Zad 1 Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)Dane są wartości

Zad 1 Rozkład zmiennej losowej dyskretnej :
a)Dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
b)Oceny z pracy klasowej w tabeli:
Ocena
1 2 3 4 5 6
Liczba uczniów 3 1 9 8 4 5
Obliczyć średnią oraz medianę uzyskanych ocen. Przedstawić wyniki w formie diagramu słupkowego.
c)Otrzymano następujące wyniki pomiarów pewnej wartości: 2,1; 2,6; 2,3; 2,3; 2,2. Obliczyć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
d)Definiujemy zmienną losową X jako reszta z dzielenia przez 4 liczby oczek w rzucie kostką. Przedstawić w formie tabeli rozkład tej zmiennej losowej.
e)Szansa na wygrywający los wynosi 0,4. Określ rozkład liczby wygranych losów gdy:
- kupujemy 1 los; -kupujemy 3 losy.
h)Dany jest rozkład:
Xi -3 -2
0
4
2
pi 0,1 0,1 0,1 0,5 0,2
Obliczyć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
f)Zmienna losowa X to wartość wylosowanej liczby ze zbioru {8, 9, 10, 11, 12}. Przedstawić w formie tabeli
rozkład X. Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe.
g)Oblicz średnią ważoną liczb 2, 5, 9: - z wagami 0,2, 0,7, 0,1; - z wagami 5, 3, 2.
k)Dany jest rozkład:
Xi 2 4 5 6 7
1
1
pi 16 16 12 12
12
Obliczyć prawdopodobieństwo liczby: - parzystej; - nieparzystej; - większej niż 5.
h)Definiujemy zmienną losową X jako liczba ”orłów” przy dwukrotnym rzucie monetą. Przedstawić w
formie tabeli rozkład (wartości i prawdopodobieństwa) tej zmiennej losowej. Obliczyć wartość średnią i
odchylenie standardowe.
i)Zmienna losowa X to liczba cyfr wylosowanej liczby ze zbioru {2013, 12345, 25, 1}. Przedstawić w formie
tabeli rozkład X. Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe.
j)Dany jest rozkład:
Xi
pi
1
2
0,1 p
3
4
Ile wynosi wartość p?
0,5 0,2
k)Zmienna losowa X przyjmuje wartości k (k=1,2,3,4,5) z prawdopodobieństwem P (X = k) =
sować histogram i dystrybuantę tej zmiennej losowej.
k
.
15
Nary-
l)Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe 0,8. Niech X oznacza liczbę celnych strzałów w serii 3 niezależnych strzałów. Narysować histogram i dystrybuantę tej zmiennej losowej.
Obliczyć P (X > 2).
m)Narysować histogram i dystrybuantę zmiennej losowej X o rozkładzie f (X = k) =
1
,
2k
k = 1, 2, ...
Przygotował: Andrzej Musielak
Zad 2 Zadania z treścią:
a)Obliczyć średnią zarobków:
Zarobki
Liczba osób
500-1500
5
1500-2500
2
2500-3500
2
3500-4500
1
b)Student ma w indeksie 12 ocen. Każda ocena to ”trójka” lub ”czwórka”. Ile czwórek ma student, jeśli
3
wariancja tych ocen wynosi 16
?
c)Definiujemy zmienną losową X jako liczba trafień do tarczy w 3 strzałach. Prawdopodobieństwo trafienia w każdym strzale jest
p = 23 (chybienia q = 1 − p) a wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów w n
!
n
próbach jest pn (k) =
pk · q n−k
k
Przedstawić w formie tabeli rozkład tej zmiennej losowej.
d)Firma zatrudnia 2 razy więcej pracowników w produkcji niż w administracji. Średnia płaca w firmie
za luty to 1500,- zł a w grupie pracowników produkcji 1400,- zł. Jaka była średnia płaca w administracji?
e)Każdy z 10 skoczków narciarskich oddał jeden skok. Średnia długość skoku wyniosła 116 m. Najlepszy skoczek osiągnął 134 m. Oblicz średnią długość skoków pozostałych skoczków.
f)Średnia wieku rodziców i ich dwójki dzieci jest równa 23. Gdyby uwzględnić wiek dziadka to średnia
wieku wszystkich pięciu osób była by równa 31. Oblicz ile lat ma dziadek.
g)W grupie jest 10 pań i 22 panów. Średnia wzrostu pań to 167,5 cm, a średnia wzrostu panów to 176,5.
Oblicz średnia wzrostu osób z tej grupy.
h)Przyjmujemy, że zmienna losowa płeć ma wartość 1 - kobieta i 0 - mężczyzna. Prawdopodobieństwo
spotkania kobiety wynosi 0,6. Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe.
i)Gra polega na rzucie monetą i kostką do gry. Otrzymujemy 6,- zł gdy reszka i jedynka, 2,- zł gdy
orzeł i parzysta liczba oczek a w pozostałych wypadkach tracimy 3,- zł. Obliczyć wartość oczekiwaną i
odchylenie standardowe.
j)Wyniki strzelania do tarczy to dwie ”10”, trzy ”5” oraz pięć ”3”. Obliczyć wartość średnią.
k)Prawdopodobieństwo tego, że statystyczny student nie jest przygotowany do ćwiczeń jest równe p = 32 .
Prowadzący ćwiczenia wybiera losowo 4 studentów. Niech X oznacza liczbę studentów, którzy nie są przygotowani do zajęć. Narysować histogram i dystrybuantę tej zmiennej losowej. Obliczyć P (X > 2).
Przygotował: Andrzej Musielak
Zad 3 Rozkład zmiennej losowej ciągłej :
a)Zmienna losowa podlega rozkładowi wg trójkąta równoramiennego o podstawie 2 6 x 6 6. Wyznaczyć
gęstość i dystrybuantę tej zmiennej.
b)Prawdopodobieństwo,
że zmienna losowa ma wartość x dane jest wzorem


x
+
1,
dla
x
∈< −1, 0 >

p(x) = −x + 1, dla x ∈< 0, 1 >


0, dla x ∈<
/ −1, 1 >
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ma wartość większą niż 21
c)Prawdopodobieństwo,
że zmienna losowa ma wartość x dane jest wzorem
(
− 34 x2 + 23 x, dla x ∈< 0, 2 >
p(x) =
0, dla x ∈<
/ 0, 2 >
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ma wartość mniejszą niż 21 ;1;1 12 ;2.
d)Czy funkcja
(
0, dla x < 0
f (x) =
e−x , dla x > 0
jest gęstością pewnej zmiennej losowej X? Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej oraz
obliczyć: a) P (X < 0, 5), b)P (X > 1, 5), c) P (1 6 X 6 3).
e)Gęstość
 zmiennej losowej jest określoną wzorem

0, dla x < 0

1
, dla 0 6 x 6 3
f (x) =
3


0, dla x > 3
Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej oraz obliczyć: a) P (X < 1, 5), b)P (X > 2), c) P (1, 5 6 X 6 2, 5).
f)Pociągi przyjeżdżają na stacje dokładnie co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnym przypadkowym momencie czasu. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu. Określić rozkład
zmiennej losowej X, znaleźć jej gęstość f(x) i dystrybuantę F(x) oraz
obliczyć a) P (X < 5), b)P (X > 7), c) P (4 6 X 6 8).
g)Dystrybuanta
zmiennej losowej dana jest wzorem


0, dla x 6 −2



1


x + 12 , dla − 2 < x 6 0

4
1
x + 12 , dla 0 < x 6 2
F (x) =
10


3

x + 25 , dla 2 < x 6 4


20


1, dla x > 4
Znaleźć gęstość tej zmiennej losowej.
(
0, dla x < 1
h)Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem p(x) =
2
, dla x > 1
x3
Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
i)Zmienna
 losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem

dla x < 0
 0,
sin x, dla 0 6 x 6 π2
p(x) =


0, dla x > π2
Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
j)Prawdopodobieństwo,
że zmienna losowa ma wartość X dane jest wzorem


 x, dla x ∈< 0, 1 >
p(x) =  −x + 2, dla x ∈< 1, 2 >

0, dla x ∈<
/ 0, 2 >
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ma wartość większą niż 45 .
Przygotował: Andrzej Musielak
Zad 4 Tablice rozkładu zmiennej losowej:
a)Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(32,2) tzn. średnia wynosi m=32 a odchylenie standardowe
σ = 2. Odczytać z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo, że
zmienna X nie przekroczy wartości 33,68.
b)Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(40,5). Odczytać z tablic dystrybuanty standaryzowanego
rozkładu normalnego prawdopodobieństwo, że zmienna 36 6 X 6 49.
c)Dla jakiej wartości Xα zmiennej losowej o rozkładzie normalnym zachodzi równość:
- P (X 6 Xα ) = 0, 95
- P (|X| 6 Xα ) = 0, 95.
d)Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta. Odczytać z tablic rozkładu t-Studenta przy 20 stopniach
swobody jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wartość X będzie w przedziale < −2, 1; 2, 1 > ? Krótko
uzasadnić.
e)Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta. Odczytać z tablic rozkładu t-Studenta przy 13 stopniach
swobody jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wartość X będzie w przedziale < −1, 35; 1, 35 > ? Krótko
uzasadnić.
f)Dla jakiej wartości tα zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta z 15 stopniami swobody zachodzi równość: - P (|t| > tα ) = 0, 05
- P (t > tα ) = 0, 05.
g)Zmienna losowa X ma rozkład χ-kwadrat z 5 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości χ2α jest spełniona równość: - P (X > χ2α ) = 0.01
- P (X > χ2α ) = 0.99
h)Zmienna losowa X ma rozkład χ-kwadrat z 11 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości
- P (X > χ2α ) = 0.95
χ2α jest spełniona równość: - P (X > χ2α ) = 0.05
i)Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3. Obliczyć: a) P (X = 3), b)P (X < 3),
c) P (2 6 X 6 5).
j)Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2.
Obliczyć: a) P (X < 5), b)P (X > 5), c) P (1 6 X 6 5).
k)Zmienna losowa X ma rozkład F-Snedecora z 12 i 10 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości Fα jest spełniona równość:
- P (X > Fα ) = 0.05
- P (X 6 Fα ) = 0.99
l)Zmienna losowa X ma rozkład F-Snedecora z 20 i 16 stopniami swobody. Odczytać z tablic, dla jakiej wartości Fα jest spełniona równość:
- P (X 6 Fα ) = 0.95
- P (X > Fα ) = 0.05
Przygotował: Andrzej Musielak
Zad 5 Twierdzenie Lindeberga-Levy’ego:
a)Szacuje się, że 40% podatników otrzyma zwrot pieniędzy z tytułu nadpłaconych podatków. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród 800 losowo wybranych podatników zwrot pieniędzy z tego tytułu należy
się więcej niż 300, ale nie więcej niż 350 osobom?
b)Przeprowadzone badania wykazały, że co dziesiąty student przyjeżdża na zajęcia własnym pojazdem.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losowo wybranych studentów co najmniej 16 ale nie więcej
niż 25, dojeżdża na zajęcia własnym pojazdem?
c)Tabela przedstawia liczbę nieobecności na zajęciach studenckich:
Liczba dni nb
0 1 2 3 4 5 6 7
Liczba studentów 12 20 27 18 7 3 2 1
Zakładając, że jest to rozkład Poissona wyznaczyć średnią i dystrybuantę tego rozkładu oraz wyznaczyć
prawdopodobieństwo, że student będzie nieobecny mniej niż 2 razy.
d)Prawdopodobieństwo wezwania do pożaru w ciągu każdej godziny wynosi 0,002. Obliczyć jakie jest
prawdopodobieństwo, że straż pożarna będzie wezwana do pożaru w ciągu 200 godzin więcej niż 1 raz.
e)W wyborach parlamentarnych bierze udział ok.40% ludzi uprawnionych do głosowania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 2500 wybranych losowo osób głosować będzie nie mniej niż 900 osób i nie więcej
niż 1100.
f)Wyższe wykształcenie ma 30% ludzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 1000 wybranych losowo ludzi wyższe wykształcenie ma nie mniej niż 250 osób i nie więcej niż 400.
g)W hotelu jest 100 pokoi. Ponieważ z doświadczenia wynika, że jedynie 90% dokonanych wcześniej rezerwacji jest później wykorzystywana, właściciel hotelu polecił przyjmować rezerwację na więcej niż 100
pokoi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy przyjęciu 104 rezerwacji w hotelu zabraknie wolnych pokoi.
h)Z doświadczenia minionych lat wynika, że egzamin ze statystyki zalicza około 60% studentów. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że spośród 180 osób, które w tym roku przystąpią do egzaminu, conajmniej
połowa go zda?
Przygotował: Andrzej Musielak