Metoda elementów skończonych

Politechnika Białostocka
Nazwa przedmiotu:
Kierunek:
Kod przedmiotu:
Numer ćwiczenia:
Temat ćwiczenia:
Wydział Elektryczny
Techniki symulacji
elektrotechnika
EZ1C400 053
E47
Ocena wrażliwości i tolerancji układu
PODSTAWOWE INFORMACJE
Rozrzut wartości podzespołów występujących w układzie prowadzi do zmiany
właściwości konstruowanych układów. Obserwowane zmiany napięć i prądów mogą mieć
jedynie charakter ilościowy. Oznacza to że możliwe są odchyłki wartości mierzonych napięć i
prądów od wartości projektowych, określonych dla wartości znanych. W skrajnych
przypadkach mogą również wystąpić zmiany o charakterze jakościowym, które prowadzą do
znaczącej zmiany właściwości układu, np.:
 zamiast sygnałów o charakterze oscylacyjnym (obserwowanych w układzie rzędu
drugiego, RLC) mogą wystąpić przebiegi o charakterze aperiodycznym;
 układ stabilny zamienia się w układ niestabilny, generujące dodatkowe drgania.
Analiza wrażliwościowa układów elektrycznych i ocena wpływu tolerancji elementów
sprowadza się do obliczeń zagadnień o niepewnych parametrach [1, 2]. Zastosowanie
programów komputerowych pozwala na uproszczenie obliczeń i ocenę końcowych efektów
zmian wartości elementów w zakładanych granicach. Zamiast analizy przedziałowej wartości
poszczególnych elementów, komputery wykonują wielowariantowe obliczenia układu
przyjmując różne wartości elementów, w celu znalezienie zakresu zmian sygnałów
elektrycznych oraz określenia najgorszych wariantów.
Analiza wrażliwościowa pozwala na określenie podatności rozpatrywanego układu na
czynniki, które mogą zmienić parametry elementów i wartości obserwowanych sygnałów.
Czynniki mające wpływ na działanie układu nazywa się parametrami wpływowymi. Typowe
parametry wpływowe w przypadku układów elektrycznych i elektronicznych to: temperatura,
wilgotność, wahania napięcia zasilającego, częstotliwość napięcia zasilającego,
zniekształcenia sygnału zasilającego, oddziałujące zewnętrzne pola elektromagnetyczne,
efekty starzenia elementów. Parametry wpływowe prowadzą do zmiany funkcji układowych
(np. napięcie na wybranych elementach, prąd elektryczny płynący przez wybrane elementy,
częstotliwość rezonansowa, szerokość pasma, wzmocnienie sygnału, impedancja wejściowa,
impedancja wyjściowa, itp.).
Podstawowa metoda analizy wrażliwściowej polega na wykonaniu tzw. oceny małoprzyrostowej. Metoda to sprowadza się do oceny rozrzutu funkcji układowych (parametrów
układu) w sytuacji występowania niewielkich zmian parametrów wpływowych. Zmiany
parametrów wpływowych przyjmuje się w przedziale kilku – kilkunastu procent ich wartości
znamionowej. Przy założonej niezmienionej konfiguracji układu elektrycznego, wykonywane
obliczenia prowadzą do określenia zakresu zmian funkcji układowych. Na podstawie
wykonanych wielokrotnych obliczeń układu elektrycznego (obecnie najczęściej metodami
numerycznymi) określa się współczynnik wrażliwości funkcji układowej Sfu,pw (ang. sensitivity)
na zmianę danego parametru wpływowego
-1-
S f u , pw 
fu
,
pw
(1)
przy czym δpw to względna zmiana parametru wpływowego, zaś δfu to względna zmiana
funkcji układowej
pw,i
pw,i 
pw , z
fu ,i 
f u ,i
fu , z


pw , i  pw , z
pw , z
fu ,i  f u , z
fu , z
(2)
,
(3)
.
Symbolem pw,z oznaczono wartość znamionową parametru wpływowego, zaś fu,z to wartość
funkcji układowej określona przy znamionowej wartości parametrów wpływowych.
Oznaczenia pw,i oraz fu,i to wartości określone przy zakładanej i-tej odchyłce (zmianie)
wartości wpływowej. Na przykład jeżeli parametr wpływowy to temperatura (T), zaś funkcja
układowa to wartość skuteczna napięcia na kondensatorze (UC), to współczynnik wrażliwości
SUc,T jest opisany wzorem
SU c ,T
U C U C ,i  U C , z


T
UC, z
1
 T  Tz 
 .
  i
 Tz 
(4)
Jeżeli na układ działa wiele parametrów wpływowych to skutki tych zmian mogą mieć
zróżnicowany wpływ. Część może zwiększać, zaś inne zmniejszać wartość rozpatrywanej
funkcji układowej. Teoria analizy wrażliwości pozwala określić wypadkową, względną zmianę
funkcji układowej na podstawie zależności
fu  S fu , pw1  pw1  S fu , pw2  pw2  
(5)
Przykład 1
W tabeli 1 przedstawiono przykład obliczania względnej zmiany funkcji układowej (wartość
skuteczna napięcia wyjściowego Uwy) w układzie filtra dolnoprzepustowego RC (rys. 1).
R
parametr wpływowy pw1:
wahania napięcia Uwe
Uwe
C
parametr wpływowy pw2:
temperatura T
Uwy
rozpatrywana
funkcja układowa
fu
parametr wpływowy pw3:
tolerancja wartości rezystancji R
Rys. 1. Układ filtra dolnoprzepustowego RC ze wskazaniem wybranych parametrów
wpływowych (pw1, pw2, pw3) oraz wybranej funkcji układowej fu
-2-
Przedstawione obliczenia wykonano dla konstrukcji układu, w której przy wartościach
znamionowych parametrów wpływowych (Uwe = 12,0 V, T = 27 ºC, R = 420 Ω), wartość
funkcji układowej wynosi Uwy = 8,0 V.
Tabela 1. Przykład obliczenia współczynników wrażliwości funkcji układowej
wartość
zakładana
wyznaczona współczynnik
znamionowa
zmiana
numerycznie
wrażliwości
parametru
parametru
zmiana funkcji
funkcji
wpływowego wpływowego
układowej
układowej
pw,i
Δpw,i
Δfu
Sfu,pw
Parametr wpływowy pw1:
wahania napięcia Uwe
12 V
2V
1,333 V
0,6665 V/V
Parametr wpływowy pw2:
temperatura T
27 ºC
20 ºC
0,0526 V
0,00263 V/ºC
Parametr wpływowy pw3:
tolerancja wartości
rezystancji R
420 Ω
40 Ω
0,7619 V
0,01905 V/Ω
Na podstawie otrzymanych wartości współczynników wrażliwości funkcji układowej można
wyznaczać wypadkową względną zmianę wartości napięcia (na podstawie wzoru 5), przy
innych, wybranych zmianach wartości wpływowych (tabela 2).
Tabela 2. Przykłady obliczeń względnej zmiany funkcji układowej
Wariant 1
Wariant 2
zakładana
względna
bezwzględna
zakładana
względna bezwzględna
zmiana
zmiana
zmiana
zmiana
zmiana
zmiana
parametru
funkcji
funkcji
parametru
funkcji
funkcji
wpływowego
układowej
układowej
wpływowego układowej
układowej
δfu
Δfu = ΔUwy
δfu
Δfu = ΔUwy
Δpw1= 0,2 V
Δpw2= 7,2 ºC
Δpw1= 0,1 V
0,012762
0,102097 V
Δpw2= 9,7 ºC
Δpw3= 21 Ω
0,006862
0,054895 V
Δpw3= 8 Ω
Analiza wrażliwości układów elektrycznych może być prowadzona również ze względu
na różne parametry wpływające na pracę układu. Szczególnym
przypadkiem
analizy
wrażliwościowej jest analiza wpływu tolerancji wykonania elementów. Jako wartości
wpływowe przyjmuje się wówczas wartości elementów układu (np. rezystancje, indukcyjności,
pojemności) i uwzględnia zakładany zakres zmian ich wartości na skutek tolerancji
wykonania, powstających na skutek niepowtarzalności procesu produkcyjnego). Rozrzut
wartości wielkości wpływowych (wartości R, L, C) prowadzi do zmian (rozrzutu) wartości
-3-
funkcji układowej (np. pasma przepustowego, napięcia wyjściowego). Do określenia wpływu
tych zmian stosuje się dwie metody:
 metodę najgorszego przypadku (ang. worst case analysis);
 metodę statystyczną, losową (ang. Monte Carlo analysis).
PRZEBIEG ĆWICZENIA
1. Analiza właściwości pasywnych układów selektywnych
1.1. Dany jest układ filtra pasywnego o wybranej konfiguracji (rys. 2). Wartości elementów
określa prowadzący.
a)
b)
I L1
L2
U1
C1
L1
I
U2
R0
U1
U2
C1
c)
R1
U1
C2
C1
R2
C2
R0
d)
R1
C1
C2
U2
U1
R1
R2
C1
U2
Rys. 2. Wybrane układy filtrów pasywnych do analizy wpływu temperatury:
a), b) filtry LC, c), d) filtry RC (podwójne T, T z mostkiem)
Wyznacz charakterystykę częstotliwościową układu (napięcie U2 na wyjściu układu) przy
założeniu, że użyte elementy są:
 stacjonarne;
 niezależnie od temperatury;
 określone dokładnie, bez uwzględnienia tolerancji.
1.2. Ocena wpływu temperatury na właściwości układu.
 Przygotuj model temperaturowy rezystorów zgodnie z podanymi parametrami.
 Wykonaj obliczenia przy uwzględnieniu zmian temperatury w zakresie temperatury od
warunków normalnych do 80ºC. Zarejestruj charakterystyki częstotliwościowe.
1.3. Ocena wpływu tolerancji elementów na właściwości układu.
 Przygotuj model układu, w którym wartości elementów pasywnych będę określone z
uwzględnieniem tolerancji. Przy definiowaniu modelu z tolerancją uwzględnij typowe
wartości tego dla elementów dostępnych w handlu.
 Wykonaj analizę numeryczną w celu wyznaczenia najgorszego przypadku konstrukcji
układu.
 Określ różnice między charakterystykami częstotliwościowymi dla dwóch podanych
skrajnych rozwiązań.
 Sprawdź jak zmieni się poziom napięć na kondensatorach (lub prądów płynących
przez cewki) przy rozpatrywanych dwóch najgorszych wariantach.
-4-
1.4. Ocena wrażliwości charakterystyki częstotliwościowej układu na zmiany wartości
elementów konstrukcyjnych.
 Określ zakres zmian szerokości pasma przepustowego układu przy zmianie wartości
wskazanego elementu reaktancyjnego. Zmiany wartości elementu reaktancyjnego
powinny zachodzić w zakresie co najmniej 100%.
 Określ wartości współczynników charakteryzujących wrażliwość właściwości
widmowych układu ze względu na zmiany wartości elementów.
2. Analiza właściwości aktywnych układów elektrycznych
2.1. Dany jest układ generatora zbudowanego na bazie wzmacniacza operacyjnego (rys. 3).
a)
b)
c)
d)
Rys. 3. Wybrane układy generatorów do analizy wpływu temperatury: a) prosty generator RC,
b) generator RC z mostkiem podwójne T, c) generator z mostkiem Wiena,
d) generator z układem całkującym i przerzutnikiem Schmitta
Dla zadanych wartości elementów wyznacz przebiegi czasowe napięcia U2 (dla układu z
przerzutnikiem Schmitta napięcie U21 lub U22). Obliczenia należy przeprowadzić
wykonując analizę stanu nieustalonego. W obliczeniach należy przyjąć, że elementy
konstrukcyjne są idealne (stacjonarne, niezależnie od temperatury, z tolerancją
wynoszącą 0%).
2.2. Ocena wpływu temperatury na właściwości układu.
 Opracuj model temperaturowy rezystorów występujących w układzie.
-5-
 Wykonaj obliczenia przy uwzględnieniu zmian temperatury w zakresie temperatury od
warunków normalnych do 80ºC. Zarejestruj przebiegi czasowe dla wybranych wartości
temperatury.
2.3. Ocena wpływu tolerancji elementów na właściwości układu.
 W utworzonym modelu generatora uwzględnij tolerancje elementów pasywnych.
 Oblicz najgorszy przypadek w konstrukcji układu. Określ wartości parametrów
charakteryzujących wpływ tolerancji na właściwości rozpatrywanego układu.
PYTANIA NA ZALICZENIE
1. Wyjaśnij sposób konstrukcji modelu numerycznego rzeczywistego rezystora w zakresie
niskich częstotliwości, z uwzględnieniem wpływu temperatury.
2. Wyjaśnij sposób konstrukcji modelu numerycznego rzeczywistej cewki indukcyjnej w
zakresie niskich częstotliwości, z uwzględnieniem wpływu temperatury.
3. Wyjaśnij sposób konstrukcji modelu numerycznego rzeczywistego kondensatora w
zakresie niskich częstotliwości, z uwzględnieniem wpływu temperatury.
4. Wyjaśnij pojęcie parametru wpływowego i funkcji układowej.
5. Podaj i wyjaśnij definicję współczynnika wrażliwości funkcji układowej.
6. Wyjaśnij pojęcie najgorszego wariantu w ocenie właściwości układu. Jak następuje
obliczenie tych wariantów.
7. Wyjaśnij na czym polega analiza właściwości układu metodą Monte Carlo.
8. Podaj definicje wskaźników charakteryzujących wrażliwość układów.
LITERATURA
[1] Pasko M., Adrikowski T.: Elementy liniowych obwodów elektrycznych i elektronicznych –
synteza układów pasywnych. Wydawnictwa Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2009.
[2] Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów. T. 1, 2. WNT, Warszawa, 2001.
[3] Walczak J., Pasko M.: Zastosowanie programu SPICE w analizie obwodów
elektrycznych i elektronicznych. Wydawnictwa Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2011.
[4] Król A., Moczko J.: PSpice: symulacja i optymalizacja układów elektronicznych. Wyd.
Nakom, Poznań, 2000.
[5] Dobrowolski A.: Pod maską Spice’a: metody i algorytmy analizy układów
elektronicznych. Wydawnictwo BTC, Warszawa, 2004.
Autor: Bogusław Butryło
w. 1.0
Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego Politechniki Białostockiej.
Wszelkie prawa zastrzeżone. Żadna część dokumentu nie może być kopiowana i odtwarzana w jakiejkolwiek formie i przy użyciu jakichkolwiek
środków bez zgody posiadacza praw autorskich.
-6-