III ETAP: *Pomoc w przygotowaniu uczniów ko*cz

STATYSTYKA – zakres podstawowy
I.
1. Mediana zestawu liczb 3, 1, 3, 6, 11, 2, x, 8 jest równa 4. Wówczas średnia arytmetyczna tego
zestawu liczb jest równa:
A. 5
B.
39
C.
8
19
D.
4
9
2
Odp. B
2. Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa:
wartość
liczebność
A.
0
B.
0,5
0
5
1
2
2
1
3
1
C. 1
D. 5
Odp. A
3. Dla zbioru 𝐴 = {−1,0, 1} odchyleniem standardowym jest liczba:
A.
2
B.
3
√6
3
C.
√2
3
D. 0
Odp. B
4. Średnia arytmetyczna zestawu danych 3, 5, 4, 5, 6, 10, 12, x, 6 jest równa
dominanta tego zestawu to:
A.
5
B.
6
C. są dwie: 5 oraz 6
19
3
. Wynika stąd, że
D. nie ma dominanty
Odp. B
5. Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, 𝑥, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz 𝑥
i medianę tych pięciu ocen.
Odp. x=3, M=3
6. Kwadrat odchylenia standardowego danych: 3, 𝑥 jest równy 1. Oblicz 𝑥.
Odp. x=1 lub x=5
7. Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie słupkowym.
a) oblicz średnią ocen ze sprawdzianu
b) wyznacz medianę danych przedstawionych na diagramie
Odp. xsr= 3,6
M= 4
8. Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono
2300 zł. Jaka jest cena szóstej akcji .
Odp. 700zł
9. Oblicz średnią i odchylenie standardowe temperatury mierzonej w stopniach Celsjusza:
-1, 0, 3, 0, 4, 2, -1.
Odp. xsr= 1, Ϭ ≈ 1,85
10. Wagi urodzeniowe sześciu noworodków urodzonych jednego dnia na oddziale pewnego szpitala były
równe: 3500g, 3100g, 2850g, 3300g, 3550g,4700g. Oblicz średnią wagę noworodków oraz
odchylenie standardowe.
Odp. xsr=3500g, Ϭ =586,657
11. Na podstawie poniższych informacji uzasadnij, że √64𝑝2 + 𝑞 2 jest liczbą wymierną.
Liczba 6,5
Waga
2
9
p
Liczba
średnia ważona:8
Waga
9
q
0,1 0,3
średnia ważona: 7,5
Odp. p=3, q=7, 25
12. W ciągu kolejnych siedmiu dni rajdu rowerowego przebyto trasy długości: 26 km, 34 km, 40 km,
44 km, 45 km, 37 km, 26 km. Oblicz średnią długość trasy przebytej jednego dnia oraz odchylenie
standardowe.
Odp. xsr= 36, Ϭ = 7,23
II.
KOMBINATORYKA – zakres podstawowy
1. Pan Jakub ma 4 marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może
się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszule?
A)280
B)21
C)28
D)70
Odp. A
2. Pan Eugeniusz szykując się rano do pracy wybiera jeden spośród swoich 12 zegarków oraz dwa
spośród 22 wiecznych piór, przy czym jedno z nich traktuje jako pióro zapasowe. Na ile sposobów może
wybrać zestaw składający się z zegarka i dwóch piór, głównego i zapasowego?
A)2777
Odp. C
B)34
C)5544
D)5808
3. Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych większych od 27, które mają dwie różne cyfry?
A)63
B)72
C)65
D)18
Odp. C
4. Ośmiu znajomych, wśród których jest jedno małżeństwo, kupiło bilety do kina na kolejne miejsca
w jednym rzędzie (w rzędzie było dokładnie 8 miejsc). Wszystkich możliwych sposobów zajęcia miejsc
tak, aby małżonkowie siedzieli obok siebie, jest:
A)40320
B)5040
C)10080
D)720
Odp. C
5.Na ile sposobów można ustawić na półce 5 tomów encyklopedii tak, aby tomy 3 i 4 stały obok siebie
(w dowolnej kolejności)?
A)24
B)48
C)120
D)60
Odp. B
6. Wybieramy jedną liczbę ze zbioru {3,4,5} i jedną ze zbioru {2,3}. Na ile sposobów można wybrać te
liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?
A)3
B)4
C)5
D)6
Odp. A
7. Wybieramy liczbę a ze zbioru {2,3,4,5} oraz liczbę b ze zbioru {1,4}. Ile jest takich par (a,b), że
iloczyn a.b jest liczbą nieparzystą?
A)2
B)3
C)5
D)20
Odp. A
8.Na regale można ustawić n książek na 24 sposoby. Zatem:
A)n=6
B)n=4
C)n=12
D)n=24
Odp. B
9. Wybieramy liczbę a ze zbioru {2,3,4,5,6} oraz liczbę b ze zbioru {1,2,3}. Ile jest takich par (a,b), że
iloczyn a.b jest liczbą parzystą?
A)11
B)21
C)5
D)9
Odp. A
10.Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej
tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być
innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny
w 10 kolorach, jest równa
A)100
Odp. C
B)99
C)90
D)19
11. Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze niż 5 jest:
A)16
B)20
C)25
D)30
Odp. B
12. Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie jest
równa:
A)25
B)20
C)15
D)12
Odp. B
13. Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
A)16
B)20
C)24
D)25
Odp. B
14. Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?
A)16
B)20
C)24
D)25
Odp. D
15. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których wszystkie cyfry są parzyste?
A)40
B)64
C)100
D)125
Odp. C
16. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
A)90
B)100
C)180
D)200
Odp. C
17. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, o sumie cyfr równej 2?
A)1
B)2
C)3
D)4
Odp. D
18. Wszystkich liczb naturalnych, które są podzielne przez 6 lub przez 10 jest:
A)25
B)24
C)21
D)20
Odp. C
19. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie występuje jedna cyfra parzysta
i trzy cyfry nieparzyste?
Odp. 2375
20.Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?
Odp. 9
III. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
zakres podstawowy
1.
Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wypadnie dokładnie jeden orzeł
i reszka wypadnie za pierwszym razem?
A.
2
B.
3
1
4
C.
3
8
D.
5
8
Odp. B
2. Ze zbioru liczb naturalnych dodatnich nie większych od 30 losujemy jedną liczbę. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy liczbę pierwszą?
A.
2
B.
30
12
30
C.
8
30
D.
10
30
Odp. D
3. Wojtek zapomniał ostatnią cyfrę swojego czterocyfrowego kodu dostępu do dziennika
elektronicznego. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybierając tę cyfrę losowo, za pierwszym
razem uzyska dostęp do dziennika?
A.
1
9
B.
1
2
C. 0,1
D. 1
Odp. C
4. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest
podzielny przez 6.
Odp. P(A)= 17/49
5. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.
jedną
liczbę.
Oblicz
7
Odp. P(A)= 11
6. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest
większa od drugiej o 4 lub 6.
4
Odp. P(A)= 49
7. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A jest czterokrotnie większe
od prawdopodobieństwa zdarzenia A. Oblicz prawdopodobieństwo tego zdarzenia.
1
Odp. P(A) =5
8.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczby nieparzystej i podzielnej przez 7.
16
Odp. P(A)= 225
9.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt spośród punktów o współrzędnych
(x , y), gdzie x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} i y ∈ {−2, −1,0,1} należy do prostej o równaniu y = −x + 1.
Odp. P(A) = 0,2
10. Spośród wierzchołków sześcianu o krawędzi 1 losowo wybrano dwa wierzchołki. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A – długość odcinka o wylosowanych odcinkach wynosi √3 .
1
Odp. P(A) = 7
11. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu takich dwóch liczb, że suma
pierwszej i podwojonej drugiej liczby jest liczba parzystą.
P(A) = 0,5
12. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
że suma wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.
1
Odp.P(A)= 3
13. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
iloczynu oczek równego 5.
1
Odp. P(A) = 18
14. Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste , losujemy dwa razy po jednym
losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, ze otrzymamy co najmniej jeden los
wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.
7
Odp. P(A) = 10
15. Ze zbioru liczb {−2, −1, 0, 1, 2} losujemy kolejno bez zwracania liczbę 𝑎 i następnie liczbę 𝑏
i zapisujemy wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy
wzór funkcji:
a) malejącej
b) stałej,
c) której wykres przecina oś y poniżej początku układu współrzędnych.
Odp. a) P(A) =0,4, b) P(A)= 0,2, c) P(A) = 0,4
16. Wiedząc, że 𝑃(𝐴) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 ⊂ Ω oraz 4 ∙ 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴′ ) = 1.
Oblicz 𝑃(𝐴).
Odp. P(A)= 0,4
17. Pewne doświadczenie polega na jednoczesnym rzucie moneta i sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że wypadnie orzeł i liczba oczek większa od 4.
1
Odp. P(A)= 6
18. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek będąca liczbą pierwszą to losujemy
jedną kulę z pudełka zielonego, a w przeciwnym przypadku losujemy kulę z pudełka czerwonego.
W pudełku zielonym jest 5 kul czarnych i 2 kule białe, a w pudełku czerwonym są 4 kule czarne i 3
kule białe. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
5
Odp. 14
19. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W
drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej
kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.
19
Odp. P(A) = 54
IV. ARKUSZE CKE 2013-2016
Statystyka
1. (1pkt) (CKE, matura, V 2014) Mediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas
A. a=4
B. a=6
C. a=7
D. a=9
Odp.: D
2. (1pkt) (CKE, matura, VI 2014) Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie
przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących
drugą grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony
łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy:
A. 20 pkt
B. 30 pkt
C. 50 pkt
D. 60 pkt
Odp.: C
3. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2014) Średnia arytmetyczna liczb: x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11 jest równa 7.
Mediana tego zestawu liczb jest równa
A. 6
B. 7
C. 10
D. 5
Odp.: A.
4. (1pkt) (CKE, matura próbna, XII 2014) Średnia arytmetyczna zestawu danych: 3, 8, 3, 11, 3, 10,
3, x jest równa 6. Mediana tego zestawu jest równa
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Odp.: A
5. (1pkt) (CKE, matura, V 2015) Średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9
jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9, x.
Wynika stąd, że
A. x = 0
B. x = 3
C. x = 5
D. x = 6
Odp.: D
6. (1pkt) (CKE, matura, VI 2015) Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, x jest równa n,
natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, x, 2x jest równa 2n. Wynika stąd, że
A. x = 49
B. x = 21
C. x = 14
D. x = 7
Odp.: A
7. (1pkt) (CKE, matura, V 2016) Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27,
x
x, jest równa 2 . Mediana tych liczb jest równa
A. 26
B. 27
C. 28
D. 29
Odp.: C
8. (1 pkt) (CKE, matura, VI 2016) Średnia arytmetyczna czterech liczb: x − 1, 3x , 5x + 1 i 7x
jest równa 72 . Wynika stąd, że
A. x = 9
B. x = 10
C. x = 17
D. x = 18
Odp.: D
9. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Jeżeli do zestawu czterech danych: 4, 7, 8, x dołączymy liczbę
2, to średnia arytmetyczna wzrośnie o 2. Zatem
A. x = −51
B. x = −6
C. x = 10
D. x = 29
Odp.: A
Kombinatoryka
1.
(1 pkt) (CKE, matura, V 2014) Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10
zawodników?
A. 100
B. 90
C. 45
D. 20
Odp.: C
2. (1pkt) (CKE, matura, VI 2015) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych
przez 6 i niepodzielnych przez 9?
A. 6
B. 10
C. 12
D. 15
Odp.: B
3. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2015) Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000,
utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie
wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
A. 3
B. 6
C. 9
D. 27
Odp.: D
4. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych
przez 3?
A. 12
B. 24
C. 29
D. 30
Odp.: D
5. (1pkt) (CKE, informator) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6
lub przez 10, jest
A. 25
B. 24
C. 21
D. 20
Odp.: C
6. (1pkt) (CKE, informator) Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na
dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa
A. 25
B. 20
C. 15
D. 12
Odp.: B
7. (4pkt) (CKE, informator) Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że
w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste. Uwaga:
przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.
Odp.: 2125
Rachunek prawdopodobieństwa
1. (1pkt) (CKE, przykładowy arkusz, XII 2013) Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką
do gry. Niech pi oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez i. Wtedy
A. 2p4 = p2
B. 2p6 = p3
C. 2p3 = p6
D. 2p2 = p4
Odp.: B
2. (1pkt) (CKE, matura, V 2014) Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A′ – zdarze-niem przeciwnym
do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 ∙ P(A′), to
2
A. P(A) = 3
1
B. P(A) = 2
1
C. P(A) = 3
1
D. P(A) = 6
Odp.: A
3. (1pkt) (CKE, matura, VI 2014) Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1, 2, 3, 4, … , 30} losujemy
jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest
kwadratem liczby całkowitej, jest równe:
4
A. 30
5
B. 30
6
C. 30
10
D. 30
Odp.: B
4. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2014) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo
otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe
7
A. 8
1
B. 2
1
C. 4
1
D. 8
Odp.: A
5. (1pkt) (CKE, matura próbna, XII 2014) Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do
gry. Niech pi oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia i oczek w i-tym rzucie. Wtedy
A. p6 = 1
1
B. p6 = 6
C. p6 = 0
1
D. p6 = 3
Odp.: B
6. (1pkt) (CKE, matura, V 2015) W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których
jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p
oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech
wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
1
3
1
2
A. p = 4
B. p = 8
C. p = 2
D. p = 3
Odp.: B
7. (1pkt) (CKE, matura, VI 2015) Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające.
Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na
wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano
A. 4 losy
B. 20 losów
C. 50 losów
D. 25 losów
Odp.: D
8. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2015) W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z
tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
1
1
15
15
A. 15
B. 33
C. 33
D. 18
Odp.: C
9. (1pkt) (CKE, matura, V 2016) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza
prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy
A. 0 ≤ p < 0,2 B. 0,2 ≤ p ≤ 0,35 C. 0,35 < 𝑝 ≤ 0,5 D. 0,5 < 𝑝 ≤ 1
Odp.: C
10. (1pkt) (CKE, matura, VI 2016) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza
prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy
A. 0 ≤ p < 0,25 B. 0,25 ≤ p ≤ 0,4 C. 0,4 < 𝑝 ≤ 0,5
D. p > 0,5
Odp.: B
11. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi
monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że
wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe
1
1
1
1
A. 48
B. 24
C. 12
D. 3
Odp.: B
12. (2pkt) (CKE, informator) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5.
1
Odp.: 18
13. (2pkt) (CKE, matura, V 2014) Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej
liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu
liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
3
Odp.: 32
14. (2pkt) (CKE, matura, VI 2014) Dane są dwa podzbiory liczb całkowitych: K = {−4, −1, 1, 5, 6} i
L = {−3, −2, 2, 3, 4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
13
Odp.: 25
15. (2pkt) (CKE, matura, VI 2015) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy
jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę
podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.
1
Odp.: 6
16. (2pkt) (CKE, matura, VIII 2015) Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul
ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim 8 kul ponumerowanych kolejnymi
liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w
ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli
wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwa, że utworzona
liczba jest podzielna przez 11.
1
Odp.: 8
17. (2pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}losujemy
dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z
wylosowanych liczb będzie liczba 5.
4
Odp.: 21
18. (4pkt) (CKE, matura, VIII 2014) Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w
zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną
liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym
prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której
cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
4
Odp.: 5
19. (4pkt) (CKE, matura próbna, XII 2014) Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na
miejsca od 1. do 10. w pierwszym rzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym
rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety,
spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?
7
Odp.: 60
20. (4pkt) (CKE, matura, V 2015) Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z
zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło
bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
Rodzaj kupionych
Liczba osób
biletów
ulgowe
76
normalne
41
Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród
ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
5
Odp.: 23
21. (4pkt) (CKE, matura, V 2016) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy
kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci
ułamka zwykłego nieskracalnego.
1
Odp.: 801
22. (4pkt) (CKE, informator) Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste,
losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co
najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.
7
Odp.: 10