Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 3

Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 3
Zad.24. Rozważmy schemat Bernoulliego z parametrami n ∈ N oraz p ∈ (0, 1). Jaka liczba sukcesów
jest najbardziej prawdopodobna? Wskazówka: Niech bk = nk pk (1 − p)n−k . Badając ilorazy bk+1 /bk ,
k = 0, 1, 2, ..., n, znajdź wyraz (wyrazy) największy.
Zad.25. Przy 10 rzutach kostką częściej otrzymujemy jedną szóstkę niż dwie. Przy 12 rzutach częściej
dwie niż jedną. A jak to jest przy 11 rzutach? Wsk. częstość zdarzenia ≈ prawdopodobieństwo.
Zad.26. Pewna firma produkuje układy elektroniczne. Załóżmy (chyba niezbyt realistycznie), że prawdopodobieństwo, iż ustalonego dnia układ działa bez zarzutu jest stałe każdego dnia i wynosi 0,9999.
Oblicz prawdopodobieństwo, że ten układ będzie działał dobrze przez 5000 dni (tj. ok. 14 lat). Jak
zmieni się odpowiedź, gdy firma, oszczędzając, nieco pogorszy jakość produktów i prawdopodobieństwo bezawaryjnego działania będzie równe 0,999?
Zad.27. Narysuj dystrybuantę rozkładu zmiennej X, jeżeli:
a) P (X = −1) = P (X = 0) = P (X = 1) = 31 , b) P (X = 2) = 14 , P (X = 4) = 21 , P (X = 5) = 14 .
Zad.28. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami?


 0,
1
1
a) F (t) = sin t, b) F (t) = 2 + π arctg t, c) F (t) =  t,

1,
gdy t ¬ 0,
gdy 0 < t ¬ 1,
gdy t > 1.
Zad.29. Znajdź takie stałe a, b, c, dla których poniższe funkcje są ciągłymi dystrybuantami:







0, gdy t ¬ 0,
gdy t ¬ 0,
gdy t ¬ 0,
 0,
 0,
a) F (t) =  at, gdy t ∈ (0, 5], b) F (t) =  bt2 , gdy 0 < t ¬ 2, c) F (t) =  sin t, gdy 0 < t ¬ b,



1, gdy t > 5,
1,
gdy t > 2,
1,
gdy t > b.
Zad.30. Oblicz dystrybuantę zmiennej X 2 , jeżeli X ma dystrybuantę z zadania 29 a), b), c).
√
Zad.31. Oblicz dystrybuantę zmiennej X, jeżeli X ma dystrybuantę z zadania 29 b).
Zad.32. Oblicz gęstości odpowiadające dystrybuantom z zadania 29.
Zad.33. Niech zmienna X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Podaj jej dystrybuantę i oblicz
dystrybuantę oraz gęstość rozkładu zmiennej Y = − ln X.
Zad.34. Niech Z ma standardowy rozkład normalny, tzn. N (0, 1).
a) Jakie są parametry rozkładu zmiennej X = σZ + m dla m ∈ R oraz σ > 0?
b) Niech Y ma rozkład normalny z parametrami m ∈ R oraz σ > 0. Oblicz parametry rozkładu
.
zmiennej X = Y −m
σ
Wskazówka do obu podpunktów: Wiemy, że P (Z < t) =
Z t
−∞
P (X < t) = P (σZ + m < t) = P Z <
1
2
√ e−x /2 dx. Stąd
2π
Z (t−m)/σ
t−m
1
2
√ e−x /2 dx
=
σ
−∞
2π
i podstawiamy w ostatniej całce u = σx + m czyli x = (u − m)/σ. Po tym podstawieniu pod całką
otrzymamy gęstość rozkładu normalnego z parametrami ...