Wyznaczanie przyspiesznia ziemiskiego za pomocą wahadła rewersyjnego i matematycznego

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła
rewersyjnego i matematycznego
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego wahadłem matematycznym
oraz rewersyjnym
Przebieg doświadczenia dla wahadła matematycznego:
a) Ustawaimy czujnik światłoczuły na wybraną wysokość.
b) Za pomocą śruby ustawiamy kulkę tak, aby jej środek pokrywał się z wybraną
wysokością.
c) Wychylamy kulkę o mały kąt. Kąt nie może być zbyt duży, aby ruch harmoniczny.
d) Naciskamy przycisk i rozpoczynamy pomiar.
e) W momencie, gdy na ekranie pojawia się 9 okres zatrzymujemy maszynę. Układ
automatycznie zarejestrował czas 10 wychyleń.
f) Dzielimy czas przez ilość wychyleń i wyliczamy przyspieszenie ziemskie oraz
odchylenie standardowe średniej.
Przebieg doświadczenia dla wahadła rewersyjnego:
Zmieniamy położenie soczewki co 5 cm, a następnie wykonujemy pomiary na osi A
oraz osi B. Wykonujemy wykres.
Do obliczania przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego korzystamy
ze wzoru:
𝑙
𝑇 = 2𝜋√𝑔
Gdzie:
T – okres
l – długość pomiędzy punktem zawieszenia, a środkiem kulki
g – przyspieszenie ziemskie
przekształcając powyższy wzór:
𝑔=
4𝜋 2 𝑙
𝑇2
Z tego wzoru korzystamy również do obliczeń przy pomocy wahadła rewersyjnego z
wyjątkiem l które w tym przyadku jest wartościa zredukowaną.
2. Przykładowe obliczenia (Niepewności dla obu rodzajów wahadeł tak samo liczymy,
dlatego są tylko uwzględnione w pkt 4.2)
2.1. Dla wahadła matematycznego
•
𝑡ś𝑟 =
Wartośc średnia 10 drgań
8,4 + 8,411 + 8,396 + 8,405 + 8,406 + 8,402 + 8,403 + 8,401 + 8,407 + 8,406
10
= 8,404[𝑠]
•
Okres drgań wahadła
•
𝑡ś𝑟 8,404
=
= 0,8404[𝑠]
10
10
Obliczenie przyspieszenia ziemskiego
𝑇=
𝑔=
4𝜋 2 𝑙 4 ∗ 3,142 ∗ 0,178
𝑚
=
= 9,9504 [ 2 ]
2
2
𝑇
0,8404
𝑠
Dla innych długości wahadła tak samo liczymy
2.2. Dla wahadła rewersyjnego
•
Obliczenie wartości okresu T1 na podstawie wartości 10 wahnieć. Dla każdego
położenia soczewki. Dla okresu T2 liczymy tak samo.
𝑇1 =
•
Wyznaczenie średniej wartości okresu drgań na podstawie okresów odczytanych z
wykresu
𝑇̅ =
•
𝐾1 54,65
=
= 1,822[𝑠]
10
10
𝑇1,𝑤𝑦𝑘𝑟𝑒𝑠 + 𝑇2,𝑤𝑦𝑘𝑟𝑒𝑠 1,92 + 1,91
=
= 1,915[𝑠]
2
2
Obliczenie przyspieszenia ziemskiego
4𝜋 2 𝑙𝑟 4 ∗ 3,142 ∗ 0,92
𝑚
𝑔=
=
=
9,9040
[
]
𝑇2
1,9152
𝑠2
Niepewności:
•
Obliczenie dla okresu dla wahadła rewersyjnego, dla matematycznego ΔT=0,001[s]
2
∆𝑇 = √
•
∑𝑛𝑖=1(𝑇𝑖 − 𝑇̅ )2
(1,92 − 1,915)2 + (1,91 − 1,915)2
=√
= 0,005[𝑠]
𝑛(𝑛 − 1)
2(2 − 1)
Obliczenie dla przyspieszenia
1
−2 ∗ 𝑙𝑟
|
∗
∆𝑙
+
|
| ∗ ∆𝑇)
𝑟
𝑇2
𝑇3
1
0,92
𝑚
= 4 ∗ 3,142 ∗ (
∗ 0,005 + 2 ∗
∗ 0,005) = 0,1055 [ 2 ]
2
3
1,915
1,915
𝑠
∆𝑔 = 4𝜋 2 ∗ (|
3. Zestawienie wyników i pomiarów
Tabela 1. Pomiary i obliczenia dla wahadłą matematycznego dla różych długości wahadła
Pierwsza długość wahadła
Druga długość wahadła
Trzecia długość wahadła
L.p
t[s]
tśr[s]
g [m/s2]
t[s]
tśr[s] g [m/s2]
t[s]
tśr[s] g [m/s2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8,4
8,404
8,411
8,396
T [s]
8,405
8,406
0,8404
8,402
8,403
l [m]
8,401
8,407
0,178
8,406
9,9504
ΔT [s]
0,001
Δg [m/s2]
0,0796
10,717
10,725
10,732
10,728
T [s]
10,727
10,727
1,0725
10,724
10,729
l [m]
10,729
10,721
0,29
10,716
3
9,9532
ΔT [s]
0,001
Δg
[m/s2]
0,0529
13,758
13,751
13,758
13,748
T [s]
13,755
13,743
1,3751
13,755
13,755
l [m]
13,748
13,751
0,477
13,742
9,9584
ΔT [s]
0,001
Δg
[m/s2]
0,0354
Tabela 2. Pomiary dla wahadła rewersyjnego wraz z danymi potrzebnymi do narysowania
wykresu
Położenie
L.p
soczewki
K1 [s]
K2 [s]
T1 [s]
T2 [s]
[m]
1
0,190 19,501 20,012 1,9501 2,0012
2
0,240 19,378 19,761 1,9378 1,9761
3
0,290 19,265 19,415 1,9265 1,9415
4
0,340 19,163 19,056 1,9163 1,9056
5
0,390 19,075 18,733 1,9075 1,8733
6
0,440 19,004
18,47 1,9004
1,847
7
0,490 18,951 18,278 1,8951 1,8278
8
0,540 18,919 18,159 1,8919 1,8159
9
0,590
18,91 18,117
1,891 1,8117
10
0,640 18,926 18,164 1,8926 1,8164
11
0,690
18,97 18,332
1,897 1,8332
12
0,740 19,044 18,676 1,9044 1,8676
13
0,790
19,15 19,286
1,915 1,9286
14
0,840 19,291 20,295 1,9291 2,0295
15
0,890 19,468 21,885 1,9468 2,1885
16
0,940 19,685 24,298 1,9685 2,4298
4. Podsumowanie
𝑔 = 𝑔 ± 𝑢𝑐 (𝑔)
4.1. Wahadło matematyczne
𝑚
𝑔𝐿=0,178 = (9,950 ± 0,080) [ 2 ]
𝑠
𝑚
𝑔𝐿=290 = (9,953 ± 0,053) [ 2 ]
𝑠
𝑚
𝑔𝐿=0,477 = (9,958 ± 0,035) [ 2 ]
𝑠
4.2. Wahadło rewersyjne
𝑚
𝑔𝑟𝑒𝑤 = (9,91 ± 0,11) [ 2 ]
𝑠
𝑚
𝑔𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑒 = 9,81 [ 2 ]
𝑠
4
T=f(m) dla dwóch osii
2,1
2,05
T[s]
2
1,95
1,9
1,85
1,8
0,180
0,280
0,380
0,480
0,580
0,680
Położenie soczewki [m]
0,780
0,880
T1
0,980
5. Wnioski
Obliczona wartość przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadłą rewersyjnego wyszła
𝑚
𝑚
nam 9,91 [𝑠2 ], z niepewnością równą 0,11[𝑠2 ]. Jest to błąd na poziomie 1,1%. Wartość
𝑚
tablicowa przyspieszenia ziemskiego to 9,81[𝑠2 ]. Wynik teoretyczny mieści się w przedziale
niepewności. Największy wpływ na niepewność pomiarową miał odczyt punktów przecięcia
się wykresów.
Natomiast wartości przyspieszeń ziemskich wyznaczonych za pomocą wahadła
𝑚
matematycznego mieszczą się w zakresie od 9,950 do 9,958[𝑠2 ]. Również tutaj wartość
teoretyczna nie mieści się w przedziałach niepewności. Niepewność pomiarowa dla tego
wahadła wynika najprawdopodobniej z niedokładnego pomiaru czasu 10 wahnięć wahadła
oraz w mniejszym stopniu od pomiaru długości wahadła.
Wahadło matematyczne pozwala wyznaczyć w łatwy sposób przyspieszenie planety, na
której się aktualnie znajdujemy. Bo jego okres drgań zależy tylko od przyspieszenia planety.
Niepewność wynika z tego, że wahadło matematyczne to model, a pomiary były wykonywane
na wahadle rzeczywistym (fizycznym), i tutaj na okres drgań wpływa także długość uchwytu ,
na którym był zawieszony ciężarek. Lepszym sposobem wyznaczenia przyspieszenia
ziemskiego okazało się wahado rewersyjne, ponieważ wynik obliczneiowy jest bliższy
wwartości teoretycznej.
Cele ćwiczenia zostały osiągnięte.
5
6