Analizator widma na bazie interferometru Fabry-Perot

Analizator widma na bazie interferometru Fabry-Perot
- podstawy teoretyczne.
Interferometry stosuje się przeważnie do wąskopasmowej, wysokiej rozdzielczości
analizy widma optycznego, czyli tam gdzie rozdzielczość monochromatorów opartych na siatce
dyfrakcyjnej jest niewystarczająca. Najprostszym interferometrem jest interferometr Fabry-Perot
(FPI) będący przestrajalnym rezonatorem. Klasyczny FPI składa się z dwóch równoległych,
częściowo przezroczystych luster. Zasadniczo lustra te w celu zmniejszenia szerokości pasma
optycznego wykazują wysoki stopień odblaskowości (do 99%). Przeważnie jako lustra stosuje
się wysokiej jakości wielowarstwowe powłoki dielektryka osadzone na podłożu kwarcowym.
Celem uproszczenia rozważań przyjmijmy, że wszystkie promienie są prostopadłe do
powierzchni lustra. Charakterystykę FPI wyznaczyć można na dwa sposoby. Pierwszy z nich
opiera się na teorii linii transmisyjnej. Aktualnie zajmiemy się drugim sposobem, który polega
na obliczeniu każdego z wielokrotnych odbić we wnęce.
L
L
Hr=0
ro
ti
ri
to
Ho
ro
Ho
Ht=Ho
A
B
powietrze
ti
Hr
to
Ht=0
A
Rezonans
ri
B
powietrze
Brak rezonansu
Rys.1. Schemat interferometru Fabry-Perot.
Padające pole elektryczne (E0) jest częściowo odbite (na zewnątrz) przez lustro A, którego
współczynnik refleksyjności wynosi r0 oraz częściowo przepuszczone do środka (współczynnik
transmisji - ti). Gdy przepuszczone światło przechodzi przez lustro B, zostaje ono za lustrem
opóźnione i zsumowane za płaszczyzną lustra. Zatem cząstkowe pole elektryczne T1 wynosi:
T1 = t i t 0 E0 exp( − jβL ) = t E0 exp( − jβL )
gdzie:
t = t i t0
βL = 2 πnL / λ = 2 πnLf / c
exp( − jβL ) = cos βL − j sin βL , j = −1
oraz:
λ - długość fali w próżni,
L - szerokość (długość) wnęki rezonatora,
n - współczynnik załamania światła wnęki rezonatora,
f - częstotliwość optyczna,
2
c - prękość światła w próżni, c = 3*108 m/s.
Cząstkowe pole elektryczne T2 zawiera w sobie jeszcze dwa kolejne odbicia (ri2) oraz dodatkowe
opóźnienie fazy (-2βL) spowodowane podwojeniem szerokości rezonatora:
T2 = t ri2 E0 exp( − j 3βL ) = t r E0 exp( − j 3βL )
gdzie:
r = ri2
W podobny sposób można zsumować wszystkie cząstkowe pola. Całkowite przepuszczone pole
elektryczne wynosi wtedy:
T = T1 + T2 + T3 + ...
[
]
= t E0 exp(− jβ L) 1 + r exp(− j 2 β L ) + r 2 exp(− j 4 β L ) + ...
po zsumowaniu szeregu
T = t E0
exp(− jβ L)
1 − r exp(− jβ L)
Jednak pomiar dostarcza informacji nie o polu elektrycznym lecz o natężeniu promieniowania
(W/m2). Natężenie promieniowania można obliczyć ze wzoru:
H = E E * / 2 Z0
gdzie:
E -amplituda pola elektrycznego,
Z0 - impedancja powietrza (377 Ω).
W rezultacie otrzymuje się charakterystykę transmisyjną, Ht. Dodatkowo, zgodnie z zasadą
zachowania energii, uzyskuje się natężenie promieniowania odbitego, Hr:
Ht = H0
Hr = H0
gdzie:
(1 − r )2
(1 − r )2 + 4r sin 2 βL
4r sin 2 βL
(1 − r )2 + 4r sin 2 βL
H 0 = E 02 / (2 Z 0 )
(natężenia promieniowania padającego)
r = ri = r
(współczynnik odbicia mocy)
2
2
0
Właściwości rezonansowe tak światła transmitowanego jak i odbitego wydają się być oczywiste.
Niezależnie od faktycznej wartości współczynnika odbicia lustra (r) zdolność transmisyjna
3
wynosi 100%, a refleksyjna 0%, gdy tylko sinβL = 0. Pomocne może być zrozumienie sensu
fizycznego tej sytuacji: gdy występuje rezonans, pole elektryczne panujące w rezonatorze jest
znacznie silniejsze od pola padającego. Pomimo wysokiego współczynnika odbicia lustra A pole
elektryczne wychodzące z wnętrza lustra A (kierunek przeciwny do promieniowania padającego)
jest na tyle silne, że jego interferencja z promieniowaniem odbitym od lustra A prowadzi do
całkowitego wygaszenia promieniowania.
Rys.2. Transmitancja idealnego rezonatora Fabry-Perot (L=1mm, n=1).
Poniższe równania określają częstotliwości rezonansowe, fm, (długości fal) interferometru Fabry
- Perota:
sin βL = 0
β L = mπ
fm =
mc
2nL
m - dowolna liczba całkowita większa od zera,
c - szybkość światła w próżni, c = 3*108 m/s,
L - długość wnęki rezonatora,
n - współczynnik załamania światła wnęki rezonatora.
Bardziej interesujący od bezwzględnych częstotliwości rezonansowych jest odstęp między nimi
zwany odstępem modalnym lub wolnym zakresem widmowym, FSR (free spectral range).
4
Z powyższego równania dla etalonu Fabry-Perot, tzn., takiego rezonatora, w którym zwierciadła
są płaskie i wzajemnie równoległe otrzymujemy:
FSR(f ) =
FSR (λ ) =
c
2 nL
λ2
2 nL
[Hz]
dla częstotliwości
[m]
dla długości fali
Dla rezonatora ze zwierciadłami o płaszczyznach sferycznych i w szczególnym przypadku
z symetrycznym rezonatorem konfokalnym, tzn., w którym promienie krzywizny soczewek
R1 = R2 = L, to wzory na FSR przyjmują następującą postać:
FSR (f ) =
FSR (λ ) =
c
4 nL
λ2
4 nL
[Hz]
dla częstotliwości
[m]
dla długości fali
Przykładem takiego typu rezonatora jest właśnie interferometr wykorzystywany w tym
ćwiczeniu laboratoryjnym.
Przedstawione na rysunku przykłady odpowiadają długości rezonatora L=1 mm oraz
współczynnikowi załamania światła n=1. Uzyskano wolny zakres widmowy FSR(f)=150 GHz
lub FSR(λ)=0,85 nm. Natężenie promieniowania odbitego stanowi uzupełnienie
przedstawionych krzywych. Przykład dobrany został w taki sposób, aby FSR było identyczne
z odstępem modalnym typowym dla diody laserowej pracującej przy 1300 nm.
Do pewnego stopnia arbitralną szerokość pasma (B) poszczególnych krzywych rezonansowych
definiuje się jako całkowitą szerokość w połowie maksimum (FWHM – full width at half
maximum) niezależnie od faktycznego minimum. Zgodnie z tą definicją szerokość pasma opisuje
wzór:
B=
1− r c
r 2 πnL
[Hz]
Wiążąc szerokość pasma (B) z odstępem modalnym (FSR) otrzymujemy rozdzielczość, F,
F=
FSR π r
=
B
1− r
[bezwymiarowa]
W praktyce nie uzyskuje się ani 100% transmisji ani też idealnej szerokości
pasma/rozdzielczości rezonatora. Przyczyną tego są straty występujące w układzie optycznym,
ograniczona płaskość lustra, nierównoległe ustawienie luster oraz rozbieżność wiązki
promieniowania.
5
Dzięki wąskiej szerokości pasma interferometrami Fabry-Perot jesteśmy w stanie mierzyć
długości fal poszczególnych modów. W tym celu FPI należy dostroić zmieniając długość
rezonatora L (skanowanie FPI). Dla każdego L mierzy się moc na wyjściu. W ten sposób można
przebadać całe widmo. W celu uniknięcia dwuznaczności, zakres strojenia nie powinien
przekraczać wolnego zakresu widma (FSR). W pomiarach przeważnie stosuje się
monochromator do wstępnej selekcji poszczególnych modów. Jeden z problemów, jaki pojawia
się w tego typu badaniach, to odbicie światła w kierunku lasera, ponieważ interferometr
Fabry-Perot intensywnie odbija, gdy nie znajduje się w stanie rezonansu.
PRZYKŁAD INTERFEROMETRU FABRY-PEROT
Zbadajmy dla przykładu interferometr Fabry-Perot, który posłuży do mierzenia szerokości
pojedynczej linii diody laserowej pracującej przy 1300 nm. Poniżej zebrane są dane o laserze
oraz związane z nim przewidywane parametry interferometru Fabry-Perot.
Parametry lasera
Długość fali
Częstotliwość
Środkowa długość fali lasera
1300 nm
230 THz
Odstęp modalny lasera
0,9 nm
160 GHz
Przewidywana szerokość linii lasera
1,12 pm
200 MHz
Parametry interferometru
Wybrany odstęp modalny FPI
11,3 pm
2 GHz
Wybrany zakres strojenia FPI
11,3 pm
2 GHz
Wybrana szerokość pasma (B) FPI
0,11 pm
20 MHz
Skrót "pm" oznacza pikometry. Związek między częstotliwością (f, ∆f) i długością fali (λ, ∆λ)
podają wzory:
λ = c/ f
oraz
∆λ = λ2 ∆f / c
Stosując powyższe równania można obliczyć faktyczne parametry interferometru Fabry-Perot.
Jak należało oczekiwać, przesunięcie lustra (∆L) niezbędne do uzyskania 1 FSR jest równe
połowie długości fali.
Niezbędna długość rezonatora (na podstawie FSR):
Niezbędna rozdzielczość (na podstawie szerokości pasma, B):
Niezbędny współczynnik odbicia lustra:
Niezbędne przesunięcie lustra (dla 1 FSR):
L = 75 mm
F = 100
r = 97%
∆L = 0,65 µm
Przesunięcie lustra na odległość rzędu długości fali uzyskuje się przeważnie za pomocą
sterowników piezoelektrycznych. Tak małe przesunięcia wymagają niezwykle wysokiej precyzji
mechanicznej.
6
UKŁAD POMIAROWY
Zestaw pomiarowy złożony jest z sondy interferencyjnej oraz układu sterującego.
Budowa sondy została przedstawiona na rys.3. Sonda zawiera dwa zwierciadła
półprzepuszczalne o płaszczyznach sferycznych, z których jedno jest ruchome. Mikroskopijny
przesuw zwierciadła realizują elementy piezoceramiczne, na których umocowane są zwierciadła.
Przyłożone do elementów piezoceramicznych napięcie powoduje zmianę długości komory
rezonansowej, a w ten sposób dokonuje przestrojenia interferometru Fabry-Perot. Wiązka
optyczna przechodząca przez filtr pada na fotodetektor. Sygnał z fotodetektora kierowany jest do
wzmacniacza transimpedancyjnego będącego częścią układu sterującego.
obiektyw
fotodioda
50 mm
diafragma
zwierciadło
element
piezoceramiczny
zwerciadło
ruchome
Rys.3. Schemat sondy interferencyjnej Fabry-Perot.
Sygnał napięciowy ze wzmacniacza rejestrowany jest na oscyloskopie. Oprócz wzmacniacza,
układ sterujący zawiera generator napięcia piłokształtnego. Dla pełnej zdolności przestrajania
filtru, generator umożliwia zmiany szczytowe amplitudy sygnału piłokształtnego oraz zmiany
poziomu składowej stałej. Zmiana amplitudy napięcia pozwala precyzyjnie dostroić
interferometr tak, aby uzyskać zakres przestrajania równy FSR. Natomiast zmiana poziomu
składowej stałej pozwala na przesunięcie zakresu analizy widmowej o stałą wartość. Okres
przebiegu piłokształtnego jest równy 60ms, z czego 50ms trwa zbocze narastające, w czasie
którego realizowana jest analiza widmowa. W czasie zbocza opadającego następuje powrót
zwierciadeł interferometru do pozycji początkowej. Również w tym czasie następuje
zablokowanie wzmacniacza transimpedancyjnego, co na wykresie oscylograficznym jest
widziane jako skokowy spadek napięcia i zarazem stanowi informację o zakończeniu procesu
przestrajania. Generator dodatkowo generuje sygnał prostokątny (wyjście Trig) o częstotliwości
sygnału piłokształtnego dla zapewnienia synchronizacji pracy oscyloskopu.
W układzie sterującym przewiduje się możliwość wyłączenia generatora (wciśnięty przycisk
DC) i poprzez ręczną zmianę napięcia, uzyskać stan rezonansu. Wówczas powinien być
zauważalny efekt wygaszenia refleksu wstecznego od interferometru.
Schemat połączeń układu pomiarowego pokazuje rys.4.
7
Rys.4. Schemat połączeń układu pomiarowego do analizy widmowej.
8
Przebieg ćwiczenia
1. Włączyć laser HeNe. Laser osiąga temperaturę optymalną po czasie ok. 30min.
2. Włączyć oscyloskop i układ sterujący sondą interferencyjną. W oscyloskopie należy
wybrać tryb pracy z synchronizacją sygnałem zewnętrznym oraz dokonać ustawienia
podstawy czasu na 5ms/dz. Czułość wejścia liniowego oscyloskopu powinna być
minimalna.
3. Zaobserwuj zmiany widmowe na ekranie oscyloskopu i wyreguluj zakres napięcie
sygnału sterującego tak, aby obserwować całą szerokość widmową wiązki laserowej.
4. Wylicz wartość FSRF interferometru konfokalnego wyrażoną w jednostkach długości fali
[m] oraz jednostkach częstotliwości optycznej [Hz] (λHeNe = 633nm, L = 50mm, n = 1).
5. W oparciu o uzyskany obraz widmowy (po uzyskania przez laser temperatury
optymalnej) ustaw zakres przestrajania interferometru równy FSR – zmiany dokonaj
regulując potencjometrami odpowiedzialnymi odpowiednio za składową stałą i amplitudę
sygnału sterującego.
6. Wyznacz odstęp częstotliwości pomiędzy modami wzdłużnymi lasera - FSRHeNe.
7. Wyznacz 3dB szerokość widma (FWHM) modu o maksymalnej amplitudzie - BHeNe.
Precyzyjny pomiar wykonaj przy wykorzystaniu funkcji okna w oscyloskopie. Funkcję tę
uruchamia się przez włączenie drugiej podstawy czasu. Druga podstawa czasu powinna
być o wartości 0,5ms/dz.
8. Przerysuj widmo badanego lasera z oscyloskopu i nanieś zmierzone wielkości.
9. Oblicz współczynnik odbicia zwierciadeł rezonatora w laserze HeNe wykorzystując
wartości zmierzonych wielkości.
10. Przełącz układ sterujący na tryb pracy DC i dokonaj ręcznego strojenia filtru FP do modu
wzdłużnego widma lasera o maksymalnej amplitudzie. Wyjaśnij dlaczego amplituda tego
modu mierzona w tym trybie jest o tej samej wartości co uzyskana w trybie skanowania.
Wyjaśnij jakie to ma znaczenie dla wyników analizy widmowej.
11. Wyjaśnij dlaczego w badanym układzie nie występuje wygaszenie odbicia wstecznego w
momencie wstrojenia filtru FP do modu wzdłużnego lasera?
12. Wyjaśnij jak filtr Fabry-Perot stosowany do analizy widma ogranicza zakres tej analizy?
(Rozważ przypadki w których uzyskane widmo różni się od widma rzeczywistego)
9