Zagadnienia na egzamin pisemny z matematyki dla

Zagadnienia na egzamin pisemny z matematyki dla słuchaczy VI semestru
Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych
Klasa IIIB
Przykładowe zadania, które mogą pojawić się na egzaminie pisemnym z matematyki
Rachunek prawdopodobieństwa
Zasada mnożenia
1. Ile jest wszystkich par (x, y), gdzie x  A i y  B ?
a) A = {3, 6, 9, 12}, B = {-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20};
b) A – zbiór dzielników liczby 50, B – zbiór dzielników liczby 60.
2. Adrian chce zjeść obiad w szkolnej stołówce. Ma do wyboru dwa rodzaje zupy i trzy
rodzaje drugiego dania. Na ile sposobów może wybrać obiad?
Permutacje
3. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 dziewcząt i 3 chłopców, jeżeli dziewczęta
stoją przed chłopcami?
4. Ile liczb sześciocyfrowych można utworzyć, wykorzystując tylko cyfry liczby 134657,
jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?
Wariacje bez powtórzeń
5. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 1 oraz
żadna cyfra się nie powtarza?
6. Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których zapisie żadna cyfra się nie powtarza?
Wariacje z powtórzeniami
7. Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko
cyfry 1, 2, 4?
8. Ile jest liczb parzystych trzycyfrowych, w których zapisie nie występują cyfry 7 i 9?
Zdarzenia losowe
9. Losujemy dwa razy bez zwracania po jednej kuli z urny, w której znajdują się cztery kule
oznaczone odpowiednio liczbami: 2, 5, 6, 8. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom:
A – suma liczb na obu wylosowanych kulach jest liczbą nieparzystą
B – iloczyn liczb na obu wylosowanych kulach jest mniejszy od 10
C – suma liczb na obu wylosowanych kulach jest mniejsza od 25
Które z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym, a które – niemożliwym?
10. Ze zbioru liczb Z1 = {1, 2, 3} i Z2 = {3, 4} losujemy po jednej liczbie.
a) Określ zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.
b) Podaj zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniom
A – suma wylosowanych liczb jest nieparzysta,
B – iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.
c) Wykaż, że spełniona jest równość B \ A  A'B.
Prawdopodobieństwo klasyczne
11. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że będzie to liczba podzielna przez 3.
12. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że będzie to liczba podzielna przez 10 i niepodzielna przez 3.
13. W urnie jest siedem kul ponumerowanych od 1 do 7. Losujemy kolejno, bez zwracania
dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że numer drugiej kuli będzie większy od
numeru pierwszej.
14. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
suma wyrzuconych oczek jest równa 4.
Rozkład prawdopodobieństwa
15. Rzucamy dwa razy kostką sześcienną, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie ściany
mają po trzy oczka i trzy ściany mają po pięć oczek. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o dwa.
16. Rzucono raz niesymetryczną kostką.
1
2
3
4
5
6
i
Rozkład prawdopodobieństwa podano w
1
1
1
1
1
1
pi
5
6
15
3
6
15
tabeli obok.
a) Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najwyżej czterech oczek.
b) Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek.
Własności prawdopodobieństwa
17. Oblicz P(B \ A), jeśli wiadomo, że P( A)  34 oraz P( A  B)  78 .
18. Oblicz P ( A  B ) i P(A \ B), jeśli wiadomo, że P( A)  23 , P( B)  14 oraz P( A  B)  34 .
19. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A  B, A  B, A \ B, B \ A, jeśli wiadomo, że
P(A) = 0,7, P(B) = 0,2 oraz B  A.
20. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania przynajmniej jednego orła w doświadczeniu
polegającym na trzykrotnym rzucie monetą.
21. Rzucamy trzykrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że nie otrzymamy za
każdym razem tej samej liczby oczek.
Statystyka
Średnia arytmetyczna
22. Oblicz średnią arytmetyczną liczb 4, 3, 1, 10, 10, 13, 8, 10, 4.
23. W pewnej szkole są trzy klasy drugie liczące kolejno: 21, 22, 23 uczniów. Średni wzrost
uczniów w pierwszej z nich jest równy 172cm, w drugiej – 174cm, w trzeciej – 170cm.
Oblicz średni wzrost wszystkich uczniów klas drugich.
Mediana i dominanta
24. Oblicz medianę i dominantę liczb: 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 4, 2, 2, 10.
25. Średnią arytmetyczna liczb: 14, 2, 4, 15, 14, x, 6x jest równa 12. Wyznacz x oraz oblicz
medianę i dominantę tych liczb.
Odchylenie standardowe
26. Oblicz średnią arytmetyczną, wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 1, 1, 2, 2, 3, 3,
4, 4, 5, 5.
27. W pewnej firmie badano czas potrzebny pracownikom na dotarcie do pracy. Dane
zapisano w tabeli:
Czas dojazdy [min]
30
45
60
90
Liczba pracowników
4
6
7
3
Oblicz średni czas dojazdu pracowników do firmy oraz odchylenie standardowe dla tego
czasu.
Średnia ważona
28. Oblicz średnią ważoną liczb z podanymi wagami:
Liczba
9
2
6
8
16
Waga
0,2
0,4
0,25
0,05
0,1
29. Oblicz t, jeśli 5 jest średnią ważoną danych liczb.
Liczba
10
5
3
Waga
2
3
t