Elektrycznoœć i magnetyzm

Przewodniki
- substancje zawierające swobodne nośniki ładunku elektrycznego:
elektrony – metale,
jony – wodne roztwory elektrolitów,
elektrony + jony – zjonizowany gaz (plazma)
przewodnictwo elektryczne metali
przewodnictwo elektryczne izolatorów
≈ 10 20
Przewodniki w polu elektrycznym
E=0
E≠0
+_
_ _ +
_
+
+ _ +
_ +_
+
+
_
_+
__ +
_
+
_
+
_
+
_
+
_ +
+
Zewnętrzne pole elektryczne wymusza ruch
swobodnych nośników ładunku – dodatnich i
ujemnych – w przeciwnych kierunkach.
Prowadzi to gromadzenia się ładunków
przeciwnych znaków na powierzchni
przewodnika i wytworzenia pola
elektrycznego, które w warunkach równowagi
kompensuje początkowe pole zewnętrzne
(całkowite pole elektryczne wewnątrz
przewodnika po ustaleniu się stanu równowagi
równe jest zero).
Zjawisko indukcji elektrostatycznej.
Rozkład ładunku w przewodniku
_
t=0
_
_
_ _
_
_
_ _
_
_
_ _
E
_
_
_
_
_
t≠0
_
_
_
_
_
_
_
_
_
E=0 _
_
_
_
_
_
_
_
_
Załóżmy, że w chwili t=0 nośniki
ładunku rozmieszczone są
równomiernie w całej objętości
przewodnika.
Pole elektryczne wewnątrz
przewodnika powoduje ruch nośników
ładunku ku jego powierzchni.
Ruch ładunku trwa dotąd, aż pole
wewnątrz przewodnika nie zaniknie
1-2 warstwy atomowe
r
r r ρ
E = 0 ⇒ ∇⋅E = = 0
ε0
Z tw. Gaussa wynika, że gęstość
ładunku wewnątrz przewodnika jest
równa zeru (ładunek gromadzi się na
powierzchni przewodnika)
Pole elektryczne wokół przewodnika
+
+
σ
+
σ − gęstość powierzchniowa ładunku
Zakładamy, że ładunki nie poruszają się (elektrostatyka)
+
Wewnątrz przewodnika: E = 0 (ϕ = const)
+
Na zewnątrz: E ⊥ do powierzchni przewodnika (nie ma
ruchu ładunków)
+
E=0
+
+
S
+
+
+
+
E
Stosujemy prawo Gaussa obliczając strumień pola
⇒ przepływający przez powierzchnię boczną
elektrycznego
walca prostopadłego do powierzchni przewodnika.
Niezerowy strumień przepływa jedynie przez podstawę
walca o powierzchni S na zewnątrz przewodnika:
SE =
σS
ε0
Powierzchnia przewodnika jest powierzchnią
ekwipotencjalną
stąd:
E=
σ
ε0
(dwa razy więcej niż dla
naładowanej płaszczyzny)
Pole elektryczne we wnęce przewodnika
+
+
+
+
+ ?
+
+
+
+
+
?_ _
_
+
+
+
Wybieramy powierzchnię Gaussa
obejmującą wnękę (cała powierzchnia
zawiera się w materiale przewodzącym)
r
E = 0 ⇒ Qwew = 0
+
pętla Γ
Czy we wnęce występuje pole elektryczne?
+
+
powierzchnia
Gaussa
Wniosek: suma ładunków na wewnętrznej
powierzchni przewodnika równa jest zeru
Załóżmy, że na wewnętrznej powierzchni przewodnika mamy rozłożone
nierównomiernie ładunki dodatnie i ujemne, tzn. we wnęce występuje pole
elektryczne. Całkując po konturze Γ wzdłuż linii pola we wnęce:
∫
Wniosek: Jeżeli wnęka otoczona jest
przewodnikiem to żaden statyczny rozkład
ładunku na zewnątrz nie może wytworzyć
pola wewnątrz (ekranowanie).
r r
E ⋅ ds ≠ 0
Oznaczałoby to, że całka po
konturze zamkniętym Γ jest
różna od zera. Tymczasem dla
r r
dowolnego pola
elektrostatycznego: E ⋅ ds = 0
∫
Gęstość ładunku na powierzchni przewodnika
przewodnik
R
r
Przewodzące kule o promieniach R i r
połączone przewodzącą nicią są
uproszczonym modelem przewodnika
przedstawionego na rysunku.
Załóżmy, że długość nici jest tak duża,
że pole w pobliżu powierzchni każdej z
kul jest nie zaburzone przez pole
drugiej kuli. Na kule wprowadzamy
ładunek Q
W warunkach równowagi:
ϕ ( R ) = ϕ (r )
1 Q
ϕ (R ) =
4πε 0 R
1 q
ϕ (r ) =
4πε 0 r
2
q
Q
E
R
Q
R
r
(
)
⇒
⇒
=
=
= <1
2
R r
E (r ) q r
R
E ( R ) < E (r ) ⇒ σ ( R ) < σ ( r )
bo
σ
E=
ε0
Pole elektryczne wokół przewodników
∆ϕ = 0,
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 + 2 =0
2
∂x
∂y
∂z
równanie Laplace’a
Warunki brzegowe, np:
- zadany potencjał na powierzchni przewodnika,
- potencjał w „nieskończoności” dąży do zera,
- zadany ładunek na powierzchni przewodnika,
Metoda obrazów
powierzchnia
ekwipotencjalna
ϕ =0
A
Uwaga:
wstawienie w miejsce
płaszczyzny cienkiej folii
wykonanej z materiału
przewodzącego nie zmienia
pola elektrycznego:
ϕ = 0,
E⊥A
Ładunek punktowy w pobliżu powierzchni
przewodzącej
z
_
_
_
_
+q
2d
r
_ _
y
-q
_
E
obraz ładunku
x
Siła z jaką uziemiona płaszczyzna
przyciąga ładunek +q:
F=
1
q2
4πε 0 (2d )2
Ładunek punktowy w pobliżu powierzchni
przewodzącej
Zadanie znalezienia pola sprowadza się do obliczenia pola
wytworzonego przez dwa ładunki punktowe o jednakowych
wartościach lecz przeciwnych znakach:
r
ϕ + (r ) =
1
4πε 0
1
r
ϕ − (r ) =
4πε 0
E=
1
q
x 2 + y 2 + ( z − d )2
r
r
r
ϕ (r ) = ϕ + (r ) + ϕ − (r )
q
x 2 + y 2 + ( z + d )2
2dq
4πε 0 
 r 2 + ( 2d ) 

4 

2 3 / 2
E=
σ
ε0
∞
∫ σ ⋅ 2πrdr = −q
0
Ładunek punktowy w pobliżu uziemionej kuli
przewodzącej
a
r1
r2
b
+q
+
-q
a2/b
A
Kula stanowi zbiór punktów, których
odległości od dwóch wybranych punktów są w
stałym stosunku, np. punkt A. Jeżeli ładunek
q’ umieścić w odległości a2/b od środka kuli:
Stąd:
Na powierzchni
przewodnika: ϕ1 + ϕ 2
=0
Czyli:
1  q q' 
q'
r
 − =0⇒ =− 2
4πε 0  r1 r2 
q
r1
a2 a
a−
(b − a ) a
b =b
=
b−a
b−a
b
a
q' = −q
b