Własności kombinatoryczne i dynamiczne wybranych przestrzeni

Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica
w Krakowie
Rozprawa doktorska
Własności kombinatoryczne
i dynamiczne wybranych
przestrzeni przesunięć
mgr Magdalena Foryś
Promotor: dr hab. Piotr Oprocha, prof. AGH
Wydział Matematyki Stosowanej
Kraków 2015
Składam serdeczne podziękowania mojemu promotorowi, dr. hab. Piotrowi Oprosze,
za wsparcie merytoryczne, nieustanną motywację do pracy naukowej,
czas poświęcony na liczne dyskusje związane z tematyką pracy
oraz okazaną mi życzliwość i cierpliwość w trakcie pisania rozprawy doktorskiej.
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1 Układy dynamiczne i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Podstawowe pojęcia dynamiki symbolicznej . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Uogólniony ciąg Thuego-Morse’a i złożoność generowanej przez
niego przestrzeni z przesunięciem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Przestrzenie z przesunięciem posiadające własność specyfikacji i
ich dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Konstrukcja Katznelsona-Weissa i jej modyfikacje . . . . . . . . . . 49
5.1 Konstrukcja jednostajnie sztywnej i słabo mieszającej przestrzeni z
przesunięciem nad alfabetem [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Konstrukcja jednostajnie sztywnej przestrzeni z przesunięciem z parą
DC2 nad alfabetem [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2
Wstęp
Niniejsza rozprawa doktorska dotyczy problematyki z pogranicza teorii układów
dynamicznych oraz kombinatoryki. Prezentuje wyniki badań nad szczególną klasą
układów dynamicznych, jakimi są przestrzenie z przesunięciem.
Teoria układów dynamicznych powstała jako nauka opisująca zmiany zachowań
obiektów w czasie i przestrzeni, wywodząca się z prób modelowania matematycznego zjawisk fizycznych - takich, jak na przykład ruch cząsteczek gazu w przestrzeni,
lub ruch obiektów w kosmosie. W zależności od dokładności obserwacji, dany układ
może być obserwowany w sposób ciągły, bez przerw (czyli w dowolnym momencie
jesteśmy w stanie określić jak zmienia się położenie obiektów w układzie) lub tylko
w określonych z góry odstępach czasu (na przykład co minutę, lub co sekundę).
Pierwsze podejście było motywacją do powstania teorii ciągłych ukladów dynamicznych. Drugie zaś to pewnego rodzaju uproszczenie poprzedniego przypadku, oparte
na dyskretyzacji czasu. Interesuje nas wtedy położenie obiektu tylko w regularnych
odstępach czasu, a to, co dzieje się pomiędzy obserwacjami nie jest brane pod uwagę.
Tego typu modele są tworzone i badane przy pomocy teorii dyskretnych układów
dynamicznych.
Dynamika symboliczna idzie o krok dalej, dyskretyzując także rozważaną przestrzeń. Oznacza to, że przestrzeń jest podzielona na pewną, skończoną bądź nieskończoną, liczbę obszarów, do których przypisane są opisujące je etykiety. Nieskończoną trajektorię, jaką porusza się dany obiekt w takiej przestrzeni, obserwowaną przy
dyskretyzacji czasu, można zatem zapisać jako nieskończony ciąg etykiet, w którym
kolejność symboli jest zgodna z kolejnością ”odwiedzania” przez obiekt poszczególnych obszarów. Badania, których wyniki prezentowane są w niniejszej rozprawie,
obejmują zbiory takich trajektorii wyposażone w odpowiednie własności. Przestrzenie z przesunięciem (ang. shift space) rozważane w niniejszej pracy to w dużej mierze
przestrzenie podzielone w myśl powyższej interpretacji na dwa obszary, etykietowane przez 0 oraz 1. Co za tym idzie, elementami takiej przestrzeni są nieskończone
ciągi binarne. Niestety opis przy skończonej liczbie etykiet nie jest uniwersalny dla
dowolnego typu rozważanej dynamiki - w niektórych przypadkach konieczne będzie
zastosowanie nieskończonego alfabetu etykietującego. W rozdziale 5 przedstawiamy
przypadek, gdy przestrzeń jest podzielona na nieskończoną liczbę obszarów etykietowanych liczbami z przedziału [0, 1]. Elementami takiej przestrzeni są zatem
nieskończone ciągi o wyrazach z przedziału [0, 1].
Istotne miejsce w rozprawie zajmują badania nad dynamiką przestrzeni z przesunięciem. Oczywistym jest jednak, że własności dynamiczne przestrzeni definiowanych
w przedstawiony powyżej sposób pozostają w ścisłym związku z własnościami kombinatorycznymi nieskończonych ciągów będących ich elementami. Skupimy się na
określeniu wartości entropii topologicznej, entropii ciągowej oraz spróbujemy określić istnienie par dystrybucyjnie chaotycznych na przykładach różnych typów przestrzeni z przesunięciem. Przedstawimy poniżej ogólny zarys problematyki niniejszej
rozprawy.
Pojęcie entropii topologicznej zostało wprowadzone w [1] przez R. Adlera, A. Konheima oraz M. McAndrewa w 1965 roku. Wywodzi się ono od związanej z teorią
informacji entropii Shannona, która oznacza średnią ilość informacji przypadającą
3
na określoną wiadomość zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa na danym skończonym zbiorze wiadomości. Minimalna wartość entropii Shannona uzyskiwana jest
dla takiego zbioru wiadomości, który nie niesie ze sobą żadnych nowych dla odbiorcy
informacji - to przypadek, gdy w skończonym zbiorze wiadomości wiemy, że z prawdopodobieństwem równym 1 dokładnie jedna ustalona wiadomość jest prawdziwa,
a pozostałe fałszywe. Maksymalną wartość uzyskamy natomiast wtedy, gdy w skończonym zbiorze wiadomości prawdopodobieństwo zdarzenia, że dana wiadomość jest
prawdziwa jest takie samo dla wszystkich wiadomości. Entropię topologiczną można traktować jako współczynnik odpowiedzialny za szybkość wzrostu liczby orbit
możliwych do zaobserwowania w danym układzie dynamicznym przy ustalonej precyzji obserwacji. Wartość entropii topologicznej należy do przedziału [0, +∞) lub
jest równa +∞ (np. dla odwzorowań odcinka). Dla symbolicznych układów dynamicznych nad alfabetem mocy n wartość entropii topologicznej jest ograniczona od
góry przez log n. Układy o zerowej entropii topologicznej nazywane są układami
deterministycznymi. W praktyce oznacza to, że jesteśmy w stanie w dużym stopniu przewidzieć zachowanie takiego układu obserwując go w dowolnym momencie.
Natomiast w układach o dodatniej entropii topologicznej możemy się spodziewać zachowań chaotycznych - tym bardziej skomplikowanych im wyższa jest jej wartość. Nie
oznacza to jednak, że entropia topologiczna może być traktowana jako miara ”ilości”
chaosu w danym układzie, lecz raczej jako pewien wyznacznik ”jakości” i stopnia
skomplikowania chaotycznych zachowań. W związku z tym w książce [15] autorzy
zaproponowali, by zdefiniować chaos jako dodatnią entropię topologiczną układu.
Intuicja ta może być jednak zwodnicza - w pracy [24] G. Harańczyk i D. Kwietniak
pokazali, że istnieją układy chaotyczne (w szczególności niektóre odwzorowania odcinka lub okręgu) o relatywnie niskiej wartości entropii topologicznej.
Uogólnieniem pojęcia entropii topologicznej jest entropia ciągowa, wprowadzona
w [35] przez A. G. Kushnirenkę. Badania nad entropią ciągową były kontynuowane
w [23] przez T. N. T. Goodmana, który prezentuje podstawowe własności tej wielkości oraz bada zachowanie układów o zerowej entropii ciągowej. Dowodzi także, że
dla nietrywialnych układów słabo mieszających nie istnieje ograniczenie od góry na
wartość entropii topologicznej. Z kolei w pracy [39] A. Maass i S. Shao zajmują się
istnieniem maksymalnych faktorów równociągłych dla minimalnych układów dynamicznych o ograniczonej entropii ciągowej. W pracach [29] i [30] autorzy rozważają
entropię ciągową dla shiftów generowanych przez nieskończony ciąg nad pewnym
skończonym alfabetem w kontekście maksymalnej złożoności n-wzorca ciągu generującego. Wiadomo, że własność słabego mieszania układu dynamicznego implikuje
dodatnią entropię ciągową, może się jednak zdarzyć, że entropia topologiczna takiego układu będzie zerowa. Przykład takiego układu został podany w [9]. Z punktu
widzenia niniejszej rozprawy najbardziej interesować nas będą minimalne przestrzenie z przesunięciem o zerowej entropii topologicznej i dodatniej entropii ciągowej.
Przedstawiona w rozdziale 2 konstrukcja pozwala otrzymać nieprzeliczalną rodzinę
przestrzeni spełniających te warunki.
Kolejnym zagadnieniem, do którego odwołujemy się w niniejszej pracy jest dynamika par i powiązane z nią pojęcie chaosu dystrybucyjnego. Badania nad tą tematyką
mają swój początek w opublikowanej w 1975 roku pracy [37] autorstwa T. Y. Li oraz
J. A. Yorke’a. Pojawiło się w niej pojęcie par Li-Yorke’a jako określenie par prok4
symalnych, ale nie asymptotycznych. Układ (X, f ) nazwano układem chaotycznym
w sensie Li-Yorke’a, jeśli zawierał pary Li-Yorke’a. Naturalne pytanie, które pojawiło
się wraz z wprowadzeniem tej teorii, to kwestia warunków jakie muszą zachodzić, by
dany układ zawierał choć jedną taką parę, skończony zbiór par, czy nieprzeliczalny
zbiór par Li-Yorke’a. W pracy [26] W. Huang i X. Ye skonstruowali układ dynamiczny, w którym wszystkie pary różnych elementów były parami Li-Yorke’a (tzw.
układ totalnie splątany) i zadali pytanie o wartość entropii topologicznej takiego
układu - w szczególności czy wartość ta może być dodatnia. Negatywną odpowiedź
na to pytanie podał B. Weiss w [60].
Rozwinięciem tej teorii, łączącym pojęcie chaosu i entropii topologicznej oraz
jednym z ciekawszych podejść do tego tematu jest definicja chaosu dystrybucyjnego. Pojęcie to zostało wprowadzone w 1994 roku przez B. Schweizera i J. Smı́tala w
[48] jako warunek równoważny dodatniej entropii topologicznej układu dynamicznego zdefiniowanego na odcinku. Podejście autorów polega na obserwacji statystycznych własności trajektorii pary punktów w długim okresie czasu. Obecnie wiadomo
jednak, że w ogólnym przypadku istnieją dystrybucyjnie chaotyczne układy dynamiczne o zerowej entropii. W 2005 roku w pracy [8] wprowadzono definicje trzech
typów par dystrybucyjnie chaotycznych: DC1, DC2, DC3, z czego najsilniejszą wersją pary dystrybucyjnie chaotycznej jest para DC1. W literaturze znajdziemy wiele
wyników dotyczących chaosu dystrybucyjnego. W [51] A. Sklar i J. Smı́tal udowodnili między innymi, że nietrywialny układ mający własność specyfikacji jest dystrybucyjnie chaotyczny. Problematyka ta została rozwinięta w pracy [46] P. Oprochy
i M. Štefánkovej. R. Pikuła w [12] prezentuje natomiast przykład układu o dodatniej entropii topologicznej, który nie posiada par DC1. W 2006 roku w [54] J. Smı́tal
postawił hipotezę, że dodatnia entropia topologiczna układu dynamicznego nie implikuje istnienia w nim nieprzeliczalnego zbioru par DC2. Potwierdzenie tej hipotezy przedstawił T. Downarowicz w [47] w roku 2014. W międzyczasie publikowano
częściowe wyniki, potwierdzające tę hipotezę w pewnych szczególnych przypadkach
(np. [45] dla układów o jednostajnie dodatniej entropii). Ciekawym wątkiem w tej
problematyce wydają się być badania nad chaosem dystrybucyjnym w układach minimalnych. Pierwszy przykład układu minimalnego zawierającego pary DC1 został
przedstawiony w pracy [38] przez G. Liao oraz L. Wanga w 2002 roku. Konstrukcja
ta opierała się o odpowiednio dobrane rodziny słów o wykładniczo rosnącej długości
i była na wiele sposobów modyfikowana i rozszerzana w ostatnich latach - między innymi w [44], [56]. Entropia topologiczna układów skonstruowanych w wymienionych
pracach wynosiła zero. W dowolnym układzie dynamicznym nie ma bezpośredniego
związku pomiędzy istnieniem par DC1, a dodatnią entropią topologiczną. W [28] zostało pokazane, że dodatnia entropia układów dynamicznych na odcinku implikuje
istnienie splątanego zbioru Cantora. W [11] wykazano, że taka sama własność charakteryzuje dowolne układy dynamiczne na zwartych przestrzeniach metrycznych.
Natomiast konstrukcje układów dynamicznych na odcinku chaotycznych w sensie
Li-Yorke’a, ale o zerowej entropii topologicznej, pokazano na przykład w [53], [62],
[42]. Uzasadniono tym samym, że fakt posiadania dodatniej wartości entropii topologicznej jest własnością silniejszą niż chaos Li-Yorke’a. W 2002 roku F. Blanchard,
B. Host, S. Ruette w pracy [13] wykorzystując teorię ergodyczną pokazali, że układ
dynamiczny o dodatniej entropii zawsze zawiera pary asymptotyczne, a co więcej 5
zbiór par asymptotycznych jest gęsty. W 2009 roku F. Balibrea i J. Smı́tal w pracy [24] zaprezentowali konstrukcję układu minimalnego o dodatniej entropii, który
zawiera pary DC2, ale nie zawiera par DC1.
W niniejszej pracy doktorskiej zaprezentowane są wyniki opublikowane w [19],
[20], [21]. Praca [19] jest pracą samodzielną, w której autorka definiuje klasę uogólnionych ciągów Thuego-Morse’a i bada wartości entropii topologicznej oraz entropii
ciągowej przestrzeni generowanych przez te ciągi. Prace [20] oraz [21] są współautorskie i powstały jako efekt wielu dyskusji prowadzonych osobiście oraz drogą
elektroniczną. Z tego powodu w rozprawie uwzględniono tylko te ich wyniki, w które autorka włożyła najwięcej pracy własnej. W szczególności jest to przeniesienie
wyników dotyczących przestrzeni ze specyfikacją na przestrzenie z przesunięciem
posiadające własność specyfikacji oraz dwie modyfikacje konstrukcji KatznelsonaWeissa prowadzące do uzyskania słabo mieszającej przestrzeni z przesunięciem oraz
przestrzeni z przesunięciem zawierającej parę DC2.
Struktura niniejszej rozprawy przedstawia się następująco. W rozdziale 1 prezentujemy podstawowe pojęcia związane z ogólną teorią układów dynamicznych.
Wprowadzamy definicje oraz warunki równoważne własnościom dynamicznym takim jak tranzytywność, słabe mieszanie, minimalność, równociągłość, wrażliwość
na warunki początkowe. Podajemy także definicję entropii topologicznej oraz pojęć
związanych ze wspomnianym powyżej chaosem dystrybucyjnym, w tym definicje par
DC1, DC2 oraz zbioru splątanego.
W rozdziale 2 zajmujemy się podstawami teorii symbolicznych układów dynamicznych. Wprowadzamy kluczowe w niniejszej pracy pojęcie przesunięcia oraz przestrzeni z przesunięciem omawiając je w kontekście jej topologii oraz własności dynamicznych. Przedstawiamy kilka różnych typów tych przestrzeni - skończonego typu,
typu sofic, podstawieniowe. Rozważamy także niektóre z wprowadzonych w rozdziale 1 własności dynamicznych i podajemy warunki im równoważne w przypadku
przestrzeni z przesunięciem. Większość z tych warunków opiera się o pewne własności kombinatoryczne przestrzeni i jej elementów.
Rozważania z rozdziału 3 mają swoją motywację w pracach [57], [41], w których przedstawione są wyniki dotyczące pewnych uogólnień ogólnie znanego ciągu
Thuego-Morse’a, oznaczanego w pracy przez tM , oraz generowanej przez niego przestrzeni, a także w pracach [39] [23] [30], [29] dotyczących entropii ciągowej. Problem,
którego dotyczy ta część pracy, to próba konstrukcji przestrzeni z przesunięciem generowanej przez nieskończony ciąg, która będzie miała zerową entropię topologiczną
oraz dodatnią entropię ciągową. Żeby uzyskać pożądane własności musimy odpowiednio zdefiniować ciąg generujący przestrzeń. Wprowadzamy zatem pewne uogólnienie ciągu Thuego-Morse’a, odwołując się do blokowej budowy oraz rekurencyjnej
definicji ciągu tM , otrzymując całą klasę uogólnionych ciągów Thuego-Morse’a. Własności przestrzeni zależą od struktury ciągu, który wybierzemy z otrzymanej klasy
jako element generujący. Przypadkiem dokładniej omówionym w tej pracy jest uogólniony ciąg Thuego-Morse’a definiowany poprzez ciąg stały. Przestrzenie generowane
przez te ciągi tworzą nieprzeliczalną klasę przestrzeni minimalnych o zerowej entropii
topologicznej i dodatniej entropii ciągowej. Dodatkowo pokazujemy, że skonstruowana przestrzeń jest co najwyżej 4-do-1 faktorem pewnego odpowiednio zdefiniowanego
odometru. Własność ta jest istotna w dowodzie głównego twierdzenia w tym rozdzia6
le (twierdzenie 3.23) uzasadniającego, że wartość entropii ciągowej dla przestrzeni z
przesunięciem generowanych przez wprowadzone uogólnione ciągi Thuego-Morse’a
jest zawsze ograniczona od góry. Warte rozważenia w przyszłości wydają się być
przypadki innego wyboru uogólnionych ciągów Thuego-Morse’a, na przykład gdy
ciągi wykorzystywane w ich definicji są od pewnego miejsca stałe lub okresowe.
W rozdziale 4 zajmujemy się przestrzeniami z przesunięciem posiadającymi własność specyfikacji. Własność ta jest szczególnie istotna w rozważaniach związanych
z chaosem dystrybucyjnym. W pracy [51] A. Sklar i J.Smítal zaprezentowali twierdzenie które mówi, że własność specyfikacji implikuje chaos dystrybucyjny. Badamy chaotyczne zachowanie takich przestrzeni, a w szczególności zajmujemy się problemem istnienia zbioru dystrybucyjnie ε-splątanego w przestrzeniach typu sofic.
Głównym celem jest takie wykorzystanie dodatkowych informacji uzyskanych dzięki
znajomości kombinatorycznej struktury przestrzeni typu sofic, by móc więcej powiedzieć o własnościach zbioru chaotycznego generowanego w tej sytuacji. Wyniki
tych badań podsumowuje twierdzenie 4.13, podające warunki konieczne dla istnienia
ε-splątanego zbioru Cantora i ε-splątanego zbioru Mycielskiego w danej przestrzeni
z przesunięciem. Szczególnie ważną własnością kombinatoryczną, na której niejednokrotnie opierają się nasze rozumowania, jest własność synchronizacji języka danej
przestrzeni, która zachodzi dla każdej przestrzeni z przesunięciem z własnością specyfikacji.
Wyniki przedstawione w rozdziale 5 dotyczą problemu związanego z zaprezentowaną w [31] oraz [2] konstrukcją jednostajnie sztywnej i proksymalnej przestrzeni
z przesunięciem nad alfabetem [0, 1]. Tego typu konstrukcja nie jest możliwa nad
skończonym alfabetem. Rozważamy zatem uogólnienie przestrzeni z przesunięciem,
wykorzystując zamiast skończonego alfabetu cały przedział [0, 1]. Głównym celem
było zmodyfikowanie oryginalnej konstrukcji w taki sposób, by otrzymana przestrzeń posiadała pewne dodatkowe własności dynamiczne przy zachowaniu jednostajnej sztywności. Prezentujemy dwie takie modyfikacje: pierwsza z nich pozwala
nam otrzymać przestrzeń słabo mieszającą, druga - przestrzeń z parą DC2. Ciekawe
wydają się być dalsze pespektywy badań nad drugą z konstrukcji, w szczególności
próba określenia czy jesteśmy w stanie wprowadzić do niej kolejne zmiany tak, by
otrzymać kolejną parę DC2 lub przeliczalny bądź nieprzeliczalny zbiór par DC2.
Motywacją do pracy nad tymi zagadnieniami było pytanie, czy konstrukcję WeissaKatznelsona da się zmodyfikować tak, by wszystkie pary Li-Yorke’a zastąpić parami
DC2. Odpowiedź negatywną dajemy w twierdzeniu 5.18.
7
1
Układy dynamiczne i ich własności
Na początku zaznaczmy, że przez N rozumiemy zbiór {1, 2, 3, . . . }, a przez N0 zbiór
liczb naturalnych wraz z zerem. Podstawowe dla niniejszej pracy jest pojęcie układu
dynamicznego, którego definicję wprowadzamy poniżej:
Definicja 1.1. Układem dynamicznym nazywamy parę (X, f ), gdzie X jest
zwartą przestrzenią metryczną, natomiast f : X → X jest odwzorowaniem ciągłym.
Przez d będziemy oznaczać metrykę w X, natomiast dla podzbiorów A, B ⊂ X
przez dist(A, B) oznaczamy odległość zbiorów A i B, czyli:
dist(A, B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
W przypadku gdy A = {x} jest zbiorem jednoelementowym, zamiast dist({x}, B)
stosujemy zapis dist(x, B).
W tym rozdziale przedstawimy definicje i pojęcia dotyczące ogólnej teorii układów dynamicznych i zaprezentujemy niektóre ich własności dynamiczne. Będzie to
podstawą do dalszych rozważań, w szczególności do badań własności klasy symbolicznych układów dynamicznych, którym poświęcimy najwięcej uwagi w dalszej
części rozprawy.
Definicja 1.2. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym.
1. Punkt x ∈ X nazywamy punktem stałym, jeśli f (x) = x.
2. Punkt x ∈ X nazywamy punktem okresowym, jeśli istnieje k ∈ N takie, że
f k (x) = x. Najmniejsze takie k nazywamy okresem podstawowym punktu x. Zbiór wszystkich punktów okresowych układu (X, f ) oznaczamy przez:
P er(X, f ) = {x ∈ X : ∃ k ∈ N f k (x) = x}.
3. Orbitą punktu x ∈ X nazywamy zbiór:
O(x) = {f n (x) : n ∈ N0 },
przy czym przyjmujemy, że f 0 (x) = x dla każdego x ∈ X.
4. Punkt x ∈ X nazywamy punktem tranzytywnym, jeśli jego orbita jest gęsta
w X, czyli O(x) = X. Zbiór wszystkich punktów tranzytywnych w X oznaczamy
przez T rans(X, f ).
Zauważmy, że w myśl definicji 1.2 każdy punkt stały jest jednocześnie punktem
okresowym o okresie podstawowym równym 1.
Definicja 1.3. Punkt y ∈ X nazywamy punktem ω-granicznym punktu x ∈ X,
jeśli y jest punktem skupienia ciągu {f n (x)}n∈N0 . Zbiorem ω-granicznym punktu
x, oznaczanym przez ω(x, f ), nazywamy zbiór wszystkich punktów ω-granicznych
punktu x.
8
Oczywiście możliwa jest sytuacja, kiedy punkt x należy do swojego zbioru ω granicznego. W takim przypadku x nazywamy punktem rekurencyjnym. Formalną
definicję punktu rekurencyjnego wprowadzamy poniżej:
Definicja 1.4. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Punkt x ∈ X nazywamy
punktem rekurencyjnym, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje p > 0 takie, że dla
dowolnego n ∈ N0 znajdziemy k < p spełniające warunek:
d(f n+k (x), x) < ε.
Zbiór wszystkich punktów rekurencyjnych w X oznaczamy przez Rec(X, f ). Zauważmy, że dowolny punkt okresowy spełnia definicję 1.4, a co za tym idzie okresowość punktu implikuje jego rekurencyjność.
Szczególnym rodzajem układów dynamicznym są minimalne układy dynamiczne.
Definicja 1.5. Układ dynamiczny (X, f ) jest minimalny, jeśli dla każdego x ∈ X
orbita O(x) jest gęsta w X.
Nieformalnie mówiąc, (X, f ) jest układem minimalnym, jeśli nie jesteśmy w stanie wyodrębnić w nim niepustego, właściwego podzbioru, który spełnia definicję 1.1.
Definicja 1.5 oznacza w szczególności, że każdy punkt x należący do układu minimalnego X jest punktem tranzytywnym. Poniższy fakt podaje warunki równoważne
na minimalność układu dynamicznego:
Fakt 1.6. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Następujące warunki są równoważne:
1. X jest minimalny.
2. Dowolny punkt x ∈ X jest punktem tranzytywnym.
3. Dla dowolnego podzbioru Y ⊂ X takiego, że para (Y, f |Y ) jest układem dynamicznym zachodzi: Y = X lub Y = ∅.
Warunek (3) z faktu 1.6 oznacza, że układ minimalny nie zawiera żadnego nietrywialnego podukładu dynamicznego.
Definicja 1.7. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Punkt x ∈ X nazywamy
punktem minimalnym, jeśli układ (O(x), f |O(x) ) jest minimalny.
Łatwo zauważyć, że jeśli układ (X, f ) z powyższej definicji jest minimalny, to
każdy punkt x ∈ X jest punktem minimalnym.
Definicja 1.8. Niech (X, f ), (Y, g) będą układami dynamicznymi.
1. Jeśli istnieje ciągła surjekcja π : X → Y taka, że f ◦ π = π ◦ g, to (Y, g)
nazywamy faktorem układu (X, f ), natomiast układ (X, f ) nazywamy rozszerzeniem układu (Y, g),
2. Jeśli odwzorowanie π jest homeomorfizmem, to mówimy, że układy (X, f ) oraz
(Y, g) są topologicznie sprzężone.
9
Będziemy używać nazwy odwzorowanie faktoryzujące na odpowiednie odwzorowanie π spełniające warunki definicji 1.8. Jeśli postać odwzorowań f oraz g
będzie jasno wynikała z kontekstu będziemy je pomijać, używając określeń: Y jest
faktorem X lub odpowiedno: X jest rozszerzeniem Y .
Definicja 1.9. Układ (X, f ) jest tranzytywny, jeśli dla dowolnych niepustych
i otwartych podzbiorów U, V ⊂ X istnieje n ∈ N takie, że f n (U ) ∩ V 6= ∅.
W szczególnym przypadku, gdy zbiór X nie zawiera punktów izolowanych zachodzi następujący fakt, który przytaczamy za [33]:
Fakt 1.10. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Jeśli X nie zawiera punktów
izolowanych oraz zbiór punktów tranzytywnych T rans(X, f ) jest niepusty, to układ
(X, f ) jest tranzytywny.
Oznacza to w szczególności, że dla układów tranzytywnych zbiór punktów tranzytywnych jest niepusty. Istnienie punktu o gęstej orbicie nie jest jednak równoważne
tranzytywności układu, czego przykład można znaleźć w [33]. W tej samej pracy autorzy przedstawiają warunki równoważne tranzytywności. Kilka z nich przytaczamy
poniżej, wprowadzając uprzednio następującą notację dla x ∈ X oraz niepustych,
otwartych zbiorów U, V ⊂ X:
N (x, U ) = {n ∈ N : f n (x) ∈ U },
N (U, V ) = {n ∈ N : U ∩ f −n (V ) 6= ∅}.
Fakt 1.11. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Następujące warunki są równoważne:
1. Układ dynamiczny (X, f ) jest tranzytywny.
2. Dla dowolnych niepustych i otwartych podzbiorów U, V ⊂ X istnieje n ∈ N
takie, że f −n (U ) ∩ V 6= ∅.
3. Odwzorowanie f jest surjekcją i zbiór T rans(X, f ) jest niepusty.
4. Zbiory N (U, U ) dla dowolnego niepustego, otwartego U ⊂ X oraz zbiór punktów tranzytywnych T rans(X, f ) są niepuste.
Warto zaznaczyć, że każdy układ minimalny jest układem tranzytywnym. Własność tranzytywności w danym układzie oznacza, że dla dowolnie ustalonych dwóch
zbiorów otwartych pewna iteracja punktu z pierwszego zbioru trafi do zbioru drugiego.
Definicja 1.12. Układ dynamiczny (X, f ) nazywamy mieszającym, jeśli dla dowolnych niepustych i otwartych zbiorów U, V ⊂ X istnieje m ∈ N takie, że dla
dowolnego n ­ m zachodzi:
f n (U ) ∩ V 6= ∅.
Definicja 1.13. Układ (X, f ) nazywamy słabo mieszającym, jeśli układ dynamiczny (X × X, f × f ) jest tranzytywny.
10
W pracy [22] podany jest następujący warunek równoważny słabemu mieszaniu:
Lemat 1.14. Układ dynamiczny (X, f ) jest słabo mieszający wtedy i tylko wtedy,
gdy dla dowolnego m ∈ N oraz dowolnych niepustych, otwartych zbiorów Ui , Vi ⊂ X
gdzie i = 1, . . . , m istnieje k ∈ N takie, że:
f k (Ui ) ∩ Vi 6= ∅ dla i ¬ m.
Najczęściej będziemy dowodzić własności słabego mieszania korzystając z powyższego lematu 1.14 dla m = 2. Wprost z powyższych własności i definicji wynika,
że zarówno układ mieszający, jak i słabo mieszający są także tranzytywne.
Definicja 1.15. Mówimy, że zbiór B ⊂ N0 jest gruby, jeśli dla dowolnego n ∈ N
istnieje i ∈ N0 takie, że:
{i, i + 1, . . . , i + n} ⊂ B.
Z lematu 1.14 wynika, że jeśli układ (X, f ) jest słabo mieszający, to dla dowolnego n ∈ N układ (X
× ·{z
· · × X}, f × · · · × f ) jest tranzytywny. To pozwala nam
|
n
|
{z
n
}
wykazać następujące kryterium słabego mieszania:
Lemat 1.16. Układ (X, f ) jest słabo mieszający wtedy i tylko wtedy, gdy (X, f ) jest
tranzytywny oraz zbiór N (U, V ) jest gruby dla dowolnych niepustych i otwartych
zbiorów U, V ⊂ X.
Dowód. Załóżmy, że (X, f ) jest słabo mieszający. Wtedy dla dowolnego m ­ 2
układ:
(X m , f m ) = (X
× ·{z
· · × X}, f × · · · × f )
|
m
|
{z
m
}
jest tranzytywny. Ustalmy dowolny niepusty podzbiór otwarty U ⊂ X i zdefiniujmy:
U 0 = U n+1 oraz V 0 = U × f −1 (U ) × · · · × f −n (U ).
Ponieważ (X n+1 , f n+1 ) jest tranzytywny, to N (U 0 , V 0 ) jest niepusty. Istnieje więc
pewne k ∈ N takie, że k, k + 1, . . . , k + n ∈ N (U, V ), czyli zbiór N (U, V ) jest gruby.
Dla dowodu w drugą stronę ustalmy dowolne zbiory U1 , U2 , V1 , V2 ⊂ X niepuste
i otwarte. Układ (X, f ) jest tranzytywny z założenia, więc istnieją takie n, m ∈ N,
że:
U = U1 ∩ f −n (U2 ) 6= ∅ oraz V = V1 ∩ f −m (V2 ) 6= ∅.
Zbiór N (U, V ) jest gruby, więc dla n + m istnieje k ∈ N takie, że:
{k, k + 1, . . . , k + n + m} ⊂ N (U, V ).
To oznacza, że dla i = 0, 1, . . . , n + m zachodzi:
U ∩ f −(k+i) (V ) = U1 ∩ f −n (U2 ) ∩ f −(k+i) (V1 ) ∩ f −(k+i+m) (V2 ) 6= ∅.
Dla i = m istnieje więc x ∈ U ∩f −(k+n+m) (V ). W szczególności x ∈ U1 ∩f −(k+m) (V1 ).
Z kolei dla i = n istnieje y ∈ U ∩f −k (V ). W szczególności y ∈ f −n (U2 )∩f −(k+n+m) (V2 ).
11
Oznaczmy y 0 = f n (y) i zauważmy, że y 0 ∈ U2 ∩ f −(k+m) (V2 ). Z powyższego rozumowania wynika zatem, że:
f k+m (x) ∈ f k+m (U1 ) ∩ V1 6= ∅,
f k+m (y 0 ) ∈ f k+m (U2 ) ∩ V2 6= ∅,
co oznacza, że układ (X, f ) jest słabo mieszający.
Za pracą [50] przytaczamy następujący fakt:
Fakt 1.17. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym i niech x ∈ X będzie punktem
tranzytywnym. Jeśli dla dowolnego otoczenia U punktu x zbiór N (U, U ) zawiera ciąg
kolejnych liczb naturalnych długości k, to N (U, U ) zawiera także ciąg kolejnych liczb
naturalnych długości k + 1.
Za pracą [48] następujący warunek równoważny słabemu mieszaniu dla układów
tranzytywnych:
Lemat 1.18. Niech (X, f ) będzie układem tranzytywnym i niech x ∈ X będzie punktem tranzytywnym w X. Układ (X, f ) jest słabo mieszający wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnego otoczenia U punktu x istnieje n > 0 takie, że n, n + 1 ∈ N (U, U ).
Dowód. Załóżmy, że X jest słabo mieszający. Ustalmy pewne otoczenie U punktu
tranzytywnego x. Dla lematu 1.14 przyjmijmy U1 = U2 = V1 = U oraz f −1 (U ) = V2 .
Wtedy istnieje n > 0 takie, że:
f n (U ) ∩ U 6= ∅ i f n+1 (U ) ∩ U 6= ∅,
co oznacza, że n, n + 1 ∈ N (U, U )
Dla dowodu w drugą stronę skorzystamy z lematu 1.16. Wystarczy wykazać,
że zbiór N (U, U ) jest gruby dla dowolnego niepustego, otwartego zbioru U ⊂ X.
Wynika to bezpośrednio z faktu 1.17.
Wielkością, która szczególnie będzie nas interesować w dalszych rozważaniach
jest entropia topologiczna, której definicję wprowadzamy poniżej za [40].
Uwaga: Przyjmujemy, że w dalszym ciągu niniejszej rozprawy pisząc log mamy
na myśli logarytm o podstawie 2.
Definicja 1.19. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym i niech ε > 0. Zbiór
W ⊂ X nazywamy zbiorem (n, ε, f )-rozpinającym, jeśli dla dowolnego x ∈ X
istnieje y ∈ W takie, że:
d(f i (x), f i (y)) ¬ ε dla 0 ¬ i < n.
Z ciągłości odwzorowania f oraz zwartości X wynika, że dla dowolnego n ∈ N
oraz ε > 0 możemy znaleźć zbiór (n, ε, f )-rozpinający. Przez Span(n, ε, f ) oznaczmy
moc najmniejszego zbioru (n, ε, f )-rozpinającego.
12
Definicja 1.20. Entropię topologiczną h(X) układu dynamicznego (X, f ) definiujemy jako:
1
h(X) = lim lim sup log Span(n, ε, f ).
ε→0 n→∞ n
Entropia topologiczna h(X) może być nieujemną liczbą rzeczywistą, lub przyjmować wartość +∞. Zauważmy, że jeśli ε1 < ε2 , to Span(n, ε1 , f ) ­ Span(n, ε2 , f ).
Zatem ciąg lim supn→∞ n1 log Span(n, ε, f ) jest niemalejący przy ε zmierzającym do
zera i stąd wynika, że h(X) jest dobrze określone. Więcej informacji na temat entropii topologicznej można znaleźć w [58].
W definicji 1.8 wprowadziliśmy pojęcie faktora. Mając dane dwa układy (X, f )
oraz (Y, g) oraz odwzorowanie faktoryzujące π : X → Y pojawia się naturalne pytanie o istnienie związków pomiędzy wartościami entropii topologicznej tych układów.
Podsumowuje je następujący lemat, zacytowany za [6]:
Lemat 1.21. Niech (X, f ), (Y, g) będą układami dynamicznymi i niech π : X → Y
będzie odwzorowaniem ciągłym, spełniającym warunek f ◦ π = π ◦ g. Wtedy:
1. Jeśli π jest iniekcją, to h(X) ¬ h(Y ).
2. Jeśli π jest surjekcją, to h(X) ­ h(Y ).
3. Jeśli π jest bijekcją (czyli układy są topologiczne sprzężone), to h(X) = h(Y ).
Definicja 1.22. Układ (X, f ) nazywamy jednostajnie sztywnym, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje n ∈ N takie, że:
d(x, f n (x)) < ε dla każdego x ∈ X.
Definicja 1.22 oznacza więc, że iteracje dowolnego punktu powracają po pewnym
czasie w dowolnie małe otoczenie tego punktu.
Definicja 1.23. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Mówimy, że f ma własność specyfikacji jeśli f jest surjekcją oraz dla każdego ε > 0 istnieje N > 0
takie, że dla s ­ 2, dowolnego podzbioru {y1 , . . . , ys } ⊂ X oraz dowolnego ciągu
liczb naturalnych:
0 = j1 ¬ k1 < j2 ¬ k2 < · · · < js ¬ ks
spełniającego warunek jl+1 − kl ­ N dla l = 1, . . . , s − 1 istnieje punkt x ∈ X taki,
że dla dowolnego 1 ¬ m ¬ s oraz jm ¬ i ¬ km zachodzi:
d(f i (x), f i (ym )) < ε
(1)
Jeśli zachodzi warunek (1), to mówimy, że punkt x ε-śledzi punkty {y1 , . . . , ys }
dla i = jm , . . . , km , 1 ¬ m ¬ s lub, krócej, x śledzi yi dla i = jm , . . . , km .
Fakt 1.24. Załóżmy, że f ma własność specyfikacji. W definicji 1.23 możemy przyjąć s = ∞, co oznacza, że orbita punktu x z powyższej definicji śledzi nieskończony
ciąg punktów {yi }i∈N ⊂ X w myśl warunku 1, przyjmując, że jm+1 − km ­ N dla
m ∈ N.
13
Następujące własności układów z własnością specyfikacji cytujemy za [50]:
Fakt 1.25. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym z własnością specyfikacji.
Wtedy:
1. Dowolny faktor X ma własność specyfikacji.
2. Zbiór punktów okresowych P er(X, f ) jest gęsty w X.
3. Układ (X, f ) jest słabo mieszający.
4. Układ (X, f ) jest układem o dodatniej entropii topologicznej.
Parę (x, y) ∈ X × X nazywamy proksymalną, jeśli:
lim inf d(f n (x), f n (y)) = 0.
n→∞
Jeśli dla dowolnych x, y ∈ X para (x, y) jest proksymalna, to układ (X, f ) nazywamy układem proksymalnym. Za pracami [4] oraz [26] przytaczamy następującą
charakteryzację układów proksymalnych:
Twierdzenie 1.26. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym. Wtedy następujące
warunki są równoważne:
1. Układ (X, f ) jest proksymalny.
2. Dla dowolnego x ∈ X para (x, f (x)) jest parą proksymalną oraz X zawiera
dokładnie jeden punkt stały.
3. X zawiera punkt stały, który jest jedynym punktem minimalnym w X.
Jeśli dla x, y ∈ X zachodzi warunek:
lim d(f n (x), f n (y)) = 0,
n→∞
to parę (x, y) nazywamy asymptotyczną, natomiast jeśli para (x, y) jest proksymalna, ale nie jest asymptotyczna, nazywamy ją parą Li-Yorke’a. Jeśli każda para
różnych punktów x, y ∈ X, x 6= y jest parą Li-Yorke’a, to układ (X, f ) nazywamy
totalnie splątanym.
Wprowadzone poniżej pojęcia par DC1 i DC2 są pewnym wzmocnieniem omówionych powyżej typów par chaotycznych. Dla układu dynamicznego (X, f ), dowolnego
n ∈ N, dowolnych punktów x, y ∈ X oraz t > 0 definiujemy:
1
#{i : d(f i (x), f i (y)) < t, 0 ¬ i < n},
n
Φxy (t) = lim
inf Φ(n)
xy (t),
n→∞
Φ(n)
xy (t) =
Φ∗xy (t) = lim sup Φ(n)
xy (t).
n→∞
Wielkości Φxy , Φ∗xy nazywamy odpowiednio dolną i górną gęstością pary (x, y).
14
Definicja 1.27. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym i niech x, y ∈ X.
(DC1) Parę (x, y) nazywamy parą DC1, jeśli:
Φ∗xy (t) = 1 dla wszystkich t > 0 oraz Φxy (s) = 0 dla pewnego s > 0.
(DC2) Parę (x, y) nazywamy parą DC2, jeśli:
Φ∗xy (t) = 1 dla wszystkich t > 0 oraz Φxy (s) < 1 dla pewnego s > 0.
Mówiąc ogólnie definicja 1.27 oznacza, że orbity punktów tworzących parę DC1
są stosunkowo blisko siebie przez długie okresy czasu, ale znajdziemy też takie momenty, kiedy orbity są od siebie znacząco oddalone i ta sytuacja również utrzymuje
się przez relatywnie długie odcinki czasu. Natomiast orbity punktów tworzących
parę DC2 są położone stosunkowe blisko siebie, ale istnieją takie momenty, dla których górna gęstość jest mniejsza niż 1. Każda para punktów spełniających warunek
(DC1) spełnia także warunek (DC2).
Niepusty, zwarty podzbiór M ⊂ X nazywamy zbiorem doskonałym, jeśli nie
zawiera on punktów izolowanych. Zbiorem Cantora nazywamy dowolny zbiór doskonały i całkowicie niespójny (czyli taki, w którym każda składowa spójna zawiera
co najwyżej jeden punkt). Jeśli zbiór M ⊂ X może być przedstawiony jako co
najwyżej przeliczalna suma zbiorów Cantora, to M nazywamy zbiorem Mycielskiego. Zbiór M zawierający przeliczalne przecięcie otwartych i gęstych podzbiorów
X nazywamy zbiorem rezydualnym w X.
Definicja 1.28. Niech (X, f ) będzie układem dynamicznym i niech S ⊂ X.
1. Zbiór S nazywamy dystrybucyjnie splątanym (krócej: splątanym), jeśli
każda para (x, y) ∈ S × S \ ∆ jest parą DC1.
2. Zbiór S nazywamy dystrybucyjnie ε-splątanym (krócej: ε-splątanym) dla
pewnego ε > 0, jeśli S jest splątany i Φxy (ε) = 0 dla dowolnych x, y ∈ S,
x 6= y.
3. Jeśli w układzie dynamicznym (X, f ) istnieje nieprzeliczalny zbiór splątany
S, to układ ten nazywamy dystrybucyjnie chaotycznym. Jeśli dodatkowo
zbiór S jest ε-splątany, to mówimy, że układ (X, f ) jest jednostajnie dystrybucyjnie chaotyczny.
Poniższy fakt przytaczamy za [14]:
Fakt 1.29. Dla dowolnego ε > 0 zbiór ε-splątany może być albo domknięty albo
niezmienniczy, ale nie może posiadać obu tych własności jednocześnie.
Warunkiem przeciwstawnym do chaotyczności układu jest równociągłość.
Definicja 1.30. Układ dynamiczny (X, f ) nazywamy równociągłym, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla dowolnych x, y ∈ X spełniających warunek
d(x, y) < δ zachodzi d(f n (x), f n (y)) < ε dla n ∈ N0 .
15
Definicja 1.31. Punkt x ∈ X nazywamy punktem równociągłości układu dynamicznego (X, f ), jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że jeśli y ∈ X
spełnia warunek d(x, y) < δ, to d(f n (x), f n (y)) < ε dla n ∈ N0 .
Ze zwartości X wynika, że jeśli każdy element x ∈ X jest punktem równociągłości, to układ (X, f ) jest równociągły.
Definicja 1.32. Układ (X, f ) nazywamy prawie równociągłym, jeśli X zawiera
co najmniej jeden punkt równociągłości.
Definicja 1.33. Układ (X, f ) nazywamy wrażliwym na warunki początkowe,
jeśli istnieje ε > 0 takie, że dla dowolnego niepustego zbioru otwartego U ⊂ X
istnieją x, y ∈ U takie, że d(f n (x), f n (y)) > ε dla pewnego n ∈ N.
Wrażliwość na warunki początkowe oznacza, że w otoczeniu dowolnego punktu
znajdują się orbity punktów zachowujących się w sposób istotnie różny od danego.
W związku z tym dowolnie małe zaburzenie wprowadzone w działanie układu przy
wyznaczaniu punktu początkowego może skutkować znaczącymi zmianami zachowania układu.
Za pracą [2] przytaczamy twierdzenie charakteryzujące tranzytywne układy równociągłe:
Twierdzenie 1.34. Niech (X, f ) będzie tranzytywnym układem dynamicznym. Wtedy:
1. Jeśli (X, f ) jest prawie równociągły, to zbiór jego punktów równociągłości jest
równy zbiorowi T rans(X, f ). W szczególności każdy minimalny układ prawie
równociągły jest równociągły.
2. Jeśli (X, f ) nie zawiera punktów równociągłości, to jest wrażliwy na warunki
początkowe. W szczególności każdy minimalny układ dynamiczny może być albo równociągły, albo wrażliwy na warunki początkowe, ale nie może posiadać
obydwu tych własności równocześnie.
Kolejne twierdzenie pokazuje, że układ słabo mieszający nie może być równociągły:
Twierdzenie 1.35. Niech (X, f ) będzie układem słabo mieszającym, #X ­ 2.
Wtedy układ (X, f ) jest wrażliwy na warunki początkowe.
Dowód. Ustalmy p, q ∈ X, p 6= q i oznaczmy δ = d(p, q). Niech U, V będą otoczeniami odpowiednio p i q takimi, że U ∩ V = ∅. Bez straty ogólności możemy przyjąć,
że:
δ
δ
U = {x ∈ X : d(p, x) < } oraz V = {x ∈ X : d(q, x) < }.
3
3
δ
Przyjmijmy ε = 3 i ustalmy dowolny zbiór otwarty W ⊂ X. Z własności słabego
mieszania wynika, że istnieją x, y ∈ W oraz k ∈ N takie, że f k (x) ∈ U oraz
f k (y) ∈ V , ale w takim razie:
d(f k (x), f k (y)) > ε,
co oznacza, że układ jest wrażliwy na warunki początkowe.
16
Za [58] wprowadzimy podstawowe pojęcia dotyczące teorii ergodycznej, zajmującej się badaniem długoterminowego zachowania układów dynamicznych pod kątem
probabilistycznym.
Definicja 1.36. Niech (X, B, µ1 ) i (Y, C, µ2 ) będą przestrzeniami probabilistycznymi
i niech T : X → Y .
1. Odwzorowanie T nazywamy mierzalnym, jeśli T −1 (A) ∈ B dla dowolnego
A ∈ C.
2. Odwzorowanie T nazywamy zachowującym miarę, jeśli jest mierzalne oraz
dla dowolnego C ∈ C zachodzi: µ1 (T −1 (C)) = µ2 (C).
3. jeśli T : X → X jest odwzorowaniem zachowującym miarę oraz µ1 = µ2 , to
miarę µ1 nazywamy T -niezmienniczą.
Zauważmy, że własność zachowywania miary zależy od definicji rodziny B oraz
miary µ1 w (X, B, µ1 ). Jeśli spełniony jest punkt 2. z definicji 1.36, to czwórkę
(X, B, µ1 , T ) nazywamy układem zachowującym miarę.
Definicja 1.37. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech T będzie
odwzorowaniem zachowującym miarę. Odwzorowanie T nazywamy ergodycznym,
jeśli dla dowolnego zbioru mierzalnego A ∈ B spełniającego warunek T −1 (A) = A
zachodzi µ(A) ∈ {0, 1}.
Przy założeniach definicji 1.36 przyjmujemy oznaczenie L1µ1 na zbiór wszystkich
funkcji mierzalnych f : X → C, które spełniają warunek:
Z
|f |dµ1 < ∞.
Warto zaznaczyć, że tak zdefiniowana przestrzeń L1µ1 jest przestrzenią Banacha.
Następujące twierdzenie udowodnione przez G.D.Birkhoffa jest jednym z podstawowych wyników w teorii ergodycznej:
Twierdzenie 1.38. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną, f ∈ L1µ
i niech T : X → X będzie odwzorowaniem zachowującym miarę. Wtedy istnieje
T -niezmiennicza funkcja f ∗ ∈ L1µ taka, że:
X
1 n−1
f (T i (x)) = f ∗ (x)
n→∞ n
i=0
lim
prawie wszędzie. Ponadto f ∗ ◦ T = f ∗ oraz jeśli µ(X) < ∞ to f ∗ dµ = f dµ.
Jeśli RT jest ergodyczne, to f ∗ jest stała prawie wszędzie oraz jeśli µ(X) < ∞ to
f ∗ = f dµ.
R
R
Bardziej szczegółowe własności miar niezmienniczych można znaleźć w [58].
17
2
Podstawowe pojęcia dynamiki symbolicznej
Teoria układów dynamicznych bada zjawiska fizyczne, czy biologiczne tworząc ich
matematyczne modele. Często jednak zjawiska te są na tyle złożone, że już na etapie tworzenia odpowiadającego im modelu matematycznego potrzebne jest pewne
ich uproszczenie. Jednym z możliwych uproszczeń w ogólnej teorii jest dyskretyzacja
czasu w badanym układzie, czym zajmuje się teoria dyskretnych układów dynamicznych. Oznacza to, że badając zachowanie danego obiektu w ustalonej przestrzeni
obserwujemy stany, w jakich znajduje się ten obiekt w pewnych konkretnych odstępach (jednostkach) czasu nie zajmując się tym co dzieje się z obiektem pomiędzy
pomiarami. Dynamika symboliczna idzie o krok dalej, dyskretyzując także obserwowaną przestrzeń, czyli dzieląc ją na pewną, skończoną lub nieskończoną, liczbę
rozłącznych obszarów. Obserwacja takiego układu prowadzona jest w dyskretnych
jednostkach czasu i polega na odnotowaniu etykiet tych obszarów, w których znajduje się obserwowany obiekt w danych jednostkach czasu. Kolejność symboli w takim
nieskończonym ciągu etykiet opisującym trajektorię tego obiektu jest zgodna z kolejnością ”odwiedzania” przez badany obiekt obszarów o poszczególnych etykietach.
Niech A oznacza dowolny zbiór skończony. Zgodnie z konwencją przyjmujemy, że
A jest zbiorem postaci {0, 1, . . . , k − 1} dla pewnego k ∈ N. Taki zbiór A nazywamy
alfabetem o mocy k, a jego elementy nazywamy literami lub symbolami. Przez
A∗ oznaczamy wolny monoid generowany przez alfabet A. Elementami tego monoidu są skończone ciągi liter z alfabetu A, które nazywamy słowami. Długością
słowa x ∈ A∗ nazywamy liczbę liter występujących w tym słowie (wraz z powtórzeniami) i oznaczamy przez |x|. Zauważmy, że każdą literę z alfabetu A możemy
traktować jako słowo długości 1, z czego wprost wynika, że alfabet A zawiera się
w monoidzie A∗ .
Monoid A∗ rozważamy wraz z operacją konkatenacji, zdefiniowaną dla dowolnych
elementów a = a0 . . . am , b = b0 . . . bn ∈ A∗ następująco:
ab = a0 . . . am b0 . . . bn .
Elementem neutralnym konkatenacji jest słowo puste, oznaczane przez . Przyjmujemy, że || = 0.
Rozważmy zbiór nieskończonych ciągów nad alfabetem A:
AN0 = {x = {xn }n∈N0 : xn ∈ A dla każdego n ∈ N0 }.
Elementy powyższego zbioru zapisywane jako x = x0 x1 x2 . . . nazywamy nieskończonymi słowami lub ciągami. Każdy skończony podciąg kolejnych symboli elementu x ∈ AN0 nazywamy podsłowem, słowem lub blokiem.
Uwaga: W niektórych przypadkach będziemy stosować notację skróconą, przyjmujemy więc, że dla dowolnego słowa u ∈ A∗ symbol uk oznacza konkatenację
k bloków u, natomiast u∞ oznacza słowo nieskończone złożone z bloków u.
Podsłowo postaci xk xk+1 . . . xj dla k ¬ j oznaczamy przez x[k,j] , przy czym przyjmujemy, że x[k,k] = xk . Dla skończonego słowa x = x0 . . . xn oraz ustalonego k ¬ n
podsłowo postaci x[0,k] nazywamy prefiksem słowa x, natomiast podsłowo postaci
x[k,n] nazywamy sufiksem słowa x. Analogicznie definiujemy prefiks słowa nieskończonego x = x0 x1 x2 . . . jako podsłowo postaci x[0,k] dla k ∈ N0 .
18
W zbiorze AN0 możemy wprowadzić następującą metrykę:
(
d(x, y) :=
2− min{n∈N: xn 6=yn } dla x 6= y,
0
w przeciwnym przypadku.
W myśl metryki d dwa ciągi są położone tym bliżej siebie, im dłuższy jest ich
wspólny prefiks. Zbiór AN0 jest zwartą przestrzenią metryczną, w której możemy
zadać topologię pochodzącą od metryki d. Zbiory otwarte tworzące bazę tej topologii
to tak zwane zbiory cylindryczne, które definiujemy następująco dla dowolnego
skończonego słowa w = w0 . . . wk ∈ A∗ :
[w] = {x ∈ AN0 : x[0,k] = w}.
Definicja 2.1. Niech σ : AN0 → AN0 będzie odwzorowaniem zdefiniowanym następująco:
(σ(x))n = xn+1 dla każdego n ∈ N0 .
Odwzorowanie σ nazywamy odwzorowaniem przesunięcia lub, krócej, przesunięciem.
Łatwo zauważyć, że jest to odwzorowanie ciągłe.
Uwaga: W literaturze funkcjonuje także zapożyczona z języka angielskiego nazwa shift, odnosząca się zarówno do zdefiniowanego powyżej odwzorowania σ, jak
i do symbolicznego układu dynamicznego, w którym σ jest odwzorowaniem. Żeby
uniknąć niejednoznaczności w niniejszej pracy stosować będziemy wprowadzoną w
definicji 2.1 nazwę ”przesunięcie” na odwzorowanie σ oraz ”przestrzeń z przesunięciem” na zdefiniowany poniżej symboliczny układ dynamiczny.
Definicja 2.2. Niech X ⊂ AN0 . Parę (X, σ|X ) nazywamy przestrzenią z przesunięciem, jeśli spełnia następujące warunki:
1. X jest domknięty,
2. X jest σ-niezmienniczy, tzn. σ(X) ⊂ X.
W szczególności powyższą definicję 2.2 spełnia cały zbiór AN0 . Układ dynamiczny
(AN0 , σ) nazywamy pełną przestrzenią z przesunięciem nad alfabetem mocy k.
Podprzestrzenią przestrzeni z przesunięciem (X, σ|X ) nazywamy parę (Y, σ|Y )
taką, że Y ⊂ X, która spełnia definicję 2.2. Widać, że dowolna przestrzeń z przesunięciem jest jednocześnie podprzestrzenią pełnej przestrzeni z przesunięciem (AN0 , σ).
Uwaga: W definicji 2.2 restrykcja przesunięcia σ|X jest jednoznacznie związana ze zbiorem X. W związku z tym w dalszej części rozprawy będziemy stosować
oznaczenie σ zamiast σ|X , odnosząc ten symbol każdorazowo do odpowiedniego zawężenia przesunięcia σ z definicji 2.1.
Uwaga: Definicje własności dynamicznych wprowadzonych w rozdziale 1 odnoszą się także do przestrzeni z przesunięciem. Wart zaznaczenia jest fakt, że w przypadku tych przestrzeni odwzorowanie z definicji 1.1 układu dynamicznego jest zawsze tym samym przesunięciem σ, zawężonym jedynie do aktualnie rozważanego
podzbioru X ⊂ AN0 . Własności dynamiczne przestrzeni z przesunięciem zależą więc
19
w większej mierze od tego jakie elementy zawiera rozważany podzbiór X ⊂ AN0 , niż
od samego odwzorowania. W związku z tym określenia ”przestrzeń z przesunięciem”
będziemy używać w odniesieniu do danego zbioru X nieskończonych ciągów spełniającego warunki definicji 2.2, mając na myśli parę (X, σ). Podobnie będziemy pomijać
odwzorowanie σ w notacji T rans(X), Rec(X), P er(X) oznaczającej odpowiednio
zbiór punktów tranzytywnych, rekurencyjnych i okresowych przestrzeni z przesunięciem X. Własności takie jak tranzytywność, słabe mieszanie, własność specyfikacji,
jednostajna sztywność, entropia będziemy odnosić bezpośrednio do zbioru X z definicji 2.2.
Uwaga: W sytuacjach, gdy z kontekstu jasno wynika, że X jest przestrzenią
z przesunięciem będziemy stosować określenie ”przestrzeń X”.
Definicja 2.3. Ciąg u ∈ AN0 nazywamy minimalnym jeśli dla każdego n ∈ N
istnieje K ∈ N takie, że dla każdego j ∈ N0 zachodzi:
{i ∈ N0 : x[i,i+n] = x[0,n] } ∩ [j, j + K]} =
6 ∅.
Oznacza to, że ciąg u ∈ AN0 jest minimalny jeśli dowolne skończone podsłowo
występuje w ciągu u nieskończenie wiele razy, a długości przerw pomiędzy dwoma
kolejnymi wystąpieniami tego podsłowa są ograniczone z góry.
Dla dowolnego u ∈ AN0 możemy zdefiniować przestrzeń z przesunięciem generowaną przez ten element jako Xu = O(u), gdzie O(u) oznacza orbitę punktu u w myśl
definicji 1.2. Tego typu konstrukcja zapewnia, że dla pary (O(u), σ) są spełnione warunki z definicji 2.2, w szczególności zbiór O(u) jest domknięty i σ-niezmienniczy.
Ciąg u nazywamy wtedy ciągiem generującym lub generatorem przestrzeni X,
natomiast o przestrzeni X mówimy, że jest generowana przez ciąg u.
Dość oczywistym wydaje się fakt, że własności ciągu generującego przestrzeń
z przesunięciem zdefiniowanej w powyższy sposób nie pozostają bez wpływu na
własności całego układu. W szczególności zachodzi związek pomiędzy minimalnością ciągu, a minimalnością generowanej przez niego przestrzeni. Nie każda bowiem
przestrzeń z przesunięciem zdefiniowana jako domknięcie orbity pewnego nieskończonego ciągu jest minimalna, co pokazuje następujący przykład:
Przykład 2.4. Niech A = {0, 1}, u = 13 0∞ i niech X = O(u).
Wtedy X = {13 0∞ , 12 0∞ , 10∞ , 0∞ } zawiera minimalną podprzestrzeń Y = {0∞ }.
Zachodzi natomiast następujący fakt, którego dowód można znaleźć w [34]:
Fakt 2.5. Przestrzeń z przesunięciem Xu = O(u) jest minimalna wtedy i tylko wtedy,
gdy u jest ciągiem minimalnym.
Definicja 2.6. Dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem X językiem słów dopuszczalnych przestrzeni X (lub krócej: językiem przestrzeni) nazywamy
zbiór:
∞
L(X) =
[
Ln (X),
n=0
gdzie Ln (X) oznacza zbiór wszystkich słów długości n ∈ N występujących jako podsłowa w elementach przestrzeni X, to znaczy:
Ln (X) = {w ∈ A∗ : |w| = n oraz istnieją x ∈ X, i, j ∈ N0 takie, że i ¬ j, w = x[i,j] }.
20
Elementy L(X) nazywamy słowami dopuszczalnymi przestrzeni X.
Z własnościami słów należących do języka L(X) związane jest następujące pojęcie nieredukowalności:
Definicja 2.7. Mówimy, że przestrzeń z przesunięciem X jest nieredukowalna,
jeśli dla dowolnych słów u, v ∈ L(X) istnieje słowo w ∈ L(X) takie, że uwv ∈ L(X).
Definicja 2.7 oznacza, że dowolne dwa słowa dopuszczalne dla danej przestrzeni
można ”skleić” przy pomocy konkatenacji kolejnym słowem należącym do języka tej
przestrzeni, otrzymując także słowo dopuszczalne.
Przejdziemy do własności dynamicznych symbolicznych układów dynamicznych,
prezentując odpowiedniki definicji wprowadzonych w rozdziale 1 dla przestrzeni
z przesunięciem. Na początek podamy warunek równoważny tranzytywności dla tych
przestrzeni.
Fakt 2.8. Przestrzeń z przesunięciem X jest tranzytywna wtedy i tylko wtedy, gdy
jest nieredukowalna.
Dowód. Założmy, że przestrzeń X jest tranzytywna i ustalmy dowolne dopuszczalne
słowa u, v ∈ L(X). Niech [u], [v] oznaczają zbiory cylindryczne odpowiadające tym
słowom. Z tranzytywności wynika, że istnieje n ∈ N takie, że σ n ([u]) ∩ [v] 6= ∅, bądź,
równoważnie, [u] ∩ σ −n ([v]) 6= ∅. Niech więc z będzie elementem tego przecięcia.
Wtedy blok:
z[0,n+|v|−1] = uz[|u|,n−1] v
jest dopuszczalny, czyli dla w = z[|u|,n−1] spełniona jest definicja nieredukowalności.
Niech teraz X będzie nieredukowalną przestrzenią z przesunięciem. Ustalmy dwa
dowolne słowa dopuszczalne u, v ∈ L(X) i rozważmy ich zbiory cylindryczne [u], [v].
Pokażemy najpierw, że istnieje n ∈ N takie, że σ n ([u]) ∩ [v] 6= ∅. Z nieredukowalności
X wynika, że istnieje słowo w ∈ L(X) takie, że uwv jest dopuszczalne w X. Jeśli
przyjmiemy n = |uw|, to [u] ∩ σ −n ([v]) 6= ∅. Weźmy teraz dwa dowolne, otwarte,
niepuste zbiory U, V ⊂ X. Istnieją wtedy słowa u ∈ U oraz v ∈ V takie, że:
{x ∈ X : x[k,k+|u|−1] = u} ⊂ U,
{x ∈ X : x[l,l+|v|−1] = v} ⊂ V
dla pewnych k, l ∈ N.
Za pracą [27] przytaczamy następujący lemat:
Lemat 2.9. Niech X będzie tranzytywną przestrzenią z przesunięciem i niech x ∈ X
będzie punktem tranzytywnym. Przestrzeń X jest jednostajnie sztywna wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje rosnący ciąg liczb naturalnych {nk }k∈N taki, że dla dowolnego
ε > 0 istnieje N > 0 takie, że:
|xnk +j − xj | < ε dla k > N, j > 0.
21
Zauważmy, że powyższy lemat oznacza, że dla ciągu {nk }k∈N kolejne iteracje
punktu x zmierzają do identyczności. To mogłoby sugerować, że jednostajnie sztywne przestrzenie z przesunięciem będą raczej układami ”uporządkowanymi”, czyli
o dość prostej strukturze, i nie spotkamy się w nich ze skomplikowaną dynamiką.
Istnieją jednak przykłady układów jednostajnie sztywnych i jednocześnie słabo mieszających. Konstrukcję takiej przestrzeni zaprezentujemy w rozdziale 5.
Jednym z podstawowych pojęć tej pracy jest pojęcie entropii topologicznej. Entropia topologiczna w przypadku przestrzeni z przesunięciem generowanych przez
pewien nieskończony ciąg może być interpretowana w następujący sposób: każda
z liter alfabetu A, nad którym zbudowany jest ciąg generujący, występuje w nim
z pewnym prawdopodobieństwem. Jeśli przypiszemy każdemu z możliwych słów ze
zbioru Ln (X) liczbę wystąpień tego słowa w ciągu generującym, to entropia topologiczna określa jak bardzo rozkład prawdopodobieństwa pojawienia się danego słowa
długości n odbiega od rozkładu jednostajnego, w którym każde słowo ustalonej długości n ma takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia w ciągu (dla rozważanego
w tej pracy alfabetu dwuelementowego prawdopodobieństwo to wynosi 2−n ). Poniższą definicję entropii topologicznej dla przestrzeni z przesunięciem wprowadzamy za
[40]:
Definicja 2.10. Entropię topologiczną przestrzeni z przesunięciem X definiujemy jako:
1
h(X) = lim log |Ln (X)|.
n→∞ n
Dowód faktu, że dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem granica z definicji 2.10
istnieje można znaleźć w [40], podobnie jak dowód równoważności definicji 2.10 z definicją 1.20. Polega on na wykazaniu, że Span(σ, n, 2−k ) = |Ln+2k (X)|. Z definicji
wynika, że wartość h(X) należy do przedziału [0, 1] dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem X nad alfabetem dwuelementowym {0, 1}. Oznacza to w szczególności,
że wartość entropii topologicznej dla takiej przestrzeni nigdy nie jest nieskończona.
Na początku rozdziału zaznaczyliśmy, że domknięcie orbity pewnego nieskończonego ciągu ze zbioru AN0 jest przestrzenią z przesunięciem. Istnieją także inne
możliwości zdefiniowania domkniętego i σ-niezmienniczego podzbioru AN0 , jakim jest
taka przestrzeń. W zależności od wybranej metody konstrukcji i narzuconych warunków dodatkowych możemy spodziewać się różnych własności otrzymanego układu. Poniżej zaprezentujemy trzy z pośród możliwych sposobów definicji przestrzeni
z przesunięciem: poprzez zbiór słów zabronionych, przez podstawienie oraz przez
grafy etykietowane. Wprowadzimy także pojęcie przestrzeni z przesunięciem rzędu N dla N ∈ N. Jest to uogólnienie definicji 2.2, w którym rolę alfabetu odgrywa
nie zbiór symboli, lecz zbiór skończonych słów. Wśród skonstruowanych przestrzeni
wyróżnimy też pewne specjalne klasy. W przypadku przestrzeni z przesunięciem definiowanych przez zbiór słów zabronionych będą to przestrzenie skończonego typu,
w przypadku przestrzeni podstawieniowych - przestrzenie z przesunięciem generowane przez podstawienie niewymazujące. Przy definicji grafowej interesować nas będą
przestrzenie typu sofic, a zwłaszcza ich jednoznaczna w prawo reprezentacja grafowa.
Oznaczmy przez F dowolny podzbiór A∗ . Dla takiego zbioru słów F możemy
zdefiniować XF ⊂ AN0 jako zbiór wszystkich elementów AN0 , które nie zawierają
22
żadnego z elementów zbioru F jako podsłów. Zbiór F nazywamy zbiorem słów
zabronionych.
Zdefiniowany w ten sposób zbiór XF jest przestrzenią z przesunięciem, czego dowód można znaleźć w [40]. Jednocześnie dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem
X możemy zdefiniować zbiór słów zabronionych jako F = A∗ \ L(X), do którego
należą wszystkie te słowa, które nie występują jako podsłowa w elementach przestrzeni X. Warto jednak zaznaczyć, że dla danej przestrzeni z przesunięciem zbiór
jej słów zabronionych nie musi być określony jednoznacznie. W szczególności istnieją
takie przestrzenie, dla których wśród możliwych zbiorów słów zabronionych istnieje
skończony zbiór słów zabronionych. Nazywamy je przestrzeniami skończonego
typu.
Poniższy przykład przedstawia przestrzeń skończonego typu oraz dwa definiujące
go zbiory słów zabronionych - skończony oraz nieskończony.
Przykład 2.11. Niech A = {0, 1} oraz niech X ⊂ AN0 będzie zbiorem takich ciągów,
w których nie występuje blok 11. Wtedy X = XF1 dla F1 = {11}, ale jednocześnie
X = XF2 dla F2 = {1n : n ­ 2}.
Definicję 2.2 możemy rozszerzyć patrząc na nieskończone ciągi jako na pewien
układ nachodzących na siebie bloków ustalonej długości. Bloki te możemy traktować
jako elementy nowego, bardziej złożonego alfabetu. Opiszemy poniżej tę konstrukcję.
Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem nad alfabetem A. Dla N ∈ N
[N ]
[N ]
oznaczmy AX = LN (X). Zbiór słów dopuszczalnych w X długości N , czyli AX ,
traktujemy teraz jako alfabet. Zdefiniujmy odwzorowanie γN : X → (A[N ] )N0 następująco:
(γN (x))i = x[iN,iN +N −1] .
Odwzorowanie γN dzieli symbole nieskończonego ciągu x na bloki długości N , które
z kolei pełnią rolę symboli w ciągu nad alfabetem A[N ] .
Definicja 2.12. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem. Parę (X N , σN ), gdzie
X N = γN (X) ⊂ (A[N ] )N0 , natomiast σN : (A[N ] )N0 → (A[N ] )N0 jest zdefiniowane
następująco:
σN (γN (x)) = γN (σ N (x)) dla x ∈ X.
nazywamy przestrzenią z przesunięciem rzędu N .
Poniższy przykład przedstawia działanie odwzorowań γN oraz σN dla N = 4 oraz
x = {xi }i∈N0 ∈ AN0 :
Przykład 2.13. Niech x = {xi }i∈N0 ∈ AN0 i niech N = 4. Wtedy:




γ4 (x) = 


σ4 (γ4 (x)) = 


x3
x2
x1
x0

x7
x6
x5
x4









x7
x6
x5
x4
x11
x10
x9
x8
23










x11
x10
x9
x8
x15
x14
x13
x12





x15
x14
x13
x12



...




...

Jak pokazuje poniższy fakt stosowanie nazwy ”przestrzeń z przesunięciem” w definicji 2.12 ma uzasadnienie:
Fakt 2.14. Dla dowolnej przestrzeni z przesunięciem X oraz dowolnego N ∈ N para
(X N , σN ) jest przestrzenią z przesunięciem w myśl definicji 2.2.
Dowód powyższego faktu przedstawiony w [40] opiera się na zdefiniowaniu zbioru
słów zabronionych dla X N .
Uwaga: Od tego momentu przyjmujemy, że jeśli nie jest zaznaczone inaczej, to
A = {0, 1} jest alfabetem o mocy 2.
Definicja 2.15. Podstawieniem nazywamy dowolne odwzorowanie η : A → A∗ .
Dowolne podstawienie można jednoznacznie rozszerzyć do homomorfizmu monoidów
η̂ : A∗ → A∗ przyjmując:
η̂(a) = η(a) dla dowolnego a ∈ A,
oraz indukcyjnie:
η̂(ua) = η̂(u)η̂(a) dla dowolnych u ∈ A∗ , a ∈ A.
Podobnie można rozszerzyć podstawienie η na odwzorowanie działające na słowach
nieskończonych η∞ : AN0 → AN0 :
η∞ (x0 x1 x2 . . . ) = η(x0 )η(x1 )η(x2 ) . . .
Uwaga: Ponieważ z kontekstu jasno wynika, czy argumentem podstawienia jest
litera z alfabetu A, skończone słowo z monoidu A∗ , czy nieskończone słowo ze zbioru
AN0 , w dalszym ciągu rozprawy dla danego podstawienia η : A → A∗ będziemy
zawsze stosować oznaczenie η zamiast η̂ oraz η∞ .
Podstawienie nazywamy niewymazującym, jeśli η(a) 6= dla dowolnego a ∈ A.
W niniejszej pracy pisząc o podstawieniu mamy zawsze na myśli podstawienie niewymazujące.
Podstawienie jest stałej długości jeśli istnieje K ∈ N takie, że |η(a)| = K dla
każdego a ∈ A.
Definicja 2.16. Niech {xn }n∈N ⊂ A∗ będzie ciągiem słów. Jeśli istnieje granica
ciągu xn 0∞ , to oznaczamy ją przez:
Limn→∞ xn = lim xn 0∞ .
n→∞
Lemat 2.17. Niech η : A → A∗ będzie podstawieniem i niech a ∈ A spełnia następujące warunki:
1. Słowo a jest prefiksem słowa η(a).
2. |η(a)| ­ 2.
Wtedy podstawienie η : AN0 → AN0 ma dokładnie jeden punkt stały rozpoczynający
się symbolem a, mianowicie Limn→∞ η n (a).
24
Jeśli w sytuacji opisanej w powyższym lemacie istnieje więcej niż jedna litera
spełniająca założenia lematu, to każdej z nich odpowiada dokładnie jeden punkt
stały rozpoczynający się tą literą.
Zauważmy, że przy spełnionych założeniach lematu 2.17 blok η n (a) jest prefiksem
bloku η m (a) oraz prefiksem nieskończonego słowa η m (a)0∞ dla dowolnego n ∈ N oraz
m­n.
Mówimy, że przestrzeń z przesunięciem X jest generowana przez podstawienie lub jest przestrzenią podstawieniową, jeśli istnieje podstawienie η : A → A∗
spełniające warunki lematu 2.17, a co za tym idzie istnieje pewien punkt stały
u ∈ AN0 podstawienia η taki, że X = Xu .
Kolejną klasą przestrzeni rozważaną w niniejszej pracy są przestrzenie typu sofic. Ich definicja opiera się o teorię grafów, wprowadzimy zatem potrzebne pojęcia.
Dowody wyszczególnionych poniżej własności można znaleźć w [40].
Definicja 2.18. Grafem skierowanym G nazywamy parę (V, E), gdzie V jest
skończonym zbiorem wierzchołków, natomiast E jest skończonym zbiorem, którego
elementy nazywamy krawędziami. Każda krawędź e ∈ E ma wierzchołek początkowy
oraz końcowy oznaczane odpowiednio przez i(e) oraz t(e), gdzie i, t : E → V .
Warto zaznaczyć, że powyższa definicja dopuszcza grafy, w których występują krawędzie wielokrotne, czyli takie krawędzie e1 , e2 ∈ E, e1 6= e2 , dla których i(e1 ) = i(e2 ), t(e1 ) = t(e2 ), oraz pętle czyli krawędzie spełniające warunek
i(e) = t(e):
Przykład 2.19.
e1
u
e2
v
w
e4
e3
Dla powyższych grafów mamy:
i(e1 ) = i(e2 ) = i(e3 ) = u,
t(e1 ) = t(e2 ) = t(e3 ) = v,
i(e4 ) = t(e4 ) = w.
Skończony ciąg krawędzi ξ = e0 . . . en taki, że t(ej ) = i(ej+1 ) dla 0 ¬ j ¬ n − 1
nazywamy skończoną ścieżką w grafie. Analogicznie definiujemy ścieżkę nieskończoną ξ = e0 e1 . . . jako nieskończony ciąg krawędzi spełniający warunek
t(ej ) = i(ej+1 ) dla j ∈ N0 . Wierzchołkiem początkowym ścieżki jest i(ξ) = i(e0 ),
wierzchołkiem końcowym ścieżki skończonej jest t(ξ) = t(en ).
25
Definicja 2.20. Niech G = (V, E) będzie grafem skierowanym, gdzie przez V oznaczamy zbiór wierzchołków, a przez E ⊂ V × V zbiór krawędzi.
Grafem etykietowanym G nazywamy parę (G, λ), gdzie G jest grafem skierowanym, natomiast λ : E → A jest funkcją etykietującą, przyporządkowującą każdej
krawędzi ej ∈ E etykietę λ(ej ) ∈ A. Etykietą ścieżki skończonej ξ = e0 . . . en
w grafie G nazywamy element λ(ξ) ∈ A∗ :
λ(ξ) = λ(e0 ) . . . λ(en ).
Jeśli ξ = e0 e1 . . . jest nieskończoną ścieżką w G, to etykietą ξ nazywamy odpowiednio element λ∞ (ξ) ∈ AN0 :
λ∞ (ξ) = λ(e0 )λ(e1 ) . . .
Zbiór etykiet wszystkich nieskończonych ścieżek w G oznaczamy jako:
XG = {x ∈ AN0 : ∃ ξ ∈ XG , x = λ∞ (ξ)}.
Powyżej zdefiniowany zbiór XG jest przestrzenią z przesunięciem, czego dowód można
znaleźć w [40].
Definicja 2.21. Przestrzeń z przesunięciem X nazywamy przestrzenią typu sofic, jeśli istnieje graf etykietowany G taki, że X = XG . W takim przypadku graf G
nazywamy reprezentacją grafową przestrzeni X.
Reprezentacja grafowa przestrzeni typu sofic nie jest jednoznaczna, co pokazuje
następujący przykład:
Przykład 2.22. Poniższe grafy są reprezentacjami pełnej przestrzeni z przesunięciem AN0 :
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
Graf etykietowany G = (G, λ) nazywamy jednoznacznym w prawo, jeśli dla
dowolnego wierzchołka j ∈ V (G) wychodzące z niego krawędzie mają różne etykiety. Widać, że w każdym grafie jednoznacznym w prawo dla słowa w oraz ustalonego
wierzchołka j istnieje co najwyżej jedna ścieżka reprezentująca słowo w, która zaczyna się w wierzchołku j. Dla dowolnej przestrzeni typu sofic istnieje jej reprezentacja jednoznaczna w prawo. W szczególności spośród wszystkich takich reprezentacji
możemy wybrać tą, która ma najmniejszą liczbę wierzchołków. Wprowadzając definicję reprezentacji grafowej przestrzeni typu sofic zaznaczyliśmy, że dla ustalonej
26
przestrzeni X może istnieć wiele grafów etykietowanych G będących jej reprezentacją. Również wybór grafu jednoznacznego w prawo będącego reprezentacją danej
przestrzeni typu sofic X nie musi być jednoznaczny.
Przestrzenie typu sofic są faktorami przestrzeni skończonego typu, w szczególności każda przestrzeń skończonego typu jest przestrzenią typu sofic, natomiast nie
każda przestrzeń typu sofic jest przestrzenią skończonego typu. Klasa przestrzeni typu sofic jest najmniejszą klasą zawierającą przestrzenie skończonego typu oraz ich
faktory. W tym kontekście warto też przypomnieć, że określenie sofic, wprowadzone
przez B. Weissa, pochodzi od hebrajskiego słowa sofi oznaczającego ”skończony”.
3
Uogólniony ciąg Thuego-Morse’a i złożoność generowanej przez niego przestrzeni z przesunięciem
Ciąg Thuego-Morse’a i generowana przez niego przestrzeń z przesunięciem są jednymi z najbardziej znanych obiektów zarówno w kombinatoryce, jak i w dynamice
symbolicznej. Sam ciąg, oznaczany w niniejszej pracy przez tM , został odkryty niezależnie przez co najmniej trzech matematyków przełomu XIX i XX wieku: E. Prouheta, A. Thuego oraz M. Morse’a. Co ciekawe, motywacja każdego z nich oraz
tematyka badawcza która doprowadziła ich do konstrukcji ciągu tM była zupełnie
inna. Prouhet zajmował się konstrukcją takiego podziału zbioru {1, . . . , 2n+1 − 1}
na dwa podzbiory, by sumy elementów w obu podzbiorach były równe. Pierwszy
zbiór takiego podziału determinują pozycje, na których tM przyjmuje zera, a drugi
zbiór - pozycje, na których w tym ciągu występują jedynki. Problem Thuego polegał
na wskazaniu ciągu, który nie zawiera bloków w postaci uua, gdzie u ∈ A∗ , a ∈ A
oraz a jest prefiksem słowa u. Morse natomiast uzyskał ciąg tM badając własności
geodezyjnych na powierzchniach o stałej ujemnej krzywiźnie.
Zanim przedstawimy dwie równoważne definicje ciągu Thuego-Morse’a zaznaczmy, że dla dowolnego skończonego lub nieskończonego słowa x nad alfabetem {0, 1}
przez dopełnienie x rozumiemy słowo, które powstaje ze słowa x przez zamianę
każdego symbolu 1 na 0 i każdego symbolu 0 na 1. Zauważmy, że dla dowolnych skończonych słów x, y ∈ {0, 1}∗ konkatenacja ich dopełnień x y jest równa dopełnieniu
ich konkatenacji xy.
Definicja 3.1. Ciąg Thuego-Morse’a tM definiujemy jako:
tM = Limn→∞ µn (0),
gdzie µ : {0, 1} → {0, 1}∗ jest następującym podstawieniem:
µ(0) = 01,
µ(1) = 10.
(2)
Podstawienie µ dane wzorem (2) z definicji 3.1 spełnia warunek µ(0) = µ(1),
stąd wynika równość: µ(x) = µ(x).
27
Fakt 3.2. Równoważnie możemy zdefiniować ciąg tM rekurencyjnie:
tM = Limn→∞ Bn ,
gdzie dla każdego n ∈ N0 bloki Bn ∈ {0, 1}∗ są takie, że:
B0 = 0,
Bn+1 = Bn Bn .
Dowód. Wystarczy pokazać, że Bn = µn (0) dla n ∈ N0 .
Dla n = 0 mamy µ0 (0) = 0 = B0 oraz µ0 (1) = 1 = B0 .
Zakładając dla dowodu indukcyjnego, że µn (0) = Bn oraz µn (1) = Bn mamy:
Bn+1 = Bn Bn = µn (0)µn (0) = µn (0)µn (1) = µn (01) = µn+1 (0).
oraz:
Bn+1 = Bn Bn = Bn Bn = µn (1)µn (0) = µn (10) = µn+1 (1).
Jak zaznaczyliśmy wcześniej przestrzeń z przesunięciem może być generowana
przez dowolny nieskończony ciąg nad alfabetem A = {0, 1} jako domknięcie orbity
tego ciągu. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń z przesunięciem generowana przez ciąg Thuego-Morse’a. Oznaczamy ją przez XM i nazywamy przestrzenią
Thuego-Morse’a.
W literaturze można znaleźć wiele przykładów uogólnień ciągu tM . Poza podanymi powyżej definicjami, innym sposobem na zdefiniowane ciągu Thuego-Morse’a
jest przyjęcie jako n-ty symbol ciągu sumę cyfr ( mod 2) w rozwinięciu dwójkowym liczby n. Naturalnym rozszerzeniem takiej definicji jest zmiana rozwinięcia zamiast dwójkowego, możemy stosować rozwinięcie o bazie k dla dowolnego naturalnego k > 1, lub sumować cyfry rozwinięcia dwójkowego ( mod k). Tego typu
uogólnienia były rozważane w pracy [57]. Innym uogólnieniem jest próba definicji
ciągu o strukturze podobnej do ciągu tM nad alfabetem o więcej niż dwóch symbolach. Problem ten był rozważany w pracy [41], gdzie autorzy badają dodatkowo
własności spektralne przestrzeni generowanych przez tego typu ciągi.
W niniejszej pracy rozważamy następujące uogólnienie ciągu tM :
Definicja 3.3. Niech Λ = {an }n∈N będzie dowolnie ustalonym ciągiem liczb naturalnych. Zdefiniujmy:
u1 = 0a1
un+1 = (un vn )an+1
v1 = 1a1
vn+1 = (vn un )an+1 .
Ciąg:
T = TΛ = Limn→∞ un .
nazywamy uogólnionym ciągiem Thuego-Morse’a.
28
(3)
Jak widać, uogólnienie zaprezentowane w tej pracy odwołuje się do blokowej
budowy ciągu oraz jego rekurencyjej definicji. Jeśli Λ jest ciągiem stale równym
1, to T = tM jest ciągiem Thuego-Morse’a. Poniższy przykład przybliża bardziej
szczegółowo sposób konstrukcji uogólnionego ciągu Thuego-Morse’a zdefiniowanego
przy pomocy Λ = {an }n∈N , gdzie an = n dla każdego n ∈ N:
Przykład 3.4. Niech Λ = {an }n∈N , gdzie an = n dla każdego n ∈ N. Wtedy:
u1 = 0
u2 = 0101
u3 = (01011010)3
...
v1 = 1,
v1 = 1010,
v1 = (10100101)3 ,
Ciąg T rozpoczyna się zatem następującym blokiem:
T = 010110100101101001011010101001011010010110100101 . . .
Warto podkreślić, że możliwość dowolnego wyboru rosnącego ciągu Λ w definicji
3.3 pozwala na skonstruowanie całej klasy takich ciągów TΛ . Oczywistym wydaje
się być fakt, że pewne kombinatoryczne własności ciągu TΛ zależą od własności
wybranego ciągu Λ (np. od monotoniczności ciągu Λ), co z kolei nie pozostaje bez
wpływu na własności przestrzeni generowanej przez TΛ . Mając tego świadomość,
w dalszym ciągu pracy uogólniony ciąg Thuego-Morse’a będziemy oznaczać przez T
przyjmując, że ciąg Λ jest ustalony. Ciąg T ma następujące, łatwe do udowodnienia,
własności:
Lemat 3.5. Niech un , vn oraz Λ = {an }n∈N będą takie, jak w definicji 3.3 uogólnionego ciągu Thuego-Morse’a T . Wtedy:
1. un = vn dla każdego n ∈ N.
2. sn = |un | = |vn | = 2n−1
Qn
i=1
ai dla każdego n ∈ N,
Dowód.
1. Bezpośrednio z definicji 3.3 widać, że u1 = v1 . Załóżmy, że un = vn . Wtedy:
vn+1 = (vn un )an+1 = (vn un )an+1 = (un vn )an+1 = un+1 .
2. Zauważmy, że |u1 | = |v1 | = a1 . Z symetrii definicji {un }n∈N oraz {vn }n∈N
wynika, że dowód możemy przeprowadzić dla jednego z nich. Załóżmy zatem,
że dla pewnego n ∈ N zachodzą wzory:
|un | = 2n−1
n
Y
ai oraz |un | = |vn |.
i=1
Wtedy:
|un+1 | = |(un vn )an+1 | = an+1 |un vn | = 2an+1 |un | = 2n
n+1
Y
i=1
29
ai .
W poniższych rozważaniach zajmiemy się w szczególności wartościami entropii
topologicznej oraz zdefiniowanej poniżej wartości entropii ciągowej przestrzeni generowanych przez uogólnione ciągi Thuego-Morse’a. Konstrukcja prowadzi do przeliczalnej klasy przestrzeni z przesunięciem o zerowej entropii topologicznej i jednocześnie niezerowej, ale ograniczonej wartości entropii ciągowej. Szczególną uwagę
poświęcimy przypadkowi, gdy ciąg Λ z definicji 3.3 jest stały. Przestrzenie generowane przez takie uogólnione ciągi Thuego-Morse’a spełniają bardziej restrykcyjne
warunki. Są to podstawieniowe przestrzenie o skończonej entropii ciągowej, równej
log 2.
Tak jak zaznaczyliśmy wcześniej, badanie entropii topologicznej nie jest jedynym
parametrem składającym się na opis złożoności danej przestrzeni. Zamiast rozważać
bloki kolejnych liter występujących jako podsłowa w danym ciągu nieskończonym
możemy uogólnić ten problem i szukać słów długości n budowanych z symboli, które
występują na pozycjach zadanych z góry przez n pierwszych wyrazów dowolnego
rosnącego ciągu liczb naturalnych. Intuicyjnie widać, że im więcej różnych słów
będziemy w stanie znaleźć przykładając tak skonstruowany ”szablon” długości n
do danego ciągu i przesuwając go w prawo, tym bardziej skomplikowaną strukturę
spodziewamy się zaobserwować w przestrzeni.
Niech τ ∈ NN0 0 będzie rosnącym ciągiem i niech x ∈ AN0 . Dla ustalonego n ∈ N
i dla dowolnego k ∈ N0 definiujemy słowo długości n:
(n)
xhk+τ i = xk+τ (0) xk+τ (1) . . . xk+τ (n−1) .
Definicja 3.6. Niech τ ∈ NN0 0 będzie dowolnie ustalonym ciągiem rosnącym. Słowo
w ∈ A∗ długości n nazywamy n-wzorcem ciągu x ∈ AN0 , jeśli istnieje k ∈ N0
(n)
takie, że xhk+τ i = w.
Mówimy wtedy, że słowo w występuje w ciągu nieskończonym x wzdłuż pozycji
zadanych przez ciąg τ . Jeśli długość słowa jasno wynika z kontekstu, będziemy pisać
xhk+τ i pomijając górny indeks (n).
Definicja 3.7.
1. Liczbę różnych n-wzorców, które występują w ciągu nieskończonym x wzdłuż
pozycji ustalonych przez ciąg τ nazywamy złożonością n-wzorca i oznaczamy przez px (n, τ ).
2. Maksymalną złożoność n-wzorca definiujemy jako:
p∗x (n) = sup px (n, τ ),
τ
gdzie supremum bierzemy po wszystkich rosnących ciągach τ ∈ NN0 0 .
Żeby lepiej zrozumieć definicję n-wzorca możemy wyobrazić sobie pewien szablon, który zakrywa wszystkie pozycje ciągu x poza tymi, których indeksy są równe
wartościom ciągu τ . Taki szablon przykładamy do ciągu x i przesuwamy w prawo,
30
sprawdzając za każdym przesunięciem czy widoczne symbole tworzą słowo długości
n, które nie pojawiło się wcześniej. Ciąg τ odpowiadający szablonowi, dla którego uzyskamy w ten sposób najwięcej parami różnych słów długości n jest ciągiem
realizującym supremum z powyższej definicji maksymalnej złożoności n-wzorca.
Przykład 3.8. Rozważmy nieskończone słowo u = (01)∞ oraz ciąg τ (i) = 2i. Dla
dowolnego n ∈ N możemy znaleźć w u dokładnie dwa różne n-wzorce, mianowicie 0n
oraz 1n . Zauważmy jednak, że z budowy nieskończonego słowa u wynika, że wybierając w definicji 3.6 dowolny ciąg τ zawsze uzyskamy dokładnie dwa n-wzorce, które
będą swoimi wzajemnymi dopełnieniami. Zatem maksymalna złożoność n-wzorca dla
tego ciągu wynosi p∗u (n) = 2.
Wprowadzimy teraz kolejną wielkość, charakteryzującą złożoność danej przestrzeni z przesunięciem. Warto zaobserwować, że wprowadzona poniżej definicja entropii ciągowej jest uogólnieniem definicji entropii topologicznej 1.20 wprowadzonej
dla dowolnych układów dynamicznych.
Definicja 3.9. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem, n ∈ N, ε > 0 i niech
τ ∈ NN0 0 będzie ciągiem rosnącym.
1. Mówimy, że zbiór W ⊂ X jest zbiorem (τ, ε, n)-rozpinającym dla pewnego zbioru B ⊂ X jeśli dla każdego x ∈ B istnieje y ∈ W takie, że:
d(σ τ (i) (x), σ τ (i) (y)) < ε dla i = 0, . . . , n − 1.
2. Zbiór W ⊂ X jest (τ, ε, n)-rozpinający, jeśli (τ, ε, n)-rozpina przestrzeń X.
Dla danej przestrzeni X przez Span(τ, ε, n) oznaczamy najmniejszą moc ze wszystkich możliwych zbiorów (τ, ε, n)-rozpinających.
Definicja 3.10. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem i niech τ ∈ NN0 0 będzie
ustalonym ciągiem rosnącym. Entropię ciągową przestrzeni z przesunięciem
X wzdłuż ciągu τ definiujemy następująco:
hτ (X) = lim lim sup log Span(τ, ε, n).
ε→0
n→∞
Entropię ciągową przestrzeni z przesunięciem X definiujemy następująco:
h∞ (X) = sup hτ (X),
τ
gdzie supremum bierzemy po wszystkich rosnących ciągach τ ∈ NN0 0 .
Tak jak wspomnieliśmy wcześniej, definicja entropii ciągowej jest uogólnieniem
definicji 1.20. Przyjmując w definicji 3.10, że ciąg τ składa się z kolejnych liczb
naturalnych poczynając od zera widzimy, że wartość entropii ciągowej jest równa
wartości entropii topologicznej. Jednak w przeciwieństwie do entropii topologicznej,
której wartości były ograniczone od góry przez 1, entropia ciągowa dla przestrzeni
z przesunięciem przyjmuje wartości ze zbioru [0, +∞). W dalszym ciągu pracy zajmiemy się przypadkiem przestrzeni z przesunięciem generowanej przez uogólniony
31
ciąg Thuego-Morse’a pokazując, że fakt, iż dla danej przestrzeni wartość entropii
topologicznej wynosi zero (czyli jest to przestrzeń deterministyczna) nie oznacza, że
entropia ciągowa także musi być zerowa.
Ponieważ przestrzeń Thuego-Morse’a XM jest podstawieniowa oraz minimalna,
a podstawienie definiujące generujący tę przestrzeń ciąg tM jest stałej długości, to
jej entropia topologiczna wynosi 0. Jest to wniosek z nieco ogólniejszego twierdzenia
przedstawionego w [32]. W pracy [39] mamy natomiast dowód faktu, że entropia
ciągowa tej przestrzeni wynosi log 2. Zgodnie z pracą [30] wiemy, że maksymalna
złożoność wzorca dla ciągu Thuego-Morse’a tM wynosi p∗tM (n) = 2n dla n ∈ N i jej
wartość jest realizowana dla ciągu τ (i) = 22i − 1. Oznacza to, że istnieje taki ciąg
τ , dla którego możemy odnaleźć wszystkie możliwe słowa długości n nad alfabetem
{0, 1} jako n-wzorce w ciągu tM występujące wzdłuż pozycji zadanych przez τ .
Lemat 3.11. Niech τ (i) = 22i − 1 dla i ∈ N0 , ustalmy dowolne ε > 0 oraz n ∈ N.
Niech W będzie zbiorem (τ, ε, n)-rozpinającym dla przestrzeni Thuego-Morse’a XM
takim, że #W = Span(τ, ε, n). Wtedy #W ­ 2n .
Dowód. Realizowana dla ciągu τ wartość maksymalnej złożoności n-wzorca wynosi
(n)
(n)
p∗tM (n) = 2n . Oznacza to, że jeśli x, y ∈ XM są takie, że xh0+τ i 6= xh0+τ i , to istnieje
j ∈ {0, . . . , n − 1} takie, że:
d(σ τ (j) (x), σ τ (j) (y)) = 1 > ε.
W takim razie zbiór W musi zawierać co najmniej 2n elementów, z których każdy
odpowiada jednemu z możliwych n-wzorców.
W dalszej części rozdziału wykażemy, że ciąg τ z lematu 3.11 realizuje wartość
entropii ciągowej dla tej przestrzeni.
Niech XT = O(T ) będzie przestrzenią generowaną przez uogólniony ciąg ThuegoMorse’a T zdefiniowany wzorem (3). Zauważmy, że jeśli wykorzystywany w tym
wzorze ciąg Λ z definicji 3.3 jest stały, to ciąg T można wygenerować przez podstawienie:
Lemat 3.12. Załóżmy, że Λ = {an }n∈N jest ciągiem stałym takim, że an = a ­ 2
dla wszystkich n ∈ N i zdefiniujmy podstawienie Ψa : {0, 1} → {0, 1}∗ następująco:
Ψa (0) = 0a 1a
Ψa (1) = 1a 0a .
(4)
Wtedy T = Limn→∞ Ψna (0).
Dowód. Niech a ­ 2 będzie takie, że an = a dla n ∈ N i oznaczmy Ψ = Ψa . Przy
pomocy indukcji pokażemy, że T[0,|un vn |−1] = Ψn (0) dla wszystkich n ∈ N. Dla
n = 1 mamy:
T[0,2a−1] = 0a 1a = Ψ(0).
Załóżmy, że wzór (4) zachodzi dla pewnego n ­ 1. Wtedy:
T[0,|un+1 vn+1 |−1] = un+1 vn+1 = (un vn )a (vn un )a
= (Ψn (0))a (Ψn (1))a
= Ψn+1 (0).
32
Oczywiście jeśli przyjmiemy an = 1 dla wszystkich n ­ 1, to T = tM . Powyższe
twierdzenie jest więc spełnione także dla a = 1 bezpośrednio z definicji 3.1 ciągu
Thuego-Morse’a. Łatwo zaobserwować także następującą własność:
Lemat 3.13. Dla dowolnie ustalonego n ∈ N każdy element x ∈ XT może być
jednoznacznie przedstawiony jako konkatenacja x = rn w, gdzie rn ∈ {0, 1}∗ oraz
0 ¬ |rn | < |un |, słowo w natomiast jest nieskończoną konkatenacją bloków un
i vn . W szczególności dla ciągu T zachodzi warunek: rn = .
Dowód. Ustalmy n ∈ N oraz dowolne x ∈ XT . Istnieje więc k ∈ N takie, że
σ k (T ) = x. Z definicji uogólnionego ciągu Thuego-Morse’a wiemy, że T możemy przedstawić następująco:
T = w(1) w(2) w(3) . . . , gdzie w(i) ∈ {un , vn } dla każdego i ∈ N.
Jeśli |un | nie dzieli k, to w ciągu T istnieje M ∈ N takie, że pewien sufiks bloku
w(M ) jest prefiksem x:
(M )
x = σ k (T ) = wj
(M )
. . . w|un |−1 w(M +1) w(M +2) . . . dla pewnego j < |un |.
(M )
(M )
W tym przypadku reszta rn = wj . . . w|un |−1 jest odpowiednim sufiksem bloku
w(M ) ∈ {un , vn }, rozpoczynającym się od j-tego symbolu tego bloku, natomiast
blok w jest równy konkatenacji w(M +1) w(M +2) . . .
Jeśli k jest wielokrotnością długości bloku un , to istnieje blok o numerze L taki,
że:
x = σ k (T ) = w(L) w(L+1) . . .
Wtedy rn = , w = x.
Jeśli natomiast x = limj→∞ xj dla xj ∈ O(T ), to istnieje pewien ciąg {kj }j∈N
taki, że xj = σ kj (T ). Z rozumowania powyżej wynika, że każde z xj da się przedstawić w postaci z tezy: xj = rn(j) w(j) . Istnieje więc J ∈ N takie, że dla każdego
j > J zachodzi rn(j) = rn(J) , natomiast skoro każde z nieskończonych słów w(j) jest
konkatenacją bloków un i vn , to także ich granica w będzie konkatenacją bloków un
i vn . W związku z tym x = rn(J) w.
Twierdzenie 3.14. Maksymalna złożoność n-wzorca dla ciągu T wynosi p∗T (n) = 2n
Q
dla każdego n ∈ N i jest osiągana dla ciągu τ (i) = 22i−1 ( 2i
j=1 aj ) − 1 dla i ­ 1 oraz
τ (0) = 0.
Dowód. Ustalmy n ∈ N. Wykażemy najpierw, że każdy możliwy n-wzorzec występuje w bloku u2n oraz że każdy z tych n-wzorców może być rozszerzony do dokładnie
dwóch (n + 1)-wzorców dopuszczalnych w ciągu T poprzez dodanie na końcu symbolu 0 lub 1. Zauważmy, że jeśli wzorzec T<0+τ > = Tτ (0) . . . Tτ (n−1) występuje w u2n ,
to musi występować także w bloku u2n−1 , ponieważ zgodnie z lematem 3.5:
2n−2
Y
τ (n − 1) = 22n−3 (
aj ) − 1 < 22n−2 (
j=1
2n−1
Y
j=1
33
aj ) = |u2n−1 |.
Skoro u2n = (u2n−1 v2n−1 )a2n , a zgodnie z lematem 3.13 ciąg T jest zbudowany z bloków u2n , v2n , to istnieje pewne l ­ 1 takie, że Th0+τ i = Thl+τ i .
Niech teraz n = 1. Wszystkie możliwe 1-wzorce, czyli 0 i 1 występują w bloku
u2 . Jeśli szukamy 2-wzorców w bloku u4 wzdłuż ciągu τ widzimy, że 01 = Th0+τ i ,
11 = Tha1 +τ i . Pozostałe 2-wzorce, czyli 00 oraz 10 możemy znaleźć symetrycznie
w drugiej połowie bloku u4 , co wynika bezpośrednio z definicji ciągu T .
Ustalmy dowolny n-wzorzec q dla n ­ 2 i rozważmy jego pierwsze wystąpienie
w ciągu T . Z założenia indukcyjnego wiemy, że q występuje w bloku:
u2n = T[0,22n−1 Q2n
j=1
aj −1]
,
więc q = Thk+τ i dla pewnego k ­ 1. Zauważmy także, że τ (n) = |u2n | − 1. Na końcu
n-wzorca q dopiszmy teraz symbol Tk+τ (n) , występujący na pozycji n + 1 wybranej
zgodnie z ciągiem τ . Symbol Tk+τ (n) , leży na pozycji k + τ (n) w kolejnym bloku,
czyli w u2n lub v2n .
(n+1)
Dla przykładu: jeśli blok q0 = Thk+τ i występuje w bloku u2n u2n , to w bloku
u2n v2n zobaczymy negację ostatniego symbolu tego słowa, czyli na miejscu ostatniego
0 pojawi się 1. Stąd:
(n+1)
Thk0 +τ i = q1 dla pewnego k 0 6= k.
Jednocześnie zarówno u2n u2n jak i u2n v2n są podsłowami bloku u2n+2 .
Zaczęliśmy całą konstrukcję od wszystkich możliwych 2-wzorców występujących
w u4 , więc zgodnie z powyższym rozumowaniem wszystkie możliwe n-wzorce dla
n ­ 2 są możliwe do odnalezienia w ciągu T i wszystkie występują w u2n . To
oznacza, że:
pT (n + 1, τ ) = 2pT (n, τ ) = 2n+1 ,
a co za tym idzie: p∗T (n) = 2n .
Ustalenie dokładnej wartości entropii ciągowej dla przestrzeni generowanej przez
ciąg T w ogólnym przypadku (czyli nie narzucając żadnych warunków na postać
ciągu Λ = {an }n∈N wykorzystywanego we wzorze (3) z definicji 3.3 ciągu T ) wydaje się wysoce skomplikowane. Natomiast przy pewnych dodatkowych założeniach
o ciągu Λ z definicji 3.3 możemy wyznaczyć tę wartość. W szczególności zajmiemy
się teraz sytuacją, w której ciąg Λ jest stały, czyli, jak pokazaliśmy w lemacie 3.12,
ciąg T jest generowany przez pewne podstawienie.
Przejdziemy teraz do przygotowania aparatu dowodowego dla głównych wyników
tego rozdziału. Istotną rolę odgrywać będą wszelkie twierdzenia dotyczące wartości
entropii ciągowej dla przestrzeni podstawieniowych. Uogólnimy także wprowadzone
w definicji 1.8 pojęcia faktora, rozszerzenia oraz odwzorowania faktoryzującego:
Definicja 3.15. Niech (X, f ), (Y, g) będą układami dynamicznymi, a π : X → Y
odwzorowaniem faktoryzującym. Jeśli istnieje n ∈ N takie, że dla dowolnego y ∈ Y
zachodzi warunek π −1 (y) ¬ n, to układ Y nazywamy co najwyżej n-do- 1 faktorem układu X, natomiast układ X nazywamy co najwyżej n-do-1 rozszerzeniem układu Y . W takim przypadku odwzorowanie π nazywamy odwzorowaniem
co najwyżej n-do-1 faktoryzującym.
34
Następujące twierdzenie zacytowane za [23] łączy własności tego typu faktorów
i entropii ciągowej:
Twierdzenie 3.16. Niech π : X → Y będzie odwzorowaniem faktoryzującym przestrzeni z przesunięciem X oraz Y , generowanych przez pewne nieskończone ciągi
nad alfabetem {0, 1}, takim, że dla pewnego n ∈ N i dla wszystkich y ∈ Y zachodzi
π −1 (y) ¬ n oraz niech τ ∈ NN0 0 będzie ciągiem rosnącym. Wtedy:
hτ (X) ¬ hτ (Y ) + log n.
Zauważmy, że w przypadku entropii topologicznej analogiczne twierdzenie zachodzi z równością h(X) = h(Y ). Na przykładzie konstruowanych w dalszych rozważaniach przestrzeni zobaczymy, że w powyższej nierówności dla entropii ciągowej
istotnie nie można pominąć składnika log n po prawej stronie.
W szczególności równość wartości entropii topologicznej dwóch przestrzeni z przesunięciem nie implikuje równości wartości entropii ciągowej.
Przytoczymy poniżej twierdzenie 6.2 z pracy [23], które zaprezentujemy ze zmodyfikowanymi na potrzebę niniejszej rozprawy oznaczeniami:
Twierdzenie 3.17. Niech Θ : {0, 1} → {0, 1}∗ będzie podstawieniem określonym
następująco:
Θ(0) = b0 . . . bn−2 bn−1 ,
Θ(1) = b0 . . . bn−2 b0n−1 ,
gdzie n ­ 2, bi , b0n−1 ∈ {0, 1} dla i = 0, . . . , n − 1, przy czym bn−1 = b0n−1 . Niech
X = Xu będzie przestrzenią generowaną przez ciąg u = Limn→∞ Θn (0). Wtedy
h∞ (X) = 0.
Założenia narzucone na podstawienie Θ w twierdzeniu 3.17 oznaczają, że słowa,
będące obrazami symboli z alfabetu przez podstawienie Θ, różnią się tylko ostatnim
symbolem.
Zdefiniujmy odwzorowanie D : XT 3 x 7→ D(x) ∈ {0, 1}N0 przyjmując:
(D(x))i = xi+1 − xi (
mod 2).
(5)
Analogicznie możemy zdefiniować D(w) dla dowolnego skończonego słowa w pamiętając o tym, że wtedy |D(w)| = |w| − 1. Zauważmy, że dla każdego y ∈ D(XT )
zbiór D−1 (y) jest co najwyżej dwuelementowy. Jeśli zarówno x jak i x należą do XT ,
wtedy powyższy zbiór ma dokładnie dwa elementy: jeśli D(x) = y dla pewnego x,
to także D(x) = y.
Fakt 3.18. Niech T będzie uogólnionym ciągiem Thuego-Morse’a zdefiniowanym
przy pomocy stałego ciągu Λ = {an }n∈N takiego, że an = a dla n ∈ N oraz pewnego
całkowitego a ­ 2. Wtedy ciąg D(T ) jest generowany przez następujące podstawienie
Θ : {0, 1} → {0, 1}∗ :
Θ(0) = (0a−1 1)a
Θ(1) = (0a−1 1)a−1 0a .
35
Dowód. Dla prostoty obliczeń przyjmijmy, że a = 2. Wtedy T = Limn→∞ un , gdzie:
u1 = 00
un+1 = un vn un vn
v1 = 11
vn = vn un vn un .
Z lematu 3.12 wiemy, że w tym przypadku T = Limn→∞ Ψn2 (0), gdzie podstawienie
Ψ2 dane jest wzorem (4). W dalszym ciągu tego dowodu pisząc Ψ mamy na myśli Ψ2 .
Zauważmy, że |Ψn (0)| = |Θn (0)| = 4n dla każdego n ∈ N. Wykażemy, że następujące
równości są spełnione dla każdego n ∈ N:
D(Ψn (0)0)
D(Ψn (0)1)
D(Ψn (1)0)
D(Ψn (1)1)
=
=
=
=
Θn (0),
Θn (1),
Θn (1),
Θn (0).
(6)
(7)
(8)
(9)
Wzór (6) jest prawdziwy dla n = 1 ponieważ:
D(Ψ(0)0) = D(00110) = 0101 = Θ(0)
Załóżmy, że są prawdziwe dla pewnego n ∈ N. Wtedy:
D(Ψn+1 (0)0) = D(Ψn (0)Ψn (0)Ψn (1)Ψn (1)0).
Z definicji odwzorowania D, struktury podstawienia Ψ i założenia indukcyjnego
w postaci (6) wynika, że:
D(Ψn+1 (0)0) =D(Ψn (0)0)D(Ψn (0)1)D(Ψn (1)1)D(Ψn (1)0)
=Θn (0)Θn (1)Θn (0)Θn (1) = Θn+1 (0).
To dowodzi prawdziwości wzoru (6). Dowód pozostałych wzorów (7), (8), (9) przebiega analogicznie.
Pokażemy teraz, że D(T )[0,4n −1] jest prefixem słowa limn→∞ Θn (0) dla każdego
n ∈ N. Ostatni symbol w bloku T[0,4n −1] zależy od symbolu, który występuje na
pozycji 4n w ciągu T . Wiemy jednak, że T[0,4n −1] jest prefixem bloku T[0,4n+1 −1] , więc:
T[0,4n+1 −1] = Ψn (0)Ψn (0)Ψn (1)Ψn (1).
Stąd wynika, że dla każdego n ∈ N na pozycji 4n w ciągu T występuje pierwszy
symbol bloku Ψn (0), czyli 0.
Zauważmy teraz, że dla n = 1 mamy D(T )[0,3] = 0101 = Θ(0). Dla dowodu
indukcyjnego załóżmy, że D(T )[0,4n −1] = Θn (0) dla pewnego n ∈ N. Wtedy:
D(T )[0,4n+1 −1] = D(Ψn+1 (0)0),
zatem na mocy (6) otrzymujemy Θn+1 (0) = D(T )[0,4n+1 −1] .
Jak zaznaczyliśmy wcześniej, w przypadku gdy ciąg Λ z definicji 3.3 jest stale
równy 1, uogólniony ciąg Thuego-Morse’a T jest równy ciągowi tM . Wtedy zachodzi
następująca własność, którą przytaczamy za pracą [55]:
36
Fakt 3.19. Ciąg D(tM ) generowany jest przez podstawienie θ : {0, 1} → {0, 1}∗
zdefiniowane następująco:
θ(0) = 11,
θ(1) = 10.
Niech ς = {ςm }m∈N będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych takich, że ςm dzieli
ςm+1 . Taki ciąg ς będziemy nazywać skalą. Oznaczmy przez πm homomorfizm:
πm : Zςm+1 3 p 7→ p
mod ςm ∈ Zςm .
Q
Definiujemy granicę odwrotną Gς = limm∈N Zςm jako podzbiór m∈N Zςm skła←−
dający się z nieskończonych ścieżek j = (j1 , j2 , . . . ) takich, że jm+1 = jm mod ςm .
Zdefiniujmy odwzorowanie g : Gς → Gς następująco:
[g(j)]m = jm + 1
mod ςm .
Zbiór Gς wraz z powyższym odwzorowaniem g nazywamy odometrem.
Zwróćmy uwagę, że równoważnie możemy zdefiniować odometr przy użyciu następującego ciągu:
ϑ1 = ς1
ςm+1
ϑm+1 =
,
ςm
Q
Odometr definiujemy wtedy jako m∈N Zϑm wraz z operacją dodawania z przeniesie0
) szukamy największej wartości Mm
niem. Dodając dwie ścieżki j = (jm ) i j 0 = (jm
0
takiej, że jm + jm = (Mm ϑm − 1) + rm dla pewnego rn < ϑm . Jeśli przez l oznaczymy
ścieżkę będącą sumą j + j 0 , to lm = rm , natomiast wartość Mm dodajemy do sumy
0
jm+1 + jm+1
obliczając kolejną wpółrzędną, czyli lm+1 . Postępujemy analogicznie,
0
= Mm+1 ϑm+1 + rm+1 ,
czyli szukamy największego Mm+1 takiego, że jm+1 + jm+1
przyjmujemy lm+1 = rm+1 a wartość Mm+1 przenosimy do kolejnego kroku. Para
(Gς , g) spełnia definicję 1.2, w szczególności jest to minimalny układ dynamiczny.
Więcej szczegółów na temat odometrów i ich własności można znaleźć w pracy [18].
Mechanizm działania odometrów przestawimy na następującym przykładzie:
Przykład 3.20.
1. Orbita ścieżki j = (0000 . . . ) w odometrze dwójkowym zdefiniowanym przez
dodawanie z przeniesieniem:
O(j) = {(0000 . . . ), (1000 . . . ), (0100 . . . ), (1100 . . . ), . . . }
2. Orbita ścieżki j = (0000 . . . ) w odometrze dwójkowym zdefiniowanym przez
granicę odwrotną:
O(j) = {(0000 . . . ), (1111 . . . ), (0222 . . . ), (133 . . . ), (0044 . . . ), . . . }
37
Z definicji odometru poprzez granicę odwrotną wynika, że dla dowolnych ścieżek
j, j 0 należących do odometru istnieje rosnący ciąg {nk }k∈N taki, że:
(σ nk (x), σ nk (y)) → (x, y).
W takim razie na podstawie pracy [60] możemy wywnioskować następującą, kluczową dla dalszego rozumowania własność odometrów:
Lemat 3.21. Niech (G, ζ) będzie odometrem i niech układ dynamiczny (X, f ) będzie
faktorem odometru G. Wtedy h(X) = 0.
W dalszym ciągu rozważań Gς będzie zawsze oznaczał odometr zdefiniowany przy
pomocy ciągu ςm = |um |, gdzie um jest określony zgodnie z wzorem (3) z konstrukcji
uogólnionego ciągu Thuego-Morse’a T .
Twierdzenie 3.22. Przestrzeń z przesunięciem XT jest co najwyżej 4-do-1 faktorem
odometru Gς .
Dowód. Pokażemy, że dla ustalonego j ∈ Gς możemy skonstruować co najwyżej
4 elementy w zbiorze π −1 (j).
Ustalmy dowolny element x ∈ XT . Wtedy albo istnieje k ∈ N takie, że x = σ k (T ),
albo x = limi→∞ yi , gdzie każde yi = σ ki (T ) dla pewnego ki ∈ N. Z faktu 3.13 wiemy,
że w obu tych przypadkach możemy jednoznacznie podzielić x na bloki postaci un
i vn dla dowolnego n ∈ N z ewentualnym prefiksem rn takim, że 0 ¬ |rn | < |un |.
Zdefiniujmy odwzorowanie:
π : XT 3 x 7→ j = (j1 , j2 , . . . ) ∈ Gς ,
gdzie ji = |ui | − |ri | jest odległością od początku ciągu do miejsca pierwszego podziału wyznaczonego zgodnie z faktem 3.13.
Na początek rozważmy przypadek, gdy x = σ k (T ) dla pewnego k ∈ N. Ustalmy
n ∈ N i załóżmy, że |rn | = 0. Wtedy możemy znaleźć pewne słowo q ∈ {0, 1}∗
które jest zbudowane wyłącznie z bloków un i vn takie, że T = qx. Zauważmy, że
są tylko cztery możliwe konfiguracje ułożeń ostatniego bloku słowa q i pierwszego
bloku słowa x, a mianowicie un un , un vn , vn un , vn vn .
Załóżmy teraz, że 0 < |rn | < |un |. W tym przypadku także możemy znaleźć
pewne słowo q takie, że T = qrn w, gdzie zarówno nieskończone słowo w jak i blok qrn
są zbudowane wyłącznie z bloków un , vn . Możliwe konfiguracje ułożenia ostatniego
bloku w słowie qrn oraz pierwszego bloku w słowie w są takie same jak w poprzednim
przypadku.
Zajmijmy się teraz przypadkiem, gdy x = limi→∞ yi . Ustalmy n ∈ N. Wiemy,
że yi = limi→∞ σ ki (T ) dla pewnego ki ∈ N, więc korzystając ponownie z faktu 3.13
możemy uzyskać pewne prefiksy rn dla słowa x oraz rn(i) dla słów yi . Bez względu
na długość rn wiemy, że dla wszystkich wystarczająco dużych i1 , i2 ∈ N zachodzi
rn(i1 ) = rn(i2 ) .
Jeśli |rn | = 0 dla wszystkich n ∈ N, to prefiks długości |un | musi być blokiem
un lub vn dla każdego n ∈ N. To determinuje podział słowa x na bloki ul , vl dla
l > n. W szczególności jeśli prefiksem ciągu x był blok un , to przy podziale na bloki
38
długości |un+1 | prefixem ciągu x musi być blok un+1 . Stąd mamy tylko dwie możliwe
konfiguracje.
Jeśli 0 < |rn | < |un | dla nieskończenie wielu n ∈ N, to długość prefiksu rn może
rosnąć do nieskończoności wraz ze wzrostem n lub może być ograniczona przez pewne
R ∈ N. Zauważmy, że rn będąc sufiksem bloku un lub vn , jest jednocześnie prefiksem
bloku rn+1 . Zatem blok rn+1 jest zdefiniowany jednoznacznie jako sufiks bloku un+1
lub vn+1 , w zależności od symboli w rn .
Jeśli natomiast |rn | < R dla każdego n ∈ N to możliwości są cztery, ponieważ
rn może być sufiksem bloku un lub vn i może po nim następować zarówno blok
un jak i vn .
Podsumowując, w każdym z wymienionych przypadków dla ustalonego j ∈ Gs
możemy skonstruować co najwyżej 4 różne elementy z XT należące do π −1 (j), co
kończy dowód.
Twierdzenie 3.23. Niech T będzie uogólnionym ciągiem Thuego-Morse’a zdefiniowanym przy pomocy ciągu Λ = {an }n∈N . Wtedy:
h∞ (XT ) ¬ log 4.
Ponadto, jeśli ciąg Λ jest stały, taki, że an = a dla wszystkich n ∈ N i pewnego
całkowitego a ­ 1, to h∞ (XT ) ¬ log 2.
Dowód. Pierwsza część twierdzenia wynika bezpośrednio z twierdzeń 3.22 oraz 3.16
dla n = 4.
Dla dowodu drugiej części weźmy odwzorowanie D : XT → AN0 dane wzorem
(5). Z faktu 3.18 wiemy, że dla a ­ 2 ciąg D(T ) jest generowany przez podstawienie
Θ:
Θ(0) = (0a−1 1)a ,
Θ(1) = (0a−1 1)a−1 0a .
Ponieważ podstawienie Θ spełnia warunki twierdzenia 3.17, to dla przestrzeni z
przesunięciem XD(T ) generowanej przez element D(T ) = Limk→∞ Θk (0) zachodzi
h∞ (XD(T ) ) = 0. Z drugiej strony wprost z definicji wynika, że przestrzeń XD(T ) jest
2-do-1 faktorem przestrzeni XT , więc korzystając z twierdzenia 3.16 mamy:
h∞ (XT ) ¬ h∞ (XD(T ) ) + log 2 = log 2.
Natomiast dla a = 1 z faktu 3.19 wynika, że D(tM ) jest generowany przez podstawienie:
θ(0) = 11,
θ(1) = 10.
Podstawienie θ spełnia warunki twierdzenia 3.17, więc także h∞ (XD(tM ) ) = 0. Przestrzeń XD(tM ) jest 2-do-1 faktorem przestrzeni Thuego-Morse’a XM , więc analogicznie jak w poprzednim przypadku:
h∞ (XM ) ¬ h∞ (XD(tM ) ) + log 2 = log 2.
co kończy dowód.
39
Z twierdzenia 3.23 oraz wartości złożoności n-wzorca ciągu T wynika następujący
wniosek:
Wniosek 3.24. Niech T będzie uogólnionym ciągiem Thuego-Morse’a zdefiniowanym przez ciąg stały Λ = {an }n∈N , gdzie an = a ­ 1. Entropia ciągowa przestrzeni
z przesunięciem generowanej przez T wynosi:
h∞ (XT ) = log 2.
Dowód. Z twierdzenia 3.23 dla przypadku ciągu T definiowanego przez stały ciąg
{an }n∈N wynika górne ograniczenie na wartość entropii ciągowej.
Na mocy twierdzenia 3.14 złożoność n-wzorca ciągu T wynosi p∗T (n) = 2n , zbiór
rozpinający dla przestrzeni XT musi więc zawierać co najmniej 2n elementów dla
każdego n ∈ N. Stąd mamy oszacowanie od dołu:
h∞ (XT ) ­ lim lim sup
ε→0
n→∞
1
log 2n = log 2.
n
Wniosek 3.24 wraz z lematem 3.11 oznaczają, że wartość entropii ciągowej dla
przestrzeni Thuego-Morse’a XM jest realizowana dla ciągu τ (i) = 22i − 1, i ∈ N0 .
4
Przestrzenie z przesunięciem posiadające własność specyfikacji i ich dynamika
Poniższy rozdział dotyczy szczególnego przypadku problemu przedstawionego w pracy [21], gdzie autorzy pokazali, że układy dynamiczne z własnościa specyfikacji zawierają niezmiennicze zbiory ε-splątane. Przedstawione tu rozumowanie, wynikające
z wymienionej powyżej pracy, ogranicza się do przestrzeni z przesunięciem.
Lemat 4.1. Przestrzeń z przesunięciem X ma własność specyfikacji wtedy i tylko
wtedy, gdy σ(X) = X oraz istnieje N > 0 takie, że dla dowolnych słów u, v ∈ L(X)
istnieje słowo w ∈ A∗ długości N takie, że uwv ∈ L(X).
Dowód. Załóżmy, że X ma własność specyfikacji. Na podstawie definicji 1.23 wiemy,
że dla dowolnego ε > 0 istnieje N > 0 takie, że dla dowolnego s ∈ N, zbioru
{y1 , . . . , ys } ⊂ X oraz dowolnego ciągu 0 = j1 ¬ k1 < j2 ¬ k2 < · · · < js ¬ ks liczb
naturalnych spełniającego warunek ji+1 − ki ­ N istnieje x ∈ X takie, że:
d(σ i (x), σ i (y)) < ε dla i = j1 , . . . , k1 ,
d(σ i (x), σ i (z)) < ε dla i = j2 , . . . , k2 .
Niech N będzie stałą z własności specyfikacji dla ε = 2−1 . Ustalmy u, v ∈ L(X).
Istnieją słowa p, q ∈ X o prefiksach równych odpowiednio u, v. Przyjmijmy s = 2
i ustalmy ciąg:
j1 = 0
j2 = |u| + N − 1
k1 = |u| − 1,
k2 = |u| + |v| + N − 1.
40
Z warunku, że σ(X) = X wynika, że istnieje z ∈ X takie, że σ j2 (z) = q. Przyjmijmy
y = p. Z własności specyfikacji dla zbioru {y, z} istnieje zatem x ∈ X takie, że:
d(σ i (x), σ i (y)) < 2−1 dla i = j1 , . . . , k1 ,
d(σ i (x), σ i (z)) < 2−1 dla i = j2 , . . . , k2 ,
co oznacza, że:
x[0,|u|−1] = u,
x[|u|+N −1,|u|+|v|+N −1] = v.
W takim razie słowo w = x[|u|,|u|+N −1] długości N spełnia warunek uwv ∈ L(X).
Przyjmijmy teraz, że dla dowolnych słów u, v ∈ L(X) istnieje słowo w długości
N takie, że uwv ∈ L(X). Ustalmy ε = 2−K , s > 0, zbiór {y1 , . . . , ys } ⊂ X oraz ciąg
0 = j1 ¬ k1 < j2 ¬ k2 < · · · < js ¬ ks taki, że kl+1 − jl ­ N + K + 1. Oznaczmy dla
l = 1, . . . , s − 1:
ul = (yl )[jl ,jl+1 −N ] .
W takim razie istnieje słowo w1 długości N takie, że u1 w1 u2 ∈ L(X). Analogicznie
postępujemy dla 1 < l ¬ s − 1, dobierając dla bloków u1 w2 . . . wl−1 ul oraz ul+1
słowo wl długości co najmniej N takie, że blok u1 w1 . . . ul wl ul+1 ∈ L(X). Niech
x ∈ X będzie elementem takim, że u1 w1 . . . ul wl ul+1 występuje w x jako podsłowo.
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że v jest prefiksem x (dokonując skończonego
przesunięcia jeśli zachodzi taka potrzeba). Tak zdefiniowany x ∈ X spełnia definicję
1.23 dla stałej N + K − 1.
Mając daną przestrzeń z przesunięciem X każde słowo u ∈ L(X) możemy rozszerzyć w prawo poprzez konkatenację z odpowiednim blokiem u0 ∈ L(X) tak, by
uu0 ∈ L(X). Dla przestrzeni z przesunięciem X posiadającej własność specyfikacji
dla każdego n ­ N dowolne dwa słowa u, v ∈ L(X) możemy połączyć słowem w
długości dokładnie n tak, by uwv także było słowem z języka przestrzeni X. W tezie
lematu 4.1 możemy więc użyć słowa w długości n dla dowolnego n ­ N .
Dowody poniższych twierdzeń 4.2 i 4.3 znaleźć można w pracy [21] napisanej
przez autorkę wspólnie z P. Oprochą i P. Wilczyńskim. Szczegółowe ich przedstawienie wymagałoby znacznego wykroczenia poza aparat definicyjny i dowodowy
wykorzystywany w niniejszej pracy, w związku z tym przedstawiamy tu jedynie wypowiedzi twierdzeń potrzebnych do dalszego rozumowania.
Twierdzenie 4.2. Niech X, Y będą przestrzeniami z przesunięciem, przy czym
przestrzeń Y jest nieskończona. Niech y ∈ T rans(X) ∩ Rec(X) i niech p ∈ Y
będzie punktem stałym. Jeśli π : X → Y jest odwzorowaniem faktoryzującym takim,
że π −1 (p) jest zbiorem skończonym i składa się wyłącznie z punktów stałych w X,
to istnieje zbiór doskonały i σ-niezmienniczy Z ⊂ X taki, że π(Z) = Y oraz:
1. jeśli Φ∗py (t1 ) = 1 dla dowolnego t1 > 0, to istnieje zbiór rezydualny R ⊂ Z × Z
taki, że ∆ ⊂ R oraz Φ∗σm (u),σn (v) (s) = 1 i Φ∗ (σ m (u), σ n (u))(s) = 1 dla dowolnych s > 0, (u, v) ∈ R, m, n ­ 0,
41
2. jeśli Φ∗σn (y),y (t2 ) = 0 dla pewnego t2 > 0 i wszystkich n ∈ N, to istnieje γ > 0
oraz zbiór rezydualny Q ⊂ Z ×Z \∆ taki, że dla dowolnego (u, v) ∈ Q zachodzi:
a) Φσm (u),σn (v) (γ) = 0 dla dowolnego m, n ­ 0,
b) Φσm (u),σn (u) (γ) = 0 dla dowolnego m 6= n, m, n > 0.
Z twierdzenia 4.2 wynika następujący wniosek:
Twierdzenie 4.3. Niech X, Y będą przestrzeniami z przesunięciem. Ustalmy element y ∈ T rans(Y ) ∩ Rec(Y ) i niech p ∈ Y będzie punktem stałym takim, że
para (y, p) jest parą DC1. Załóżmy, że zbiór O(y) jest dystrybucyjnie β-splątany
dla pewnego β > 0. Jeśli π : X → Y jest takie, że π −1 (p) jest zbiorem skończonym składający się wyłącznie z punktów stałych X, to dla pewnego ε > 0 istnieje
niezmienniczy, dystrybucyjnie ε-splątany zbiór Mycielskiego M ⊂ X.
Zauważmy, że jeśli punkt y z powyższego twierdzenia 4.3 nie jest okresowy, to
#Y = ∞, więc można skorzystać z twierdzenia 4.2 dla przestrzeni X oraz Y .
Definicja 4.4. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem, a L(X) językiem tej
przestrzeni. Słowo s ∈ L(X) nazywamy słowem synchronizującym dla języka
L(X), jeśli dla dowolnych słów u, v nad A takich, że us, vs ∈ L(X) zachodzi:
us, sv ∈ L(X) ⇔ usv ∈ L(X).
Język L(X) nazywamy synchronizującym, jeśli zawiera on słowo synchronizujące
s ∈ L(X).
Za pracą [10] przytaczamy następujące twierdzenie, które wiąże własność specyfikacji i synchronizacji dla przestrzeni z przesunięciem.
Twierdzenie 4.5. Jeśli przestrzeń z przesunięciem X ma własność specyfikacji, to
L(X) jest językiem synchronizującym.
Twierdzenie analogiczne do poniższego zostało sformułowane w pracy [21] dla
dowolnych układów dynamicznych. Dzięki temu, że poniższe rozważania dotyczą
szczególnych układów jakimi są przestrzenie z przesunięciem, w tezie twierdzenia
pojawia się warunek okresowości, jaką możemy uzyskać w konstruowanym ciągu:
Lemat 4.6. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem z własnością specyfikacji
zawierającą co najmniej dwa różne punkty. Wtedy istnieje K ∈ N oraz ciąg punktów
okresowych {xn }n∈N takie, że:
inf d(σ i (xn ), σ i+n (xn )) ­ 2−K dla każdego n ∈ N.
i­0
(10)
Dowód. Ponieważ X ma własność specyfikacji, z twierdzenia 4.5 wynika, że L(X)
jest językiem synchronizującym. Oznaczmy przez s słowo synchronizujące dla tego języka, przez N stałą z własności specyfikacji oraz przyjmijmy M = 2N + |s|.
Ustalmy n ∈ N oraz dowolne punkty p, q ∈ X, p 6= q. Bez straty ogólności możemy
założyć, że p = 0p̃, q = 1q̃, więc d(p, q) = 1.
42
W pierwszej kolejności rozważmy przypadek gdy n > M . Istnieje wtedy k > 0
takie, że n = M + k. Korzystając z własności specyfikacji wiemy, że istnieją takie
słowa w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6 ∈ A∗ długości N , że:
p[0,k−1] w1 sw2 q[0,k−1] w3 sw4 p[0,k−1] w5 sw6 q[0,k−1] ∈ L(X).
Każde podsłowo powyższego bloku także należy do języka L(X), więc z synchronizacji wynika, że:
(w2 q[0,k−1] w3 sw4 p[0,k−1] w5 s)m ∈ L(X) dla m ∈ N.
Stąd wynika, że ciąg okresowy (w2 q[0,k−1] w3 sw4 p[0,k−1] w5 s)∞ oraz wszystkie jego
przesunięcia są elementami X. Przyjmujemy:
xn = (q[0,k−1] w3 sw4 p[0,k−1] w5 sw2 )∞ .
Tak zdefiniowany ciąg xn spełnia nierówność:
d(σ i (xn ), σ i+n (xn )) ­ 2−K
dla każdego i ­ 0 oraz dla każdego K ­ M .
Rozważmy teraz przypadek gdy n ¬ M . Przyjmijmy L = nM . Postępujemy
podobnie jak w poprzednim przypadku, dobierając z własności specyfikacji słowa
w10 , w20 , w30 , w40 , w50 , w60 o długości co najmniej N oraz takiej, by |1w30 sw40 | = L oraz
|0w50 sw20 | = L takie, że:
0w10 sw20 1w30 sw40 0w50 sw60 1 ∈ L(X).
Korzystając z własności synchronizacji wiemy, że ciąg y = (1w30 sw40 0w50 sw20 )∞ należy
do przestrzeni X dla n ¬ M . Zauważmy, że y0 = 1, yL = 0, zatem istnieje i < M
takie, że yin = 1 6= 0 = y(i+1)n . Rozumowanie analogiczne jak w poprzednim przypadku zapewnia, że dla n ¬ M tak zdefiniowany xn = y spełnia nierówność (10) dla
K2 = M 2 .
Zatem skonstruowany w powyższy sposób ciąg {xn }n∈N spełnia nierówność (10)
dla K = max{K1 , K2 } = M 2 .
Za pracą [3] przytaczamy następujące twierdzenie:
Twierdzenie 4.7. Jeśli Z jest doskonałym podzbiorem przestrzeni zwartej X, a zbiór
R ⊂ Z × Z jest rezydualny w Z × Z, to istnieje zbiór Mycielskiego M ⊂ Z taki, że
M jest gęsty w Z oraz M × M ⊂ R ∪ ∆.
Lemat 4.8. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem z własnością specyfikacji i
niech p, q ∈ X, m, n ­ 0. Zbiór Qnm (p, q) ⊂ X × X składający się z par (x, y) takich,
że:
1. istnieje l > m takie, że d(σ i+l+n (x), σ i+l (p)) <
i = 0, 1, . . . , 2l ,
43
1
m
i d(σ i+l (y), σ i+l (q)) <
1
m
dla
2. istnieje s > m takie, że d(σ i+s (x), σ i+s (p)) <
dla i = 0, 1, . . . , 2s
1
m
i d(σ i+s+n (y), σ i+s (q)) <
1
m
jest otwarty i gęsty w X × X.
Dowód. Ustalmy dowolne p, q ∈ X oraz n, m ∈ N0 . Ponieważ odwzorowanie σ jest
jednostajnie ciągłe, zbiór Qnm (p, q) jest otwarty.
Dla dowodu gęstości ustalmy dowolne (u, v) ∈ X × X oraz ε < m1 takie, że jeśli
d(x, y) < ε, to d(σ n (x), σ n (y)) < m1 . Pokażemy, że w odległości co najwyżej ε od
punktu (u, v) znajdziemy pewien element zbioru Qnm (p, q).
Niech N będzie stałą z własności specyfikacji dobraną do ε. Ustalmy zatem
0
p ∈ σ −n (p), q 0 ∈ σ −n (q), wybierzmy K ∈ N takie, że 2−K < ε oraz dowolne
a, b ­ N . Przyjmijmy:
l = K + a − 1,
s = K + a + b + 2K+a−1 − 1.
Wtedy dla ciągu:
j1 = 0, k1 = K − 1
j2 = l, k2 = l + 2l
j3 = s, k3 = s + 2s
istnieje x ∈ X dobrane do zbioru {u, p0 , p} z własności specyfikacji takie, że:
d(σ i (x), σ i (u)) < ε dla i = j1 , . . . , k1 ,
(11)
d(σ i (x), σ i (p0 )) < ε dla i = j2 , . . . , k2 ,
(12)
i
i
d(σ (x), σ (p)) < ε dla i = j3 , . . . , k3 ,
(13)
oraz y ∈ X dobrane do zbioru {v, q, q 0 } z własności specyfikacji takie, że:
d(σ i (y), σ i (v)) < ε dla i = j1 , . . . , k1 ,
(14)
d(σ i (y), σ i (q)) < ε dla i = j2 , . . . , k2 ,
(15)
i
i
0
d(σ (y), σ (q )) < ε dla i = j3 , . . . , k3 .
(16)
Bezpośrednio z definicji elementów x, y ∈ X wynika, że d(x, u) < ε oraz d(y, v) < ε.
Wystarczy więc wykazać, że (x, y) ∈ Qnm (p, q). Zauważmy, że z nierówności (12) dla
i = 0, . . . , 2l mamy:
d(σ i+l (x), σ i+l (p0 )) < ε,
co oznacza, że dla i = 0, . . . , 2l zachodzi:
d(σ n+i+l (x), σ i+l (p)) = d(σ n+i+l (x), σ n+i+l (p0 )) <
Z nierówności (15) wynika natomiast, że:
d(σ i+l (y), σ i+l (q)) <
1
dla i = 0, . . . , 2l .
m
44
1
.
m
Podobnie z (16) wynika, że dla i = 0, . . . , 2s :
d(σ i+s (y), σ i+s (q 0 )) < ε,
co oznacza, że dla i = 0, . . . , 2s mamy:
d(σ i+s+n (y), σ i+s (q)) = d(σ i+s+n (y), σ i+s+n (q 0 )) <
1
.
m
Jednocześnie z nierówności 13 wynika, że dla i = 0, . . . , 2s zachodzi:
d(σ i+s (x), σ i+s (p)) <
1
.
m
To oznacza, że (x, y) ∈ Qnm (p, q).
Twierdzenie 4.9. Niech X będzie przestrzenią z przesunięciem z własnością specyfikacji i niech p ∈ X będzie punktem stałym. Wtedy istnieje ε > 0 oraz gęsty,
ε-splątany zbiór Mycielskiego D taki, że p ∈ D, zbiór D jest σ-niezmienniczy oraz
D ⊂ (T ran(X) ∩ Rec(X)) ∪ {p}.
Dowód. Niech {zn }n∈N będzie ciągiem punktów okresowych otrzymanym na mocy
twierdzenia 4.6. Z tego samego twierdzenia wiemy, że istnieje η > 0 takie, że:
inf inf d(σ i (zn ), σ i+n (zn )) ­ η.
n>0 i­0
Oznaczmy:
η 1
ε = min{ , dist(p, O(z1 ))}.
2 2
Przyjmijmy z0 = p oraz:
Q=
\
Qm (zn , zn ) ∩ Qm (z1 , σ(z1 )).
n,m­0
Twierdzimy, że jeśli S jest nieskończonym zbiorem takim, że S × S ⊂ Q ∩ ∆ to dla
S
i
dowolnych u, v ∈ D = ∞
i=0 σ (S), u 6= v para (u, v) jest DC1 i Φuv (ε) = 0. Ustalmy
więc dowolne u 6= v, u, v ∈ D. Istnieją x, y ∈ S (niekoniecznie różne) oraz K, L ∈ N0
takie, że u = σ K (x), v = σ L (y).
Założmy, że x 6= y oraz K 6= L. Ustalmy dowolne m > η4 . Wiemy, że (x, y) ∈ Q,
więc w szczególności (x, y) ∈ Qm (z|K−L| , z|K−L| ), więc istnieje l > m takie, że:
1
m
1
d(σ i+l (y), σ i+l (z|K−L| )) <
m
d(σ i+l (x), σ i+l (z|K−L| )) <
(17)
(18)
dla i = 0, . . . , 2l . Oznaczmy j = l + i − K, gdzie i = K, . . . , 2l . Wtedy dla
j = l, . . . , 2l − K z (17) mamy:
d(σ j+K (x), σ j+K (z|K−L| )) <
45
1
m
i analogicznie dla j = l, . . . , 2l − L z (18):
d(σ j+L (y), σ j+L (z|K−L| )) <
1
.
m
Stąd, jeśli L > K to dla j = l, . . . , 2l − L otrzymujemy:
d(σ j (u), σ j (v)) = d(σ j+K (x), σ j+L (y))
> d(σ j+K (z|K−L| ), σ j+K+|K−L| (z|N −M | ))
− d(σ j+K (x), σ j+K (z|K−L| )) − d(σ j+L (z|K−L| )σ j+L (y))
2
η
­ η−
> > ε.
m
2
Podobne oszacowanie stosujemy w sytuacji gdy L < K dla j = l, . . . , 2l − K:
d(σ j (u), σ j (v)) > d(σ j+L+|K−L| )
− d(σ j + K(x), σ j+K (z|K−L| )) − d(σ j+L (z|K−L| ), σ j+L (y))
2
η
­ η−
> > ε.
m
2
Na tej podstawie otrzymujemy:
l
#{0 ¬ t < l + 2l : d(σ t (u), σ t (v)) < ε}
l→∞ l + 2l
l+K +L
¬ lim inf
= 0.
l→∞
l + 2l
Φuv (ε) ¬ lim inf
W przypadku gdy x = y, zachodzi K 6= L. Zbiór S jest nieskończony, więc
istnieje z ∈ S takie, że (x, z) ∈ Q. W szczególności dla j = l, . . . , 2l − K − L mamy:
1
m
1
d(σ j+L (x), σ j+L (z|K−L| )) <
.
m
d(σ j+K (x), σ j+K (z|K−L| )) <
Powtarzając powyższe rozumowanie otrzymujemy Φuv (ε) = 0.
Jako ostatni przypadek pozostaje x 6= y i N = M . Z definicji zbioru Q wynika,
że wtedy (x, y) ∈ Qm (z1 , σ(z1 )) ⊂ Q, więc znów możemy znaleźć takie l > m, że:
1
m
1
i+l
i+l+1
d(σ (y), σ
(z1 )) <
m
d(σ i+l (x), σ i+l (z1 )) <
dla i = 0, . . . , 2l . Dla i < 2l − N możemy podstawić i + N za i otrzymując:
d(σ i+l+K (y), σ i+l+K+1 (zK+1 )) <
46
1
.
m
Wtedy dla j = l, . . . , l + 2l − K mamy:
d(σ j+K (x), σ j+K (y)) ­ d(σ j+K (z1 ), σ j+K+1 (z1 )) − d(σ j+K (z1 ), σ j+K (x))
− d(σ j+K (y), σ j+K+1 (z1 ))
2
η
­ η−
> > ε.
m
2
Podobnie jak w powyższych rozumowaniach wynika stąd, że i w tym przypadku
Φuv (ε) = 0. Pokazaliśmy więc, że dla dowolnych u, v ∈ D, u 6= v zachodzi Φuv (ε) = 0.
Pozostaje pokazać, że dla wszystkich t > 0 mamy Φ∗uv (t) = 1. Ustalmy więc
dowolne ξ > 0, weźmy m > 2ξ i założmy, że x 6= y. Zauważmy, że z definicji zbioru
Q wynika, że (x, y) ∈ Q|K−L|
(z0 , z0 ), więc istnieje l > m takie, że dla i = 0, . . . , 2l
m
mamy:
1
m
1
d(σ i+l (y), z0 ) <
.
m
d(σ i+l (x), z0 ) <
W szczególności dla dowolnego j = l, . . . , l + 2l − K − L mamy:
d(σ j+K (x), σ j+L (y)) ¬ d(σ j+K (x), z0 ) + d(z0 , σ j+L (y)) <
2
< δ.
m
Stąd wynika, że:
1
{0 ¬ j < l + 2l : d(σ j (u), σ j (v)) < ξ}
l
l
+
2
l→∞
2l − K − L
­ lim
= 1.
l→∞
l + 2l
Φ∗uv (ε) ­ lim sup #
Pozostaje jeszcze przypadek x = y i K 6= L. Wtedy istnieje r ∈ S, r 6= y takie, że
(r, x) ∈ Q. Powtarzając te same oszacowania otrzymujemy, że Φ∗uv (ε) = 1.
Możemy teraz przejść do dowodu twierdzenia. Zauważmy, że na podstawie twierdzenia 4.8 zbiór Q jest rezydualny. Zbiory Rec(X), T rans(X) są także rezydualne,
ponieważ X jest tranzytywne. Dodatkowo rezydualny jest także zbiór:
R=
\
Qm (z1 , z0 ) ∩ Qm (z0 , z0 ).
m­1
Jeśli (x, y) ∈ R, to para (x, p) = (x, z0 ) jest parą DC1, ponieważ dla dowolnego m
istnieje l > m takie, że dla i = 0, . . . , 2l zachodzi:
d(σ i+l (x), σ i+l (z1 )) <
1
.
m
(19)
Wiemy też, że istnieje γ > 0 takie, że dist(z0 , O(z1 )) = dist(z0 , {z1 , σ(z1 )}) > 2γ
oraz, że m w nierówności (19) może być dowolnie duże. Stąd wynika, że dla n ∈ N0
mamy Φ∗σn (x),p (γ) = 0. Podobnie można wykazać, że Φ∗σn (x),p (ξ) = 1 dla dowolnego
ξ > 0. Możemy zastosować twierdzenie 4.7 do zbioru:
Q ∩ R ∩ (T rans(X) × T rans(X)) ∩ (Rec(X) × Rec(X))
47
otrzymując gęsty zbiór Mycielskiego S ⊂ X. Musimy pokazać, że istnieje zbiór
Mycielskiego S̃ taki, że p ∈ S̃ ⊂ S ∪ {p}. Jeśli p ∈ S̃, to dowód jest zakończony.
S
W przeciwnym przypadku wiemy, że S = ∞
i=0 Ci , gdzie dla każdego i ∈ N0 zbiór
Ci jest zbiorem Cantora, p ∈
/ Ci i dla dowolnego zbioru otwartego U istnieje i 3 N0
takie, że Ci ⊂ U . Na tym etapie dowodu nie zakładamy, że zbiory Ci są rozłączne.
Wiemy natomiast, że dla każdego i istnieją rozłączne zbiory Cantora Ei , Fi ⊂ Ci .
S
W takim razie zbiór ∞
i=0 Ei jest także zbiorem Mycielskiego. Istnieje także rosnący
ciąg {ni } taki, że diam(Fni ) = 0 oraz dist(Fn , p) = 0. Możemy także założyć, że
Fni ∩ Fnj = ∅ dla i 6= j. Wtedy zbiór:
F = {p} ∩
∞
[
Fni
i=0
jest całkowicie niespójny, domknięty i nie zawiera punktów izolowanych, czyli jest
S
zbiorem Cantora. Stąd S̃ = F ∪ ∞
i=0 Ei ⊂ S ∪ {p} jest gęstym zbiorem Mycielskiego.
S∞ i
Oznaczmy D = i=0 σ (S̃). Z definicji S wynika, że:
(D \ {p} × D \ {p}) ⊂ (Q ∩ R) ∪ ∆.
Z własności Q rozważanych w pierwszej części dowodu wynika zatem, że dla dowolnych u, v ∈ D \ {p} mamy:
Φuv (γ) = 0 oraz Φ∗uv (ξ) = 1 dla dowolnego ξ > 0.
Jeśli u 6= v = p, to z własności zbioru R otrzymujemy:
Φup (γ) = 0 oraz Φ∗up (ξ) = 1 dla dowolnego ξ > 0.
Zbiór D jest więc istotnie zbiorem ε-splątanym. Z definicji wynika, że σ(D) ⊂ D
oraz D ⊂ (T rans(X) ∩ Rec(X)) ∪ {p}, co kończy dowód.
W oparciu o [40] przytoczymy teraz kilka własności przestrzeni typu sofic, które
będą przydatne przy dowodzie głównych twierdzeń w tej części pracy. W przypadku
przestrzeni typu sofic pojęcie języka synchronizującego wiąże się bezpośrednio z ich
reprezentacją grafową. Jeśli G = (G, λ) jest reprezentacją grafową przestrzeni typu
sofic XG , to słowo s ∈ L(XG ) nazywamy słowem synchronizującym jeśli wszystkie
ścieżki reprezentujące słowo s w grafie G kończą się w tym samym wierzchołku.
Wierzchołek ten nazywamy wierzchołkiem synchronizującym słowa s.
Fakt 4.10. Niech G będzie grafem jednoznacznym w prawo i niech s będzie słowem synchronizującym dla G. Wtedy dla dowolnego u ∈ L(XG ) słowo su jest także
synchronizujące.
Fakt 4.11. Niech G będzie grafem jednoznacznym w prawo o takiej własności, że
dla dowolnych różnych wierzchołków j, k zbiory ścieżek zaczynających się w poszczególnych wierzchołkach są różne. Wtedy dowolne słowo u ∈ L(XG ) może być prawostronnie rozszerzone do słowa synchronizującego uw.
Z powyższych faktów wynika następujący lemat:
48
Lemat 4.12. Jeśli X jest nieskończoną, słabo mieszającą przestrzenią typu sofic,
to istnieje taka reprezentacja grafowa G = (G, λ) przestrzeni z przesunięciem X,
w której każdy wierzchołek jest synchronizujący, czyli dla dowolnego wierzchołka
j ∈ V (G) istnieje słowo vj takie, że dowolna ścieżka reprezentująca słowo vj kończy
się w wierzchołku j.
Możemy przejść teraz do dowodu głównego wyniku dotyczącego istnienia zbiorów
ε-splątanych w przestrzeniach typu sofic:
Twierdzenie 4.13. Niech Y będzie nieskończoną mieszającą przestrzenią typu sofic
z punktem stałym p ∈ Y . Niech π : X → Y będzie odwzorowaniem faktoryzującym
takim, że zbiór π −1 (p) jest skończony i składa się z punktów okresowych. Wtedy dla
pewnego ε > 0 istnieje ε-splątany zbiór Cantora w X.
Jeśli dodatkowo π −1 (p) składa się z punktów stałych, to dla pewnego ε > 0 istnieje
niezmienniczy ε-splątany zbiór Mycielskiego w X.
Dowód. Zauważmy, że jeśli π : (X, σ) → (Y, σ) jest odwzorowaniem faktoryzującym,
to jest także odwzorowaniem faktoryzującym pomiędzy przestrzeniami (X, σ m ) oraz
(Y, σ m ) dla dowolnego m ∈ N, przy czym (Y, σ m ) jest przestrzenią typu sofic nad
alfabetem Am w myśl definicji 2.12. Punkt p okresowy w przestrzeni z przesunięciem (Y, σ) jest także punktem okresowym odwzorowania σ m . Możemy zastosować
twierdzenie 4.2 oraz fakt 4.3 do przestrzeni (Y, σ m ), gdzie m jest wspólnym okresem
punktów okresowych ze zbioru π −1 (p). Każdy zbiór dystrybucyjnie ε-splątany dla
σ n jest jednocześnie dystrybucyjnie γ-splątany dla σ, gdzie wartość γ zależy wyłącznie od ε oraz n (dowód tego faktu znajduje się w pracy [59]). To dowodzi pierwszej
części twierdzenia. Dla n = 1 otrzymujemy drugą część tezy.
5
Konstrukcja Katznelsona-Weissa i jej modyfikacje
W poprzednich rozdziałach zajmowaliśmy się różnymi typami przestrzeni z przesunięciem nad alfabetem skończonym A = {0, 1}. Motywacją do poniższego rozdziału
jest natomiast próba uogólnienia definicji 2.2 na przypadek przestrzeni z przesunięciem nad alfabetem nieskończonym A = [0, 1] oraz metoda konstrukcji tego typu
przestrzeni zaprezentowana przez Y. Katznelsona oraz B. Weissa w [31], a szczegółowo omówiona w [2]. W ramach niniejszej rozprawy interesują nas szczególnie
dynamiczne własności skonstruowanych przestrzeni. Po zapoznaniu się z oryginalną
konstrukcją Katznelsona-Weissa oraz własnościami otrzymanej w jej wyniku przestrzeni, takimi jak proksymalność i jednostajna sztywność, naturalnym pytaniem
wydaje się być możliwość modyfikacji konstrukcji zapewniającej dodatkowe własności dynamiczne otrzymanego układu. Poniżej zaprezentujemy zarówno opisaną w [2]
metodę Katznelsona-Weissa, jak i dwie jej modyfikacje pozwalające otrzymać słabo
mieszającą przestrzeń z przesunięciem oraz przestrzeń z przesunięciem zawierającą
parę DC2.
Rozważamy przestrzeń nieskończonych ciągów nad odcinkiem [0, 1]:
I = [0, 1]N0 = {x = {xn }n∈N0 : xn ∈ [0, 1] dla każdego n ∈ N0 }
49
z następującą metryką:
d(x, y) =
∞
X
|xi − yi |
dla x, y ∈ I
2i
i=0
oraz przesunięcie σ : I → I zdefiniowane wzorem:
(σ(x))n = xn+1 dla n ∈ N0 .
Podobnie jak w przypadku przestrzeni z przesunięciem nad skończonym alfabetem,
dla zbioru X ⊂ I parę (X, σ) nazywamy przestrzenią z przesunięciem, gdy zbiór
X jest domknięty oraz σ-niezmienniczy. Elementami takiej przestrzeni nad kostką
I są nieskończone słowa, w których na dowolnej pozycji występuje pewna liczba
z przedziału [0, 1].
Na wstępie przybliżymy w skrócie metodę Katznelsona-Weissa przedstawioną
w pracy [2]. Autorzy pokazują konstrukcję jednostajnie sztywnej przestrzeni z przesunięciem nad alfabetem [0, 1] rozważając jej własności związane z prawie równociągłością. Ustalamy L ­ 2 oraz funkcję a0 : [−1, 1] → [0, 1], spełniająca warunki:
a0 (−1) = a0 (1) = 1,
|a0 (s1 ) − a0 (s2 )| ¬ L|s1 − s2 | dla s1 , s2 ∈ [−1, 1].
Funkcję a0 rozszerzamy okresowo do funkcji a1 : R → [0, 1] wzorem a1 (t) = a0 (t)
dla t ∈ [−1, 1] oraz a1 (t + 2i) = a0 (t) dla i ∈ Z. W szczególności a1 spełnia warunek
Lipschitza z tą samą stałą co a0 . Dla dowolnego p > 0 definiujemy ap : R → [0, 1]
następująco:
!
s
.
ap (s) = a1
p
Wtedy dla s1 , s2 , s ∈ R zachodzą następujące warunki:
0
ap (−p)
ap (s + 2p)
|ap (s1 ) − ap (s2 )|
¬ ap (s) ¬ 1,
= ap (p) = 1,
= ap (s),
¬ Lp |s1 − s2 |.
W szczególności jeśli przyjmiemy s1 = p i s2 = p + s, to dla |s| <
pε
L
mamy:
1 − ε < ap (p + s) ¬ 1.
Wybieramy teraz rosnący ciąg liczb naturalnych {ki }i∈N takich, że 8 dzieli ki dla
każdego i ∈ N. Definiujemy rekurencyjnie ciąg {pi }i∈N :
p0 = 1,
pi+1 = ki pi ,
oraz przyjmujemy:
a∞ (s) = sup{ap0 (s), ap1 (s), . . . }.
50
Zauważmy, że:
1 − ε < a∞ (pi + s) ¬ 1 dla |s| <
pi ε
.
L
Ponieważ pi jest podzielne przez pj dla j < i, to:
a∞ (s + 2pi ) = sup{ap0 (s), ap1 (s), . . . , api (s), api+1 (s + 2pi ), api+2 (s + 2pi ), . . . }.
Stąd wynika, że:
|a∞ (s + 2pi ) − a∞ (s)| ¬ sup |apj (s + 2pi ) − apj (s)| ¬ sup
j>i
Ponieważ
L
pi
j>i
2Lpi
2L
=
.
pj
ki
¬ L, otrzymujemy stąd także warunek Lipschitza dla funkcji a∞ :
|a∞ (s1 ) − a∞ (s2 )| ¬ L|s1 − s2 | dla dowolnych s1 , s2 ∈ R.
Funkcję a∞ używamy do konstrukcji ciągu α = {αn }n∈N0 ∈ I, przyjmując:
αn = a∞ (n) dla n ∈ N0 .
(20)
Ciąg α nazywamy ciągiem Katznelsona-Weissa (lub krócej - ciągiem KW). Bezpośrednio z konstrukcji funkcji a∞ wynika, że punkt α jest punktem tranzytywnym
w przestrzeni z przesunięciem O(α).
W przypadku przestrzeni z przesunięciem definiowanych jako domknięcie orbity
pewnego nieskończonego słowa nad alfabetem skończonym ,własności tak otrzymanych przestrzeni zależą od budowy słowa generującego. Wszelkie własności kombinatoryczne lub dynamiczne otrzymujemy poprzez konkatenację odpowiednich bloków
budujących słowo generujące. Podobnie dzieje się w przypadku przestrzeni konstruowanych metodą Katznelsona-Weissa. Własności otrzymanej przestrzeni zależą
w dużej mierze od wyboru funkcji tworzących ciąg {an }n∈N , ich wartości w argumentach z N0 oraz własności takich jak okresowość, istnienie stałej Lipschitza dla
tych odwzorowań, bądź długości przedziałów, na których funkcje przyjmują wartości
stałe.
Następujące twierdzenie cytujemy bezpośrednio za pracą [2]:
Twierdzenie 5.1. Niech α ∈ I będzie ciągiem KW zdefiniowanym wzorem (20)
i niech X = O(α). Wtedy X jest jednostajnie sztywną przestrzenią z przesunięciem,
posiadającą punkt stały 1∞ będący jednocześnie jej jedyną minimalną podprzestrzenią. Jeśli a0 nie jest funkcją stale równą 1, to przestrzeń X nie jest minimalne.
Na potrzeby dalszych rozważań wprowadzimy następującą definicję:
Definicja 5.2. Niech c, d ∈ R, c < d i niech f : [c, d] → R będzie funkcją. Mówimy,
że funkcja f przyjmuje ścisłe minimum globalne w punkcie t ∈ (c, d), jeśli dla
dowolnego s 6= t zachodzi: f (s) > f (t).
Zwróćmy uwagę, że swojego rodzaju regularność konstrukcji ciągu KW nakłada
pewne ograniczenia na skonstruowaną przestrzeń. W szczególności zachodzi następujące twierdzenie:
51
Twierdzenie 5.3. Załóżmy, że funkcja a0 użyta w konstrukcji KW ma ścisłe minimum globalne w 0. Niech α będzie ciągiem KW zdefiniowanym wzorem (20) i niech
X = O(α). Wtedy przestrzeń z przesunięciem X jest prawie równociągła i nie jest
minimalna.
Twierdzenie 5.4. Niech X = O(α), gdzie α jest ciągiem WK zdefiniowanym wzorem (20). Wtedy przestrzeń z przesunięciem X nie zawiera par DC2.
Dowód. Oznaczmy x = 1∞ i ustalmy dowolne y ∈ X, y 6= x. Pokażemy, że dla
dowolnego t > 0 zachodzi:
Φ∗xy (t) = Φxy (t) = 1.
−j
< 2t . Jeśli więc ustalone
Dla każdego t > 0 istnieje N > 0 takie, że ∞
j=N 2
powyżej punkty x, y spełniają warunek d(x, y) ­ t, to istnieje 0 ¬ n < N takie, że
1 − yn > 2t . Stąd wynika, że:
P
#{0 ¬ i ¬ n : d(σ i (x), σ i (y)) ­ t}
t
dla pewnego 0 ¬ j ¬ N }
2
t
¬ N + N #{0 ¬ i ¬ n : yi < 1 − }.
2
¬ #{0 ¬ i ¬ n : yi+j < 1 −
(nk )
Jeśli dla pewnego t > 0 istnieje γ < 1 oraz rosnący ciąg {nk }k∈N taki, że Φxy
(t) ¬ γ
dla każdego k ∈ N, to:
1
#{0 ¬ i ¬ nk : d(σ i (x), σ i (y)) ­ t)}
nk
N
N
t
¬
+ #{0 ¬ i ¬ n : yi < 1 − }
nk nk
2
k)
1 − γ < 1 − Φ(n
xy (t) =
Pomijając, jeśli jest taka potrzeba, kilka pierwszych wyrazów ciągu {nk } i oznaczając
γ 0 = 1 − γ ∈ (0, 1) otrzymujemy:
N
t
#{0 ¬ i ¬ nk : yi < 1 − } > γ 0 .
nk
2
Jednocześnie y ∈ ω(α, σ), więc jeśli powyższa nierówność zachodzi, to istnieje ciąg
rosnący {mk } takie, że:
t
t
#{0 ¬ i ¬ nk : αi+mk < 1 − } = #{0 ¬ i ¬ nk : yi < 1 − } > γ 0 .
2
2
Funkcje ap są jednostajnie ciągłe, więc dla każdego t > 0 istnieje δ ∈ (0, 1) takie, że
jeśli |r − q| < δ to |ap (r) − ap (q)| < 4t dla każdego p. W szczególności dla każdego
k mamy:
1 Z mk +nk
N
t
χ[0,1− 4t ] (a∞ (r))dr ­ δ #{0 ¬ i ¬ nk : αi+mk < 1 − }
nk mk
nk
2
δγ 0
­
> 0.
N
52
(21)
Ustalmy dowolne ε > 0 i niech L ­ 2 będzie stałą Lipschitza dla funkcji a1 . Z definicji
, to ap (s + p) ­ 1 − ε oraz ap (s) = ap (s + 2p).
ciągu WK wiemy, że jeśli |s| ¬ εp
L
t
Ustalmy ξ > 1 − 4 i zauważmy, że istnieje 0 < β < 1 takie, że a1 (s) > ξ dla każdego
s ∈ [1 − β, 1 + β].
W pierwszej kolejności zauważmy, że:
lim−
ζ→1
(1 − ζ)(1 − β)
1−β
= lim
= 0,
ζ→∞ 1 + ζ β
1 − ζ(1 − β)
1−ζ
więc istnieje ζ ∈ (0, 1) takie, że:
(1 − ζ)(1 − β)
β
δγ 0
<1−
=
.
1−
8N
1 − ζ(1 − β)
1 − ζ(1 − β)
(22)
Niech {qj } będzie podciągiem {pj } takim, że q1 = p1 oraz qj ¬ (1 − β)(1 − ζ)qj+1
dla j = 1, 2 . . . . Ustalmy i ∈ N i niech k = k(i) będzie największą parzystą liczbą
taką, że kqi ¬ 2(1 − β)qi+1 . Wtedy:
kqi ­ (k + 2)qi − 2(1 − β)(1 − ζ)qi+1
­ 2(1 − β)qi+1 − 2(1 − β)(1 − ζ)qi+1
­ 2ζ(1 − β)qi+1 .
Oznaczmy:
1 Z s+2qi
χ[1− 4t ,1] (max aqj (t))dt.
ηi =
j¬i
2qi s
Dla j ¬ i każda z funkcji aqj spełnia równość: aqj (t) = aqj (t + 2qi ), więc definicja ηi
jest niezależna od wyboru s. Zauważmy także, że dla t ∈ [(1 − β)qi+1 , (1 + β)qi+1 ]
zachodzi:
t
aqi+1 (t) ­ ξ > 1 − .
4
Jeśli przyjmiemy s = (1 + β)qi+1 − 2qi+1 , to:
ηi+1
1 Z s+2qi+1
­
χ[1− 4t ,1] (max{max aqj (t), aqi+1 (t)})dt
j¬i
2qi+1 s
Z s+2qi+1 −2βqi+1
1
­ β+
χ[1− 4t ,1] (max aqj (t))dt
j¬i
2qi+1 s
Z s+kqi
1
­ β+
χ[1− 4t ,1] (max aqj (t))dt
j¬i
2qi+1 s
kqi
­ β+
ηi ­ β + ζ(1 − β)ηi .
2qi+1
To dowodzi, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi nierówność ηi+1 ­ β + ζ(1 − β)ηn .
Jednocześnie, skoro η1 ­ β, to otrzymujemy następujące oszacowanie z dołu:
ηn ­ β
1 − ζ(1 − β)n
.
1 − ζ(1 − β)
53
W połączeniu z wzorem (22) powyższe rozumowanie implikuje, że dla wszystkich
dostatecznie dużych K zachodzi:
ηK ­ 1 −
δγ 0
.
4N
Zauważmy teraz, że dla każdego k > 2qK istnieje lk > 0 takie, że:
lk 2qK ¬ nk < (lk + 1)2qK .
Ponieważ limk→∞
lk
lk +1
= 1, to dla dostatecznie dużych k mamy:
Z mk +2qK lk
1 Z mk +nk
1
χ[1− 4t ,1] (a∞ (r))dr ­
χ[1− 4t ,1] (max aqj (r))dr
j¬K
nk m k
(lk + 1)2qK mk
0
δγ
lk ηK
­1−
,
­
(lk + 1)
2N
co razem z wzorem (21) prowadzi do sprzeczności, ponieważ:
δγ 0
δγ 0
1 Z mk +nk
χ[0,1− 4t ] (a∞ (r))dr ¬
¬
N
nk m k
2N
Poniżej pokażemy dwie modyfikacje konstrukcji Katznelsona-Weissa. W wyniku
pierwszej z nich otrzymamy proksymalną, jednostajnie sztywną i słabo mieszającą
przestrzeń z przesunięciem. Druga prowadzi do przestrzeni z przesunięciem, która
jest proksymalna, jednostajnie sztywna i zawiera parę DC2.
5.1
Konstrukcja jednostajnie sztywnej i słabo mieszającej
przestrzeni z przesunięciem nad alfabetem [0, 1]
Pierwszą z rozważanych własności dynamicznych, którą chcemy uzyskać przy modyfikacji przedstawionej powyżej metody Katznelsona-Weissa jest słabe mieszanie.
Celem poniższych rozważań będzie konstrukcja, która jednocześnie stanowi dowód
następującego twierdzenia:
Twierdzenie 5.5. Istnieje słabo mieszająca, proksymalna i jednostajnie sztywna
przestrzeń z przesunięciem X ⊂ I.
Chcąc otrzymać słabo mieszającą przestrzeń z przesunięciem nad I musimy odpowiednio dobrać ciąg funkcji używany w konstrukcji Katznelsona-Weissa. Od właściwości tych funkcji zależeć będą własności dynamiczne otrzymanego układu. W szczególności konstrukcja przestrzeni słabo mieszającego nie powiedzie się, jeśli użyjemy
funkcji posiadającej ścisłe minimum globalne w zerze, o czym mówi poniższy fakt:
Fakt 5.6. Niech X = O(α), gdzie α jest ciągiem KW zdefiniowanym wzorem (20)
przy założeniu, że funkcja a0 posiada ścisłe minimum globalne w zerze. Wtedy przestrzeń X nie jest słabo mieszająca.
54
Dowód. Z założenia funkcja a0 użyta w konstrukcji ma minimum globalne w zerze, więc z twierdzenia 5.3 otrzymujemy, że przestrzeń X jest prawie równociągła.
Załóżmy nie wprost, że przestrzeń X jest słabo mieszające. Z twierdzenia 1.35 wynika, że X musi być wrażliwa na warunki początkowe, co prowadzi do sprzeczności
z twierdzeniem 1.34.
Wydaje się, że okresowość ciągu α w oryginalnej konstrukcji Katznelsona-Weissa
zaprezentowanej w [2] uniemożliwa spełnienie warunku z lematu 1.18. To oznaczałoby, że oryginalna konstrukcja Katznelsona-Weissa nie może prowadzić do nietrywialnego układu słabo mieszającego. Mimo prób nie potrafimy jednak udowodnić
lub odrzucić takiej hipotezy.
Zauważmy, że warunek z twierdzenia 5.6 dotyczący istnienia ścisłego minimum
globalnego funkcji a0 w zerze jest istotny, co widać na następującym przykładzie:
Przykład 5.7. Niech a0 : [−1, 1] → [0, 1] będzie funkcją przyjmującą następujące
wartości:
1
1
a0 (−1) = a0 (0) = a0 (1) = 1
a0 (− ) = a0 ( ) = 0,
2
2
oraz będzie liniowa na przedziałach (−1, − 21 ), (− 21 , 0), (0, 21 ), ( 12 , 1). Wtedy konstrukcja KW daje w efekcie układ trywialny składający się z punktu 1∞ , który jest jednocześnie minimalnym układem słabo mieszającym.
Zauważmy też, że każda funkcja a0 , która posiada w zerze wartość 1 i spełnia
założenia konstrukcji Katznelsona-Weissa prowadzi do układu trywialnego, takiego
jak w powyższym przykładzie. Żeby uzyskać przestrzeń z przesunięciem o żądanych
własnościach z jednej strony musimy dobrać ciąg funkcji tak, by dla otrzymanego
w wyniku konstrukcji nieskończonego słowa α ∈ I generującego przestrzeń X zachodził warunek tranzytywności. Z drugiej zaś okresowość musi być zaburzona w taki
sposób, by zachodził warunek konieczny i wystarczający z lematu 1.18. To oznacza,
że dowolny prefiks otrzymanego ostatecznie ciągu α ∈ I musi wystąpić w α nieskończenie wiele razy z przerwami długości n i n + 1 dla pewnego n ∈ N. Zgodnie
z twierdzeniem 5.6 wiemy, że otrzymana w wyniku konstrukcji przestrzeń z przesunięciem nie będzie słabo mieszająca, jeśli do konstrukcji użyjemy funkcji, które
posiadają ścisłe minimum globalne w zerze. Nie interesuje nas też przypadek przestrzeni trywialnej, otrzymanej poprzez konstrukcję z funkcji posiadającej maksimum
globalne w zerze. Wykorzystamy zatem funkcje, które także w pewnym otoczeniu
zera przyjmują wartość zero. Wprowadzimy także pewne zaburzenie w okresowości funkcji tworzących ciąg {wn }n∈N . Żeby uzyskać potrzebną strukturę będziemy
wydłużać niektóre z przedziałów, na których poszczególne funkcje z ciągu {an }n∈N
przyjmują wartość 1.
Zdefiniujemy ciąg funkcji {wn }n∈N . Niech w0 : [−3, 3] → [0, 1] będzie następujące:
w0 (t) =









0
−t − 1
t−1
1
,
,
,
,
gdy
gdy
gdy
gdy
55
t ∈ [−1, 1],
t ∈ [−2, −1],
t ∈ [1, 2]
t ∈ [−3, −2] ∪ [2, 3]
Przyjmijmy p0 = 3. Dla n ­ 1 wybierzmy dowolne Ln ­ p2n−1 oraz zdefiniujmy
pn = p20 Ln pn−1 . Zauważmy, że tak zdefiniowane Ln spełnia warunek L1n < n1 .
Kolejne funkcje w ciągu definiujemy rekurencyjnie. Przyjmujemy v0 : R → [0, 1]
jako rozszerzenie funkcji w0 na cały zbiór liczb rzeczywistych, czyli:
v0 (t) = w0 (t mod 2p0 ) dla t ∈ R.
Dla n = 1, 2, . . . definiujemy funkcję un : R → [0, 1] jako:
!
t
un (t) = v0
.
pn−1 Ln
Mając zdefiniowaną funkcję wn : [−pn , pn ] → [0, 1] dla pewnego n ∈ N, przyjmujemy , że funkcja vn jest rozszerzeniem wn na zbiór liczb rzeczywistych, czyli
vn (t) = wn (t mod 2pn ) dla t ∈ N. Definiujemy funkcję wn+1 : [−pn+1 , pn+1 ] → [0, 1]
następująco:



max{vn (t), un+1 (t)}
, gdy t ∈ [−pn+1 , p0 Ln+1 pn ],
max{v
(t
+
1),
u
(t)}
,
gdy t ∈ (p0 Ln+1 pn , pn+1 ]
wn+1 (t) = 
n
n+1

0
, gdy t ∈
/ [−pn+1 , pn+1 ].
Mając ciąg {wn }n∈N przyjmujemy w∞ (t) = supn∈N wn (t). Następnie definiujemy ciąg
α = {αi }i∈N0 ∈ I wzorem:
αi = w∞ (i) dla i ∈ N0 .
Oznaczamy X = O(α) ⊂ I. Pokażemy, że tak zdefiniowana przestrzeń z przesunięciem X spełnia twierdzenie 5.5. Bezpośrednio z definicji przestrzeni X wynika
następująca własność:
Fakt 5.8. Dla dowolnego t ∈ R, s > 0 zachodzi:
|v0 (t + s) − v0 (t)| ¬ s
oraz
|un (t + s) − un (t)| =
v0
t+s
pn−1 Ln
!
− v0
!
pn−1 Ln t
¬
s
pn−1 Ln
¬
s
.
npn−1
Lemat 5.9. Dla każdego 0 ¬ n ¬ m i dowolnego t ∈ [−pn , pn ] zachodzi:
w∞ (t) = wn (t) = wm (t).
Dowód. Ustalmy dowolne t ∈ [−pn , pn ]. Pokażemy najpierw, że wn (t) = wm (t). Bez
straty ogólności możemy założyć, że n < m. Skoro t ∈ [−pn , pn ], to pn Ltn+1 ∈ [−1, 1],
więc un+1 (t) = 0. Stąd wynika, że:
wn+1 (t) = max{vn (t), un+1 (t)} = vn (t) = wn (t).
Dla dowodu indukcyjnego załóżmy, że wm−1 (t) = wn (t). Podobnie jak w powyższym
rozumowaniu pm−1t Lm ∈ [−1, 1], więc um (t) = 0. Wtedy:
am (t) = max{vm−1 (t), um (t)} = vm−1 (t) = wm−1 (t) = wn (t).
56
Pokażemy teraz, że w∞ (t) = wn (t). Niech t ∈ [−p0 , p0 ]. Wtedy dla dowolnego i ­ 0
zachodzi wi (t) = w0 (t), a co za tym idzie spełniona jest równość z tezy. Natomiast
dla t ∈
/ [−p0 , p0 ] weźmy k < n takie, że t ∈ [−pk+1 , pk+1 ] \ [−pk , pk ]. Wtedy wi (t) = 0
dla i ¬ k oraz wi (t) = wk (t) dla i ­ k + 1. Stąd wynika, że:
w∞ (t) = sup wi (t) = wn (t).
i∈N
Lemat 5.10. Dla każdego 0 ¬ n < m oraz dowolnego t ∈ R zachodzi:
|vm (t + 2pn ) − vm (t)| < εn
Dowód. Jeśli m = n, to ponieważ 2pn jest okresem funkcji vm zachodzi wzór:
vm (t + 2pn ) = vm (t).
Załóżmy teraz, że dla pewnego m ­ n mamy |vm (t + 2pn ) − vm (t)| < εn dla
dowolnego t ∈ R. Pokażemy, że wtedy |vm+1 (t + 2pn ) − vm+1 (t)| < εn dla dowolnego
t ∈ R. Ponieważ vm+1 jest funkcją o okresie 2pm+1 możemy ograniczyć nasze
rozważania do t ∈ [−pm+1 , pm+1 ].
Rozważmy najpierw t ∈ [−pm+1 , p0 Lm+1 pm − 2pn ]. Wtedy:
|vm+1 (t + 2pn ) −
=
¬
¬
vm+1 (t)| = |wm+1 (t + 2pn ) − wm+1 (t)|
| max{vm (t + 2pn ), um+1 (t + 2pn )} − max{vm (t), un+1 (t)}|
max{|vm (t + 2pn ) − vm (t)|, |um+1 (t + 2pn ) − um+1 (t)|}
max{εn , |um+1 (t + 2pn ) − um+1 (t)|}
2εm+1 pn
¬ max{εn ,
} ¬ εn .
pm+1
Podobne rozumowanie można zastosować gdy t ∈ [p0 Lm+1 pm , pm+1 − 2pn ], otrzymując:
|vm+1 (t + 2pn ) − vm+1 (t)| = | max{vm (t + 2pn + 1), un+1 (t + 2pn )}
− max{vm (t + 1), um+1 (t)}| ¬ εn .
Dla t ∈ [p0 Lm+1 pm − 2pn , p0 Lm+1 pm ] mamy natomiast:
t
2pn
∈ [p0 −
, p0 ] ⊂ [2, 3]
pm Lm+1
pm Lm+1
t + 2pn
2pn
∈ [p0 , p0 +
] ⊂ [3, 4].
pm Lm+1
pm Lm+1
Ponieważ dla dowolnego s ∈ [2, 4] funkcja v0 przyjmuje wartość 1, to:
vm+1 (t) = um+1 (t) = 1 = um+1 (t + 2pn ) = vm+1 (t + 2pn ).
57
W ostatnim przypadku y ∈ [pm+1 − 2pn , pm+1 ]. Wtedy:
2pn
t
∈ [p20 −
, p2 ] ⊂ [8, 9]
pm Lm+1
pm Lm+1 0
t + 2pn
2pn
∈ [p20 , p20 +
] ⊂ [9, 10].
pm Lm+1
pm Lm+1
Dla dowolnego s ∈ [8, 10] funkcja v0 przyjmuje wartość 1 i podobnie jak w poprzednim przypadku:
vm+1 (t) = um+1 (t) = 1 = um+1 (t + 2pn ) = vm+1 (t + 2pn ).
Lemat 5.11. Przestrzeń X jest jednostajnie sztywna.
Dowód. Ustalmy dowolne ε > 0 oraz n ∈ N takie, że εn < ε. Weźmy dowolne t ∈ R
oraz m > n takie, że t ∈ [−pm , pm − 2pn ]. Z lematu 5.10 wynika, że:
|w∞ (t + 2pn ) − w∞ (t)| < εn ,
natomiast z lematu 5.9 mamy, że w∞ (t) = wm (t) oraz w∞ (t + 2pn ) = wm (t + 2pn ).
Stąd dla każdego s ∈ R zachodzi:
|w∞ (s + 2pn ) − w∞ (s)| < εn .
Teza wynika więc bezpośrednio z lematu 2.9.
Lemat 5.12. Dla dowolnego n ∈ N0 oraz t ∈ [−pn , pn ] zachodzi:
w∞ (t) = w∞ (t − 2p0 Ln+1 pn ) = w∞ (t + 2p0 Ln+1 pn ).
Dowód. Ustalmy n ∈ N0 oraz t ∈ [−pn , pn ] i przyjmijmy s = −2p0 Ln+1 pn . Wtedy
t + s ∈ [−pn+1 , p0 Ln+1 pn ] oraz:
t+s
t
=
− 2p0 ∈ [−7, −5],
pn Ln+1
pn Ln+1
więc v0 ( pnt+s
) = 0. W takim razie un+1 (s + t) = un+1 (t) = 0. Z lematu 5.9 wynika
Ln+1
więc:
w∞ (s + t) = wn+1 (s + t) = max{un+1 (s + t), vn+1 (s + t)} = vn (s + t) (23)
= vn (t) = wn (t) = w∞ (t).
(24)
Podobnie, jeśli s0 = 2p0 Ln+1 pn − 1, to t + s0 ∈ (p0 Ln+1 pn , pn+1 ], więc:
w∞ (t + s0 ) = wn+1 (t + s0 ) = max{un+1 (t + s0 ), vn (t + s0 + 1)} = vn (t + s0 + 1)
= vn (t) = wn (t).
58
Lemat 5.13. Przestrzeń X jest słabo mieszająca.
Dowód. Zauważmy, że z lematu 5.12 wynika, że dla dowolnego m ∈ Z oraz k > 0
następujący blok:
w∞ (m − k)w∞ (m − k + 1) . . . w∞ (m + k)
jest podsłowem występującym w ciągu α nieskończenie wiele razy. Oznacza to, że
α jest punktem rekurencyjnym w X. Stąd wynika, że przestrzeń X jest tranzytywna.
Dla dowodu słabego mieszania możemy więc skorzystać z lematu 1.18.
Ustalmy dowolne otoczenie U punktu α oraz ε > 0 takie, że jeśli d(α, β) < ε to
P
−i+1
< ε i przyjmijmy N = 2p0 Ln+1 pn − 1.
β ∈ U . Wybierzmy n ∈ N takie, że ∞
i=pn 2
Zdefiniujmy punkt β ∈ I następująco:
βi = w∞ (i − N − 1) dla i ­ 0.
Zauważmy, że β ∈ X. Z lematu 5.12 otrzymujemy:
d(α, β) =
¬
∞
X
∞
|αi − βi | X
|w∞ (i) − w∞ (i − 2p0 Ln+1 pn )|
=
i
2
2i
i=0
i=0
∞
X
i=pn
2
< ε,
2i
czyli β ∈ U .
Zauważmy, że σ N +1 (β) = α ∈ U . Analogiczne rozumowanie uzasadnia, że także
σ N (α) ∈ U . Na podstawie lematu 1.18 przestrzeń X jest słabo mieszająca.
Żeby wykazać, że skonstruowana przestrzeń z przesunięciem X jest proksymalna
skorzystamy z przedstawionej poniżej własności z lematu 5.14. Dla jasności zapisu
przyjmijmy, że dla m ­ n ­ 1 przez ω (m) będziemy oznaczać słowo zbudowane
z symboli występujących jako wartości funkcji wm ([−pm , pm ]) dla całkowitych argumentów, czyli:
ω (m) = wm (−pm )wm (−pn + 1) . . . wm (pm − 1)wm (pm ).
Lemat 5.14. Dla dowolnych m ­ n ­ 1 oraz dla dowolnego i = −pm , . . . , pm − 2pn
(m)
blok złożony z p9n jedynek występuje jako podsłowo bloku ω[i,i+2pn ] .
Dowód. Ustalmy n ∈ N i przyjmijmy m = n. Zauważmy, że wprost z definicji funkcji
un wynika, że:
pn
un ([−pn , −pn + ]) = {1},
9
oraz, analogicznie:
pn
un ([pn − , pn ]) = {1}.
9
Jednocześnie na przedziale [−pn , pn ] spełniona jest nierówność wn (t) ­ un (t), więc
funkcja wn przyjmuje wartości 1 co najmniej na tych samych przedziałach co funkcja
pn
un . To oznacza, że blok 1 9 występuje jako podsłowo w ω (n) .
59
Zauważmy, że z definicji funkcji vn wynika, że dla każdego l ∈ N funkcja vn
przyjmuje wartość 1 na przedziałach postaci [(2l+1)pn − p9n , (2l+1)pn + p9n ]. Oznacza
to, że w dowolnym przedziale o długości 2pn występuje p9n kolejnych argumentów
całkowitych, dla których funkcja vn przyjmuje wartość 1.
Przyjmijmy m = n + 1. Pokażemy, że blok p9n jedynek wstępuje jako podsłowo
(n+1)
w bloku ω[i,i+2pn ] dla dowolnego i = −pn+1 , . . . , pn+1 − 2pn . Zauważmy, że zachodzą
następujące nierówności:
wn+1 (t) ­ vn (t) dla t ∈ [−pn+1 , p0 Ln+1 pn ],
wn+1 (t) ­ vn (t + 1) dla t ∈ (p0 Ln+1 pn , pn+1 ].
(25)
(26)
Dla i ∈ [−pn+1,p0 Ln+1 pn −2pn ] z nierówności (26) oraz z rozważań dotyczących
pn
(n+1)
funkcji vn wiemy, że ω[i,i+2pn ] zawiera blok 1 9 .
Zauważmy teraz, że jeśli: t ∈ (p0 Ln+1 pn − 2pn , p0 Ln+1 pn + 2pn ], to:
t
∈ [2, 4],
pn Ln+1
co oznacza, że na tym przedziale un+1 (t) = 1. Wraz z nierównością (26) oznacza to,
pn
(n+1)
że blok 1 9 występuje jako podsłowo ω[i,i+2pn ] dla i ∈ (p0 Ln+1 pn − 2pn , p0 Ln+1 pn ].
Do rozważenia pozostaje przypadek, gdy i ∈ (p0 Ln+1 pn , pn+1 − 2pn ]. W tym
przedziale zachodzi wzór:
wn+1 (t) = max{vn (t + 1), un+1 (t)},
a jednocześnie un+1 (t) = 1 dla t ∈ (p0 Ln+1 pn − 2pn , p0 Ln+1 pn + 2pn ]. W takim razie
pn
(n+1)
dla i ∈ (p0 Ln+1 pn , p0 Ln+1 pn + 2pn − p9n ] blok 1 9 jest podsłowem ω[i,i+2pn ] . Z drugiej
strony dla t ­ p0 Ln+1 pn zachodzi nierówność (26). Z własności funkcji vn wynika
pn
(n+1)
więc, że dla i ∈ [p0 Ln+1 pn + 1, pn+1 − 2pn ] blok 1 9 jest podsłowem ω[i,i+2pn ] .
Definicja 5.15. Mówimy, że skończonej długości podsłowo w występuje w ciągu
u ∈ I relatywnie gęsto, jeśli w występuje w ciągu u jako podsłowo nieskończenie
wiele razy, oraz długości odstępów między kolejnymi wystąpieniami są ograniczone
od góry.
Lemat 5.16. Dla dowolnego n ∈ N blok złożony z
α relatywnie gęsto.
pn
9
jedynek wystepuje w ciągu
Dowód. Teza wynika bezpośrednio z lematów 5.14 oraz 5.9.
Twierdzenie 5.17. Przestrzeń X jest proksymalna.
Dowód. Na podstawie punktu (2) z twierdzenia 1.26 wystarczy pokazać, że dla dowolnego x ∈ X para (x, σ(x)) jest proksymalna. Ustalmy zatem dowolny element
x ∈ X. Wtedy istnieje K ∈ N0 takie, że x = σ K (α) lub x = limi→∞ yi dla yi ∈ O(α).
W pierwszym przypadku, korzystając z lematu 5.14 wiemy, że także w ciągu
pn
x blok 1 9 występuje relatywnie gęsto. Przyjmijmy:
p1
n1 = min{i ∈ N0 : x[i,i+ p91 −1] = 1 9 },
pk
nk = min{i > nk−1 : x[i,i+ pk ] = 1 9 } dla k ∈ N.
9
60
Wtedy limk→∞ d(σ nk (x), σ nk +1 (x)) = 0.
pn
W drugim przypadku z lematu 5.14 wiemy, że w każdym z ciągów yi blok 1 9
pn
występuje relatywnie gęsto dla n ∈ N. Stąd blok 1 9 występuje relatywnie gęsto
także w ciągu x. Rozumowanie analogiczne jak w poprzednim przypadku uzasadnia,
że para (x, σ(x)) jest proksymalna.
5.2
Konstrukcja jednostajnie sztywnej przestrzeni z przesunięciem z parą DC2 nad alfabetem [0, 1]
Motywacją do przedstawionej poniżej drugiej modyfikacji konstrukcji KatznelsonaWeissa były pytania dotyczące dynamiki par konstruowanych tą metodą przestrzeni.
W szczególności interesuje nas problem istnienia par DC2 w otrzymanym układzie.
Przestrzenie konstruowane tą metodą są przykładami układów całkowicie splątanych, gdzie każda para różnych punktów jest parą Li-Yorke’a. Z poniższego twierdzenia wynika, że w układzie proksymalnym, jakim w szczególności jest przestrzeń
skonstruowana metodą Katznelsona-Weissa, nie możemy oczekiwać, że warunek istnienia układu całkowicie splątanego można rozszerzyć wymagając, by wszystkie pary
były parami DC2.
Twierdzenie 5.18. Niech X będzie układem dynamicznym z punktem stałym p ∈ X
i niech (x, p) będzie parą DC2 dla pewnego x ∈ X. Wtedy istnieje y ∈ X, y 6= p takie,
że para (y, p) nie jest parą DC2.
Dowód. Para (x, p) jest parą DC2, więc istnieje s > 0 takie, że Φxp (s) < 1. W szcze(nk )
(s) < γ dla każdego
gólności istnieje rosnący ciąg {nk }k∈N oraz γ < 1 takie, że Φpx
k ∈ N. Oznaczmy:
s
U = {z : d(p, z) > }.
2
Wtedy zachodzi następująca nierówność:
1
1
#(N (x, U ) ∩ [0, nk )) ­
#{i < nk : d(σ i (x), p) ­ s}
nk
nk
k)
­ 1 − Φ(n
xp (s) ­ 1 − γ > 0.
To oznacza, że:
1
lim sup #(N (x, U ) ∩ {1, . . . , n}) > 0,
n→∞ n
więc istnieje niezmiennicza miara µ taka, że µ(U ) > 0. Istnieje miara ergodyczna µe
taka, że µe (U ) > 0. Z twierdzenia 1.38 wynika, że istnieje punkt y ∈ X taki, że:
lim
inf
n→∞
1
#(N (x, U ) ∩ {1, . . . , n}) > 0.
n
Wtedy:
Φ∗yp
s
s
1
= lim sup Φ(n)
¬ lim sup(1 − #(N (x, U ) ∩ [0, n))) < 1,
yp
2
2
n
n→∞
n→∞
więc para (y, p) nie jest parą DC2.
61
Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek:
Wniosek 5.19. W dowolnym układzie proksymalnym X (w szczególności w dowolnym układzie całkowicie splątanym) istnieją punkty x, y ∈ X, x 6= y takie, że para
(x, y) nie jest parą DC2.
Konstrukcja, którą przedstawiamy poniżej, daje w efekcie przestrzeń, w której
∞
∞
istnieje co najmniej jedna para DC2. Niech {an }∞
n=0 , {bn }n=0 , {cn }n=0 będą rosnącymi ciągami liczb rzeczywistych dodatnich spełniającymi następujące zależności dla
dowolnego n ­ 1:
bn = 2n bn−1 pn−1 ,
an = [22n (bn + cn ) − 1]pn−1 ,
cn = 2n cn−1 pn−1 bn ,
gdzie pn = an + bn + cn dla n ­ 0. Dodatkowo przyjmujemy: b−1 = c−1 = p−1 = 1.
Zdefiniujmy ciąg odwzorowań przedziałami liniowych ϕn : [−pn , pn ] → [0, 1],
przyjmujących następujące wartości na krańcach przedziałów liniowości:
ϕn (−pn ) = ϕn (−an − bn ) = ϕn (an + bn ) = ϕn (pn ) = 1,
ϕn (an ) = ϕn (−an ) = 0.
Niech γ =
P∞
1
n=1 22n .
Wtedy:
∞
X
bn
n=0
∞
X
+ cn
1
1
<
γ
<
.
¬
2n + 1
pn
2
n=1 2
Zdefiniujmy funkcję wn : R → [0, 1] jako okresowe rozszerzenie funkcji ϕn , czyli:
wn (t) = ϕn (t
mod 2pn ) dla każdego t ∈ R.
Niech w∞ (t) = supn∈N wn (t), a przez α oznaczmy element z kostki I zdefiniowany
jako αi = w∞ (i) dla każdego i ­ 0. Przestrzeń z przesunięciem Y = O(α) będzie
głównym obiektem dalszych rozważań.
Oznaczmy tn = an − 2pn−1 dla każdego n ­ 1. Pokażemy, że następujący punkt
jest poprawnie zdefiniowanym elementem przestrzeni Y.
z = n→∞
lim σ
Pn
t
j=1 j
(α).
Zauważmy, że dla każdego k ∈ N suma kj=s tj jest wielokrotnością 2ps−1 dla każdego
s ¬ k. Stąd wynika, że dla każdego i mamy:
P
(σ
Pk
t
j=1 j
(α))i = w∞ (
k
X
tj + i) = sup wn (
n∈N
j=1
= max{max wn (
n<k
k
X
n¬k
n­k
n
X
j=1
62
tj + i)
j=1
tj + i), sup wn (
j=1
= max{max wn (i +
k
X
tj + i)}
j=1
tj ), sup wn (
n>k
k
X
k
X
j=1
tj + i)}
Ponieważ ak − pk < 0 otrzymujemy:
n
X
tj = an +
j=1
n−1
X
n−1
X
j=1
j=1
(aj − pj ) −
pj ¬ an − pn−1 .
Stąd dla dowolnego i ­ 0 istnieje N takie, że wn (i + nj=1 tj ) = 0 dla każdego n ­ N
P
oraz wnP
( kj=1 tj + i) = 0 dla k > N i n > k. To oznacza, że dla ustalonego i ∈ N0
P
ciąg (σ
n
t
j=1 j
(α))i stabilizuje się, więc punkt z jest poprawnie zdefiniowany.
Lemat 5.20. Para (z, 1∞ ) jest parą DC2 w przestrzeni Y.
Dowód. Aby pokazać, że para (z, 1∞ ) jest DC2 musimy udowodnić, że istnieje pewne
ξ > 0 takie, że Φz1∞ (ξ) < 1 i Φ∗z1∞ (t) = 1 dla każdego t > 0.
Przyjmijmy ξ = 21 i ustalmy k ∈ N. Dla dowodu pierwszego warunku pokażemy,
P
że dla podciągu Ak = k+1
j=0 pj zachodzi:
1
1
2
]{i : d(σ i (z), 1) < , 0 ¬ i < Ak } < .
k→∞ Ak
2
3
lim
Możemy zastosować następujące oszacowanie:
1
1
]{i : d(σ i (z), 1∞ ) < , 0 ¬ i < Ak }
Ak
2
1
1
=1−
]{i : d(σ i (z), 1∞ ) ­ , 0 ¬ i < Ak }
Ak
2
1
¬1−
]{i : d(σ i (z), 1∞ ) = 1, 0 ¬ i < Ak }
Ak
1
¬1−
]{i : zi = 0, Ak−1 < i < Ak }
Ak
1
=1−
]{i : zi+Ak−1 = 0, 0 ¬ i < pk+1 }.
Ak
Interesuje nas więc liczba tych argumentów 0 ¬ i < pk+1 dla których zachodzi:
zi+Pk
j=0
= zi+Ak−1 = 0.
pj
Zauważmy, że:
zi+Ak−1 =
=
lim w∞ (i + Ak−1 +
s→∞
s
X
lim max{ max wn (i +
s→∞
tj )
j=1
n¬k+1
n
X
(tj + pj−1 )), sup wn (i +
n>k+1
j=1
s
X
tj + Ak−1 + i)}.
j=1
Ale dla i < pk+1 i n > k + 1 mamy:
n
X
j=1
tj +
k
X
j=0
pj + i ¬
n
X
j=1
aj −
n−1
X
j=0
63
p j = an −
n−1
X
(pj − aj ) ¬ an ,
j=0
więc:
zi+Ak−1 =
max wn (i +
n¬k+1
n
X
(tj + pj−1 )).
j=1
Ponieważ pk+1 jest wielokrotnością okresu każdego wn dla n ¬ k + 1 oraz:
Ak+1 /pk+1 ¬ 1 +
k
X
bj+1 /ak ¬ 1 +
j=0
k
X
2−2j < 3/2,
j=0
więc:
1
Ak+1
#{i : zi+Ak−1 = 0, i < pk+1 }
k+1
X
2
­
(pk+1 −
#{j : wn (j) 6= 0, j < pk+1 })
3pk+1
n=1
k+1
X bn + c n
2
1
2
) ­ (1 − γ) > .
­ (1 −
3
pn
3
3
n=0
W ten sposób pokazaliśmy, że:
1
1
2
1
]{i : d(σ i (z), 1∞ ) < , 0 ¬ i < Ak+1 } ¬ 1 − = ,
Ak
2
3
3
co razem z poprzednimi rozważaniami dowodzi, że:
1
Φz1∞ ( ) < 1.
2
Ustalmy teraz dowolne k ∈ N i oznaczmy:
Bk =
k
X
pj + bk+1 + pk = Ak−1 + bk+1 + pk ,
j=0
Ck = ck+1 −
k
X
(tj + pj−1 ).
j=1
Weźmy 0 < i < Ck i przyjmijmy t =
1
2M
dla M ∈ N. Wykażemy, że:
1
) = 1 for any M ∈ N,
2M
poprzez pokazanie, że dla podciągu Bk + Ck mamy:
Φ∗z1∞ (
lim
k→∞
1
1
#{i : d(σ i (z), 1∞ ) < M , 0 ¬ i < Bk + Ck } = 1.
Bk + Ck
2
Możemy zastosować następujące oszacowanie:
1
, 0 ¬ i < Bk + Ck }
2M
∞
X
|zi+Bk − 1|
1
= #{i :
< M , 0 ¬ i < Ck }
l
2
2
l=0
­ #{i : zi+Bk +j = 1, 0 ¬ i < Ck , j = 0, . . . , M }.
#{i : d(σ i (z), 1∞ ) <
64
Interesuje nas liczba tych argumentów 0 < i < Ck − M , dla których zachodzi wzór:
zi+Bk +j = 1. Zauważmy, że dla i = 0, . . . , Ck :
zi+Bk =
lim w∞ (i + Bk +
s→∞
­ wk+1 (i + Bk +
s
X
s
X
tj )
j=1
tj )
j=1
Dla odpowiednio dużych s zachodzi:
wk+1 (i + Bk +
s
X
tj ) = wk+1 (i + Bk +
j=1
k+1
X
tj ),
j=1
a dla i < Ck mamy:
ak+1 + bk+1 < i + Bk +
k+1
X
tj ¬ Bk + Ck +
j=1
k+1
X
tj
j=1
= ak+1 + bk+1 + ck+1 − 2pk < ak+1 + bk+1 + ck+1 ,
więc zi+Bk = 1 dla i < Ck . Wracając do oszacowania:
#{i : zi+Bk +j = 1, 0 ¬ i < Ck , j = 0, . . . , M } ­ Ck − M,
więc
Bk + M
Ck − M
1
=
1
−
lim
.
­
lim
k→∞ Ck + Bk
k→∞ Ck + Bk
2M
Zauważmy, że:
Ck + Bk = 2k+1 ck pk bk+1 + bk+1 + 2pk −
k
X
tj ­ 2k+1 ck pp bk+1 ,
j=1
więc:
k
pj
Bk + M
1
1
M
lim
¬ lim ( k+1 j=1
+ k+1
+ k+1
+ k+1
)
k→∞ Ck + Bk
k→∞ 2
ck pk bk+1 2 ck pk 2 ck bk+1 2 ck pk bk+1
= 0,
P
co kończy dowód.
Lemat 5.21. Przestrzeń Y jest jednostajnie sztywna.
Dowód. Na początku udowodnimy następującą własność:
|wn (s) − wn (t)| ¬
3|s − t|
.
bn
Bez straty ogólności możemy założyć, że |s − t| < bn oraz wn (t) 6= wn (s). W przeciwnym przypadku powyższa nierówność jest w oczywisty sposób spełniona. Wybierzmy dowolne punkty s ¬ s0 ¬ t0 ¬ t w taki sposób, by wn było liniowe na każdym
65
z przedziałów s < s0 < t0 < t, a przedziały te były różnych długości. Taki dobór
punktów jest możliwy, ponieważ przedziały liniowości funkcji wn mają długości 2an ,
2bn , 2cn > bn . Nachylenie wykresu funkcji wn na każdym z tych przedziałów wynosi
0 lub b1n . Stąd:
|wn (s) − wn (t)| ¬ |wn (s) − wn (s0 )| + |wn (s0 ) − wn (t0 )| + |wn (t0 ) − wn (t)|
|s − s0 | |s0 − t0 | |t0 − t|
3|s − t|
¬
+
+
¬
bn
bn
bn
bn
N
Ustalmy ε > 0, weźmy ciąg {2pk }k∈N , N takie, że b3p
< ε oraz pewne k > N .
N +1
Zauważmy, że dla dowolnego całkowitego i ­ 0 zachodzi:
|αi+2pk − αi | ¬ sup |wm (i + 2pk ) − wm (i)|
m∈N
6pk
6pk
=
< ε,
bk+1
m>k bm
= sup |wm (i + 2pn ) − wm (i)| ¬ sup
m>k
co kończy dowód na mocy lematu 2.9.
Twierdzenie 5.22. Przestrzeń Y jest proksymalna, jednostajnie sztywna i zawiera
parę DC2.
Dowód. Bezpośrednio z definicji przestrzeni Y wynika, że funkcje wn : R → [0, 1]
wykorzystane w konstrukcji są okresowe i dodatkowo blok 12cn występuje relatywnie
gęsto w słowie ω (n) = wn (0)wn (1)wn (2) · · · ∈ I dla dowolnego n ∈ N. Wynika
stąd, że także w słowie α generującym przestrzeń Y blok 12cn występuje relatywnie
gęsto. Rozumowanie analogiczne jak w dowodzie twierdzenia 5.17 dowodzi, że Y jest
przestrzenią proksymalną.
Dla dowodu jednostajnej sztywności oraz istnienia pary DC2 wystarczy skorzystać z lematów 5.20 oraz 5.21.
66
Bibliografia
[1] R. Adler, A. Konheim, M. McAndrew, Topological entropy, Trans. Amer. Math.
Soc., 114 (1965), 309-319.
[2] E. Akin, J. Auslander and K. Berg, When is a transitive map chaotic?, Convergence in ergodic theory and probability (Columbus, OH, 1993), 25–40, Ohio
State Univ. Math. Res. Inst. Publ., 5, de Gruyter, Berlin, 1996.
[3] E. Akin, Lectures on Cantor and Mycielski sets for dynamical systems, Chapel
Hill Ergodic Theory Workshops, Contemp. Math., Vol. 356, Amer. Math. Soc.,
Providence, R.I., (2004), 21-79
[4] E. Akin, S. Kolyada, Li-Yorke sensitivity, Nonlinearity, 16 (2003), 1421-1433.
[5] J.-P. Allouche, J. Shallit, Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2003,
[6] Ll. Alseda, J. Libre, M. Misiurewicz, Combinatorial dynamics and entropy in
dimension one, Sec.Ed., World Scientific, Andvanced Series of Nonlinear Dynamics, 5, Singapore, 2000,
[7] F. Balibrea, J. Smı́tal, Strong distributional chaos and minimal sets, Topology
Appl., 156(9) (2009), 1673-1678.
[8] F. Balibrea, J. Smı́tal, M. Stéfankova, The three versions of distributional chaos,
Chaos Solitons Fractals, 23(5) (2005), 1581-1583.
[9] J. Banks, T. T. D. Nguyen, P. Oprocha, B. Stanley, B. Trotta, Dynamics of
spacing shifts, Disc. Cont. Dyn. Sys., 33(9) (2013), 4207-4232.
[10] A. Bertrand, Specification, Synchronization, Average Length, Coding Theory
and Applications, Lect. Notes in Comp. Sci., 311 (1988), 86-95.
[11] F. Blanchard, E. Glasner, S. Kolyada, A. Maass, On Li-Yorke pairs, J. Reine
Agnew. Math. 547 (2002), 51-68.
[12] F. Blanchard, B. Host, A. Maass, Topological Complexity, Ergod.Th. and Dyn.
Sys., 20(3) (2000), 641-662.
[13] F. Blanchard, B. Host, S. Ruette, Asymptotic pairs in positive-entropy systems,
Ergod. Th. and Dynam. Sys., 22 (2002), 671-686.
[14] F. Blanchard, W. Huang, L. Snoha, Topological size of scrambled sets, Colloq.
Math. 110(2) (2008), 293-361.
[15] L. S. Block, W. A. Coppel, Dynamics in one dimension, Lecture Notes in Mathematics, 1513, Springer-Verlag, Berlin, (1992).
67
[16] R. Bowen, Topological entropy and axiom A, Global Analysis (Proc. Sympos.
Pure Math., Vol.XIV, Berkeley, Calif., 1968), Amer. Math. Soc., Providence,
R.I., (1970), 23-41.
[17] T. Downarowicz, Positive topological entropy implies chaos DC2, Proc. Amer.
Math. Soc., 142 (2014), 137-149.
[18] T. Downarowicz, Survey on odometers and Toeplitz flows, Algebraic and Topological Dynamics, 385 (2005), 7-37.
[19] M. Foryś, On the Growth Rate of Words in Generalized Thue-Morse Sequence,
Int. J. Comp. Math., 91(8) (2014), 1627-1634.
[20] M. Foryś, W. Huang, J. Li, P. Oprocha Invariant scrambled sets, uniform rigidity, and weak mixing, Israel Journ. Math., accepted.
[21] M. Foryś, P. Oprocha, P. Wilczyński, Factor maps and invariant distributional
chaos, J. Diff. Eq., 256 (2014), 475-502.
[22] H. Furstenberg, Disjointness in ergodic theory, minimal sets and a problem in
diophantine approximation, Math. Syst. Theory, 1(1) (1967), 1-49.
[23] T. N. T. Goodman, Topological Sequence Entropy, Proc. London Math. Soc.
29(3) (1974), 331-350.
[24] G. Harańczyk, D. Kwietniak, When a lower entropy implies stronger Devaney
chaos, Proc. Amer. Math. Soc., 137 (2009), 2063-2073.
[25] W. Huang, X. Ye, Dynamical systems disjoint from any minimal system, Trans.
Amer. Math. Soc., 357(2) (2005), 669-694.
[26] W. Huang, X. Ye, Homeomorphisms with the whole compacta being scrambled
sets, Ergod.Th.and Dynam.Sys., 21 (2001), 77-91.
[27] W. Huang, X. Ye, Minimal sets in almost equicontinuous systems, Tr. Mat.
Inst. Steklova, 244 Din. Sist. i Smezhnye Vopr. Geom., (2004), 297-304.
[28] K. Jankova, J. Smítal, A characterization of chaos, Bull. Austral. Math. Soc.
34(2) (1986), 283-292.
[29] T. Kamae, Maximal pattern complexity as topological invariants, preprint, Tokyo University, available via http://www14.plala.or.jp/kamae/invariants.pdf,
25.XI.2012,
[30] T. Kamae, L. Zamboni, Sequence entropy and the maximal pattern complexity
of infinite words, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 22(4) (2002), 11911199.
[31] Y. Katznelson, B. Weiss, When all points are recurrent/generic, Ergodic Theory
Dynam. Systems, 9 (1989), 309-320.
68
[32] B. G. Klein, Homomorphisms of symbolic dynamical systems, Math. Systems
Theory, 6 (1972), 107-122.
[33] S. Kolyada, L. Snoha, Some aspects of topological transitivity - a survey,
Proc.ECIT-94, Grazer Math. Ber., 335 (1997), 3-35.
[34] P. Kurka, Topological and symbolic dynamics, Société Mathématique de France,
2003,
[35] A. G. Kushnirenko, On metric invariants of entropy type, Russian Math. Surveys, 22 (1967), 53-61.
[36] J. Kwiatkowski, A. Sikorski, Spectral properties of G-symbolic Morse shifts,
Bull. Soc. Math. France, 115(1) (1987), 19-33.
[37] T. Y. Li, J. A. Yorke, Period three implies chaos, Amer.Math.Monthly, 82(10)
(1975), 985-992.
[38] G. Liao, L. Wang, Alomst periodicity and distributional chaos, Amer. Math.
Monthly, 82(10), (1975), 985-992.
[39] A. Maass, S. Shao, Structure of bounded topological-sequence-entropy minimal
systems, Journ. Lond. Math. Soc., 76(3) (2007), 702-718.
[40] B. Marcus, D. A. Lind, Symbolic dynamics and coding, Cambridge University
Press 1995,
[41] J. C. Martin, The structure of generalized Morse minimal sets on n symbols,
Trans. Amer. Math. Soc., 232 (1977), 343-355.
[42] M. Misiurewicz, J. Smital, Smooth chaotic maps with zero topological entropy,
Ergodic Theory Dynamic. Systems 8(3) (1988), 421-424.
[43] M. Morse, G. A. Hedlund, Symbolic dynamics, American Journal of Mathematics, 60(4) (1938), 815-866.
[44] P. Oprocha, Distributional chaos revisited, Trans. Amer. Math. Soc., 361(9)
(2009), 4901-4925.
[45] P. Oprocha, Minimal systems and distributionally scrambled sets, Bull. Soc.
Math. France 140(3) (2012), 401-439.
[46] P. Oprocha, M. Štefánková, Specification property and distributional chaos almost everywhere, Proc. Amer. Math. Soc., 136(11) (2008), 3931-3940.
[47] R. Pikuła, On some notions of chaos in dimension zero, Colloq. Math., 107
(2007), 167-177.
[48] B. Schweizer, J. Smítal, Measures of chaos and a spectral decomposition of
dynamical system on the interval, Trans. Amer. Math. Soc., 344 (1994), 737754.
69
[49] P. Séébold, On some generalizations of the Thue-Morse morphism, Theoret.
Comput. Sci., 292 (2003), 283-298.
[50] K. Sigmund, On dynamical systems with the specification property, Trans. Amer.
Math. Soc., 190 (1974), 285-299.
[51] A. Sklar, J. Smítal, Distributional chaos on compact metric spaces via specification property, Journ. of Math. Anal. and Applic., 241 (2000), 181-188.
[52] J. Smı́tal, A chaotic function with some extremal properties, Proc. Amer. Math.
Soc. 87(1) (1983), 54-56.
[53] J. Smı́tal, Chaotic functions with zero topological entropy, Trans. Amer. Math.
Soc., 297(1), (1986), 269-282.
[54] J. Smı́tal, Distributional chaos and topological entropy, Real Analysis Exchange,
Summer Symposium (2006), 61-66.
[55] B. Solomyak, A. Vershik, The adic realization of the Morse transformation and
the extension of its action to the solenoid, Journ. Math. Sci., 156(6) (2009),
809-818,
[56] F. Tan, J. Xiong, Chaos via Furstenberg family couple, Topology Appl., 156(3)
(2009), 525-532.
[57] J. Tromp, J. Shallit, Subword complexity of a generalized Thue-Morse word,
Inform. Process. Lett., 54(6) (1995), 313-316.
[58] P. Walters, An introduction to ergodic theory, Graduate Texts in Math., 79
Springer-Verlag, New-York-Berlin, 1982,
[59] L. Wang, G. Liao, Z. Chu, X. Duan, The set of reccurent points of a continuous
self-map on an interval and strong chaos, J. Appl. Math. Comput. 14 (2004),
277-288
[60] B. Weiss, Multiple recurrence and doubly minimal systems, Contemp. Math,
215 (1998), 189-196.
[61] B. Weiss, Subshifts on finite type and sofic systems, Monatschefte für Mathematik 77 (1973), 463-474.
[62] J. C. Xiong, A chaotic map with topological entropy, Acta Math. Sci., 6(4)
(1986), 439-443.
70