Astrofizyka 1
advertisement
Krzysztof Gęsicki Astrofizyka 1 fizyka układu słonecznego Wykład kursowy dla 2 r. studiów AS1 wykład 11: podstawy budowy i ewolucji gwiazd budowa gwiazd cztery podstawowe równania wyznaczające budowę gwiazdy znane są od dawna równanie ciągłości określające przebieg gęstości z głębokością ∂r 1 = ∂m 4π r2 ρ równanie równowagi hydrostatycznej wyznaczające gradient ciśnienia Gm ∂P =− ∂m 4π r4 r to odległość od środka gwiazdy, m to masa wewnątrz takiej sfery równanie produkcji energii w reakcjach jądrowych ∂L = ǫ − ǫν − ǫg ∂m ǫ to tempo produkcji energii, ǫν – straty na neutrinach, ǫg – praca wykonana na gazie przy ekspansji lub kontrakcji równanie przepływu energii, pozwalające wyznaczyć gradient temperatury ∂T GmT =− ∇ ∂m 4π r4 P gdzie ∇= ∂ ln T ∂ ln P wielkość ∇ obliczamy z odpowiednich formułek w zależności o tego czy przepływ energii jest promienisty czy konwektywny mamy cztery równania ale pięć zmiennych: r, ρ, P, L, ,T dodatkowe – to równanie stanu w postaci np. ρ = ρ(P, T, µ) dochodzą jeszcze równania na nieprzezroczystość χν (ρ, T ) tempa reakcji jądrowych ǫ skład chemiczny µ i jego zmiany przez reakcje jądrowe i mieszanie transport energii we wnętrzu – promienisty, konwektywny i przewodnictwo ewentualne dodatkowe procesy mieszające dyfuzję utratę masy przez wiatr gwiazdowy nawet przy upraszczających założeniach równowagi hydrostatycznej i cieplnej powyższy układ równań nie ma analitycznego rozwiązania – równania są wysoce nieliniowe – wszystkie cztery równania są powiązane ze sobą i trzeba je rozwiązywać jednocześnie – warunki brzegowe zadajemy na powierzchni i w centrum gwiazdy czyli trzeba stosowac iteracje trochę teorii konwekcji zakładamy, że bąbel konwektywny wyrusza w drogę skądś tam, unosi się bądź opada na tyle wolno, że pozostaje w równowadze ciśnieniowej z otoczeniem na tyle szybko, że nie zdąży wymienić ciepła z otoczeniem – adiabatycznie, a po przebyciu drogi lm rozpływa się w otoczeniu deponując tam swoją energię wprowadza się tzw. ciśnieniową skalę wyskości Hp d ln p ρg 1 = =− Hp dr p jest to droga, na której ciśnienie zmienia się o czynnik e przyjmuje się, że średni rozmiar elementów konwektywnych jest rzędu Hp a średnia droga mieszania lm = α Hp dla elementu E poruszającego się adiabatycznie A zmiana gęstości dρ ∆ρE = ∆r dr A oznaczmy gradient gęstości w promienistym R otoczeniu dρ dr R zauważmy, że niestabilność wystąpi, gdy spadek gęstości w elemencie będzie większy, niż spadek gęstości w otoczeniu oczywiście pamiętajmy, że dρ/dr < 0 dρ dρ < dr A dr R w takiej sytuacji na element będzie działała siła wyporności wypychająca go ku górze – niestabilność będzie narastała astrofizycy definiują gradienty po swojemu – jako pochodne logarytmiczne d ln T ∇= d ln p ρ = ρ(P, T ) równanie stanu o ogólnej postaci jest przekształcane dP dT dρ =α −δ ρ P T gdzie ∂ ln ρ α= ∂ ln P T ∂ ln ρ δ = − ∂ ln T P warunek niestabilności podzielimy przez ρ zastosujemy przekształcone równanie stanu przypomnimy sobie o założeniu równowagi ciśnień między bąblem a otoczeniem podzielimy stronami przez ciśnieniową skalę wysokości Hp otrzymujemy klasyczne kryterium Schwarzschilda: ∇A < ∇R kiedy już wystąpi niestabilność konwekcyjna ma miejsce dodatkowy (mechaniczny) transport energii a gradient temperatury spada poniżej wartości, którą by miał, gdyby tylko promieniowanie przenosiło energię: ∇ A ¬ ∇E ¬ ∇ ¬ ∇ R gradient temperatury bąbla może większy od adiabatycznego kiedy bąbel dodatkowo traci energię przez wypromieniowywanie czynnikiem możliwym do uwzględnienia, a zwiększającym stabilność, jest gradient składu chemicznego strumień konwektywny szacujemy jako ilość energii unoszonej przez element mnożonej przez prędkość elementu: Fconv = ρ Cp δT · v̄ δT wyrażamy przez różnicę gradientów w otoczeniu i w elemencie z kolei tę różnicę gradientów szacujemy uwzględniając pracę wykonaną przy przesunięciu elementu i energię wypromieniowaną po drodze zakłada się że połowa wykonanej pracy dostarczy energii kinetycznej elementowi, druga połowa pójdzie na straty spowodowane lepkością interpoluje się między energią wypromieniowaną w przypadku optycznie cienkim i optycznie grubym czasami dla celów dydaktycznych (onegdaj dla praktycznych) p = Kργ wprowadza się tzw. politropowe równanie stanu wówczas ciśnienie nie zależy od temperatury struktura gwiazdy może być obliczana niezależnie od właściwości cieplnych innym uproszczeniem jest tzw. zależność homologiczna często dokładne rozwiązania dla różnych gwiazd są podobne można je wtedy przybliżać prostym przeskalowaniem homologicznym oczywiście nie jest to model realistyczny gwiazdy takie skalowanie bywa pomocne przy dyskusjach gwiazd ciągu głównego kontrakcji protogwiazdy lub gwiazdy twierdzenie o wiriale równania ruchu układu złożonego z więcej niż 2 punktów materialnych nie dają się całkować analitycznie zachowane są całkowite: energia, pęd i moment pędu można wprowadzić dodatkowe zależności statystyczne, jak twierdzenie o wiriale załóżmy układ n punktów o masach mi, pozycjach r~i, prędkościach ṙ~i definiujemy wiriał n X miṙ~i · r~i A= i=1 jego pochodna po czasie Ȧ = n X i=1 miṙ~i · ṙ~i + mir̈~i · r~i we wzorze Ȧ = n X i=1 miṙ~i · ṙ~i + mir̈~i · r~i pierwszy składnik to podwojona energia kinetyczna cząstki i jego suma po całym zespole to T drugi składnik zawiera czynnik mir̈~i od czasów Newtona identyfikowany z siłą działającą na cząstkę i w rezultacie: Ȧ = 2 T + n X i=1 ~i · r~i F obliczmy średnią (oznaczoną nawiasami < >) po czasie + * n 1 Zτ X ~i · r~i F Ȧ dt = h2 T i + Ȧ = τ0 i=1 jeśli tylko układ pozostaje zamknięty, czyli żadna cząstka nie ucieka to A nie rośnie nieograniczenie kiedy czas średniowania wydłużymy τ → ∞ to Ȧ zbliża się do zera otrzymamy ogólną postać twierdzenia o wiriale h2 T i + * n X i=1 + ~i · r~i = 0 F gdy siły F~ pochodzą wyłącznie od wzajemnej grawitacji odpowiednia suma pod średnią redukuje się do energii potencjalnej U układu n n mi mj X X −G =U i=1 j=i+1 rij twierdzenie o wiriale ma prostą postać 1 hT i = − hU i 2 dyskusja jakościowa stabilności gwiazd o modelach gwiazd zakładamy, że są jednocześnie w równowadze hydrostatycznej i termicznej model (gwiazda) jest stabilny jeśli zaburzenie równowagi jest szybko tłumione jeśli zaburzenie narasta – występuje niestabilność rozpatrzmy te dwa rodzaje (nie)stabilności osobno lokalne zaburzenie stabilności omawialiśmy przy okazji konwekcji teraz bedzie o globalnej stabilności gwiazdy ale oczywiście w dużym uproszczeniu stabilność dynamiczna załózmy że gwiazdę (w równowadze) ściśniemy trochę do tego załóżmy że ściskanie zachodzi homologicznie −3 ′ R ′ ρ → ρ = ρ R R → R′ w czasie tak krótkim, że ściskanie zajdzie adiabatycznie γ P ′ ρ′ = P ρ ad −3γ ′ R = R ad w równowadze hydrostatycznej ciśnienie zależało od r−4 zatem po kontrakcji R → R′ ciśnienie równowagowe RH 4/3 ′ ′ P ρ = P RH ρ −4 ′ R = R ′ jeśli γad > 4/3 to P ′ > PRH nadwyżka ciśnienia spowoduje ekspansję przywracając równowagę (stabilność) ′ jeśli γad < 4/3 to P ′ < PRH kompresja zostanie wzmocniona a sytuacja stanie się niestabilna można pokazać ściśle że jeśli gwiazda wszędzie ma γad > 4/3 to jest stabilna dynamicznie globalna niestabilność wystąpi jeśli ujemna będzie całka po całej gwieździe Z (γad − 4/3) P dm ρ jeśli γad < 4/3 w odpowiednio dużym jądrze w którym to gwiazda będzie niestabilna jeśli γad < 4/3 w otoczce w której Pρ jest małe to gwiazda jako całość nie będzie niestabilna P ρ jest duże dla gazu doskonałego dla nierelatywistycznych zdegenerowanych elektronów γad = 5/3 stabilność w strefie częściowej jonizacji np. H ↔ p + e γad < 4/3 na ogół zachodzi to w warswach zewnętrznych przy małym P/ρ nie prowadzi do globalnej niestabilności gwiazdy ale może napędzać pulsacje podobne efekty to kreacja par elektron-pozytron oraz rozpad żelaza mogą wystąpić w masywnych gwiazdach pod koniec ich życia tym razem w jądrze γad < 4/3 mogą doprowadzić do eksplozji lub kolapsu stabilność termiczna z twierdzenia o wiriale Egr = −2Eint dla gwiazdy w równowadze hydrostatycznej 1 Etot = Egr + Eint = −Eint = Egr < 0 2 energia całkowita jest ujemna – gwiazda jest stabilna zmiana energii całkowitej to Ėtot = Lnuc − L∗ w stanie równowagi Lnuc = L∗ i Etot jest stała konsekwencje twierdzenia o wiriale sfera gazowa związana grawitacyjnie dla zachowania równowagi musi być gorąca ciepło wytwarza ciśnienie niezbędne dla zrównoważenia grawitacji im bardziej zwarta jest sfera tym silniej związana i gorętsza gorąca sfera musi promieniować w przestrzeń – gwiazda traci energię L∗ = −Ėtot > 0 konsekwencją utraty energii jest Ėgr = −2L∗ < 0 gwiazda zapada się bardziej Ėint = L∗ > 0 i połowa wyzwolonej energii ogrzewa gwiazdę druga połowa jest wypromieniowywana staje się gorętsza wytrącenie z równowagi rozważmy jakieś małe zaburzenie Lnuc > L∗ wtedy δEtot > 0 ponieważ energia całkowita jest ujemna, więc jej wartość absolutna zmaleje twierdzenie o wiriale podpowiada że δEint < 0 i δEgr > 0 co oznacza że temperatura zmaleje a gwiazda ekspanduje w tych warunkach Lnuc zmaleje równowaga termiczna zostanie przywrócona twierdzenie o wiriale działa jak termostat jeśli jednak oprócz ciśnienia gazowego będzie obecne znaczne ciśnienie promieniowania będzie ono przeciwdziałało grawitacji zaburzając termostat w przypadku zwyrodniałego nierelatywistycznego gazu elektronowego twierdzenie o wiriale nadal obowiązuje ale ciśnienie i energia wewnętrzna nie zależą od temperatury takie samo zaburzenie Lnuc > L spowoduje ekspansję ale już nie spadek temperatury temperatura będzie rosnąć powodując dalszy wzrost Lnuc taki wybuch termojądrowy – TNR thermonuclear runaway pojawia się przy rozbłysku helowym gwiazdy czy przy wybuchu nowej jakościowa dyskusja ewolucji centrum gwiazdy w środku gwiazdy największe: ciśnienie, gęstość, temperatura, tempo reakcji jądrowych najbardziej wyewoluowana część gwiazdy – otoczka za nim tylko podąża można pokazać, że w przypadku ekspansji lub kontrakcji homologicznej powolnej, prawie-statycznej, ciśnienie i gęstość w centrum gwiazdy łączy zależność Pc = C · GM 2/3ρ4/3 c jest to uniwersalna zależność dla gwiazd w równowadze hydrostatycznej niezależnie od równania stanu wykładnik 4/3 określa taki tor ewolucyjny na płaszczyźnie Pc − ρc uwzględnienie równania stanu wyznacza temperaturę Tc • dominuje promieniowanie P = 13 aT 4 izoterma jest linią o stałym P • gaz doskonały P = Rµ ρT izoterma to linia P ∝ ρ • nierelatywistyczny zwyrodniały elektronowo gaz P = K(ρ/µe)5/3 pełna degeneracja zachodzi przy T → 0 – izoterma zerowa nieduże ρ • ekstremalnie relatywistyczny zwyrodniały elektronowo gaz P = K(ρ/µe)4/3 izoterma T = 0 przy dużych ρ wszystkie te zależności pokazane są na rysunku linie M1 i M2 odpowiadają dwóm przykładowym gwiazdom ich nachylenie to oczywiście 4/3 M1 ma masę mniejszą od krytycznej, stanie się zwyrodniałym białym karłem M2 o większej masie ominie obszar zdegenerowany (do czasu wytworzenia zwyrodniałego gazu neutronowego) diagram Tc − ρc nachylenie torów o danej masie M to tym razem 1/3 tory o masie mniejszej od krytycznej osiągają maksimum temperatury tempo produkcji energii jądrowej przybliżamy wzorem na ogół λ = 1 ale ν bywa duże dla cyklu p-p wodoru 4 dla cyklu CNO 18 dla reakcji 3α helu 40 dla spalania C i O jeszcze większe ǫnuc = ǫ0 ρλ T ν pierwszy zapali się wodór przy T ≈ 107K oszacowana potrzebna do tego masa gwiazdy to ≈ 0.1M⊙ dokładne obliczenia wykazują 0.08M⊙ mniej masywne gwiazdy pozostaną brązowymi karłami z masą gwiazdy wzrasta znaczenie ciśnienia promieniowania które staje się dominujące przy M ­ 100M⊙ wykładnik adiabatyczny wynosi 4/3 i gwiazda przestaje być stabilna mamy ograniczenia na masy gwiazd: od ≈ 0.1M⊙ do ≈ 100M⊙ zgodnie z twierdzeniem o wiriale samograwitująca sfera gazowa w równowadze hydrostatycznej musi zapadać się i rozgrzewać skoro wypromieniowuje enrgię z powierzchni kiedy zaczną się reakcje jądrowe – kolaps zatrzymuje się na jakiś czas wodór w centrum wyczerpie się gdy 0.1 masy całkowitej zamieni się w hel dalej jądro helowe kontynuuje zapadanie się, mniej więcej homologicznie, ale zewnętrzna otoczka rozszerza się, niezgodnie z relacją homologiczną masa jądra helowego determinuje teraz dalszą ewolucję minimalna masa dla zapalenia helu to ≈ 0.3M⊙ gwiazdy z takim jądrem zapalą hel przy Tc ≈ 108K co zastopuje kontrakcję spalanie helu trwa ok 0.1 czasu spalania wodoru w gwiazdach z masą jądra helowego Mc < 0.3M⊙ jądro zrobi się zdegenerowane zanim temperatura osiągnie Tc ≈ 108K bez zewnętrznej otoczki otrzymalibyśmy stygnącego helowego białego karła w praktyce w otoczce nadal spala się wodór i gdy Mc narośnie do ≈ 0.5M⊙ hel zapala się w rozbłysku minimalna masa do zapalenia węgla to 1.1M⊙ przy Tc ≈ 5 × 108K mniej masywne gwiazdy nigdy nie zapalą węgla zostaną węglowo-tlenowymi białymi karłami gwiazdy z jądrem Mc > MCh przejdą kolejne etapy reakcji jądrowych aż wytworzą jądro żelazowe, z którego już nie da się wycisnąć energii otrzymujemy taki obraz ewolucji gwiazdy: okresy reakcji jądrowych są tylko długotrwałymi przerwami w nieubłaganej kontrakcji gwiazdy (przynajmniej jej jądra) pod działaniem siły grawitacji kontrakcja podlega twierdzeniu o wiriale i wynika z faktu, że gwiazdy tracą energię promieniując przy masie jądra mniejszej od masy Chandrasekhara zapadanie się jest zatrzymywane ciśnieniem zdegenerowanych elektronów przy masie większej – ciśnienie degeneracji nie zastopuje kontrakcji zapadanie będzie kontynuowane z przerwami na kolejne cykle reakcji jądrowych aż do osiągnięcia gęstości jądrowych literatura książka R.Kippenhahn & A.Weigert „Stellar Structure and Evolution” O.R. Pols „STELLAR STRUCTURE AND EVOLUTION” https://www.astro.ru.nl/~onnop/education/stev utrecht notes/ zagadnienia wymagane na egzaminie • kryterium Schwarzschilda konwekcji • założenia teorii średniej drogi mieszania • twierdzenie o wiriale • stabilność dynamiczna gwiazd • równowaga termiczna gwiazd • jakościowy obraz ewolucji jądra gwiazdy
