Planimetria - poziom rozszerzony

Planimetria - poziom rozszerzony
(1) Oblicz miarę największego kąta w trójkącie o bokach, których długości wynoszą a = 3,
b = 5 i c = 7.
(2) Dany jest trójkąt, którego boki mają długości a = 4, b = 5 i c = 6. Oblicz pole tego
trójkąta, promień okręgu wpisanego, promień okręgu opisanego w ten trójkąt oraz długość
środkowej i dwusiecznej poprowadzonych z wierzchołka najmniejszego kąta tego trójkąta.
(3) Dany jest trójkąt, którego boki mają długości 3 i 5, a kąt między nimi ma miarę 120◦ .
Oblicz pole tego trójkąta, a następnie, wykorzystując to pole, oblicz długość dwusiecznej
kąta 120◦ .
(4) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 i 20. Oblicz odległości środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od wszystkich wierzchołków tego trójkąta.
(5) W trójkącie równoramiennym ABC ramię jest 2 razy dłuższe od podstawy. Oblicz stosunek pól figur, na jakie symetralna boku AC rozcina trójkąt ABC.
(6) Oblicz długość podstawy trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że jego ramię ma
długość 16 i że odległość środka ramienia od przeciwległego wierzchołka podstawy wynosi
12.
(7) W trójkącie ABC dane są długości |AC| = 3 oraz |BC| = 7. Dwusieczna kąta przy
wierzchołku C ma długość równą 3. Wyznacz długość boku AB.
(8) Boki trójkąta, którego jeden kąt ma miarę 120◦ , tworzą ciąg arytmetyczny. Jakie są
stosunki ich długości?
(9) Pole S trójkąta ABC spełnia równanie S = a2 − (b − c)2 , gdzie a, b i c są długościami
boków trójkąta. Znajdź sinus kąta BAC.
(10) Wykaż, że jeśli miary α, β i γ kątów trójkąta spełniają warunek sin α = 2 sin β cos γ, to
trójkąt ten jest równoramienny.
(11) Wysokość AD opuszczona na przeciwprostokątną BC trójkąta prostokątnego ABC ma
5
.
długość 24, a stosunek długości przeciwprostokątnej do obwodu tego trójkąta wynosi 12
Oblicz pole trójkąta ABC.
(12) Oblicz długości przekątnych czworokąta ABCD wpisanego w okrąg, jeśli |AB| = 3,
|BC| = 2, |CD| = 4 i |DA| = 7.
(13) Oblicz pole czworokąta wypukłego, którego przekątne mają długości 4 i 6 oraz przecinają
się pod kątem 30◦ .
(14) Oblicz pole trójkąta (wyznacz wzór), gdy dane są jego kąty α, β, γ oraz promień R okręgu
opisanego na nim.
(15) Oblicz pole, promień okręgu wpisanego i promień okręgu opisanego na trójkącie, którego
boki mają długości 3 i 8, a kąt między nimi ma miarę 60◦ .
(16) W trójkącie ABC mamy dane |AC| = |BC| = a oraz |∠ACB| = α. Oblicz pole trójkąta
AOB, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
(17) Dwa boki równoległoboku są równe 6 i 10, a dłuższa przekątna 14. Oblicz miarę kąta
ostrego tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej.
(18) Znając długości przekątnych równoległoboku d1 = 6 i d2 = 4 oraz bok a = 3, oblicz drugi
bok oraz pole tego równoległoboku.
(19) Oblicz pole trapezu wiedząc, że jego wysokość wynosi h, a odcinek łączący środki podstaw
trapezu ma długość d.
(20) Oblicz pole trapezu równoramiennego ABCD wiedząc, że jego wysokość |CE| = h, a
|AC| = d.
(21) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu 4 jest równy 40.
Znajdź pole tego trapezu, długości podstaw i długość przekątnej.
(22) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 16, a przekątna trapezu
ma długość 5. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia
okręgu opisanego na nim.
√
(23) W trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej 41 można wpisać okrąg. Oblicz
wysokość tego trapezu a następnie odległości punktu przecięcia przekątnych od wszystkich boków tego trójkąta.
(24) Trapez, w którym ramię ma długość 5, wpisano w okrąg o promieniu 6,5. Oblicz pole
tego trapezu wiedząc, że dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu.
Odpowiedzi:
(1) 120◦ √
(2) P = 157 7 , R =
√
√
8 7
7 ,
15
8
√
r=
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
P = 154 3 , d =
√
√
√
5 2, 5 5, 5 10
(12)
(13)
(14)
(15)
|AC| = 377
27 , |BD| = 2
6
2R2 sin α sin β sin
γ
√
√
2 3
P = 6 6, r = 3 , R =
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
7
2 ,
√
środkowa =
106
2 ,
dwusieczna =
√
5 82
11
2
5√
4 √10
20 7
7
3:5:7
8
17
Wskazówka: α = 180◦ − (β + γ)
60
q
q
a2 (1−cos α) cos α
2 sin
√α
60◦ , 2 19
221
29
√
7 3
3
√
√
a = 17, P = 8 3
hd
hd
√
P = 80, a = 16, b √
= 4, d = 2 41
7
(22) r = 1, 5, R = 5(4+
12
(23) h = 4, d1 = 0, 8, d2 = 3, 2, d3 = d4 = 1, 28
(24) 8640
169
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]