Zadanie 1

LOGIKA z ALGEBRĄ dla I roku Technik Komputerowych
Zadania na ćwiczenia w dniu 18 XI 2002 r.
Zadanie 1. Niech N={0,1,2,...}, NN oznacza ogół funkcji f:NN. Na zbiorze NN wprowadzamy
relację =prawie wszędzie przyjmując, że funkcja f:NN jest prawie wszędzie równa funkcji g:NN, jeżeli
zbiór {nN: f(n)g(n)} jest skończony. Proszę pokazać, że relacja =prawie wszędzie jest relacją
równoważności.
Zadanie 2. Niech N={0,1,2,...}, NN oznacza ogół funkcji f:NN. Na zbiorze NN wprowadzamy
relację prawie wszędzie przyjmując, że funkcja f:NN jest prawie wszędzie mniejsza lub równa od funkcji
g:NN, jeżeli zbiór {nN: f(n)>g(n)} jest skończony. Czy relacja prawie wszędzie jest częściowym
porządkiem? Jeżeli nie, proszę to uzasadnić.
Zadanie 3. Proszę uzasadnić, że relacja prawie wszędzie określona na zbiorze NN/=prawie wszędzie (zbiór klas
abstrakcji relacji =prawie wszędzie) jest relacją częściowego porządku. Czy dla każdych dwóch elementów
zbioru NN/=prawie wszędzie istnieje kres górny i kres dolny.
Zadanie 4. Niech N={0,1,2,...}, P(N)={X: XN}. Na zbiorze P(N) wprowadzamy relację =prawie
przyjmując, że A=prawieB gdy (A\B)(B\A) jest skończony, jest to relacja równoważności. Na zbiorze
P(N) wprowadzamy relację prawie przyjmując, że zbiór AP(N) jest prawie zawarty w zbiorze
BP(N), jeżeli zbiór A\B jest skończony. Czy relacja prawie jest relacją częściowego porządku? Proszę
uzasadnić, że relacja prawie zawierania się zbiorów określona na zbiorze P(N)/=prawie jest relacją
częściowego porządku. Czy dla każdych dwóch elementów należących do zbioru P(N)/=prawie istnieje
kres górny i kres dolny?
Zadanie 5. Podzbiór C zbioru częściowo uporządkowanego przez relację R nazywamy łańcuchem,
jeżeli dla każdych dwóch elementów a,bC spełnione jest: aRb lub bRa. Podzbiór D zbioru częściowo
uporządkowanego nazywamy antyłańcuchem jeżeli dla każdych dwóch elementów a,bD nie
zachodzi aRb i nie zachodzi bRa. Które z poniższych zdań są prawdziwe:
1) każdy nieskończony zbiór częściowo uporządkowany zawiera pewien nieskończony łańcuch,
2) każdy nieskończony zbiór częściowo uporządkowany zawiera pewien nieskończony antyłańcuch,
3) każdy nieskończony zbiór częściowo uporządkowany zawiera pewien nieskończony łańcuch lub
pewien nieskończony antyłańcuch.
Zadanie 6. Do pracy zgłosiło się 20 tłumaczy. Wśród nich 11 znało język rosyjski, 10 znało
hiszpański i 12 angielski. 7 z nich znało język rosyjski i hiszpański, 5 znało hiszpański i angielski, a 6
znało rosyjski i angielski. Wszystkie trzy wymienione języki znało tylko 3 tłumaczy. Ilu z nich nie
znało żadnego z wymienionych języków?
W zadaniach 7-10, 12 i 13 R oznacza zbiór liczb rzeczywistych, S porządek leksykograficzny na
RR. W zadaniach 12 i 13 Q oznacza zbiór liczb wymiernych, Z zbiór liczb całkowitych, N zbiór
liczb naturalnych.
Zadanie 7. Czy relacja TRR określona zależnością: (a,b)T(c,d) gdy min(a,b)min(c,d) lub
(a,b)S(c,d) jest:
a) zwrotna,
b) symetryczna,
c) antysymetryczna,
d) przechodnia,
e) częściowym porządkiem (jeżeli tak, to czy dla każdych dwóch elementów istnieje kres górny i
kres dolny),
f) spójna,
g) liniowym porządkiem.
Zadanie 8. Czy relacja TRR określona zależnością: (a,b)T(c,d) gdy min(a,b)min(c,d) i (a,b)S(c,d)
jest:
a) zwrotna,
b) symetryczna,
c) antysymetryczna,
d) przechodnia,
e) częściowym porządkiem (jeżeli tak, to czy dla każdych dwóch elementów istnieje kres górny i
kres dolny),
f) spójna,
g) liniowym porządkiem.
Zadanie 9. Czy relacja TRR określona zależnością: (a,b)T(c,d) gdy max(a,b)max(c,d) lub
(a,b)S(c,d) jest:
a) zwrotna,
b) symetryczna,
c) antysymetryczna,
d) przechodnia,
e) częściowym porządkiem (jeżeli tak, to czy dla każdych dwóch elementów istnieje kres górny i
kres dolny),
f) spójna,
g) liniowym porządkiem.
Zadanie 10. Czy relacja TRR określona zależnością: (a,b)T(c,d) gdy max(a,b)max(c,d) i
(a,b)S(c,d) jest:
a) zwrotna,
b) symetryczna,
c) antysymetryczna,
d) przechodnia,
e) częściowym porządkiem (jeżeli tak, to czy dla każdych dwóch elementów istnieje kres górny i
kres dolny),
f) spójna,
g) liniowym porządkiem.
Zadanie 11. Jeżeli R1 jest częściowym porządkiem na A1, R2 jest częściowym porządkiem na A2, to
produktowym częściowym porządkiem na A1A2 nazywamy relację dla której (a,b) jest w relacji z
(c,d) gdy aR1c i bR2d. Proszę udowodnić, że zdefiniowana relacja jest częściowym porządkiem na
A1A2.
Zadanie 12. Na zbiorach RR, QQ, ZZ, NN wprowadzamy porządek leksykograficzny
wyznaczony przez relację  na zbiorach R, Q, Z, N. Czy w każdym niepustym podzbiorze RR, QQ,
ZZ, NN istnieje element najmniejszy? Czy w każdym niepustym podzbiorze RR, QQ, ZZ, NN
istnieje element największy?
Zadanie 13. Na zbiorach RR, QQ, ZZ, NN wprowadzamy porządek produktowy wyznaczony
przez relację  na zbiorach R, Q, Z, N. Czy w każdym niepustym podzbiorze RR, QQ, ZZ, NN
istnieje element najmniejszy? Czy w każdym niepustym podzbiorze RR, QQ, ZZ, NN istnieje
element największy?
Zadanie 14. Na zbiorze liczb rzeczywistych definiujemy relację W przyjmując, że xWy gdy xy>0.
Czy relacja W jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna?
Zadanie 15. Niech W={(1,1), (2,2), (3,2), (5,2), (3,3), (1,4), (4,4), (4,5), (5,5)}. Czy relacja W jest
zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna?