Sto lat teorii względności

1. Grawitacja jako geometria (Einstein 1908 - 1915)
Ogólna teoria względności jest rozszerzeniem teorii szczególnej, której podstawowym postulatem było, że każdy obserwator inercjalny zmierzy taką samą prędkość
światła c:
(Δs)2 := c2 (Δt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 = 0,
(1.1)
Hermann Minkowski zauważył w roku 1908, że transformacje
pomiędzy inercjalnymi układami odniesienia zachowują nie tylko
równanie (Δs)2 = 0, ale też wartość wyrażenia (Δs)2.
Transformacje te, nazywane dziś transformacjami Lorentza,
są liniowe w zmiennych (t, x, y, z).
22.06.1864 Aleksota (obecnie Kowno)
--12.01.1909 Göttingen
W geometrii euklidesowej odległość pomiędzy punktami o współrzędnych (x, y, z) i
(x + Δx, y + Δy, z + Δz) jest dana przez
L2 = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2
(1.2)
i jest zachowywana przez rotacje, które też są liniowe w (x, y, z).
Z podobieństwa wzorów (1.1) i (1.2) Minkowski wywnioskował, że szczególna teoria
względności jest geometrią przestrzeni, którą dziś nazywamy czasoprzestrzenią
Minkowskiego.
(Δs)2 := c2 (Δt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 = 0,
(1.1)
Einstein stwierdził już wcześniej, że pole grawitacyjne można symulować za pomocą
ruchu przyspieszonego obserwatora.
Transformacje zachowujące postać wyrażenia (1.1), nazywanego formą metryczną,
opisują przejście do innego układu poruszającego się bez przyspieszenia i są liniowe w
zmiennych (t, x, y, z).
Przy transformacji do układu poruszającego się z przyspieszeniem nowe zmienne (t',
x', y', z') są dowolnymi funkcjami starych (t, x, y, z). Po takiej transformacji
współczynniki formy (1.1) nie są już stałe.
Przykład: x = x' + t'2 →
(Δs) 2 = (c2 - 4 t'2) (Δt')2 - 4 t' Δx' Δt' - (Δx')2 - (Δy)2 - (Δz)2.
→ Pole grawitacyjne powinno ujawniać się tak samo: w czasoprzestrzeni z polem
grawitacyjnym, współczynniki przy kwadratach i iloczynach Δt, Δx, Δy i Δz powinny
być funkcjami współrzędnych.
L2 = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2
(1.2)
Twórca podstaw takiej geometrii, Bernhard Riemann, przedstawił je w swoim
wykładzie habilitacyjnym w roku 1854. Jego pomysł polegał na tym, żeby wzór Pitagorasa (1.2) zastąpić symetryczną formą kwadratową w przestrzeni n-wymiarowej
ds2 = g11(x1, ..., xn)(dx1)2 + 2 g12(x1, ..., xn) dx1 dx2+ .... + gnn(x1, ..., xn)(dxn)2,
(1.3)
której współczynniki są funkcjami współrzędnych. Wielkość ds jest odległością
między punktami o współrzędnych (x1, x2, ...., xn) i (x1 + dx1, x2 + dx2, ...., xn + dxn).
(w roku 1863)
Georg Friedrich Bernhard Riemann
17.09.1826, Breselenz (Hannover, Niemcy) – 16.06.1866, Selasca (Lago Maggiore, Włochy)
ds2 = g11(x1, ..., xn)(dx1)2 + 2 g12(x1, ..., xn) dx1 dx2+ .... + gnn(x1, ..., xn)(dxn)2,
(1.3)
W 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, n = 4, liczba niezależnych składowych gij wynosi
10 (ponieważ gij = gji).
Pomysł zinterpretowania grawitacji jako modyfikacji geometrii czasoprzestrzeni
musiał być uzupełniony równaniami, uogólniającymi prawa grawitacji Newtona.
W równaniach Einsteina wyrażenia różniczkowe II rzędu zbudowane z dziesięciu
wielkości gij są przyrównane do zera gdy szukamy rozwiązań w próżni; lub do 10
składowych tensora energii-pędu, które przedstawiają gęstość energii i rozkład
ciśnień/naprężeń w źródle.
W granicy newtonowskiej, c → ∞, jedno z tych równań przechodzi w równanie
Poissona, pozostałe są spełnione tożsamościowo (obie strony dążą do zera).
2. Orbity ciał w polu grawitacyjnym
2.1. Odkrycie anomalii orbitalnych Merkurego (le Verrier 1859)
Orbita ciała (nazwijmy je umownie planetą) poruszającego się w sferycznie symetrycznym polu grawitacyjnym jest opisywana równaniem:
(2.1)
gdzie r i φ są współrzędnymi biegunowymi, oraz
(2.2)
J = m r x v jest momentem pędu planety względem środka symetrii pola,
M jest masą źródła pola grawitacyjnego (np. gwiazdy), m jest masą planety,
G jest stałą grawitacyjną,
jest całkowitą energią planety.
Krzywa (2.1) jest elipsą, źródło pola znajduje się w jednym z ognisk elipsy.
(2.1)
Równanie (2.1) opisuje sytuację wyidealizowaną.
Rzeczywista orbita planety w polu grawitacyjnym Słońca (według teorii Newtona!)
byłaby elipsą gdyby przestrzeń wokół Słońca była pusta, Słońce było dokładnie
kuliste i krążyłaby wokół niego tylko jedna planeta.
Żadne z tych założeń nie jest spełnione w Układzie Słonecznym.
Po uwzględnieniu przyciągania grawitacyjnego innych planet równanie orbity
przybiera postać:
(2.3)
gdzie α jest stałą, inną dla każdej planety.
Aby znaleźć się powtórnie w tej samej odległości od Słońca, planeta musi obiec
Słońce o kąt
(2.3)
Orbita opisywana równaniem (2.3) wygląda następująco:
Kąt 2πα (kąt precesji perihelium) pokazany na rysunku jest znacznie przesadzony
– patrz następna strona.
Obserwowana prędkość precesji perihelium Merkurego wynosi
≈ 600"/100 lat
z czego ≈ 280 jest spowodowane przyciąganiem Wenus,
≈ 150 przyciąganiem Jowisza,
≈ 100 przyciąganiem pozostałych planet...
Ale czy to się sumuje do wielkości obserwowanej?
Urbain J. le Verrier
11.03.1811, Saint-Lô
-- 23.09.1877, Paris
Na to pytanie odpowiedział Urbain J. le Verrier (*) w roku 1859.
Obliczył on wszystkie składniki zaubrzeń orbity Merkurego, zsumował je -- i
wyszło mu o ok. 43"/100 lat za mało.
Według dzisiejszych pomiarów, rozbieżność ta wynosi
43.11 ± 0.45"/100 lat.
Dla innych planet odpowiednie wielkości nie przekraczają kilku sekund łuku na
100 lat i nie były wykrywalne w 19. wieku.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------(*) Le Verrier po raz pierwszy wsławił się w roku 1845, gdy przewidział istnienie nieznanej wtedy planety (Neptuna) na
podstawie analizy zaburzeń orbity Urana. Tę samą metodę zastosował do badania orbity Merkurego.
(2.3)
2.2. Wyjaśnienie anomalii orbitalnych Merkurego (Einstein 1915)
Karl Schwarzschild
9.10.1873, Frankfurt am Main
-- 11.05.1916, Potsdam
Karl Schwarzschild znalazł w 1915 roku pierwsze ścisłe rozwiązanie równań
Einsteina. Opisuje ono pole grawitacyjne w próżni wokół sferycznie symetrycznego
obiektu.
Obliczenie wykonane w oparciu o to rozwiązanie wykazało, że orbita pojedynczej
planety w polu grawitacyjnym Słońca powinna mieć kształt taki, jak na rysunku
powyżej, zaś prędkość precesji perihelium Merkurego powinna wynosić, przy zaniedbaniu wpływu innych planet
43.03"/100 lat.
Ten wynik jest zgodny z wynikiem obserwacji:
43.11 ± 0.45"/100 lat.
2.3. Pulsar w układzie podwójnym (Hulse i Taylor 1974)
Drugim najbardziej dziś znanym obiektem, dla którego zaobserwowano precesję
periastrum, jest układ podwójny złożony z pulsara PSR 1913+16 i drugiej gwiazdy
neutronowej. (Znajduje się on w gwiazdozbiorze Orła w odległości ok. 21 000 lat świetlnych od Ziemi.)
Odkryli go w 1974 roku Russel Hulse i Joseph Taylor.
Okres pulsów wysyłanego przezeń promieniowania radiowego wynosi w jego
układzie spoczynkowym 59 ms.
Zmiany obserwowanej częstotliwości pulsów wywołane ruchem pulsara po
orbicie (efektem Dopplera) pozwoliły obliczyć parametry orbity.
Russell Alan Hulse
ur. 28.11.1950, New York City
Joseph Hooton Taylor, Jr.
ur. 29.03.1941, Philadelphia, Pennsylvania
Przyjmijmy perihelium Merkurego: pM = 46 000 000 km jako jednostkę odległości.
Periastrum PSR 1913+16:
770 000 km = 0.0167 pM
Apoastrum PSR 1913+16: 3 360 000 km = 0.073 pM
Masa towarzysza: ≈1.4 masy Słońca
→ Pulsar PSR 1913+16 porusza się w wielokrotnie silniejszym polu grawitacyjnym
niż Merkury → efekty przewidywane przez teorię względności są w jego orbicie
większe.
Prędkość precesji periastrum:
Dla PSR 1913+16: 4.2 stopni na rok
Dla Merkurego: 43 sekund łuku na 100 lat.
Za „odkrycie nowego typu pulsara, które otworzyło nowe możliwości badania
grawitacji” Hulse i Taylor dostali w roku 1993 nagrodę Nobla.
3. Ugięcie promieni świetlnych w polu grawitacyjnym
3.1. Przepowiednia (Einstein 1916)
Rozwiązanie Schwarzschilda umożliwiło uzyskanie jeszcze jednego sprawdzalnego
wyniku.
Promień światła wyemitowany przez ``nieskończenie'' dalekie źródło i przebiegający w sąsiedztwie obiektu o masie M (nazwijmy go umownie gwiazdą) powinien
ugiąć się o kąt
gdzie M jest masą gwiazdy, R jest najmniejszą odległością promienia od środka
gwiazdy.
Wzór (3.1) jest przybliżony i dotyczy tylko sytuacji, gdy R >> 2GM/c2. Nie stosuje się on np. do promieni
przebiegających w pobliżu czarnych dziur.
3.2. Potwierdzenie przez obserwacje optyczne (Eddington 1919)
Δφ = (α2 – α1)/2
T1 i T2 -- rzeczywiste położenia gwiazd. Gdy Słońce S jest widoczne pomiędzy
gwiazdami, obserwator widzi obrazy gwiazd w kierunkach prostych OA1 i OA2 .
Dwie ekspedycje Arthura Eddingtona wykonały takie obserwacje podczas całkowitego zaćmienia Słońca w roku 1919 i otrzymały dla Δφ następujące wyniki:
W Sobral (Brazylia) :
Na wyspie Principe (w Zatoce Gwinejskiej) :
Teoria względności przewiduje:
1.98 ± 0.16‘’
1.61 ± 0.40‘’
1.75‘’
Arthur Stanley Eddington
28.12.1882, Kendal, Westmorland
-- 22.11.1944, Cambridge
3.3. Potwierdzenie przez obserwacje radioastronomiczne (Fomalont i
Sramek 1974)
Edward Fomalont i Richard Sramek wykonali analogiczny pomiar w roku 1974 dla
mikrofal wysyłanych przez radioźródła o symbolach 0119+11, 0116+08 i 0111+02.
Każdego roku przez ok. 3 tygodni na przełomie marca i
kwietnia Słońce przesuwa się przez obraz środkowego
radioźródła (P2 na rysunku).
Edward Fomalont, ur. 14.05.1940
nie udało mi się zidentyfikować
zdjęcia ani biografii Richarda Sramka
Dwa pozostałe są wtedy na tyle daleko od trajektorii Słońca, że ich obserwowane
położenia nie ulegają mierzalnemu zaburzeniu.
Gdy Słońce jest poza polem widzenia, radioźródła P1 , P2 i P3 są widoczne prawie na
linii prostej (lewy rysunek).
Rzeczywiste położenie P2 względem pozostałych dwu można wtedy zmierzyć.
Gdy Słońce wchodzi w pole widzenia (prawy rysunek), obraz P2 przesuwa się. Rzeczywiste położenie P2 (małe kółko) można wtedy obliczyć względem P1 i P3 i
porównać ze zmierzonym położeniem pozornym.
Zmierzony w ten sposób kąt ugięcia podzielony przez wynik teoretyczny 1.75” dał
wynik 1.007 ± 0.009.
3.4. Soczewki grawitacyjne
Soczewka grawitacyjna L ugina promienie wysłane przez źródło światła S pod takim
kątem, że przecinają się one w punkcie obserwacji O.
Może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy odległości między S, L i O są wystarczająco
duże i we właściwej proporcji. W większości soczewek grawitacyjnych rzeczywiście
obserwowanych przez astronomów źródłem światła S jest kwazar.
Teoria i obserwacje soczewek grawitacyjnych (które w rzeczywistości mają bardziej
skomplikowane kształty niż na rysunku powyżej) rozwinęły się dziś w osobną gałąź
astronomii.
W przeciwieństwie do soczewek optycznych, soczewki grawitacyjne nie
ogniskują promieni. Jak pokazuje równanie (3.1), promień biegnący dalej od osi
optycznej ugina się pod mniejszym kątem niż promień bliższy osi.
Nie można niczego „obejrzeć w powiększeniu” przez soczewkę grawitacyjną -obraz jest bardzo zdeformowany.
Następuje jednak wzmocnienie strumienia światła: promienie, które rozbiegłyby
się w pustej przestrzeni, przecinają się w otoczeniu punktu obserwacji.
Soczewki grawitacyjne zwiększają zasięg obserwacji optycznych.
Najsławniejszy
przykład
soczewki grawitacyjnej -``Krzyż Einsteina”.
Jest to poczwórny obraz
kwazara QSO 2237+0305
(peryferyjne jasne plamki
na zdjęciu) utworzony
przez bliższą galaktykę ZW
2237+030.
Galaktyka ta jest widoczna
jako niebieskawa mgiełka
otaczająca wszystkie obrazy. Jasna plama w środku
zdjęcia jest jej jądrem.
Inny efektowny przykład soczewki grawitacyjnej: galaktyka LRG 3-757 (centralna
plamka).
Leży ona blisko linii prostej łączącej Ziemię z dalszym źródłem światła – inną galaktyką,
niewidoczną bezpośrednio.
Ta prawie-osiowo-symetryczna konfiguracja powoduje, że
obraz dalszej galaktyki tworzy
prawie pełny pierścień.
4. Fale grawitacyjne
4. 1. Przewidywania teoretyczne
Możliwość istnienia fal grawitacyjnych przewidział Einstein w r. 1916.
Są one pod wieloma względami podobne do fal elektromagnetycznych: są to
impulsy pola grawitacyjnego generowane przez zmienne w czasie układy mas i
rozchodzące się w przestrzeni z prędkością światła.
Ale oddziaływanie grawitacyjne jest wielokrotnie słabsze od elektromagnetycznego.
Siła przyciągania grawitacyjnego między dwoma elektronami jest
4.2 x 1042
razy mniejsza niż siła odpychania elektrostatycznego.
Promieniowanie grawitacyjne wytwarzane przez obiekty dostępne badaniom
na Ziemi jest zbyt słabe, aby je wykryć. Przykład:
Meteoryt o masie 20 000 ton uderza w Ziemię z prędkością 11 km/s i
zatrzymuje się po zaryciu w grunt na głębokość 200 m (takie są oceny
parametrów meteorytu, który ok. 50 000 lat temu utworzył krater w pobliżu
miasta Winslow w Arizonie).
Całkowita energia wyzwolona w zderzeniu meteorytu z powierzchnią Ziemi
była według przybliżonych ocen równa energii wybuchu 2 500 000 ton
trotylu (czyli 150 bomb zrzuconych na Hiroshimę).
Ale tylko mała część tej energii została wypromieniowana w postaci fal grawitacyjnych: wystarczyłaby ona, aby podrzucić jeden proton na wysokość ok.
120 cm.
Dla porównania: dla gwiazdy podwójnej w układzie Syriusza (jednego z
najsłabszych astronomicznych źródeł fal grawitacyjnych, odległego o 8.5 lat
świetlnych) oczekiwana na Ziemi gęstość strumienia energii niesionej przez
fale grawitacyjne jest 30 000 razy większa.
Krater meteorytu w Arizonie
Energia wypromieniowana przy uderzeniu tego meteorytu w postaci fal grawitacyjnych (2 x 1019 ergów) wystarczyłaby, aby podrzucić jeden proton na wysokość
ok. 120 cm.
[Średnica krateru: 1200m, głębokość: 170 m]
4.2. Próby detekcji
Wyobraźmy sobie okrąg, na którym rozmieszczono równomiernie małe masy.
Załóżmy, że z kierunku prostopadłego do płaszczyzny okręgu nadbiega fala grawitacyjna o płaskich czołach i o stałej polaryzacji.
Wywoła ona oscylacje okręgu takie, jak pokazano na ilustracji poniżej.
Różne testowane dziś detektory fal grawitacyjnych posługują się różnymi układami
mas.
Pierwszym człowiekiem, który (na początku lat 1960tych) podjął próbę wykrycia
fal grawitacyjnych był Joseph Weber z Uniwersytetu Stanu Maryland.
Jego detektorem był aluminiowy walec o długości 2 m i średnicy 1 m. Atomy walca
miały oscylować pod wpływem fal grawitacyjnych, a spowodowane tym wibracje
miały być wykrywane przez opasujące go czujniki piezoelektryczne.
Weber doniósł, że wykrył sygnał dochodzący z kierunku centrum naszej Galaktyki.
Nikomu nie udało się powtórzyć jego wyników i
uważa się dzisiaj, że był to fałszywy sygnał
wywołany nieprawidłowym działaniem komputera.
Powszechnie uznawaną zasługą Webera jest zapoczątkowanie obserwacyjnego poszukiwania fal
grawitacyjnych.
Joseph Weber
17.05.1919, Paterson, New Jersey
-- 30.09. 2000, Pittsburgh, Pennsylvania
Najczęściej dziś używanym rodzajem detektora fal grawitacyjnych jest interferometr
laserowy.
W tunelach o długości 4 km, w których biegną promienie wyemitowane przez laser,
ciśnienie musi być mniejsze niż 10-12 atmosfer.
Obserwatorium LIGO w pobliżu Livingston (Louisiana, USA).
LIGO = Laser Interferometer Gravitational wave Observatory.
Parametrem służącym do oceny siły sygnału jest A = ΔL/L, gdzie L jest początkową
odległością obserwowanych mas w detektorze (zwierciadeł w interferometrze), zaś
ΔL -- zmianą L pod wpływem fali grawitacyjnej.
Dla spodziewanych źródeł fal grawitacyjnych A zawiera się w granicach
A1 := 0.12 x 10-22 < A < 0.21 x 10-19 := A2
(4.1)
A1 jest oczekiwaną siłą sygnału od pulsara PSR1913+16, A2 -- od gwiazdy zmiennej
zaćmieniowej µ w gwiazdozbiorze Skorpiona.
W temperaturze pokojowej większą amplitudę mają drgania termiczne atomów.
→ Detektory muszą być ochłodzone do temperatury ciekłego helu i dokładnie
izolowane mechanicznie.
Dla najlepszych istniejących interferometrów możliwe do zmierzenia A zawiera się
między 10-20 and 10-19.
Obecnie trwa analiza pierwszych zarejestrowanych sygnałów w celu wyłowienia fali
grawitacyjnej z szumów, które mają kilkakrotnie większą amplitudę.
Dotychczas nie zaobserwowano fal grawitacyjnych bezpośrednio. Pośrednim świadectwem ich istnienia jest pulsar PSR1913+16. Jego okres obiegu i średnica orbity
maleją w takim tempie, jak gdyby fale grawitacyjne unosiły energię z układu.
Czerwone punkty: zmierzona zmiana okresu obiegu w porównaniu z początkowym momentem obserwacji jako funkcja daty obserwacji. Ciągła krzywa: ta sama
wielkość obliczona z teorii względności.
5. Precesja osi żyroskopu na orbicie
5.1. Przepowiednia (Schiff 1960)
W teorii względności obrót masywnego obiektu ujawnia się w jego zewnętrznym
polu grawitacyjnym poprzez wleczenie lokalnych układów inercjalnych.
Jedną z konsekwencji tego efektu (nie istniejącego w teorii grawitacji Newtona)
jest precesja osi obrotu żyroskopu umieszczonego na orbicie wokół Ziemi.
Ponadto, spin żyroskopu oddziałuje z jego orbitalnym momentem pędu, dając
dodatkową składową precesji, wokół kierunku prostopadłego do poprzedniego.
Jest to precesja geodezyjna.
Wpływ obrotu źródła na zewnętrzne pole grawitacyjne obliczyli jako pierwsi
Hans Thirring i Josef Lense w roku 1918.
Możliwość zmierzenia prędkości precesji żyroskopu krążącego po orbicie wokół
Ziemi przewidział Leonard Schiff w roku 1960. Użył on równań ruchu wirującego
obiektu na orbicie grawitacyjnej, wyprowadzonych przez Myrona Mathissona w
roku 1937.
Hans Thirring
23.03.1888, Wiedeń
-- 22.03.1976, Wiedeń
Josef Lense
28.10.1890 , Wiedeń
--28.12.1985, Monachium
Myron Mathisson
4.12.1897, Warszawa
-- 13.09.1940, Cambridge
C. W. Francis Everitt
ur. 8.03.1934
Sevenoaks, Anglia
Leonard Isaac Schiff
29.03.1915, Fall River, Massachusetts
-- 21.01.1971 Stanford, California
5.2. Pomiar (Everitt 2007)
Eksperyment zmierzający do wykrycia opisanego wyżej efektu wykonała grupa
fizyków na Uniwersytecie Stanforda, której szefem jest Francis Everitt.
Przewidywana prędkość precesji spinu żyroskopu wynosiła
6.60"/ rok dla precesji geodezyjnej
0.039"/ rok wskutek wleczenia układów inercjalnych
Zmierzenie tak powolnej precesji było niezwykle trudne.
Odstęp czasu pomiędzy wystrzeleniem rakiety wprowadzającej satelitę na orbitę a
zakończeniem pomiarów wyniósł 17 miesięcy (04.2004 -- 09.2005).
Przez cały ten czas cztery żyroskopy musiały wirować z minimalnymi zmianami
prędkości obrotu.
Układ pomiarowy był utrzymywany w temperaturze 1.8 stopnia powyżej zera
absolutnego, aby umożliwić zastosowanie nadprzewodzących osłon ekranujących
zakłócenia magnetyczne.
W celu wyeliminowania niestabilności mechanicznych żyroskopy (zrobione z
kwarcu, wielkości piłeczki do ping-ponga) musiały być jak najdokładniej kuliste.
Gdyby powiększyć je do rozmiaru Ziemi, najwyższe nierówności na ich powierzchni
miałyby 2.4 metra wysokości.
Według autorów eksperymentu, żyroskopy te były ``najdokładniej kulistymi
obiektami kiedykolwiek wytworzonymi przez człowieka''.
Od początku przygotowań (1963) do pierwszego ogłoszenia wyników (2007)
minęły 44 lata. Całkowity koszt eksperymentu o nazwie Gravity Probe B wyniósł
750 x 106 dolarów.
Wyniki były następujące
precesja geodezyjna
["/rok]
precesja wywołana
wleczeniem u.i. ["/rok]
wynik pomiaru
6.6018 ± 0.0183
0.0372 ± 0.0072
przewidywanie TW
6.6061
0.0392
Gravity Probe B na orbicie przebiegającej nad biegunami Ziemi
6. Efekty relatywistyczne w systemie GPS
6.1. Przepowiednia (Ashby 1979)
W roku 1977 uruchomiono, początkowo tylko dla nawigacji wojskowej, Global
Positioning System (GPS).
GPS został udostępniony cywilnym użytkownikom w roku 1989.
Satelity GPS krążą na 6 regularnie rozmieszczonych nad Ziemią orbitach nachylonych pod kątem 55⁰ do płaszczyzny równika, po 4 na jednej orbicie.
Każdy satelita wysyła impulsy fal elektromagnetycznych, w których zakodowana
jest informacja o chwili wysłania sygnału i o położeniu satelity w tejże chwili.
Parametry orbit i rozmieszczenie satelitów na nich zostały dobrane tak, aby każdy
odbiornik na Ziemi miał w polu widzenia 4 satelity przynajmniej przez część doby.
Odbiornik, aby ustalić swoje współrzędne, musi odebrać sygnał od co najmniej
czterech satelitów równocześnie.
Niech (xi, yi, zi, ti), i = 1, 2, 3, 4 będą współrzędnymi satelitów 1, 2, 3, 4 w
momencie wysłania sygnałów.
Współrzędne odbiornika na Ziemi (x, y, z, t) muszą spełniać układ 4 równań:
(6.1)
Rozwiązując ten układ względem (x, y, z, t) dostajemy położenie i czas odbiornika
jako funkcję (xi, yi, zi, ti).
Wielkości (xi, yi, zi, ti) są wyliczane przez komputery w satelitach i przesyłane na
Ziemię, gdzie są sprawdzane i korygowane przez centralną stację naziemną.
(6.1)
Równanie (6.1) zakłada sytuację idealną: nieruchome źródło sygnału i nieruchomy odbiornik. Sytuacje rzeczywiste wymagają poprawek.
Zegary systemu GPS poruszają się w polu grawitacyjnym Ziemi.
Zegar w silniejszym polu grawitacyjnym opóźnia się względem zegarów umieszczonych w słabszym polu i względem „zegarów idealnych” w przestrzeni płaskiej
Zegar na powierzchni Ziemi spóźnia się o 6.95 x 10-10 sekund względem zegara
idealnego w ciągu każdej sekundy.
Światło przebiega w tym czasie drogę prawie 21 cm.
→ Gdyby zapomnieć o tym efekcie, porównanie wskazań zegara na Ziemi z
(obliczonym) wskazaniem zegara idealnego w każdej sekundzie dawałoby błąd
położenia równy 21 cm.
W ciągu 24 godzin urósłby on do 18 km.
Jest to największa, ale nie jedyna poprawka wynikająca z ogólnej teorii względności, którą trzeba uwzględnić w działaniu systemu GPS.
Wpływ największych efektów przewidywanych przez teorię względności
na dokładność lokalizacji w systemie GPS
Efekt
Błąd położenia po 24 godzinach
Wpływ na zegary odbiorników
Pole grawitacyjne Ziemi
Spłaszczenie Ziemi
Wzniesienie nad powierzchnię Ziemi (n.p. 10 km)
Obrót Ziemi (na równiku)
Prędkość zegara (n.p. 600 km/godz.)
18 km
9.7 m
28 m
31 m
10 m
Wpływ na zegary w satelitach
Pole grawitacyjne Ziemi
Prędkość orbitalna satelity
4.3 km
2.2 km
Efekty te przewidział Neil Ashby z Uniwersytetu Stanu Colorado w Boulder,
w pracach z lat 1979 – 2002.
6.2. Sprawdzenie (my wszyscy)
Za każdym razem, gdy ktoś z nas trafia do celu używając lokalizatora GPS,
wykonujemy eksperyment potwierdzający ogólną teorię względności.
Neil Ashby
ur. 5.03.1934, Dalhart, Texas
7. Przykład nierozwiązanego problemu: obserwacja dryfu redshiftu
Wskutek ekspansji Wszechświata fotony wyemitowane w dalekiej przeszłości docierają do dzisiejszego obserwatora ``rozciągnięte'' -- obserwowana częstotliwość
νo jest mniejsza niż częstotliwość w punkcie emisji νe.
Powszechnie używaną w astronomii miarą tego rozciągnięcia jest redshift (przesunięcie ku czerwieni) z zdefiniowane następująco:
(7.1)
Jeżeli w chwili obecnej Wszechświat rozszerza się ruchem przyspieszonym, i odbierane w tej chwili światło zostało wyemitowane przez źródło S w okresie przyspieszającej ekspansji, to dla ustalonego S redshift powinien rosnąć z czasem.
Jeżeli Wszechświat rozszerza się ruchem opóźnionym, to redshift każdego ustalonego źródła światła powinien maleć z czasem.
Oczekiwany dryf redshiftu powinien spełniać:
(7.2)
Obserwatorium orbitalne Gaia, którego zadaniem jest sporządzenie dokładnej 3wymiarowej mapy naszej Galaktyki, posiada aparaturę wystarczająco dokładną,
aby zmierzyć dz/dt przez porównanie obserwacji wybranego źródła światła
odległych od siebie w czasie o 30 lat.
``European Extremely Large Telescope'‘ (E-ELT) (obecnie w fazie projektowej,
będzie zbudowany w Chile) potrafiłby wykryć ten efekt po 10 latach.
Wynik tego pomiaru będzie niezależny od modelu kosmologicznego użytego do
interpretowania obserwacji: dla każdego ustalonego źródła światła redshift
będzie rósł albo malał z czasem.
To będzie krytyczny test, który obiektywnie wykaże, czy Wszechświat rozszerza się
ruchem przyspieszonym, czy nie, i będzie to też chwila prawdy dla modelu, w
który wszyscy astronomowie obecnie wierzą.
Literatura
C. M. Will, Am. J. Phys. 56, 413 (1988); cytat za poz. Will1981.
C. M. Will, Theory and experiment in gravitational physics. Cambridge University
Press 1981.
K. Lang, Astrophysical formulae. Springer, Berlin 1974, str. 579.
U. J. Le Verrier, Ann. de l'Obs. de Paris 5, 104 (1859); cytat za poz. Dicke 1964.
R. H. Dicke, The theoretical significance of experimental relativity. Gordon and
Breach, New York 1964.
A. Einstein, Ann. Physik 49, 769 (1916), przedruk na str. 109-164 w poz. LWM1923;
cytat wg poz. Mehr1974.
A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl, H. Minkowski, The principle of relativity. A
collection of original papers on the special and general theory of relativity. Dover
Publications 1923.
J. Mehra, Einstein, Hilbert and the theory of gravitation. D. Reidel, Dordrecht 1974.
Dyson, F. W., Eddington, A. S. and Davidson, C. (1920), Phil. Trans. Roy. Soc. London
A220, 291; cited after Will (1981, p. 5).
Fomalont, E. B. and Sramek, R., Astrophys. J. 199, 749 (1975); Phys. Rev. Lett. 36,
1475 (1976); Comments Astrophys. 7, 19 (1977).
R. A. Hulse, J. H. Taylor, Astrophysical Journal 195, L51 (1975).
https://en.wikipedia.org/wiki/PSR_B1913%2B16#cite_note-wtf1981-2
Ohanian, H. C. and Ruffini, R. (1994). Gravitation and Spacetime. W. W. Norton &
Company, New York -- London.
Weisberg, J.M.; Taylor, J.H. (July 2005). "The Relativistic Binary Pulsar B1913+16:
Thirty Years of Observations and Analysis". Written at Aspen, Colorado, USA. In F.A.
Rasio; I.H. Stairs. Binary Radio Pulsars. ASP Conference Series 328. San Francisco:
Astronomical Society of the Pacific. p. 25. arXiv:astro-ph/0407149.
P. Schneider, J. Ehlers, E. E. Falco, Gravitational lenses. Springer, Berlin 1992, str. 1.
M. Rees, R. Ruffini, J. A. Wheeler, Black holes, gravitational waves and cosmology:
and introduction to current research. Gordon and Breach, New York, London, Paris
1974, 166 pp.
H. Thirring, Physikalische Zeitschrift 19, 33 (1918); H. Thirring, Physikalische
Zeitschrift 22, 29 (1921); J. Lense and H. Thirring, Physikalische Zeitschrift 19, 156
(1918). Reprinted in B. Mashhoon, F.W. Hehl and D.S. Theiss, Gen. Relativ. Gravit.
16, 711 -- 750 (1984) and in A. Krasiński, George F. R. Ellis, Malcolm A. H. MacCallum
(editors). Golden Oldies in general relativity. Hidden gems. Springer, Heidelberg
2013, 493 pp, ISBN 978-3-642-34504-3.
L. Schiff, Phys. Rev. Lett. 4, 215 (1960); Proc. Nat. Acad. Sci. USA 46, 871 (1960).
M. Mathisson, New Mechanics of Material Systems. Acta Phys. Polon. 6, 163-200
(1937); reprinted in: Gen. Rel. Grav. 42, 1011-48 (2010).
C. W. F. Everitt, in Experimental Gravitation. Proceedings of the International School
of Physics ``Enrico Fermi'', course 56. Edited by B Bertotti, Academic Press, New
York 1974, p. 331.
C. W. F. Everitt et al., Phys. Rev. Lett. 106, 221101 (2011).
N. Ashby, D. W. Allan, Radio Science 14, 649 (1979).
N. Ashby, Phys. Today May 2002, p. 41.
N. Ashby, w: Gravitation and Relativity at the turn of the Millenium. Proceedings of
the 15th International Conference on General Relativity and Gravitation. Edited by
N. Dadhich and J.V. Narlikar. Inter-University Centre for Astrnomy and Astrophysics,
Pune, India 1998 (ISBN 81-900378-3-8), p. 231 -- 258.
N. Ashby, Mercury 25 no 3, 23 (1996).
C. Quercellini, L. Amendola, A. Balbi, P. Cabella, M. Quartin, Phys. Reports. 521, 95
-- 134 (2012).
Literatura uzupełniająca
A. A. Friedmann, Z. Physik 10, 377 (1922); Z. Physik 21, 326 (1924); Angielskie
tłumaczenie obydwu prac z komentarzem historycznym: Gen. Rel. Grav. 31, 1985
(1999); + addendum: Gen. Rel. Grav. 32, 1937 (2000).
Penzias, A. A. and Wilson, R. W., Astrophys. J. 142, (1965)
Lemaitre, G., Ann. Soc. Sci. Bruxelles A53, 51 (1933); Angielskie tłumaczenie, z
komentarzem historycznym : Gen. Rel. Grav. 29, 637 (1997).
Szekeres, P., Commun. Math. Phys. 41, 55 (1975).
Szekeres, P., Phys. Rev. D12, 2941 (1975).
R. V. Pound, G. A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4, 337 (1960).
R. V. Pound, J. L. Snider, Phys. Rev. Lett. 13, 539 (1964).
R. V. Pound, J. L. Snider, Phys. Rev. B140, 788 (1965).
Str. 25 w poz. Mehra 1974.
E. P. Hubble, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 15, 169 (1929).
A. Krasiński, G. F. R. Ellis, Gen. Rel. Grav. 31, 1985 (1999).