8 Baza i wymiar

8
Baza i wymiar
Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ
jej wektorów, który generuję tę przestrzeń.
Innymi słowy, układ B = (vi )i∈I wektorów z przestrzeni V jest bazą tej
przestrzeni, gdy
Przykład 8.2.
(B1)
B jest liniowo niezależny
(B2)
V = lin (B)
1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}.
2. Jeżeli v 6= θ, to układ (v) jest bazą przestrzeni lin (v).
3. Jeżeli(vi )i∈I jest bazą przestrzeni V , zaś σ : I → I — bijekcją, to układ
vσ(i) i∈I jest bazą przestrzeni V .
4. Układ (e1 , . . . , en ) jest bazą przestrzeni F n . Nazywamy ją bazą kanoniczną
przestrzeni F n .
5. Układ (1, x, x2 , x3 , . . .) jest bazą przestrzeni F [x], a układ (1, x, x2 , . . . , xn )
jest bazą przestrzeni F [x]n .
6. Układ (1, i) jest bazą przestrzeni CR .
Stwierdzenie 8.3. Układ B wektorów przestrzeni liniowej V jest jej bazą wtedy
i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie przedstawić
jako kombinację liniową układu B.
Dowód: ⇒) Założmy, że układ B = (vi )i∈I jest bazą przestrzeni liniowej VF .
Wówczas na mocy (B2) każdy wektor v ∈ V jest kombinacją liniową wektorów
z B. Dla dowodu jednoznaczności przypuśćmy, że
X
X
v=
ai · vi =
bi · vi ,
i∈I
i∈I
przy czym ai , bi ∈ F dla i ∈ I oraz zbiory J = {i ∈ I ; ai 6= 0}, K = {i ∈
I ; bi 6= 0} są skończone.
Dla i ∈ I \ (J ∪ K) mamy ai = bi = 0, a z równości skończonych kombinacji
liniowych po zbiorze J ∪ K wynika, że
X
(ai − bi ) · vi = θ.
i∈J∪K
Układ (vi )i∈I jest na zgodnie z warunkiem (B1) liniowo niezależny, a jego podukład (vi )i∈J∪K na mocy stwierdzenia 7.5(1) jest liniowo niezależny. Zatem
także ai = bi dla i ∈ J ∪ K, co kończy dowód jednoznaczności.
⇐) Jeżeli układ każdy wektor można jednoznacznie przedstawić w postaci
kombinacji liniowej układu B = (vi )i∈I , to spełniony jest warunek (B2). Jeżeli
X
ai · vi = θ,
i∈I
1
to z jednoznaczności przedstawienia wektora zerowego i oczywistej równości
X
0 · vi = θ
i∈I
wynika zerowanie się wszystkich współczynników, czyli warunek (B1).
Wniosek 8.4. Układ (v1 , . . . , vn ) jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy i tylko
wtedy, gdy V = lin (v1 ) ⊕ . . . ⊕ lin (vn ).
Definicja 8.5. Niech B = (vi )i∈I będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem
F . Funkcję przypisującą
każdemu wektorowi v ∈ V układ (ai )i∈I skalarów z ciała
P
F takich, że v = i∈I ai · vi , nazywamy układem współrzędnych w przestrzeni
V względem bazy B, zaś układ CB (v) = (ai )i∈I — współrzędnymi wektora v w
bazie B.
Przykład 8.6.
1. Wektor (x1 , . . . , xn ) ∈ F n ma w bazie kanonicznej (e1 , . . . , en )
współrzędne (x1 , . . . , xn ).
2. Wielomian a0 + a1 x + a2 x2 . . . an xn ∈ F [x]n ma w bazie (1, x, x2 , . . . , xn )
współrzędne (a0 , a1 , a2 , . . . , an ).
Stwierdzenie 8.7. Układ B w przestrzeni liniowej jest jej bazą wtedy i tylko
wtedy, gdy B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym (to znaczy takim
układem liniowo niezależnym, którego dowolny właściwy nadukład jest liniowo
zależny).
Dowód: ⇒) Jeżeli układ B jest bazą przestrzeni liniowej V , to zgodnie z (B1)
jest liniowo niezależny.
Warunek (B2) gwarantuje, że dowolny wektor v ∈ V jest kombinacją liniową
układu B, czyli układ B uzupełniony wektorem v (a tym bardziej — stw. 7.5(2)
— każdy nadukład układu B) jest liniowo zależny.
⇐) Jeżeli układ B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym, to spełnia warunek (B1).
Gdyby pewien wektor v ∈ V nie był kombinacją liniową układu B, to układ
B uzupełniony wektorem v byłby liniowo niezależny, co przeczyłoby maksymalności układu B. Zatem układ B spełnia także warunek (B2).
Twierdzenie 8.8. Każda przestrzeń liniowa posiada bazę.
Dowód: Ustalmy przestrzeń liniową V .
Opieramy się na książce K. Kuratowskiego Wstęp do teorii mnogości i topologii,
gdzie lemat Kuratowskiego–Zorna jest wnioskiem 2 w §VIII.8, a definicje porządków podane są w §VII.1.
Niech X będzie zbiorem, którego każdy element jest zbiorem wektorów pewnego
układu liniowo niezależnego w przestrzeni V . Zbiór X porządkujemy relacją
inkluzji ⊂.
Niech Y będzie liniowo uporządkowanym podzbiorem zbioru X. Połóżmy
[
h(Y ) =
A.
A∈Y
2
Pokażemy, że zbiór h(Y ) składa się z elementów układu liniowo niezależnego.
Z definicji kombinacji liniowej wystarczy pokazać, że każdy skończony podzbiór
zbioru h(Y ) jest liniowo niezależny.
Niech {v1 , . . . , vk } ⊂ h(Y ). Istnieją wówczas zbiory Ai ∈ Y takie, że vi ∈ Ai
dla i = 1, . . . , k. Zbiór {A1 , . . . , Ak } jest uporządkowany liniowo jako podzbiór
zbioru Y , więc z przechodniości i ekstensjonalności otrzymujemy, że istnieje j =
1, . . . , k takie, że zbiór Aj zawiera wszystkie pozostałe ze zbiorów A1 , . . . , Ak . To
oznacza zaś, że układ (v1 , . . . , vk ) jest liniowo niezależny jako podukład układu
liniowo niezależneo złożonego z elementów zbioru Aj .
Zatem h(Y ) ∈ X oraz dla A ∈ Y spełniony jest warunek A ⊂ h(Y ). Z lematu
Kuratowskiego–Zorna wynika, że w zbiorze X istnieje element maksymalny B.
Wektory zbioru B tworzą maksymalny układ liniowo niezależny w przestrzeni
V , a ten na mocy stw. 8.7 jest bazą przestrzeni V .
Przykład 8.9.
1. Każdą bazę przestrzeni RQ nazywamy bazą Hamela.
2. Można wskazać różne układy liniowo niezależne, ale nie sposób jawnie
wypisać bazę przestrzeni C(I), a tym bardziej F(I; R).
Definicja 8.10. Mówimy, że przestrzeń liniowa jest skończonego wymiaru, jeżeli
posiada bazę będącą układem skończonym.
Twierdzenie 8.11. Każde dwie bazy przestrzeni liniowej skończonego wymiaru
mają tę samą liczbę elementów (to znaczy zbiory ich indeksów są równoliczne).
Dowód: Załóżmy, że przestrzeń V ma wymiar skończony i tym samym posiada pewną bazę B złożoną z n wektorów, gdzie n ∈ N ∪ {0}.
Jeżeli n = 0, to V = {θ} i każdy inny układ generujący przestrzeń też musi
być pusty, czyli zawierać 0 elementów.
Niech B = (v1 , . . . , vn ). Przypuśćmy że inny układ skończony C = (w1 , . . . , wm )
jest także bazą przestrzeni V oraz że n > m ­ 1.
Wektor v1 ∈ lin (C), bo C spełnia warunek (B2). Ponadto z faktu, że B
spełnia warunek (B1) wynika, że v1 6= θ, jest więc kombinacją liniową układu
C o przynajmniej jednym współczynniku różnym od zera. Permutacja bazy jest
bazą (przykł. 8.2(2)), więc możemy założyć, że ten niezerowy współczynnik
występuje przy wektorze w1 :
v1 = a1 w1 + a2 w2 + . . . + am wm oraz a1 6= 0.
Stąd
−a2
−am
1
v1 +
w2 + . . . +
wm ,
a1
a1
a1
czyli układ C1 = (v1 , w2 , . . . , wm ) generuje przestrzeń V , bo zawiera wszystkie
kombinacje liniowe układu C.
Prowadząc rozumowanie indukcyjne załóżmy, że dla pewnego k ­ 1 układ
Ck = (v1 , . . . , vk , wk+1 , . . . , wm ) generuje przestrzeń V . Wówczas
w1 =
θ 6= vk+1 = b1 v1 + . . . + bk vk + ck+1 wk+1 + . . . + cm ww .
Z liniowej niezależności układu B wynika, że vk+1 nie może być kombinacją
liniową wektorów v1 , . . . , vk , więc pewien współczynnik spośród ck+1 , . . . , cm jest
różny od zera. Permutując układ Ck możemy założyć, że ck+1 6= 0. Wówczas
wk+1 =
1
ck+1
vk+1 +
−b1
−bk
−ck+2
−cm
v1 + . . . +
vk +
wk+2 + . . . +
wm ,
ck+1
ck+1
ck+1
ck+1
3
czyli układ Ck+1 = (v1 , . . . , vk , vk+1 , wk+2 , . . . , wm ) generuje przestrzeń V .
Na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy
V = lin (v1 , . . . , vm )
, czyli także vm+1 jest kombinacją liniową układu (v1 , . . . , vm ), co przeczy liniowej niezależności układu B. Sprzeczność dowodzi nierówności n ¬ m, a analogiczne rozumowanie daje nierówność m ­ n, co razem wskazuje na równoliczność
układów B i C.
Gdyby baza C była układem nieskończonym, to stosując wymianę elementów
bazy B na elementy bazy C wykazalibyśmy liniową zależność układu C, więc taka
ewentualność nie zachodzi.
Definicja 8.12. Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę elementów
jej bazy, o ile przestrzeń jest wymiaru skończonego. Wymiar przestrzeni V oznaczamy przez dim V .
Mówimy, że przestrzeń V jest nieskończenie wymiarowa, gdy nie jest wymiaru skończonego i piszemy wówczas dim V = ∞.
Przykład 8.13.
1. dim{θ} = 0
2. dim F n = n, dim F [x]n = n + 1
3. dim F [x] = dim F ∞ = dim C(I) = ∞
Stwierdzenie 8.14. Każdy układ liniowo niezależny w przestrzeni liniowej
można rozszerzyć do bazy tej przestrzeni, to znaczy dla każdego układu liniowo niezależnego istnieje jego nadukład będący bazą.
Dowód: Zauważmy, że jeżeli C = (wj )j∈J jest bazą przestrzeni V oraz θ 6=
v ∈ V , przy czym
X
v=
aj wj
oraz
ak 6= 0dla pewnego k ∈ J,
j∈J
to układ C 0 zawierający wektory wj , j ∈ J \ {k} oraz wektor v jest bazą
przestrzeni V .
Istotnie, przy tych założeniach wk ∈ lin C 0 , skąd V = lin C 0 . Gdyby układ C 0
miał być liniowo zależny, to na mocy liniowej niezależności układu (wj )j∈J\{k}
mielibyśmy istnienie liniowej kombinacji układu C 0 równej θ o współczynniku
różnym od zera przy v. To jednak przeczyłoby jednoznaczności przedstawienia
wektora v w bazie C.
Dowód przeprowadzimy dla układu skończonego. Niech B = (v1 , . . . , vn )
będzie układem liniowo niezależnycm w przestrzeni V .
Wektor v1 jest niezerowy więc istnieje takie k1 ∈ J, że układ D1 złożony z
wektorów vj , j ∈ J \ {k1 } oraz wektora v1 jest bazą przestrzeni V .
Załóżmy, że dla pewnego l ­ 1 istnieją takie indeksy k1 , . . . , kl , że układ Dl
złożony z wektorów vj , j ∈ J \ {k1 , . . . , kl } oraz wektorów v1 , . . . , vl jest bazą
przestrzeni V .
Wektor vl+1 jest kombinacją liniową układu Dl . Z liniowej niezależności
układu B wynika, że istnieje takie kl+1 , że w tej kombinacji współczynnik
przy wkl+1 jest różny od zera. Wówczas układ Dl+1 złożony z wektorów vj ,
j ∈ J \ {k1 , . . . , kl , kl+1 } oraz wektorów v1 , . . . , vl , vl+1 jest bazą przestrzeni V .
4
Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, że układ Dn złożony z
wektorów vj , j ∈ J \ {k1 , . . . , kn } oraz wektorów v1 , . . . , vn jest bazą przestrzeni
V , czyli układ B można uzupełnić do bazy Dn .
Wniosek 8.15. Wymiar podprzestrzeni liniowej danej przestrzeni liniowej nie
przekracza wymiaru tej przestrzeni.
Dowód: Baza podprzestrzeni jest układem liniowo niezależnym w całej
przestrzeni i zgodnie ze stw. 8.14 można bazę podprzestrzeni rozszerzyć do bazy
przestrzeni.
Wniosek 8.16. Jeżeli U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V i
wymiar V jest skończony, to następujące warunki są równoważne:
1. U = V
2. dim U = dim V
Dowód: Jeżeli dim U = dim V = n, to baza B podprzestrzeni U ma n elementów i jest układem liniowo niezależnym w przestrzeni V . Układu tego nie
można już uzupełnić do bazy przestrzeni V żadnym wektorem, bo każda baza
przestrzeni V ma również n elementów (tw. 8.11).
Zatem baza podprzestrzeni U jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V , czyli na mocy stw. 8.7 — bazą przestrzeni V . Wówczas oczywiście
V = lin (B) = U .
Stwierdzenie 8.17. Jeżeli przestrzeń liniowa V ma skończony wymiar, a V1 ,
V2 są jej podprzestrzeniami liniowymi, to
dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
Dowód: Niech k = dim(V1 ∩ V2 ), n = dim V1 , m = dim V2 oraz niech
A = (u1 , . . . , uk ) będzie bazą podprzestrzeni V1 ∩ V2 . Uzupełnijmy tę bazę
do bazy B = (u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vn−k ) podprzestrzeni V1 oraz do bazy C =
(u1 , . . . , uk , w1 , . . . , wm−k ) podprzestrzeni V2 .
Wystarczy pokazać, że bazą przestrzeni V1 + V2 jest układ
D = (u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vn−k , w1 , . . . , wm−k )
gdyż będzie to oznaczać, że dim(V1 + V2 ) = k + n − k + m − k = n + m − k.
Ponieważ układ D jest nadukładem zarówno dla B jak i dla C, więc każdy
wektor v ∈ V1 + V2 = lin (B) + lin (C) należy do lin (D), bo zbiór ten zawiera
zarówno lin (B) jak i lin (C).
Aby pokazać liniową niezależność układu D przypuśćmy, że pewna jego kombinacja liniowa
a1 u1 + . . . + an−k uk + b1 v1 + . . . + bn−k vn−k + c1 w1 + . . . + cm−k wm−k = θ.
Wówczas wektor
v = a1 u1 + . . . + an−k uk + b1 v1 + . . . + bn−k vn−k = −c1 w1 − . . . − cm−k wm−k
5
należy zarówno do V1 (jako kombinacja układu B) jak również do V2 (jako
kombinacja podukładu układu C). Stąd v ∈ V1 ∩ V2 = lin (A). Mamy więc
v = d1 u1 + . . . + dn−k uk = −c1 w1 − . . . − cm−k wm−k ,
co wraz z liniową niezależnością układu C daje d1 = . . . = dk = 0 = c1 = . . . =
cm−k , a więc także v = θ.
Teraz możemy skorzystać z liniowej niezależności układu B, która implikuje
a1 = . . . = ak = 0 = b1 = . . . = bn−k dając ostatecznie liniową niezależność
układu D.
Wniosek 8.18. Wymiar sumy prostej jest sumą wymiarów jej składników.
Dowód: Jeżeli V = V1 ⊕ V2 , to V1 ∩ V2 jest przestrzenią trywialną (wymiaru
0) i zgodnie ze stw. 8.17 mamy dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 .
Dla sumy prostej większej liczby składników analogiczny wniosek otrzymujemy przez indukcję.
6