X X X X X

Imię i nazwisko ……………………………………………………
klasa 3B
19.12.2016
Rachunek prawdopodobieństwa - podstawa
1. (1 pkt) Na okręgu zaznaczono
Grupa B
20
różnych punktów. Ile jest siecznych można poprowadzić przez te punkty?
A.
B.
C.
D.
2. (1 pkt) W plebiscycie na najlepszego sportowca roku wytypowano
sportowców. Liczba możliwości
przyznania trzech pierwszych miejsc w tym plebiscycie (wykluczamy przypadek dzielenia miejsc ex aequo),
jest równa:
A.
B.
C.
.
D.
.
3. (1 pkt) . Rzucono pięć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie
oczek, jest równe:
A.
B.
C.
D.
X
X
X
4. (1 pkt) . Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
, przeciwnego do zdarzenia , jest równe .
Wówczas prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
jest równe:
A.
B.
C.
D.
5. (1 pkt) Zdarzenia i są rozłączne,
oraz żadne ze zdarzeń , nie jest zdarzeniem
niemożliwym. Wówczas
jest równe:
A.
B.
C.
D.
6. (4 pkt) Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych należących do przedziału
losujemy jedną liczbę. .
Niech
oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia – wybrana liczba w wyniku dzielenia przez daje
resztę . Wykaż, że
.
7. (3 pkt) W klasie 3b przeprowadzono wśród uczniów ankietę dotyczącą liczby osób, z których składa się ich
najbliższa rodzina. Wyniki tej ankiety są przedstawione w tabeli.
Liczba uczniów
10 12 6 2
Liczba osób w rodzinie 3 4 5 6
Z tej klasy wybrano w sposób losowy dwóch uczniów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co
najwyżej jeden z tych uczniów ma rodzinę składającą się z liczby osób większej niż średnia liczby osób
przypadająca na jedną rodzinę w tej klasie.
8. (4 pkt) Ze zbioru cyfr
tworzymy wszystkie dodatnie pięciocyfrowe liczby, w których cyfra siedem
występuje dokładnie dwa razy. Następnie z tych liczb losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wylosowana liczba jest parzysta.
9. (4 pkt) O pewnych zdarzeniach
wiadomo, że
,
( oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia ) oraz
. Oblicz:
a)
b)
– .
X
X
Propozycje rozwiązań
1. Przez każde dwa punkty prowadzimy prostą, czyli liczba siecznych jest równa liczbie wyborów dwóch
różnych punktów. Ze wzoru na liczbę kombinacji:
.
2. Ważna jest kolejność miejsc i nie ma powtórzeń to mamy wariacje bez powtórzeń:
3. Aby w sumie było
4.
5. Ponieważ
i
oczek muszą wypaść same szóstki, czyli
czyli
są rozłączne to
.
.
.
(patrz rysunek obok) stąd mamy równość
.
6. Pierwszą liczbą w tym przedziale, która przy dzieleniu przez daje resztę jest a ostatnią .
Ponieważ
to liczb spełniających warunek jest
(można wykorzystać ciąg arytmetyczny).
Gdy
oznacza zdarzenie – wylosowano liczbę, która przy dzieleniu przez
(104 nie należy do przedziału). Ostatecznie
daje resztę
to mamy:
.
7. Obliczmy średnią liczbę osób w rodzinie:
Było uczniów, których rodzina liczy więcej niż osoby.
– co najwyżej jeden uczeń jest z rodziny liczącej więcej niż
osoby. Mamy
. Ostatecznie
,
.
8. Liczb pięciocyfrowych o cyfrach z danego zbioru i zawierających dokładnie dwie siódemki jest:
czyli
.
Liczba pięciocyfrowa spełniająca warunki zadania jest parzysta, gdy ostatnia cyfra jest parzysta czyli
.
Ostatecznie
.
9.
a)
.
Podstawiamy wartości:
i otrzymujemy
i
.
b)
- patrz rysunek
Wstawiamy wartości:
–
.