Grawitacja

Grawitacja
1. Obliczyć, jaką siłą jest
przyciągana masa m, jeżeli znana jest masa
planety m1 oraz gęstość  i promień R drugiej planety a także
odległości, jak na rysunku.
(R, m1, m / F )
2
4
 5 m   3 m

Odp.: F  Gm  1.5  12    1.5  12    R 
 34 R   34 R 27

2
3 m1 4
 2    R
1.5
Siła ta jest położona do poziomu pod kątem β takim, że tg   34 R 27
5 m1

341.5 R 2
2. Obliczyć
natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A, jeżeli jest ono
wytwarzane przez bryłę o masie M, która powstała przez wydrążenie kuli o
promieniu R, przy czym wydrążenie ma kształt kuli o promieniu 12 R a
R
A
R
punkt A jest odległy o R od powierzchni kuli. (M, R / E )
2 GM
Odp.: E 
9 R2
3. Obliczyć
natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A, jeżeli jest ono
wytwarzane przez bryłę o masie M, która powstała przez wydrążenie kuli o
promieniu R, przy czym wydrążenie ma kształt kuli o promieniu 12 R a
R
A
R
punkt A jest odległy o R od powierzchni kuli. (M, R / E )
GM
Odp.: E 
4R 2
4. Obliczyć
natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A, jeżeli jest ono
wytwarzane przez bryłę o masie M, która powstała przez wydrążenie kuli o
promieniu R, przy czym wydrążenie ma kształt kuli o promieniu 12 R a
R
A
R
punkt A jest odległy o R od powierzchni kuli. (M, R / E )
Odp.:
5. Rakieta przelatuje w pobliżu dwóch planet w ten sposób, aby wartość siły przyciągania obu planet
była taka sama. Jedna z planet jest dwa razy masywniejsza od drugiej a ich odległość wynosi S. Jaki
jest tor ruchu rakiety? (S / tor ruchu)
Odp.: Torem ruchu jest okrąg o promieniu
r  S 2 o środku położonym w odległości S od mniejszej
planety w kierunku przeciwnym do kierunku w którym O
znajduje się większa planeta.
S
m
2m
y
F1
y
F2
m
x
x
2m
S
1
L
6. Obliczyć siłę z jaką dwie identyczne planety o masach M odległe o L, przyciągają
M
rakietę o masie m znajdującą się na osi symetrii odcinka łączącego obie planety,
w odległości c od tego odcinka. (M, L, m, c / F )
Odp.:
M
c
7. Jaką pracę trzeba wykonać, aby przenieść rakietę o masie m z orbity kołowej o wysokości h1 od
powierzchni Ziemi na orbitę kołową znajdującą się na wysokości h2 od powierzchni Ziemi.
(h1, h2, R, M, m / W)
Odp.:
8. Jaką pracę należy wykonać, aby wynieść na orbitę z równika satelitę geostacjonarnego o masie m.
(m, M, R, T – doba / W)
2


2 2
3
2

GM
GM
2

R



Odp.: W  m


 
2
 R
T
 T  


9. Jaką pracę należy wykonać aby wydobyć ciało o masie m z kopalni o głębokości h na wysokość H
ponad powierzchnię Ziemi. (h, H, M, R / W)
Odp.:
10. Satelita
krąży w płaszczyźnie równika w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotów Ziemi na
1
wysokości h  R z , gdzie Rz – promień Ziemi. Ile razy na dobę jest w zenicie nad określonym
3
punktem równika? (Mz, G, T0 (doba), Rz / k)
Odp.:
11.
Obliczyć w punkcie A natężenie pola grawitacyjnego
pochodzącego od cienkiego pręta o gęstości liniowej masy
τ = 5 kg/m3 i od sfery o powierzchniowej gęstości σ = 2
kg/m2 i promieniu R = 2 m, jeśli pręt i sfera położone są jak
na rysunku. (τ, σ, R, l / E )
Odp.:


A
2l
l
l
l
h  12 R wydobywane jest na powierzchnię Ziemi ciało o masie m. Jaka praca jest
przy tym wykonywana? (znane są parametry Ziemi) (R, m, M / W)
Odp.:
12. Z głębokości
13. Z jaką prędkością spadnie na Ziemię ciało puszczone z wysokości
1
2
R , gdzie R jest promieniem
Ziemi. (R, M / v)
Odp.: v 
GM
3R
14. Dwie
planety o identycznych rozmiarach mają księżyce krążące po identycznych orbitach.
Pierwszą jej księżyc okrąża w czasie t1 a czas obiegu księżyca drugiej wynosi t2. Obliczyć stosunek
mas tych planet.

m1 
 t 1 , t 2

m
2 

2
t 
m
Odp.: 1   2 
m2  t1 
2
15. Jakie jest natężenie pola grawitacyjnego pręta o masie m i długości l w punkcie A leżącym na
przedłużeniu tego pręta, w odległości 12 l od jego końca?
16. Z jaką siłą działa kula
1R
o masie M i promieniu R z wydrążeniem centralnym o
2
1
promieniu R na kulę o promieniu 2 R i gęstości takiej samej jak pierwsza kula, R
jeśli powierzchnia tej drugiej kuli znajduje się w odległości 12 R od powierzchni
pierwszej?
7 GM 2
Odp.: F 
256 R 2
17. Jaką pracę należy wykonać aby przenieść ciało o masie m z powierzchni planety o masie M1 na
powierzchnię planety o masie M2, o promieniach odpowiednio R1 i R2, jeżeli odległość między
środkami planet wynosi L? (m, M1, M2, L, R1, R2)
M
M1
M
M2 

 1
Odp.: W  Gm 2 
 R2 L  R2 R1 L  R1 
1
2
18. Satelita stacjonarny krąży w płaszczyźnie równika wokół planety o promieniu R w odległości R od
jej powierzchni. Przyspieszenie grawitacyjne tej planety na biegunie wynosi g1. Jak długo trwa doba
na tej planecie?
2R
Odp.: T  4
g1
19. Na równiku pewnej planety ciało waży o
1
mniej niż na biegunie. Wiedząc, że doba na planecie
5
trwa T obliczyć średnią jej gęstość.
15
Odp.:  
GT 2
20. Trzy identyczne kule o masach M i promieniach R stykają się ze sobą leżąc na
płaszczyźnie. Z jaką siłą się przyciągają?
3 GM 2
Odp.: F 
4 R2
21. Dwie planety o masach M1 i M2 są odległe od siebie o L. W którym punkcie przestrzeni natężenie
pola grawitacyjnego jest równe 0.
L
Odp.: W odległości x 
od M2 w kierunku M1.
M1
1
M2
22. Znajdź natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A, jeżeli pochodzi
ono od kuli o gęstości  i sfery o gęstości powierzchniowej  jak na
rysunku.
 4

Odp.: E  G  R   
 75

R

R

A
3
b
M1
A
23. Obliczyć pracę przeniesienia masy m z punktu A do punktu B w
sytuacji jak na rysunku.
Odp.: W AB
a

1
1
 Gm( M 2  M 1 )
 
2
2
b
 a b
B
M2
24. Satelita krąży wokół planety po orbicie kołowej o promieniu r. Po zwiększeniu promienia orbity
okres obiegu satelity wokół planety zwiększył się 8 – krotnie. O ile zwiększył się promień orbity.
Odp.: h  3r
25. Oblicz
natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A w sytuacji jak na
l, 
2a
rysunku.
Odp.: E 
A
a
G l
a
1
4

a  l  2a  l 2
l,
2
26. Oblicz pracę potrzebną do przeniesienia masy m z punktu A do punktu
B w sytuacji jak na rysunku.
GmM 2a  2l
Odp.: W 
ln
l
2a  l
l, 2M
a
a
A
a
l, M
B
27. Oblicz energię potencjalną masy m w punkcie A na rysunku z poprzedniego zadania.
2
GmM  a  l  2a  l 
ln 
Odp.: E A  


l
 a  2a 
28. (Wariant zadania 20) Cztery identyczne kule o masach M i promieniu R stykają się ze sobą tak, że
odległości między ich środkami wynoszą 2R. Z jaką siłą będą się przyciągały?
Odp.: F 
6 GM 2
4 R2
29. Z jaką prędkością upadnie ciało puszczone swobodnie do szybu kopalni o głębokości 0,1R, gdzie
R jest promieniem Ziemi. (Przyrost energii kinetycznej równy jest pracy wykonanej przez pole
grawitacyjne Ziemi).
Odp.:
30. Z jaką
prędkością upadnie ciało rzucone z prędkością V0 do szybu kopalni o głębokości 0,1R,
gdzie R jest promieniem Ziemi. (Przyrost energii kinetycznej równy jest pracy wykonanej przez pole
grawitacyjne Ziemi).
Odp.:
31. Jaką pracę trzeba wykonać, aby z orbity o promieniu r wokół Ziemi uwolnić ciało o masie m z
pola grawitacyjnego Ziemi.
4
Odp.: W 
1 GMm
2 r
32. Ze
stacji orbitalnej krążącej po orbicie o promieniu r wystrzelono rakietę. Jaką dodatkową
prędkość powinna mieć na starcie ta rakieta, aby na zawsze opuścić pole grawitacyjne Ziemi?
Odp.: V 
GM
r
33. Wokół
pewnej planety o masie M1 i promieniu R krąży księżyc o masie M2. Krąży on w
płaszczyźnie równika, po orbicie kołowej o promieniu r  3R . Gdy księżyc jest w zenicie, ciało na
powierzchni planety waży dwukrotnie mniej niż wówczas, gdy księżyc jest w nadirze. Jak długo
M
trwa doba na tej planecie? (M1, M2, R / T)
1
M2
R
2R 3
Odp.: T  2
9


G M 1  M 2 
16


FP
FO
FG
34. Z
jaką prędkością należy wystrzelić rakietę z
powierzchni planety o gęstości ρ, aby wzniosła się na
wysokość równą promieniowi planety R?
3R
M1
FP
R
FG
Odp.: V  2GR
35. Jaką pracę należy wykonać, aby przenieść ciało o masie m z głębokości
M2
FO
3
1
R na głębokość R ,
4
2
jeżeli znany jest promień planety R i jej gęstość?
Odp.:
36. Jaką pracę należy wykonać, aby przenieść ciało o masie m ze środka planety na jej powierzchnię,
jeżeli znana jest masa planety M i jej gęstość?
Odp.
37. Dwie
nieruchome kuliste planetoidy o masach M i m oraz promieniach R i r znajdują się w
odległości a od siebie (jest to odległość między ich środkami). Na skutek oddziaływania
grawitacyjnego zaczynają zbliżać się do siebie. Z jaką prędkością się zderzą?
Odp.: V  2G
arR
M  m 
a r  R 
dla mM V  2GM
arR
a r  R 
dla a  10R i r  2 R V 
7 G
m  M 
15 R
dla a  10R i r  2 R i m  4 M V 
7 GM
3 R
5
38.
Satelita krąży wokół planety po orbicie eliptycznej. Gdy jego odległość od środka planety
wynosi R, wówczas porusza się z prędkością V. Jaką prędkość osiąga satelita w chwili, gdy
odległość od środka planety wynosi 2/3 R?
MG
Odp.: V1  V 2 
R
39.
Na pewnym księżycu wykopano kopalnię w postaci tunelu
biegnącego po średnicy. Jaka pracę należy wykonać, aby ładunek
o masie m wydobyć z głębokości h na powierzchnię po drugiej stronie
księżyca (Od punktu A do punktu B)?
Odp.: Taka samą jak z głębokości h po tej samej stronie księżyca.
40.
Dwa ciała niebieskie są nieruchome względem siebie. Z jaką
prędkością trzeba wystrzelić rakietę z powierzchni pierwszego ciała w kierunku drugiego ciała, aby
dotarła ona do jego powierzchni? Masy obu ciał są znane (M i m), znany jest również promień
pierwszego ciała R oraz odległość między środkami obu ciał d.
M
m

Odp.: V  2G  
R d R



2
m M 

d

Wskazówka: Rakieta musi dotrzeć do punktu, którym oddziaływania grawitacyjne obu ciał są takie
same. W tym punkcie jej energia kinetyczna równa się zero. Skorzystać z zasady zachowania energii
mechanicznej: energia na starcie równa się energii w punkcie równowagi.
41.
Dwa ciała niebieskie są nieruchome względem siebie. Z jaką prędkością trzeba wystrzelić
rakietę z powierzchni pierwszego ciała w kierunku drugiego ciała, aby dotarła ona do jego
powierzchni? Masa drugiego ciała wynosi m a pierwszego 9m, znany jest również promień
pierwszego ciała R oraz odległość między środkami obu ciał d  16R .
Gm
Odp.: V  11
30R
42.
Dwie kule o masie M każda i promieniach R stykają się
ze sobą. Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego w punkcie
A jak na rysunku. (M, R / E)
Odp.:
43.
Dwie kule o masie M każda i promieniach R stykają się ze sobą. Znaleźć
natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A jak na rysunku. (M, R / E)
Odp.: E 
44.
4 GM
2
53 R
Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez pręt o masie M wygięty w
półokrąg o promieniu R w środku tego półokręgu. (M, R / E)
2GM
Odp.: E 
R 2
45. Na jaką wysokość nad powierzchnię Ziemi wzniesie się rakieta wystrzelona pionowo w górę z
prędkością V? (g, V / h) lub (M, R, V / h)
6
Odp.: h 
V 2R2
2GM  V 2 R
lub
h
V 2R
2 gR  V 2
46.
Na jaką wysokość nad powierzchnię planety o promieniu R wzniesie się rakieta wystrzelona
pionowo w górę z pierwszą prędkością kosmiczną dla tej planety?
Odp.: h  R
47.
Oblicz natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A jak na rysunku.
(M, R / E)
13GM
Odp.: E 
12 R 2
48. Kosmonauta o masie m stoi na niewielkiej planetoidzie o masie M.
Na jaką odległość od powierzchni planetoidy oddali się kosmonauta,
jeżeli podskoczy z prędkością V względem planetoidy? (m, M, V / h)
Wskazówka: Nie można pominąć ruchu planetoidy pod wpływem odbicia.
2G
Odp.: h 
R
2
2G V M  m

R
2 M  m 2
49.
Kulista planetoida o masie M i promieniu R styka się z większą planetoidą
o promieniu 3R. Jaka praca potrzebna jest, aby przenieść ciało o masie m z
wnętrza większej planetoidy z głębokości R do wnętrza mniejszej planetoidy
1
na głębokość R, jeżeli praca ta wykonywana jest po linii prostej łączącej
2
środki obu planetoid. Planetoidy są jednorodne i mają taką samą gęstość. (M, R, m / W)
Odp.: E 
9 GM
4 R2
50.
W Pasie Kuipera dwa identyczne ciała niebieskie o masach M i promieniach R lecą ku sobie z
identycznymi prędkościami V o tym samych kierunkach lecz przeciwnych zwrotach. Z jaką
prędkością zderzą się, jeżeli ich początkowa odległość wynosiła L?
2GM GM

Odp.: VK  V 2 
L
R
51.
Satelita krąży wokół Ziemi po orbicie kołowej w płaszczyźnie równika w ten sposób, że
znajduje się nad tym samym punktem Ziemi co 24 godziny. Na jakiej wysokości nad powierzchnią
Ziemi znajduje się satelita i w którą stronę się porusza?
GMT 2
 R  20 tys. km , z zachodu na wschód (przeciwnie do pozornego ruchu
Odp.: h 
16 2
3
Słońca)
7