Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
1. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką:
-1
0,2
0
0,3
1
0,1
2
0,3
3
0,1
Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.
2. Zmienna losowa ma rozkład dany tabelką :
a)
0
0,2
1
0,3
b)
2
0,4
3
0,1
1
2
2/15 1/3
c)
3
4
4/15 1/5
5
1/15
1
1/4
2
3/8
3
1/8
4
1/4
Obliczyć F(2,5), F(3,5), EX, VarX.
3. W urnie są 2 kule białe i 3 kule czarne. Losujemy po jednej kuli
a) bez zwrotu, b) ze zwrotem,
aż do momentu wylosowania kuli białej. Zmienna losowa X jest równa ilości losowań.
Wyznaczyć jej rozkład, naszkicować dystrybuantę, obliczyć EX i VarX.
4. Rzucamy dwiema kostkami. Jeśli suma oczek jest równa 2 wygrywamy 5 złotych,
jeśli 3 wygrywamy 3 złote, a w każdym innym przypadku przegrywamy 0,5 zł.
Zmienna losowa X jest równa wygranej. Wyznaczyć jej rozkład, naszkicować
dystrybuantę, obliczyć EX i VarX.
5. Strzelec ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia do celu lub do momentu
wystrzelenia wszystkich nabojów. Zmienna losowa X jest równa ilości wystrzelonych
nabojów. Wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi przy każdym
strzale 0,8 wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Obliczyć EX oraz VarX.
6. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(8;0,25). Obliczyć EX, P(X ≤ 6),
P( X<3 ), P( X=5 ), P( 2<X ≤ 7 ), P( 1<X<6 ), P( 2 ≤ X ≤ 6 ), P( 3 ≤ X<8 ), P( X>4 ).
7. Z partii towaru o liczności N=400 sztuk, w tym b=240 sztuk posiadających cechę A,
losujemy ze zwrotem ( bez zwrotu ) n=12 sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwo
otrzymania 7 sztuk posiadających cechę A.
8. Cztery kule rozmieszczamy losowo w trzech szufladach, wśród których jedna jest
wyróżniona. Niech X oznacza ilość kul w wyróżnionej szufladzie. Obliczyć EX.
9. W n=100 próbach Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p=0,98.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że poniesiemy co najwyżej jedną porażkę stosując
a) dokładny wzór,
b) twierdzenie Poissona.
10. Z urny zawierającej b – białych i c – czarnych kul wyciągamy po jednej kuli ze
zwrotem, aż do momentu wylosowania kuli białej. Zmienna losowa X jest równa
ilości wylosowanych kul czarnych. Obliczyć EX.
Laboratorium nr 8. Zmienne losowe typu ciągłego (c.d.).
11. Monetą rzucamy tak długo, aż pojawi się orzeł. Niech X oznacza ilość rzutów.
Obliczyć EX.
c
12. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą: P( X = j ) = j , j=1,2,… .
6
Wyznaczyć stałą c. Obliczyć P(X>3), P( X ≤ 6 ), P( 2<X ≤ 8 ).
2
13. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą : P( X = j ) = j , j=1,2,… .
3
Obliczyć EX oraz VarX.
14. Z urny zawierającej b białych i c=n-b czarnych kul losujemy bez zwrotu kule do
momentu wylosowania kuli czarnej. Zmienna losowa X jest równa ilości
wylosowanych kul białych. Wyznaczyć jej rozkład. Wykonać obliczenia dla b=5,
c=10.
15. Z partii towaru zawierającej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych
losujemy bez zwrotu 5 wyrobów do sprawdzenia. Znaleźć rozkład zmiennej losowej
X, która jest równa liczbie wybrakowanych wyrobów w próbce. Obliczyć EX oraz
VarX.
16. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona P(2). Obliczyć P( X ≤ 5 ), P( X<8 ),
P ( X>6 ), P( X ≥ 3 ), P( 1<X ≤ 4 ), P( 1≤X≤4 ), P( 3<X<9 ), P( 2 ≤ X<7 ).
17. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą: P( X = j ) =
Obliczyć P( X>5 ), P( X ≥ k ), P( X ≤ 5 ).
1
, j=1,2,… .
j ( j +1)
18. Wyznaczyć wszystkie kwantyle zmiennej losowej X o rozkładzie danym tabelką
2
0,5
5
0,2
8
0,3
19. W pewnej grze prawdopodobieństwo wygrania k złotych jest proporcjonalne do
k=0,1,2,… .Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 3 złotych.
Obliczyć EX, gdzie X jest zmienną losową równą wygranej w tej grze.
1
,
k!
20. Urna zawiera 5 ( zawiera n) kul ponumerowanych liczbami 1,2,3,4,5 (1,2,3, …, n).
Zmienna losowa X jest równa największemu numerowi otrzymanemu w rezultacie
3 – krotnego losowania (k – krotnego losowania) ze zwrotem. Wyznaczyć rozkład
zmiennej losowej X.
Laboratorium nr 9. Zmienne losowe typu ciągłego.
1. W pewnym punkcie C nastąpiło zerwanie linii telefonicznej AB o długości l. Zmienna
losowa X jest równa odległości punktu C od punktu A. Obliczyć EX, VarX.
Obliczyć EX i VarX, jeśli X~U(<a,b>).
2. Na odcinku AB o długości l wybrano losowo dwa punkty C i D. Zmienna losowa X
jest równa długości odcinka CD. Wyznaczyć jej rozkład. Obliczyć EX, VarX,
P(
l
2l
≤ X ≤ ) . Zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości
4
3
i dystrybuanty.
3. Strzelamy do tarczy będącej kołem o promieniu r. Każdy strzał jest celny i
prawdopodobieństwo trafienia w dowolny podzbiór domknięty koła tarczy jest wprost
proporcjonalne do pola powierzchni tego podzbioru. Zmienna losowa X jest równa
odległości między tym punktem trafienia i środkiem tarczy. Wyznaczyć jej rozkład.
Obliczyć EX, VarX i P(X>
r
). Zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie
2
funkcji gęstości i dystrybuanty.
4.
 c(2x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 2
Dla jakiej stałej c funkcja f określona wzorem f ( x) = 
jest funkcją
 0 dla reszty
gęstości rozkładu pewnej zmiennej losowej X ? Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej
1
2
losowej X. Obliczyć EX, VarX oraz P ( ≤ X ≤ 1) .
5. Dystrybuanta zmiennej X dana jest wzorem
 0, x < 0

F ( x) =  x 2 , 0 ≤ x < 1 .
 1, x ≥ 1

Obliczyć EX, VarX, EXk, E(X-EX)k, k∈N.
c
, x∈R jest funkcją
e + e −x
gęstości pewnej zmiennej losowej X. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.
Obliczyć P( X≤ 1).
6. Dla jakiej stałej c funkcja f określona wzorem f ( x) =
x
7.
 ln x, 1 ≤ x ≤ e
Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f ( x) = 
. Obliczyć EX ,
 0, p.p.
k
VarX.
8. Obliczyć EX oraz VarX, jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie
a)
wykładniczym,
b)
gamma.
9. Wyznaczyć kwantyle rzędu
a)
b)
c)
1 1 3
, ,
zmiennej losowej X, jeśli X ma rozkład
4 2 4
U(<4,8>),
N(1,2),
wykładniczy z parametrem λ=5.
10. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(4;9). Obliczyć
a) P(X>13); b) P( |X-2|<14); c)P( |X-3|>11).
11. Zmienna losowa X ma rozkład N(2;4). Wyznaczyć liczbę a tak, aby
P( |X-2|<a)=α. Wyznaczyć liczbę k tak, aby P( |X-2|<4k)=β.
Wykonać obliczenia dla α=0,9; β=0,8;
12. Zmienna losowa X ma rozkład N(2,5); Wyznaczyć kwantyl rzędu p∈(0;1), dla
p=0,01; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 0,75; 0,8; 0,9; 0,95;
13. Zmienna losowa podlega rozkładowi Gamma Γ(4,2). Znaleźć P(5≤X≤8).
14. Zmienna losowa podlega rozkładowi Gamma Γ(4,2). Znaleźć kwantyl rzędu a=0,25.
15. Zmienna losowa podlega rozkładowi chi kwadrat χ2 o czterech stopniach swobody.
Obliczyć P( 5 ≤ X ≤ 8 ).
16.
Zmienna losowa podlega rozkładowi chi kwadrat χ2 o czterech stopniach swobody. Znaleźć
kwantyl rzędu a=0,25.
Laboratorium nr 10. Rozkłady funkcji zmiennych losowych.
1. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką
-2
0,1
-1
0,3
0
0,2
2
0,3
3
0,1
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = g(X), jeśli:
a) g(x) = 5x + 4
b) g(x) = x 2 -1.
2. Zmienna losowa X ma rozkład określony formułą P( X = j ) = 2 j , j = 1,2,… .
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = sin(
1
2
π X).
3. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką
0
0,2
1
0,3
2
0,4
3
0,1
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = 2 −X . Obliczyć:
a) E(Y),
b) Var(Y), c) P( 2 −3 ≤ Y < 0,5 ).
4. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką
1
2/15
2
1/3
3
4/15
4
1/5
5
1/15
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = ln(X). Obliczyć:
a) E(Y 2 ) b) Var(Y 2 ) c) P( 0 < Y 2 < 1,5 ).
5. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny U(<c,d>), c < d. Wyznaczyć rozkład zmiennej
losowej Y = aX + b.
6. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości
 x + 1,

f(x) =  − x + 1,
 0,

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = e
X
x ∈ < − 1,0 > ,
x ∈ (0,1 > ,
p. p.
.
7. Promień koła (kuli) jest zmienną losową o rozkładzie
a) jednostajnym U(<a,b>) , a < b;
b) wyznaczonym przez funkcję gęstości
 0, x < 0,
f(x) = 
e − x , x ≥ 0.
Wyznaczyć rozkład pola powierzchni tego koła (kuli) oraz rozkład objętości kuli.
8. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości
 0, x < 0,
f(x) = 
−x
 e , x ≥ 0.
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej:
1
a) Y = e −X , b) Z = 2 .
X
9. . Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości
f(x) =
 0, x < 0,
 − 2x
 2e , x ≥ 0.
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X 2 .
10. Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek, którego długość jest zmienną losową
o rozkładzie jednostajnym U(<0, 50 m>). Obliczyć wartość oczekiwaną kąta przy
wierzchołku, jeśli ramiona trójkąta mają po 50 m długości.
11. Przez ustalony punkt okręgu o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę.
Jaka jest wartość oczekiwana długości tej cięciwy?
12. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = g(X) w zadaniach 1 – 9 obydwoma
sposobami.
Laboratorium nr 11. Wektory losowe typu skokowego
1. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką
X\Y
-1
0,1
0,1
0
1
0
0,2
0,3
2
0
0,3
Wyznaczyć rozkłady brzegowe oraz dystrybuantę. Obliczyć
a) P( X<1, Y<1 ) b) P( X<0, Y = -1 ) c) P( X<1, Y ≥ 0 ).
2. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką
1
0,05
0,1
0,2
X\Y
0
1
2
2
0,15
0,2
0,3
Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y.
Obliczyć momenty m 10 = E(X), m 01 = E(Y), m 11 = E(XY), µ20 = Var(X), µ02 =
Var(Y),
µ11 = cov(X,Y), ρ (X,Y).
3. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką
X\Y
0
1
-1
1/7
0
0
1/7
6/35
1
3/7
4/35
Zbadać, czy zmienne losowe X i Y są niezależne oraz czy są nieskorelowane.
4. W urnie są dwie kartki ponumerowane liczbami 1 i 2. Losujemy dwa razy po jednej
kartce ze zwrotem. Niech X oznacza sumę, a Y różnicę wylosowanych liczb ( od
pierwszej odejmujemy drugą ). Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y).
Obliczyć cov(X,Y). Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y.
5. W urnie są trzy kartki. Na jednej z nich jest liczba 1, a na dwóch liczba 2. Losujemy
dwa razy po jednej kartce ze zwrotem. Niech X oznacza sumę, a Y różnicę
wylosowanych liczb ( od pierwszej odejmujemy drugą ). Wyznaczyć rozkład wektora
losowego (X,Y). Obliczyć cov(X,Y). Zbadać niezależność zmiennych losowych X i
Y.
6. W urnie jest 5 kul białych i 10 kul czarnych. Losujemy bez zwrotu dwie kule. Niech X
oznacza ilość wylosowanych kul białych, a Y ilość wylosowanych kul czarnych.
Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y), rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(X,Y)
oraz ρ (X,Y). Czy można było przewidzieć, że ρ (X,Y) < 0?
7. W urnie są 2 kule niebieskie, 3 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy bez zwrotu 3 kule.
Niech X ( Y, Z ) oznacza ilość wylosowanych kul niebieskich (białych, czarnych).
Wyznaczyć rozkłady wektorów losowych (X,Y), (X,Z), (Y,Z), ich rozkłady brzegowe
oraz charakterystyki liczbowe.
8.
Niech P( X = -1 ) = P( X = 1 ) = 0,2 oraz P (X = 0 ) = 0,6. Obliczyć cov(X,Y) jeśli Y=X
2
Laboratorium nr 12. Wektory losowe typu ciągłego
1. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
f(x,y) =
A
,
π (16 + x )( 25 + y 2 )
2
x, y ∈
R.
Wyznaczyć stałą A oraz dystrybuantę.
2. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
f(x,y) =
 x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

 0, p. p.
Wyznaczyć dystrybuantę. Obliczyć P( X ≤ 1, Y ≤
1
).
2
3. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
f(x,y) =
π
π
1
 sin( x + y), 0 ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ ,
2
2
2
 0,
p. p.
Wyznaczyć dystrybuantę i rozkłady brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych losowych X
π
π
π
≤ X ≤ , 0 ≤ Y ≤ ).
i Y. Obliczyć P(
6
4
4. Wektor losowy (X,Y) ma dystrybuantę
3
 0,
 2 3
x y ,

F(x,y) =  x,
 y3,

1,
x ≤ 0 ∨ y ≤ 1,
0 < x ≤ 1 ∧ 0 < y ≤ 1,
0 < x ≤ 1 ∧ y > 1,
0 < x ≤ 1 ∧ 0 < y ≤ 1,
x > 1 ∧ y > 1.
Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu tego wektora losowego.
5. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
 0,3( x 2 + y 2 ), 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1,
f(x,y) = 
p. p.
 0,
Wyznaczyć dystrybuantę i rozkłady brzegowe. Obliczyć P( 1 ≤ X ≤ 2, Y ≤
6. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
y

1− x − ,
f(x,y) = 
6
 0,
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 6 − 6 x,
p. p.
Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(X,Y).
7. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
 C( x + y) exp[− ( x + y)],
f(x,y) = 
 0,
x > 0, y > 0,
p. p.
Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe. Obliczyć ρ (X,Y).
8. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
1
) oraz cov(X,Y).
2
 1
 ,
f(x,y) =  2 xy
 0,

0 ≤ x ≤ y ≤ 1,
p. p.
Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(X,Y).
9. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach w punktach
o współrzędnych (0,0), (2,0), (0,1). Obliczyć ρ(X,Y).
10. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład jednostajny na kwadracie o wierzchołkach w punktach
o współrzędnych
(-1,0), (0,1), (1,0), (0,-1),
( (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) ).
. Zbadać niezależność i nieskorelowanie zmiennych losowych X i Y.
Laboratorium nr 13. Twierdzenia graniczne
1. Rzucamy 100 razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł
wypadnie: a) nie więcej niż 60 razy? b) od 40 do 60 razy?
Obliczyć te prawdopodobieństwa w oparciu o dokładny wzór oraz stosując
przybliżenie dane twierdzeniem Moivre’a – Laplace’a.
2. Rzucamy 500 razy symetryczną kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
ilość „szóstek” będzie większa niż 50 i mniejsza niż 100?
Obliczyć te prawdopodobieństwa w oparciu o dokładny wzór oraz stosując
przybliżenie dane twierdzeniem Moivre’a – Laplace’a.
3. Każda ze stu pracujących niezależnie od siebie obrabiarek włączona jest w ciągu 0,8
całego czasu pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranej chwili
czasu będzie włączonych od 70 do 86 obrabiarek?
4. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w jednym doświadczeniu wynosi 0,3.
Z jakim prawdopodobieństwem można twierdzić, że częstość tego zdarzenia przy 100
( 10000 ) doświadczeniach będzie zawarta w granicach od 0,2 do 0,4?
5. Wykonano 300 doświadczeń według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu p = 0,6 w pojedynczym doświadczeniu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
częstość sukcesu odchyli się co do wartości bezwzględnej od prawdopodobieństwa
sukcesu o nie więcej niż 0,05.
6. Pearson na 24000 rzutów monetą otrzymał 12012 orłów. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że przy powtórzeniu doświadczenia otrzymamy mniejsze od
zaobserwowanego przez Pearsona odchylenie częstości wyrzucenia orła od
prawdopodobieństwa wyrzucenia orła.
7. Prawdopodobieństwo, że dowolna ustalona linia spośród n linii w centrali
telefonicznej będzie zajęta jest równe 0,6. Jaka jest najmniejsza liczba n, przy której
prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 35% linii będzie wolnych, będzie nie
mniejsze niż 0,9?
8. Partia towaru ma wadliwość 5%, Ile elementów należy pobrać w próbie ( ze zwrotem )
Aby z prawdopodobieństwem 0,99 można było twierdzić, że procent sztuk wadliwych
w próbie jest w granicach od 4% do 6% ?
9. Dysponujemy 80 żarówkami. Wkręcamy jedną z nich do obwodu, a gdy się przepali
wkręcamy następną. Czas świecenia każdej z tych żarówek jest zmienną losową o
rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1500 godzin. Oszacować
prawdopodobieństwo, że posiadany zapas żarówek wystarczy na 100000 godzin
stosując twierdzenie Lindeberga – Levy’ego.
10. Każdą ze 192 liczb zaokrąglamy do części całkowitej. Błąd zaokrąglenia każdej z
liczb jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(<-0,5; 0,5>). Oszacować
prawdopodobieństwo, że błąd sumy tych liczb będzie co do wartości bezwzględnej
mniejszy od 10.
11. Dodano 10 4 liczb zaokrąglonych do 10 −6 . Zakładając, że błąd zaokrąglenia ma
rozkład jednostajny wyznaczyć granice w jakich znajdować się będzie błąd sumy
z prawdopodobieństwem 0,99 ( 0,999 oraz 0,9 ).
12. Zmienne losowe X j , j = 1,2,…,100 są niezależne i każda z nich ma rozkład Poissona
z parametrem λ = 2. Obliczyć P( 190 ≤ S 100 ≤ 210 ), gdzie S 100 = X 1 +X 2 +…
X 100 ,
w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem LidebergaLevy’ego.
13. Wadliwość partii detali wynosi 0,02. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pudełku
zawierającym 100 detali
a) nie będzie detalu wadliwego,
b) będą co najwyżej dwa detale wadliwe.
14. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym strzale wynosi 0,03. Ile strzałów
należy wykonać aby prawdopodobieństwo uzyskania przynajmniej jednego trafienia
było większe niż 0,9?