prezentacja z warsztatów

Czym żyje matematyk, czyli ...
o rozwiązywaniu zadań
Matematyka jest tym, czym zajmują się ludzie kompetentni.
Dawid Hilbert
Dowody dzielą się na te, które trzeba przeprowadzić i te, po
przeprowadzeniu których człowiek staje się mądrzejszy.
Andrzej Mąkowski
Opole, 4.11.2011r.
Kategoria Z4
Zadanie 1.
W puste pola (kółka) wpisz liczby
naturalne od 1 do 7, każdą raz, tak aby
operacje matematyczne były poprawne.
1) Trzecia pozycja to 7 lub 6. Szóstka daje sprzeczność, a 7 rozwiązanie
4
2
7
6
3
5
1
2) Czwarta liczba jest parzysta, zatem druga też. I musi to być 2 (trzecia < 8).
3) Druga liczba to co najwyżej 2. Gdyby była równa 1, to czwarta
byłaby równa 5 a to niemożliwe.
Kategoria Z4
Zadanie 2.
Jarkowi udało się połamać czekoladę na kawałki w
następujący sposób:
Czy tę czekoladę bez dalszego łamania można wykorzystać do
sprawiedliwego podziału między dwóch przyjaciół?
W jaki sposób?
A między trzech przyjaciół? Jeśli tak, czy jest tylko jeden
sposób podziału.
Kategoria Z4
Zadanie 2.
24 tabliczki
D+E+F=A+B+C+D
D=E=4
Liczba podziałów na 2 części:
12= 6+ 4 + 2 = 6+3+1+2
razem: 3 + 1 = 4 możliwości
Liczba podziałów na 3 części:
8 = 6 + 2 = 4 + 3 +1 = 4 + 4
razem: 1 · 3 · 1 = 3 możliwości
Kategoria Z4
Zadanie 3.
W naszym bloku jest 10 mieszkań. Niektóre mają 4 okna, część
z nich ma 3 okna, a niektóre tylko 2 okna. W naszym bloku w
sumie jest 27 okien. Mieszkań z dwoma oknami jest najwięcej.
Ile jest mieszkań każdego rodzaju?
co najwyżej 6 mieszkań
ma 2 okna
x – liczba mieszkań z 3 oknami
Jeśli 6 mieszkań ma 2 okna, to:
3x + 4(4-x)=15 , skąd x=1
i jest 1 mieszkanie z 3 oknami.
W każdym mieszkaniu są przynajmniej 2 okna. 27-20=7 i te siedem trzeba rozdysponować.
Kategoria Z5
Zadanie 4.
Do kół na rysunku wpisz liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7 tak, aby
suma liczb na każdej linii była taka sama. Każda liczba może
być użyta tylko raz.
Kategoria Z5
Zadanie 4.
S – suma liczb na jednej linii
2x + 1+2+3+4+5+6+7 = 3S
2x + 28 = 3S
x
S =10 , x=1 , 27, 36, 45
na przekątnej: 2,3,5
5
7
4
2
1
6
3
S – liczba parzysta
10 S 13
S =12 , x=4 , 17, 26, 35
na drugiej pionowej linii: 5 i 7
Kategoria Z5
Zadanie 5.
Na lekcjach matematyki uczniowie za aktywność dostają
naklejki „buźki”. Czwórka przyjaciół: Adam, Marek i para
bliźniaków Piotr i Paweł, dostała na w sumie 52 buźki,
każdy co najmniej jedną . Bliźniacy mają ich razem 33, ale
najwięcej dostał Marek. Ile dostał Adam?
Marek + Adam = 52-33 = 19
Piotr + Paweł = 33
Któryś z nich ma co najmniej 17, bo 16+16 to tylko 32
Zatem Marek ma co najmniej 18. I więcej niż 18 mieć
nie może bo Adam też ma choć jedną.
Adam dostał więc jedną.
Kategoria Z6
Zadanie 6.
Vojo napisał liczbę 2010 sto razy pod rząd bez żadnych
przerw. Ile czterocyfrowych, a ile pięciocyfrowych liczb
palindromicznych jest ukrytych w tym zapisie?
(Liczba palindromiczna to liczba, która wygląda tak samo czytana od
początku jak od końca, na przykład 39193).
20102010201020102010.............20102010
20102010201020102010.............20102010
20102010201020102010.............20102010
Mamy 2 razy po 99 czyli 198 liczb.
Kategoria Z7
Zadanie 7.
Laco narysował okrąg o środku S i punkty A, B, C, D, jak na
rysunku. Stwierdził on, że odcinki BD i SC są tej samej
długości. W jakim stosunku pozostają do siebie miary kątów
ASC i SCD?
Kategoria Z7
Zadanie 8.
Juro napisał liczbę czterocyfrową. Liczbę tę zaokrąglił do
dziesiątek, setek i tysięcy, a następnie wszystkie trzy wyniki
zapisał pod pierwszą napisaną przez siebie liczbą. Wszystkie
cztery liczby poprawnie dodał i otrzymał 5443. Jaka była
pierwsza liczba napisana przez Juro?
Kategoria Z7
Zadanie 9.
Znajdź wszystkie trzycyfrowe liczby całkowite, które są podzielne
przez 6 i mają tę własność, że możemy usunąć dowolną jej cyfrę , a
pozostała dwucyfrowa liczba całkowita jest również podzielna przez 6.
6 | 10a+b
6 | 100a+10b+c
6 | 10a+c
6 | 10b+c
6 | 100a+10b 2 | b
6|c
c=0 lub c=6
3|b
6|b
b=6
6 | 100a
3|a
a= 3, 6, 9
360, 366, 660, 666, 960, 966
Kategoria Z8
Zadanie 10.
Karolek próbował w puste pola na rysunku wpisać liczby naturalne
od 1 do 14 tak, żeby każdej liczby użyć raz, a suma wszystkich liczb
na każdej prostej linii była taka sama. Po pewnym czasie uświadomił
sobie, że jest to niemożliwe. W jaki sposób mógł rozumować Karolek?
„W prostej linii” oznacza grupę wszystkich sąsiednich pól, których
środki znajdują się w jednej linii.
Kategoria Z8
Zadanie 11.
W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i DB są
prostopadłe, a ich długość wynosi 8cm. Długość najdłuższego
boku AB też jest równa 8 cm. Oblicz pole tego trapezu.
x
x
8-x
POLE =
8-x
a=8
1 x 2  1 (8  x) 2  2  1  x(8  x)  1  x 2  64 16 x  x 2 16x  2x 2 

2 
2
2
2
1
  64  32
2
Kategoria Z8
Zadanie 11.
W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i DB są
prostopadłe, a ich długość wynosi 8cm. Długość najdłuższego
boku AB też jest równa 8 cm. Oblicz pole tego trapezu.
Kategoria Z8
Zadanie 11.
W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i DB są
prostopadłe, a ich długość wynosi 8cm. Długość najdłuższego
boku AB też jest równa 8 cm. Oblicz pole tego trapezu.
Odcinek CF jest równoległy do BD
SDCA= SDCB= SBFC więc pole trapezu = polu trójkąta AFC
Kategoria Z9
Zadanie 12.
Pan Szybki i pan Spokojny wyruszyli o tej samej porze na tę samą trasę. Z
tym, że pan Szybki schodził ze schroniska na górze, a pan Spokojny wyszedł
z przystanku autobusowego w mieście, do schroniska na górze. Gdy była
godzina dziesiąta, minęli się na szlaku. Pan Szybki szedł dalej w dół i o 12:00
zameldował się na mecie (na przystanku autobusowym). Natomiast pan
Spokojny szedł wolniej i pojawił się w schronisku o godzinie 18:00.
O której godzinie panowie wyruszyli, jeśli wiemy, że każdy z nich szedł cały
czas ze stałą prędkością.
x
2 godz.
MS
8 godz.
x
x – czas przejścia do momentu spotkania (w godz.)
v – prędkość schodzącego, w – prędkość wchodzącego
dzieląc stronami otrzymujemy
=x·w
2·v
x·v = 8 · w
2/x = x/8 skąd x2=16 i x=4
Wyruszyli o 600.
Kategoria Z9
Zadanie 13.
Na rysunku linia przerywana pokazuje granice czterech równej
wielkości prostokątnych działek. Obszar zabudowany jest
zaznaczony na szaro. Ma on kształt prostokąta, którego jeden bok
jest również granicą działki. Pokazane liczby odzwierciedlają pola
terenów niezabudowanych na poszczególnych działkach w m2.
Oblicz całkowite pole obszaru zabudowanego.
CZWARTA CZĘŚĆ PROSTOKĄTA MA 480+140 = 620, CAŁOŚĆ 2480 m2
Kategoria C
Zadanie 14.
Udowodnij, że najmniejsza wspólna wielokrotność [a, b] i
największy wspólny dzielnik (a, b) dwóch dowolnych liczb
całkowitych dodatnich a, b spełniają nierówność:
a(a,b)b[a,b] 2ab
Kiedy w tej nierówności zachodzi równość.
Niech a=x ·(a,b) i b=y ·(a,b).
Oczywiście (x,y)=1 oraz [a,b]=x·y·(a,b)
x·(a,b)2 +y·(a,b) ·x·y·(a,b) 2·x·y·(a,b)2
1 +y2  2y
(y-1)2  0
Równość zachodzi dla y=1, czyli gdy b dzieli a.
Kategoria C
Zadanie 15.
Mamy kwadrat ABCD o długości boku 1 cm.
Punkty K i L są środkami boków DA i DC.
Punkt P leży na boku AB tak, że BP = 2AP.
Punkt P leży na boku BC tak, że CQ = 2BQ.
Odcinki KQ i PL przecinają się w punkcie X.
Symbole SA, SB, SC i SD oznaczają pola
czworokątów APXK, BQXP, QCLX oraz LDKX
a) Udowodnij, że SB = SD.
b) Oblicz SC - SA .
c)Wyjaśnij dlaczego nie zachodzi równość
SA+ SC = SB + SD
Czworokąty ABQK oraz DAPL są przystające, zatem
SA+SB = SA+SD
SB = SD
Kategoria C
Zadanie 15.
a) Udowodnij, że SB = SD.
b) Oblicz SC - SA .
c)Wyjaśnij dlaczego nie zachodzi równość
SA+ SC = SB + SD
Kategoria C
Zadanie 15.
a) Udowodnij, że SB = SD.
c) Wyjaśnij dlaczego nie zachodzi równość
SA+ SC = SB + SD
(SA+ SC) + (SB + SD) = 1cm2
SB = SD  SB + SD=2·SB
SB < ¼ cm2
Kategoria C
Zadanie 16.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3,..., 99} wybierz jak
najwięcej liczb tak, żeby wśród wybranych nie było
dwóch takich, że ich suma jest podzielna przez 11.
Wybierając wszystkie liczby
ze zbiorów:
T1, T2, T3, T4, T5 i jedną z T0 mamy
9·5+1=46 liczb.
Więcej wybrać się nie da, bo z każdego ze zbiorów
można wybrać co najwyżej 9 liczb , zaś ze zbioru T0 tylko jedną.
Kategoria B
Zadanie 17.
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych układ równań:
Podnosząc stronami równania (1) i (2) do kwadratu, a następnie odejmując
te równania stronami dostajemy: x2 - z2=(z+1)2-(x+1)2 skąd
2(x2 - z2)=2(z-x)
Przypadek x = y = z prowadzi do równania
(x2 - z2) - (x-z) = 0
(x - z)·(x+z+1) = 0
x = z lub x+z = -1
Jeśli xz to x+1=-z i z drugiego równania dostajemy y=0.
Dalej z=0 i x=-1.
Kategoria ?
Zadanie 18.
Pan Parzysty miał parzystą liczbę owieczek, zaś pan Nieparzysty nieparzystą liczbę owieczek.
Suma wszystkich owieczek obu panów jest trzycyfrową liczbą naturalną o jednakowych cyfrach.
Każdej owieczce pana Parzystego urodziły się trzy owieczki, zaś każdej owieczce pana
Nieparzystego – dwie owieczki. Pewnego dnia wilk porwał trzy owieczki pana Parzystego.
Wówczas pan Parzysty miał tyle samo owieczek co pan Nieparzysty.
Ile owieczek miał pierwotnie każdy z hodowców?
p - liczba owieczek p. Parzystego, n – liczba owieczek p. Nieparzystego,
p+n=111a a – liczba jednocyfrowa nieparzysta
p+3p-3 = n+2n
7t = 112a+1-a
4p = 3n+3
7 dzieli 1-a
p=3t skąd 4t=n+1
a=1 lub a=8(sprz.)
podstawiając do I równania 3t+4t-1=111a
7t = 111a+1 a=1 => t=16 => p=48 i n=63
Slovenská komisia Matematickej olympiády
Katedra matematickej analýzy a numerickej matematiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského
Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Zadania pochodzą ze strony: http://skmo.sk
opracowanie: Waldemar Górski
ďakujem