Liczby pierwsze zespolone

Mikołaj Zgódka
III rok matematyki
FTiMS PG
Teoria Liczb
Liczby pierwsze zespolone
1. Podstawowe definicje
Definicja 1.
Liczbę postaci z = a + bi , gdzie i ∈ jest jednostką urojoną; a, b ∈ nazywamy liczbą
całkowitą zespoloną.
Uwaga 1.
Zbór liczb całkowitych zespolonych wraz z dodawaniem i mnożeniem określonym na
liczbach zespolonych tworzy pierścień oznaczany symbolem [i].
Definicja 2.
Niech p, q ∈ [i] (liczby całkowite zespolone). Mówimy, że p dzieli q (p jest dzielnikiem
zespolonym q) i oznaczamy p|q, gdy:
∃ pz = q
z∈Z [ i ]
Definicja 3.
Liczbę z ∈ [i] nazywamy liczbą pierwsza zespoloną, gdy zbór D wszystkich jej
dzielników zespolonych ma dokładnie 8 elementów i ma postać:
D = {1,−1, i,−i, z ,− z, z ,− z}
2. Charakterystyka
Rys. 1
Rys. 2
Rysunek 1 przedstawia zbiór liczb pierwszych zespolonych w pewnym otoczeniu liczby 0.
Czarne punkty odpowiadają tym liczbom zespolonym, które są pierwsze. Rysunek 2
przedstawia powiększony fragment zbioru w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.
Symetria zbioru liczb pierwszych zespolonych.
Jeżeli liczba a + bi jest złożona (załóżmy, że a, b > 0), to złożona jest również liczba b + ia.
Jeśli a + bi jest złożona, to istnieje c + di, które ją dzieli. Wtedy liczbę b + ai dzieli d + ci.
Oznacza to, że zbiór liczb zespolonych złożonych należących do I ćwiartki układu jest
symetryczny względem prostej Re(z)=Im(z). A skoro symetryczny jest zbiór liczb złożonych,
to symetryczny jest również zbiór liczb pierwszych w pierwszej ćwiartce.
Argumentując podobnie łatwo sprawdzić, że cały zbiór liczb pierwszych zespolonych ma 4
osie symetrii: Osie układu, oraz proste Re(z)=Im(z) oraz Re(z)=-Im(z). (Rys. 1). Dlatego
wszystkie rozważania odnośnie liczb pierwszych zespolonych można ograniczyć do
„pierwszej ósemki” układu, czyli dla liczb a + bi, gdzie 0 ≤ a ≤ b .
Sprawdzanie pierwszości liczby.
Aby sprawdzić, czy liczba z ∈ [i] jest pierwsza, należy najpierw policzyć jej moduł, a
następnie sprawdzić, czy nie dzieli się ona przez znane liczby pierwsze z pierwszej ósemki
układu o module mniejszym.
Widać, że liczba 1+i jest pierwsza. |1+i| = 2 , a jedynymi liczbami z pierwszej ósemki o
module mniejszym bądź równym, są liczby 0 i 1, które nie są pierwsze.
Okazuje się, że klasyczne liczby pierwsze wcale nie muszą być jednocześnie pierwszymi
zespolonymi. Liczba 2 ma następujący rozkład:
2 = (1 + i )(1 − i )
Zatem liczba 2 jest złożona. Podobnie złożone są np. liczby 5 i 13. jest tak dlatego, gdyż dają
się one przedstawić jako sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych.
2 = 12 + 12
5 = 2 2 + 12
13 = 3 2 + 2 2
W ogólności, jeśli liczba p = q 2 + r 2 , gdzie p – liczba pierwsza, q, r ∈ , to liczba p ma
rozkład w pierścieniu [i]:
p = (q + ri )(q − ri )
Łatwo zauważyć również, że liczba 1+i jest w pierwszej ósemce układu jedyną liczbą
pierwszą postaci a + ai. Jest tak dlatego, że wszystkie inne liczby tej postaci dzielą się przez
nią. Jest ona również jedyną liczbą pierwszą (w pierwszej ósemce) o parzystej sumie
współrzędnych. Wszystkie inne liczby tej postaci również dzielą się przez nią.
Podobieństwa zbioru liczb pierwszych zespolonych do zbioru zwykłych liczb pierwszych.
Liczby pierwsze zespolone wydają się być rozmieszczone na płaszczyźnie zespolonej (w
danej ósemce układu) w sposób całkowicie przypadkowy – podobnie jak zwykle liczby
pierwsze na osi liczbowej.
Liczb pierwszych zespolonych również jest nieskończenie wiele, podobnie jak zwykłych liczb
pierwszych. W miarę oddalania od zera, obydwa zbiory wyraźnie się rozrzedzają.
Odpowiednikiem liczby 2 w zbiorze liczb pierwszych jest liczba pierwsza zespolona o
najmniejszym module, którą jest 1+i. Jest ona jedyną liczbą pierwszą zespoloną o parzystej
sumie współrzędnych, podobnie jak 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
3. Linki:
Artykuł w Wikipedii o liczbach całkowitych zespolonych oraz pierwszych zespolonych:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integer
Wizualizacja liczb pierwszych zespolonych:
http://www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM