grawitacja

1
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
Dane osobowe właściciela arkusza
00014
Mechanika nieba B
Arkusz I i II
Czas pracy 90 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
8 stron. Ewentualny brak należy zgłosić osobie
nadzorującej sprawdzian.
2. Do arkusza może być dołączona karta wzorów i
stałych fizycznych. Jeśli jest, należy ją dołączyć do
oddawanej pracy.
3. Proszę uważnie czytać wszystkie polecenia.
4. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie
zgodnie z kolejnością występującą w arkuszu.
5. W rozwiązaniach zadań rachunkowych trzeba
przedstawić tok rozumowania prowadzący do
ostatecznego wyniku oraz pamiętać o jednostkach.
6. W trakcie obliczeń można korzystać z kalkulatora.
7. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać
ołówkiem.
8. Nie wolno używać korektora.
9. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić za pomocą
jednej linii (nie bazgrać!).
10. Ostatnią stronę należy podpisać jako brudnopis. Nie
będzie on oceniany.
11. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów, którą można uzyskać za jego poprawne
rozwiązanie.
Życzymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Czerwiec
ROK 2007
Za poprawne
rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać:
40 punktów – I
27 punktów – II
2
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
W zadaniach od 1 – 7 należy wybrać jedną poprawną odpowiedź i wpisać właściwą literę: A,
B, C lub D do kwadratu obok słowa: „ Odpowiedź”. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie
ziemskie wynosi g 10m/s2. Za każdą poprawną odpowiedź otrzymujesz 1 punkt.
Zadanie 1. AMT/VII/ 2004
Energia potencjalna ciała w odległości 2R od środka Ziemi wynosi Ep = – 3,1107[J] (R –
promień Ziemi). Natomiast w odległości 3R od jej środka energia potencjalna tego samego
ciała jest równa:
a) – 1,1107[J]
b) – 2,1107[J],
c) – 6,2107[J],
d) – 9,3107[J].
Odpowiedź:
Zadanie 2. AMT/VII/ 2002
Stosunek przyspieszeń grawitacyjnych aK i aL ciał umieszczonych w punktach K i L (rys.) jest
równy:
aK
aL
a
b) K
aL
a
c) K
aL
a
d) K
aL
a)
Ziemia
1
,
4
1
 ,
2
2
 ,
1
4
 .
1

K
0
L
R
2R
4R
Odpowiedź:
Zadanie 3. AMT/VII/ 2001
Satelita o masie 2000[kg] krąży po orbicie przebiegającej na wysokości h = R nad
powierzchnią Ziemi. Jeżeli przyjmiemy, że przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni
Ziemi ma wartość 10[m/s2], to siła grawitacji działająca na satelitę wynosi:
a) 2104 N,
h
4
b) 110 N,
c) 0,5104 N,
R
d) 0.
Odpowiedź:
3
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
Zadanie 4. AMT/VII/ 2002
Satelita o masie m okrąża planetę o masie M w odległości r od jej środka. Energię kinetyczną
Ek satelity można wyrazić wzorem (G – stała grawitacji):
GMm
GMm
GMm
GMm
a) Ek 
,
b) Ek 
,
c) Ek 
,
d) Ek  2 .
2
2r
r
2r
r
Odpowiedź:
Zadanie 5. AMT/VII/ 2002
Wykres przedstawia zależność położenia od czasu dla dwóch samochodów jadących drogą w
tę samą stronę. Względna prędkość tych samochodów wynosi:
s[km]
km
h
km
b) 90
h
km
c) 120
h
km
d) 180
h
a) 60
25
20
15
10
5
0 1
2
3
4
5
6 7
8
9 10
t[minuty]
Odpowiedź:
Zadanie 6. MPT/XI/2006
Odpowiedź:
Zadanie 7. MRT/V/2007
4
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
W zadaniach 8 – 17 należy przedstawić pełne rozwiązania. Przyjmij do obliczeń, że
przyśpieszenie ziemskie wynosi g 10m/s2, a masa Słońca 21030[kg].
Zadanie 8. MPO/I/2003 ( 3 pkt.)
Zadanie 9. K1P/ 2005 (4 pkt.)
Ciało spada z wieży. W chwili, gdy pokonało ono drogę równą l metrów, z punktu
położonego o h metrów niżej wierzchołka wieży zaczęło spadać drugie ciało. Oba ciała
spadają na Ziemie w tej samej chwili. Wykaż, że wysokość wieży jest równa:
( l  h) 2
[m].
H
4l
Zadanie 10. D1P/ 2004 (2 pkt.)
Przyjmijmy, że atom wodoru składa się z elektronu o masie m = 9,1 1031 [kg] poruszającego
się po orbicie kołowej o średnicy 1010 [m] wokół protonu. Siła przyciągania między tymi
cząstkami F = 9,0  108 [N].
1. Jaka jest prędkość elektronu?
2. Ile obiegów w ciągu sekundy wykonuje elektron?
Zadanie 13. MRO/V/ 2007 (3 pkt.)
Zadanie 14. MRO/V/ 2007 (2 pkt.)
5
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
Zadanie 15. MRO/V/ 2007 (4 pkt.)
Zadanie 15.1 (2 pkt)
Zadanie 15.2 (2 pkt)
Zadanie 16. G1P/VI/2004 (3 pkt.)
Dwie jednakowe gwiazdy tworzące układ zwany gwiazdą podwójną obiegają środek masy po
zamkniętych orbitach. Obliczyć masy takich gwiazd, jeżeli ich orbity są kołowe, ich
prędkości orbitalne są jednakowe i równe v, a okres obiegu T. Stała grawitacji wynosi G.
Zadanie 17. G1P/ 2004 (4 pkt.)
Oblicz pracę, jaką trzeba wykonać, aby pocisk znajdujący się na powierzchni Ziemi umieścić
na stałe na kołowej orbicie okołoziemskiej o promieniu 3R, gdzie R oznacza promień Ziemi.
Masa pocisku wynosi m, przyspieszenie ziemskie na powierzchni ziemi jest g. Pomijamy
pracę potrzebną na pokonanie oporu powietrza.
Właśnie ukończyłeś/aś sprawdzian na poziomie podstawowym. Teraz zapraszam do
arkusza rozszerzonego stanowiącego podstawę rekrutacji na wyższe uczelnie. Powodzenia!
Zadanie 18. G2R/VI/ 2005 Czarna dziura (20 p.)
Czarna dziura, to obszar o tak dużej masie, że wartość prędkości ucieczki z tego obszaru (II
prędkość kosmiczna) jest większa od wartości prędkości światła. Powierzchnia czarnej dziury
nazywana jest horyzontem zdarzeń. Jednym z takich obiektów we Wszechświecie jest Cygnus
X-1.
6
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
18.1 (4 pkt.)
Oblicz promień obszaru – promień Schwarzschilda, do jakiego należałoby zmniejszyć Słońce
(bez zmiany jego masy), aby stało się czarną dziurą.
18.2 (4 pkt.)
Teoria zakłada, że gwiazda może się stać czarną dziurą w wyniku ewolucji, jeżeli jej masa
jest równa 40 masom Słońca. Oblicz promień czarnej dziury powstałej z gwiazdy o takiej
masie.
18.3 (4 pkt.)
Na rysunku przedstawiono wiązkę promieni światła, przechodzących w pobliżu czarnej
dziury. Narysuj dalszy bieg tych promieni, uwzględniając zjawisko soczewkowania
grawitacyjnego.
18.4 (4 pkt.)
Czy prawdziwe jest następujące stwierdzenie: Pozorny obraz gwiazdy na sklepieniu
niebieskim jest rejestrowany przez obserwatoria orbitalne wtedy, gdy promienie światła
wysyłanego przez gwiazdę zostaną zakrzywione przez silne pole grawitacyjne? (Np. czarnej
dziury)? Odpowiedź uzasadnij.
18.5 (4 pkt.)
Oblicz, w jakiej odległości od czarnej dziury o masie równej 40 mas Słońca, przyspieszenie
grawitacyjne równe jest przyspieszeniu ziemskiemu. Wynik podaj w AU.
Zadanie 19. G2R/VI/ 2005 Ruch Ziemi wokół Słońca. (7 p.)
Przyjmijmy, że Ziemia obiega Słońce po orbicie w kształcie okręgu. Promień orbity Ziemi
wynosi 1,5108[km], natomiast okres obiegu Ziemi wokół Słońca wynosi 365,25[doby].
19.1 (1 pkt.)
Oblicz długość orbity Ziemi.
19.2 (2 pkt.)
Oblicz średnią szybkość, z jaką porusza się Ziemia w ruchu obiegowym wokół Słońca. Wynik
podaj w [km/h].
19.3 (2 pkt.)
Wykorzystując wiadomości z geografii wyjaśnij, dlaczego co cztery lata następuje rok
przestępny.
19.4 (2 pkt.)
Oblicz, ile kilometrów przebywa Ziemia w ruchu obiegowym wokół Słońca w ciągu jednej
doby.
Uwagi:
7
00014 Mechanika nieba B
Arkusz I i II
Stosując prawa grawitacji Newtona i pamiętają o tym, że prędkość światła jest maksymalną
prędkością, z jaką może poruszać się cząstka, łatwo można przewidzieć, że z nieograniczenie
kurczącą się gwiazdą dzieją się dziwne rzeczy. Z zasady zachowania energii wynika, że aby
cząstkę oderwać od powierzchni ciała o masie M i promieniu R i oddalić do nieskończoności,
trzeba nadać jej prędkość nie mniejszą niż
2GM
v
R
zwaną prędkością ucieczki. Jeżeli nie zmieniając masy ciała będziemy je ściskali
zmniejszając jego promień, to wówczas, gdy osiągnie on wartość:
2GM
R  rg  2
c
prędkość ucieczki staje się równa prędkości światła. Z powierzchni sferycznego ciała, którego
masa i promień spełniają ten związek, nie można wysłać do nieskończoności żadnej cząstki.
Charakterystyczny promień rg nazywamy promieniem Schwarzschilda lub promieniem
grawitacyjnym ciała. Dla zwykłych ciał, cząstek elementarnych, planet i gwiazd ich
promienie są znacznie większe od promienia Schwarzschilda i tak np. promień grawitacyjny
ziemi wynosi 1[cm], Słońca 2,95[km], natomiast promień Schwarzschilda naszej Galaktyki
wynosi ok. 51010[km]., czyli jest zaledwie 350 razy większy od średniej odległości Ziemi od
Słońca.
AU – jednostka astronomiczna, równa średniej odległości Ziemi od Słońca. Wynosi ona
149597870[km]. Do zadań stosujemy wartość przybliżoną: 1[AU] = 1,5108[km].
Właśnie ukończyłeś/aś sprawdzian na poziomie podstawowym i rozszerzonym.