8 Przestrzenie liniowe

8
Przestrzenie liniowe
Definicja przestrzeni liniowej, przykłady
Definicja 8.1. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy zbiór V z działaniami
+ : V × V → V , (v, w) 7→ v + w, i · : F × V → V , (a, v) 7→ a · v, spełniającymi
warunki:
(a) ∀u,v,w∈V (u + v) + w = u + (v + w),
(b) ∀v,w∈V v + w = w + v,
(c) ∃~0∈V ∀v∈V v + ~0 = v,
(d) ∀v∈V ∃w∈V v + w = ~0,
(e) ∀a,b∈F,v∈V (a + b) · v = (a · v) + (b · v),
(f) ∀a∈F,v,w∈V a · (v + w) = (a · v) + (a · w),
(g) ∀a,b∈F,v∈V (a · b) · v = a · (b · v),
(h) ∀v∈V 1 · v = v.
Elementy zbioru V nazywamy wektorami, elementy ciała F – skalarami. Działanie + : V × V → V nazywamy dodawaniem wektorów, działanie · : F × V → V
nazywamy mnożeniem wektorów przez skalary. Powyższe warunki oznaczają, że zbiór
V z działaniem + jest grupą przemienną.
Przykład 8.2. Przykłady przestrzeni liniowych:
(a) zbiór wektorów swobodnych na płaszczyźnie/w przestrzeni jest przestrzenią
liniową nad ciałem R,
(b) V = Rn jest przestrzenią liniową nad ciałem R, ogólniej: dla dowolnego ciała
F zbiór V = F n jest przestrzenią liniową nad F ,
(c) zbiór wielomianów V = F [x] jest przestrzenią liniową nad ciałem F ,
(d) zbiór macierzy V = Matm×n (F ) jest przestrzenią liniową nad ciałem F ,
(e) zbiór liczb zespolonych V = C jest przestrzenią liniową nad ciałem F = R.
Liniowa niezależność wektorów
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F , niech v1 , . . . , vn ∈ V , c1 , . . . , cn ∈
F . Wyrażenie
c1 v1 + . . . + cn vn
nazywamy kombinacją liniową wektorów v1 , . . . , vn o współczynnikach c1 , . . . , cn .
1
8 PRZESTRZENIE LINIOWE
2

x1
x2
..
.


Przykład 8.3. Dowolny wektor v = 








∈ Rn posiada naturalne przedstawienie
xn
w postaci






x1
x2
..
.
xn












=
x1
0
..
.


 
 
+
 
 


0
x2
..
.




+...+













x1 · 


=
xn
0
0
0
0
..
.
1
0
..
.






 + x2 · 




0
1
..
.






 + . . . + xn · 







,


1
0
0
0
0
..
.
tzn.
v = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ,
gdzie

e1 =





1
0
..
.




,







e2 =
0
1
..
.




,







. . . , en =



.


1
0
0
0
0
..
.
Definicja 8.4. Wektory v1 , . . . , vn ∈ V nazywamy:
– liniowo zależnymi, jeśli istnieje ich kombinacja liniowa równa wektorowi zerowemu, w której nie wszystkie współczynniki są zerami:
∃c1 ,...,cn ∈F (c1 v1 + . . . + cn vn = ~0 ∧ ∃i ci 6= 0),
– liniowo niezależnymi, jeśli jedyną ich kombinacją liniową równą wektorowi zerowemu jest kombinacja o zerowych współczynnikach:
∀c1 ,...,cn ∈F (c1 v1 + . . . + cn vn = ~0 ⇒ c1 = · · · = cn = 0).
Przykład 8.5. Przykłady wektorów liniowo niezależnych:
(a) wektory e1 , . . . , en w przestrzeni Rn ,
(b) wektory v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 2, 0), v3 = (1, 2, 3) w przestrzeni R3 ,
"
# "
# "
# "
# "
# "
#
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
(c) macierze
,
,
,
,
,
w
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
przestrzeni Mat2×3 (R).
Podprzestrzenie liniowe
Definicja 8.6. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F . Niepusty podzbiór
W ⊂ V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni V , jeśli spełnione są warunki:
– ∀v,w∈W v + w ∈ W ,
8 PRZESTRZENIE LINIOWE
3
– ∀c∈F,v∈W c · v ∈ W .
Powyższe dwa warunki można połączyć w jeden równoważny:
∀a,b∈F ∀v,w∈W a · v + b · w ∈ W.
Z powyższego łatwo wynika, że kombinacja liniowa dowolnej liczby wektorów z podprzestrzeni należy do podprzestrzeni:
∀c1 ,...,cn ∈F ∀v1 ,...,vn ∈W c1 · v1 + . . . + cn · vn ∈ W.
Przykład 8.7. Przykłady podprzestrzeni liniowych:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}, V = R3 ,
(b) W = {A ∈ Matn×n : AT = A}, V = Matn×n ,
(c) W = {ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R}, V = R[x].
Definicja 8.8. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F .
(a) Podprzestrzenią generowaną przez wektory v1 , . . . , vn ∈ V nazywamy zbiór
wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów:
hv1 , . . . , vn i = {c1 v1 + . . . + cn vn ; c1 , . . . , cn ∈ F }.
(b) Podprzestrzenią generowaną przez podzbiór X ⊂ V nazywamy zbiór wszystkich
kombinacji liniowych elementów zbioru X:
hXi = {c1 v1 + . . . + cn vn ; v1 , . . . , vn ∈ X, c1 , . . . , cn ∈ F }.
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 8.9. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F . Wektory v1 , . . . , vn ∈
V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli są liniowo niezależne i generują całą przestrzeń
V , tzn.:
– ∀c1 ,...,cn ∈F (c1 v1 + . . . + cn vn = ~0 ⇒ c1 = · · · = cn = 0),
– ∀v∈V ∃c1 ,...,cn ∈F v = c1 v1 + . . . + cn vn .
Ogólniej, podzbiór X ⊂ V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli jest liniowo niezależny i generuje całą przestrzeń V .
Twierdzenie 8.10. Każda niezerowa przestrzeń liniowa posiada bazę.
Twierdzenie 8.11. Wszystkie bazy przestrzeni liniowej są równoliczne.
Definicja 8.12. Liczbę elementów (moc) bazy przestrzeni liniowej V nad ciałem F
nazywamy jej wymiarem i oznaczamy przez dimF V .