Algebra Liniowa - WSB-NLU

Algebra Liniowa
Ćwiczenia 5
Kierunek: informatyka, rok I
WSB-NLU w Nowym Sączu
Podprzestrzeń wektorowa
Definicja
Niech (V, R) będzie przestrzenia wektorowa. Zbiór UV nazywamy podprzestrzenią
wektorowa, gdy spełnione są następujące warunki:
 jeżeli v, u  U, to v+u  U
 jeżeli   R, v  U, to v  U
 U jest niepusty (U  )
Zadanie 1
Udowodnić następujące własności podprzestrzeni wektorowe:
a) 0  U
b) v  U  -v  U
c) ,   R, v  U  v + u  U
d) Jeżeli U1 i U2 są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni wektorowej V, to U1U2 też
jest podprzestrzenią wektorową
Zadanie 2
Niech U1 i U2 będą podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni wektorowej V. Czy
następujące zbiory: U1U2, U1-U2 muszą być też podprzestrzeniami. Jeżeli nie to podaj
kontrprzykłady.
Zadania 3
Niech U={(x, y)  R2: y = 3x}. Korzystając z definicji udowodnić, że U jest podprzestrzenią
wektorowa przestrzeni R2.
Zadanie 4
Które z następujących zbiorów są podprzestrzeniami wektorowymi?
a) U = {(x, y)  R2: y = 4x +2}
b) U = {(x, y, z)  R3: y = -3x , z+x = 0}
c) U = {(x1, x2, x3, x4)  R4: x1 + 3x2 + 3x4 = 0 , x1 = 2x3}
d) U = {(x1, x2, x3,)  R3: x1 + x2 + x3 = 0}
e) U = {(x1, x2, x3,)  R3: x1 + x2 + x3 = 1}
f) U = {(x, y)  R2: x2 + y2  4}
g) U = {(x, y)  R2: y –x2 = 0}
h) U = {(x1, ..., xn)  Rn:
n
x
k 1
i) U = {(x1, ..., xn)  Rn:
k
n

k 1
k
 0}
xk  0 } gdzie 1, ... n  R ustalone liczby rzeczywiste
j) U = {(x, y)  R2: y2 –x2 = 0}
Liniowa niezależność
Pojęcie liniowej niezależności wektorów w przestrzeni wektorowej jest jednym z najbardziej
podstawowych w całej algebrze liniowej. Dlatego należy dobrze się z nim zapoznać.
Nieformalnie zbiór wektorów v1, ..., vm jest liniowo niezależny, gdy żadnego z tych wektorów
nie można „wyliczyć” przy pomocy pozostałych, tzn. przedstawić w postaci skończonej
kombinacji liniowej tych wektorów.
Jedna z formalnych definicji jest następująca:
Definicja
Wektory v1, ..., vm nazywamy liniowo niezależnymi gdy zachodzi następująca implikacja:
1,..., m  R: (1v1 + ... + mvm = 0  1 = 2 = ... = m=0)
Analogicznie wektory nazywamy liniowo zależnymi gdy nie są liniowo niezależne, czyli gdy
nie zachodzi warunek sformułowany w powyższej definicji. Zaprzeczając tę implikację
otrzymamy zatem:
Definicja
Wektory v1, ..., vm nazywamy liniowo zależnymi gdy zachodzi następujący warunek:
1,..., m  R nie wszystkie równe 0, takie, ze: 1v1 + ... + mvm = 0
Zadanie 5
Które z podanych wektorów są liniowo niezależne w R3?
a) v1=(1,2,3), v2=(2,0,2), v3=(3,2,-1)
b) v1=(1,1,-2), v2=(2,1,1), v3=(5,3,0)
c) v1=(1,2,0), v2=(0,0,2), v3=(0,2,1), v4=(1,1,1)
d) v1=(1,0,3), v2=(-2,0,2)
e) v1=(2,1,3), v2=(-6,-3,-9)
Zadanie 6
Niech v1, ..., vn  Rn takie, że:
v1=(x11, 0,..., 0), v2=(x21, x22, 0, ..., 0), ... , vn=(xn1, xn2, ..., xnn).
Udowodnić że:
v1, ..., vn są liniowo niezależne  xii0 dla i=1, ..., n
Zadanie 7
Niech v=(1,0,2), u=(2,0,1) w=(4+3, 0, 6+2) będą wektorami z R3. Czy można tak dobrać
parametr   R aby wektory v, u, w były liniowo niezależne?
Zadanie 8
Niech u, v  V, gdzie V jest dowolna przestrzenią wektorową nad R. Udowodnić, ze:
u, v są liniowo niezależne  u+v, u-v są liniowo niezależne
Zadanie 9
Niech U=(x,y,z)  R3: x+2y+z=0} dana podprzestrzeń wektorowa przestrzeni R3. Znaleźć
dwa dowolne liniowo niezależne wektory u, w U.
Czy można znaleźć trzy takie wektory?
Układy generatorów
Jeżeli mamy dana podprzestrzeń wektorową U danej przestrzeni wektorowej V (w
szczególnym przypadku U może być równe V!), to zbiór wektorów nazywamy układem
generatorów podprzestrzeni U, gdy każdy wektor z U może być przedstawiony jako
skończona kombinacja liniowa tych wektorów. Bardziej formalnie:
Definicja
Zbiór wektorów v1, ..., vm nazywamy układem generatorów dla podprzestrzeni wektorowej U,
gdy:
 u  U  1,..., m  R: u = 1v1+...+mvm
m
(przy pomocy symbolu sumy możemy to zapisać tak: u    k vk )
k 1
Zadanie 10
Pokazać, że następujące zbiory wektorów są układami generatorów podanych przestrzeni
wektorowych:
a)
b)
c)
d)
e)
e1=(1,0), e2=(0,1) dla R2
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) dla R3
e1=(1,0, ... ,0), e2=(0,1,0,...,0), en=(0,0, ... ,1) dla Rn
v1=(1,2), v2=(2,3) dla R2
v1=(1, 0, 2), v2=(2, 1, 2), v3=(0, 1, 1) dla R3
Zadanie 11
Pokazać, ze następujące zbiory wektorów nie są generatorami podanych przestrzeni
wektorowych:
a)
b)
c)
d)
e)
v1=(1, 2, 0), v2=(2, 3, 0) dla R3
v1=(1, 1, 0), v2=(3, 2, 0), v3=(5, 4, 0) dla R3
v1=(1,3) dla R2
v1=(1,2), v2=(-2, -4), v3=(-1, -2) dla R2
v1=(1,0,0,0), v2=(1,1,0,0), v3=(2,3,0,1 v4=(-2,6,0,3)
Baza przestrzeni wektorowej
Definicja
Niech (V, R) będzie dowolną przestrzenią wektorową. Skończony zbiór wektorów v1, ... vn
nazywamy bazą przestrzeni V gdy zachodzą następujace dwa warunki:
1) v1, ..., vn są liniowo niezależne
2) v1, ..., vn są układem generatorów dla V
Można udowodnić, że liczba wektorów każdej bazy danej przestrzeni wektorowej jest taka
sama. Dzięki temu poprawna jest nastepujaca definicja:
Definicja
Wymiarem przestrzeni wektorowej V nazywamy liczbę wektorów bazy.
Wymiar przestzreni V oznaczamy tak: dimV.
Tak więc jeżeli v1, ... , vn jest bazą przesztrzeni V, to dimV = n.
Zadanie 12
Jaki jest wymiar przestrzeni Rn. Odpowiedź uzasadnij.
(Wsk. rozważyć układ e1, ..., en z Zadania 10 c))
Zadanie 13
Jaki jest wymiar podprzestrzeni U={(x,y,z)  R3: x+y-2z=0}. Wskaż dwie różne bazy
podprzestrzeni U.
Zadanie 14
Niech v=(2,4,-1), u=(3,1,1). Znaleźć wektor w  R3 tak aby układ v, u, w był bazą tej
przestrzeni.
Zadania 15
k
Niech b1, b2, ... , bn bądzie bazą dowolnej przystrzeni V. Czy układ v1, ... , vn t. że vk=  bi jest
i 1
również bazą przestrzeni V?