Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych

MECHANIKA NIEBA
WYKŁAD 7
16.04.2008 r
Położenie punktu na orbicie
h<0 c.d.
Porównując równania:
a e 2  1
r
1  e cos 
P
r  a (e cosh E  1)
r
P’
otrzymujemy:
a
υ
S
Q
Π
H
a
O
S’
e 2  1 sinh E
sin  
e cosh E  1
cos  
e  cosh E
e cosh E  1
a następnie:
tg

e 1 E

tgh
2
e 1
2
Położenie punktu na orbicie
Uzyskane równania można wyrazić za
pomocą funkcji trygonometrycznych
wprowadzając nową zmienną H:
h<0
sinh E  tg H; cosh E  sec H
P
wtedy:
r
tgh
P’
E
H
 tg
2
2
a
υ
S
Q
Π
H
Z definicji funkcji hiperbolicznych:
a
O
S’
2 sinh E  exp E  exp E 
2 cosh E  exp E  exp E 
można pokazać, że:
 H 
exp E  tg  
 2 4
Położenie punktu na orbicie
h<0
Wobec tego równanie:
n t  T   e sinh E  E
można zapisać jako:
P
r
 H 
n t  T   e tg H  ln tg  
 2 4
P’
Oprócz tego:
a
υ
S
Q
Π
H
a
O
S’
r  a e sec H  1

1 e H

tg
2
1 e 2
n   a 2 3
tg
Położenie punktu na orbicie
h<0
Ten zestaw równań pozwala wyznaczyć
położenie i prędkość ciała w ruchu po
hiperboli.
P
x  r cos   a e  sec H 
r
y  r sin   a e 2  1 tg H
P’
a
υ
S
Q
Π
H
a
O
S’
a 2 n tg H
x  
r
a 2n 2
y 
e  1 sec H
r
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Równanie:
z
  
rr  c
m1(x1,y1,z1)

R1

r1

R2
O’

R
m2(x2,y2,z2)

r2
O
x
jest nazywane całką momentu pędu.
Jednak należy pamiętać, że jest to moment
liczony na jednostkę masy m2 i nie jest
odzwierciedleniem całkowitego momentu
pędu układu dwóch ciał.
y Rozpatrzymy teraz zagadnienie dwóch ciał
używając układu współrzędnych mających
początek w środku masy ciał
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
z
Wektor R jest definiowany przez równanie:



m1 r1  m 2 r2  m1  m 2 R  0
m1(x1,y1,z1)

R1

r1

R2
O’

R
uwzględniając:
m2(x2,y2,z2)


 
 
R 1  r1  R; R 2  r2  R

r2
O
x
y
otrzymujemy:


m1R 1  m 2 R 2  0
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne


m1R 1  m 2 R 2  0
z
stąd:
a) R1 ma zawsze zwrot przeciwny do R2
m1(x1,y1,z1)

R1

r1

R2
O’

R
b) środek masy leży zawsze na linii łączącej
obie masy więc R1+R2=r, gdzie r jest
separacją mas
m2(x2,y2,z2)

r2
O
y
c) odległości mas od środka masy są
związane zależnością: m1R1=m2R2
stąd otrzymujemy:
R1 
x
m2
m1
r R2 
r
m1  m 2
m1  m 2
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
R1 
m2
m1
r R2 
r
m1  m 2
m1  m 2
Wynika stąd, że niezależnie od tego jaką krzywą stożkową dostaliśmy stosując współrzędne
względne, ciało wokół środka masy zakreśla taką samą krzywą przeskalowaną jedynie
o pewien czynnik zależny od masy.
m2
m2
O’
O’
m1
m1
oś
układu
oś
układu
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
W ruchu względnym jedną ze stałych był
całkowity moment pędu:
z
c  r 2 
m1(x1,y1,z1)

R1

r1

R2
O’

R
ponieważ R1 i R2 są proporcjonalne do r
więc możemy napisać:
m2(x2,y2,z2)
2

r2
O
x
y
 m2 
2
 c
R 1   const  c1  
 m1  m 2 
2
 m1 
 c
R 22   const  c 2  
 m1  m 2 
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Całkowity moment pędu układu jest równy:
z
L*  m1c1  m 2 c 2 
m1(x1,y1,z1)

R1

r1
stąd:

R2
O’

R
 1
1  *
L
c  

 m1 m 2 
m2(x2,y2,z2)

r2
O
x
m1 m 2
c
m1  m 2
y
czyli, jeżeli m2<<m1, cc2 to c jest w
przybliżeniu równe momentowi pędu
układu liczonego na jednostkę masy m2
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Okres obiegu każdej z mas wokół środka masy
jest taki sam = P. Jednocześnie jest on równy
okresowi obiegu masy m2 wokół m1
m2
Stąd ruchy średnie są także równe: n1 =n2=n
ale wielkie półosie nie:
O’
m1
a1 
m2
m1
a a2 
a
m1  m 2
m1  m 2
uwzględniając:
oś
układu
c  na 2 1  e 2
otrzymujemy:
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
c1  na 12 1  e 2
c 2  na 22 1  e 2
m2
co oznacza, że elipsy są różnej wielkości
ale mają jednakowe mimośrody.
O’
m1
oś
układu
Z rysunku można także zauważyć, że
perycentra obu mas różnią się o π.
Rozpatrzymy teraz całkowitą energię
w układzie dwóch punktów obiegających
wspólny środek masy.
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Energia całkowita układu (E*) jest sumą energii
kinetycznej (liczonej w inercjalnym układzie
barycentrycznym) i potencjalnej:
m2
mm
1
1
E *  m1 v12  m 2 v 22  G 1 2
2
2
r
przechodząc do współrzędnych biegunowych:
O’
m1
oś
układu




2
2
m1 m 2
1
1
2
2




E  m1 R 1  R 1  m 2 R 2  R 2   G
2
2
r
*
skąd dostajemy:
E* 
m1 m 2
h
m1  m 2
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Dla orbit eliptycznych mieliśmy h=-μ/2a, więc:
E* 
m2
m1 m 2
mm
h  G 1 2
m1  m 2
2a
poza tym przekształcając wyrażenie na E*:
O’
m1
oś
układu
 1
1  *
E
h  

 m1 m 2 
co oznacza, że dla m1<<m2, hE*/m2, stała h
jest w przybliżeniu równa całkowitej energii
układu liczonej na jednostkę masy m2.
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
Ẑ
orbita
ẑ
płaszczyzna
odniesienia
ŷ
ognisko
Ω
Ŷ
x̂
perycentrum
ω
I
X̂
kierunek
odniesienia
a – wielka półoś
e – mimośród
Ω – długość węzła wstępującego
I – nachylenie orbity do płaszczyzny
odniesienia
ω – długość perycentrum w orbicie
T – czas przejścia przez perycentrum
węzeł
wstępujący
= Ω+ω – długość perycentrum
λ=M+ – długość średnia
u=ω+υ – argument szerokości
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
Ẑ
orbita
ẑ
płaszczyzna
odniesienia
ŷ
ognisko
Ω
Ŷ
x̂
perycentrum
ω
I
X̂
kierunek
odniesienia
węzeł
wstępujący
Przejście od układu współrzędnych
związanego z orbitą do układu
odniesienia polega na obrocie
wokół trzech osi:
a. obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy
oś x pokrywa się z linią węzłów
b. obrót wokół osi x o kąt I, obie
płaszczyzny pokrywają się
c. obrót wokół osi z o kąt Ω
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu:
0
0 
 cos   sin  0 
1
 cos   sin  0 






P1   sin  cos  0  P2   0 cos I  sin I  P3   sin  cos  0 
 0

 0 sin I cos I 
 0

0
1
0
1






Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez:
X
x
 
 
 Y   P3 P2 P1  y 
 Z
z
 
 
x
X
 
 
1 1 1
 y   P1 P2 P3  Y 
z
 Z
 
 
Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne
są po prostu macierzami transponowanymi
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity:
X
 r cos  
 


 Y   P3 P2 P1  r sin   
 Z
 0 
 


 cos  cos    sin  sin    cos I 


 r sin  cos    cos  sin    cos I 


sin    sin I


Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się
Orbita w przestrzeni
Położenie planety z elementów orbitalnych
Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyć jej współrzędne w
dowolnym układzie odniesienia.
Przykład:
wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza
na dzień 25 września 1993 r, 6:32 UT
1. Parametry orbity:
parametr
Epoka 2000.0
25.09.1993 r
a [AU]
5.20336301
5.20332
e
0.04839266
0.0484007
I
1.̊30530
1.̊30537
Ω
100.̊55615
100.̊535

14.̊75385
14.̊7392
λ
34.̊40438
204.̊234
Murray, C.D. i Dermott, S.F.
1999, Solar System Dynamics,
Cambridge University Press
Orbita w przestrzeni
Położenie planety z elementów orbitalnych
2. M=λ-=189 .̊495
3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 .̊059
4. Korzystając ze wzorów:
x  a cos E  e 
y  a 1  e 2 sin E
wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity
Orbita w przestrzeni
Położenie planety z elementów orbitalnych
5. Następnie używając wartości I, Ω,  wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście
do układu odniesienia (heliocentrycznego):
 0.254401 0.0223971 
 0.966839


P  P3 P2 P1   0.254373
0.967097 0.00416519
  0.0227198 0.00167014 0.99974 


skąd:
X=-5.00336,
Y=-2.16249,
Z=0.121099
Orbita w przestrzeni
Zmiany elementów orbitalnych
a  a 0  at
e  e 0  e t
I
I  I0 
t
3600


  0 
t
3600


  0 
t
3600
 

  0  
 360N r  t
 3600

Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyć
perturbowane parametry orbitalne planet
Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’
(w przedziale 1800 r. – 2050 r.)
gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliańskich
począwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0)
stulecie juliańskie = 36525 dni
Murray, C.D. i Dermott, S.F.
1999, Solar System Dynamics,
Cambridge University Press
Orbita w przestrzeni
Zmiany elementów orbitalnych
a0 (AU)
e0
I0 (o)
 0 (o)
Ω0 (o)
λ0 ( o )
Merkury
0.38709893
0.20563069
7.00487
77.45645
48.33167
252.25084
Wenus
0.72333199
0.00677323
3.39471
131.53298
76.68069
181.97973
Ziemia
1.00000011
0.01671022
0.00005
102.94719
348.73936
100.46435
Mars
1.52366231
0.09341233
1.85061
336.04084
49.57854
355.45332
Jowisz
5.20336301
0.04839266
1.30530
14.75385
100.55615
34.40438
Saturn
9.53707032
0.05415060
2.48446
92.43194
113.71504
49.94432
Uran
19.19126393
0.04716771
0.76986
170.96424
74.22988
313.23218
Neptun
30.06896348
0.00858587
1.76917
44.97135
131.72169
304.88003
Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc
Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)
Orbita w przestrzeni
Zmiany elementów orbitalnych
a 0
e 0
I 0

0
0

 0
Nr
Merkury
66
2527
-23.51
573.57
-446.30
261628.29
415
Wenus
92
-4938
-2.86
-108.80
-996.89
712136.06
162
Ziemia
-5
-3804
-46.94
1198.28
-18228.25
1293740.63
99
Mars
-7221
11902
-25.47
1560.78
-1020.19
217103.78
53
Jowisz
60737
-12880
-4.15
839.93
1217.17
557078.35
8
Saturn
-301530
-36762
6.11
-1948.89
-1591.05
513052.95
3
Uran
152025
-19150
-2.09
1312.56
1681.40
246547.79
1
Neptun
-125196
2514
-3.64
-844.43
-151.25
786449.21
0
Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 108, podczas gdy zmiany wielkości
kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie
Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyć elementy
orbitalne a, e, I, Ω, ν, T.
Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m1 i m2.
Mamy (w układzie odniesienia):
R 2  X 2  Y 2  Z2
 2 Y
 2 Z
2
V2  X
Wtedy:
 
  YY
  ZZ
R  R  XX

 , ZX
  XZ , XY
  YX

c  YZ  ZY
2
c
R   V  2
R
2
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
 
  YY
  ZZ
R  R  XX

 , ZX
  XZ , XY
  YX

c  YZ  ZY
2
c
R   V  2
R
2
R – długość promienia wodzącego
 
Ṙ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu R  R ponieważ
R jest zawsze dodatnie
Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu:
c cos I  c Z
c sin I sin    c X
c sin I cos    c Y
górny znak wybieramy jeśli
cz>0, a dolny dla cz<0
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
Możemy teraz przystąpić do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej):
1. Wielką półoś wyznaczamy z równań:
R 2  X 2  Y 2  Z2
 2 Y
 2  Z 2
V2  X
 2 1
V 2    
R a
skąd dostajemy:
2

V2

a   
 R G m 1  m 2  
1
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
2. mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz
ze wzoru:
c  a 1  e 2 
otrzymujemy:
c2
e  1
G m1  m 2 a
3. Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy
wektorem momentu pędu a jego składową hz:
I  arccos
cZ
c
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy:
c sin I sin   c X
c sin I cos    c Y
skąd otrzymujemy:
sin  
 cX
c sin I
cos  
znak wybieramy w zależności od znaku hz
 cY
c sin I
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeń na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R):
 X   cos  cos    sin  sin    cos I 
  

 Y   r sin  cos    cos  sin    cos I 
 Z 

sin    sin I
  

czyli:
Z
R sin I
X

cos     sec   sin  sin     cos I 
R

sin     
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długość perycentrum (w płaszczyźnie
orbity) przy użyciu:
a 1  e 2 
R
1  e cos 
wtedy:
1  a 1  e 2  
cos   
 1
2 R

R 
na
e sin 
2
1 e
a 1  e 2  
sin  
R
ce
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
7. Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T.
Aby tego dokonać wyznaczamy E ze wzoru:
R  a 1  e cos E 
a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera:
nt  T   E  e sin E
  n 2a 3
otrzymujemy:
Tt
E  e sin E
G m1  m 2 a  3
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
Powyższa procedura pozwala uzyskać elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej.
Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyć się z równań czynnika G(m1+m2)
poprzez wybór innych jednostek.
Można tego dokonać skalując niezależną zmienną t przez czynnik
i wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że: dt  d
  G m 1  m 2 
Można zauważyć, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu:


d2 r
r


0
2
3
dt
r
jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartość wielkiej półosi, to mamy
układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy
2π jednostek czasowych.