Rozkłady, funkcje, parametry zmiennych losowych jedno i

Rozkłady, funkcje, parametry zmiennych losowych jedno i
dwuwymiarowych
Zadanie 1.
Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest
2
1
1 2 y
e[x +
].
2
4
2
Obliczyć prawdopodobieństwo p tego, że zmienna (X, Y) przyjmuje wartość z obszaru
określonego nierównością x  y, x  0 i y  0.
Zadanie 2.
Wiemy, że dla wektora losowego (X, Y) gęstość prawdopodobieństwa
x y
2
1
f(x, y) =
e [2
2
2
].
Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że ta zmienna przyjmuje wartość z wnętrza obszaru o
wierzchołkach (-2, 0), (2, 0), (0, -2), (0, 2).
Zadanie 3.
Zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i mają jednakowe rozkłady normalne N(0, 1).
Wykazać, że zmienne losowe Y1 = X1 + X2 i Y2 = X1 - X2 są niezależne.
Zadanie 4.(*)
Zmienne X i Y mają rozkłady normalne: N(mx, x), N(my, y). U = X + Y, V = X – Y.
Kiedy U i V są niezależne?
Zadanie 5.
Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkłady normalne odpowiednio N(1, 2) i N(-1,
2). Znaleźć E(Z) i D2(Z), jeśli Z = 2X – 3Y.
Zadanie 6.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma gęstość prawdopodobieństwa określoną wzorem
2
1 2
1
exp [- 2 ( x + y ) ].
2
Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancje odległości R punktu (X, Y) od punktu (0, 0) układu
współrzędnych.
f(x, y) =
Zadanie 7.
Odbywa się strzelanie do celu, którym jest położony na płaszczyźnie x 0 y punkt P (0, 0).
Współrzędne (X, Y) punktu, w który pada strzał, są dwuwymiarową zmienną losową o
gęstości
(*) zadanie nieobowiązujące
1
f(x, y) =
2
1 2
1
exp [- 2 ( x + y ) ].
2
Zmienna losowa Z jest funkcją X i Y o postaci
Z = 2 X – 3 Y.
Znaleźć E(Z) i D2(Z).
Zadanie 8.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma własności: E(X) = 0, E(Y) = 1, D2(X) = 2, D2(Y)
= 1, a współczynnik korelacji  = 1/ 2 . Znaleźć E (Z ) i D2 (Z) dla Z = 2 X – 3 Y.
Zadanie 9.
Kiedy dla wektora losowego (X, Y):
a). D2 (X + Y) = D2 (X) + D2 (Y)?
b). D2 (X - Y) = D2 (X) + D2 (Y)?
Zadanie 10.
Wektor losowy (X, Y) ma rozkład jednostajny w kole o promieniu r i środku w początku
układu współrzędnych. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję odległości R punktu
losowego (X, Y) od punktu P (0, 0).
Zadanie 11. (*)
Zmienna losowa X ma rozkład gamma o p1 = 2, b1 = 3, zmienna losowa Y ma również
rozkład gamma o p2 = 2 i b2 = 6. Dobrać tak współczynniki A i B, by gęstość zmiennej Z
miała rozkład gamma, gdy zmienna Z jest funkcją liniową postaci
Z = A  X + B  Y.
Zadanie 12.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (4, 2), zmienna losowa Y ma rozkład
Bernoulliego, gdzie liczba wykonanych niezależnie doświadczeń wyniosła n = 10 o
prawdopodobieństwie sukcesu p = 0,05. Obie zmienne realizują swoje wartości niezależnie.
Obliczyć E(Z) i D2(Z), gdy Z = 2 X – 3 Y.
Zadanie 13.
Zmienne losowe wektora (X, Y) są niezależne i obie mają rozkład normalny N (0, 1). U =
X + Y, a V = X – Y. Pokazać, że wektor losowy (U, V) składa się ze zmiennych losowych U i
V niezależnych.
Zadanie 14.
Wiemy, że współczynnik korelacji  (X, Y) = 0,5. Zmienna losowa Z = 3 Y – 1. Obliczyć 
(X, Z).
Zadanie 15.
P(X = -1) = P(X = 0) = P(X = 1) =
1
3
2
Y = X2. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych X i Y.
Zadanie 16.
Zmienna losowa X podlega rozkładowi Poissona, tzn.
P (X = k) = e
-
 
k
,
k!
gdzie k = 0, 1, 2, … i  > 0. Obliczyć E(X) tej zmiennej losowej X.
Zadanie 17.
Zmienna losowa X podlega rozkładowi:
P (X = k) =
k = 1, 2, 3, …
Obliczyć E(X).
2
k
3
Zadanie 18.
Obliczyć wartość przeciętną i wariancję zmiennej losowej X standaryzowanej, gdy X ma
dowolny rozkład o E(X) <  i 0 < D2(X) < .
Zadanie 19.
Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości
równe liczbie oczek na pierwszej kostce, Y – liczbą oczek na drugiej kostce. Niech dalej U =
X + Y, V = X – Y. Wykazać, że zmienne losowe U i V są nieskorelowane.
Wskazówka. Dla wykazania zależności zmiennych U i V wziąć np. U = 2, V = 2.
Zadanie 20.
Wiemy, że zmienna losowa X ma skończoną wariancję, Y – również. Z = a X  b Y.
Obliczyć D2(Z).
3