0,92507
0,04
0,93822
0,51595
0,94950
0,55567
0,95907
0,59483
0,96712
0,63307
0,97381
0,67003
0,97932
0,70540
0,98382
0,73891
0,98745
0,77035
0,99036
0,79955
0,99266
0,82639
0,92647
0,05
0,93943
0,51994
0,95053
0,55962
0,95994
0,59871
0,96784
0,63683
0,97441
0,67364
0,97982
0,70884
0,98422
0,74215
0,98778
0,77337
0,99061
0,80234
0,99286
0,82894
5
= 1,64,
σ
5
σ=
= 3,05.
1,64
0,92785
0,06
0,94062
0,52392
0,95154
0,56356
0,96080
0,60257
0,96856
0,64058
0,97500
0,67724
0,98030
0,71226
0,98461
0,74537
0,98809
0,77637
0,99086
0,80511
0,99305
0,83147
0,92922
0,07
0,94179
0,52790
0,95254
0,56749
0,96164
0,60642
0,96926
0,64431
0,97558
0,68082
0,98077
0,71566
0,98500
0,74857
0,98840
0,77935
0,99111
0,80785
0,99324
0,83398
0,93056
0,08
0,94295
0,53188
0,95352
0,57142
0,96246
0,61026
0,96995
0,64803
0,97615
0,68439
0,98124
0,71904
0,98537
0,75175
0,98870
0,78230
0,99134
0,81057
0,99343
0,83646
0,93189
0,09
0,94408
0,53586
0,95449
0,57535
0,96327
0,61409
0,97062
0,65173
0,97670
0,68793
0,98169
0,72240
0,98574
0,75490
0,98899
0,78524
0,99158
0,81327
0,99361
0,83891
Rozkład chi-kwadrat
2
(𝛘 )
Rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody ma zmienna losowa
𝛘2 postaci
χ = X + X +…+ X ,
2
2
1
2
2
2
k
gdzie Xi są niezależnymi standaryzowanymi zmiennymi losowymi
normalnymi.
f(x)
E( χ ) = k,
0,3
SD( χ ) = 2k .
2
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat dla różnych
stopni swobody
0,3
0
0
2
4
6
8
3 stopnie swobody
10
12
14
16
18
5 stopni swobody
20
22
24
26
28
10 stopni swobody
30
Rozkład t Studenta
Rozkład t Studenta z k stopniami swobody ma zmienna losowa t
postaci
t=
Z
χ
2
k,
gdzie Z i 𝛘2 są niezależnymi zmiennymi losowymi: Z ma
standaryzowany rozkład normalny, 𝛘2 ma rozkład chi-kwadrat z k
stopniami swobody.
0
Rozkład t Studenta
Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej t:
E(t) = 0, SD(t) = k/(k - 2).
Dla dużych k rozkład t Studenta jest zbliżony
standaryzowanego rozkładu normalnego.
0
do
Krytyczne wartości tα/2 w rozkładzie t Studenta
Stopnie
swobody
t0,1
t0,05
t0,025
t0,01
t0,005
1
3,078
6,314
12,706
31,821
63,657
2
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
3
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
4
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
5
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
6
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
7
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
8
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
9
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
10
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
11
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
12
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
13
1,350
1,771
14
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
15
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
0
tα/2
P(t2,160
> tα /2 ) = α
2,650/ 2
3,012