Równania diofantyczne

Matematyka dyskretna — ćwiczenia 7
Równania diofantyczne
Stefan Sokołowski
Elbląg, 20 IV 2012
Zadanie 0:
Znaleźć wszystkie całkowite rozwiązania równań:
1. 260x + 144y = 10
2. 140x − 63y = 35
Rozwiązanie:
Ponieważ nwd(260, 144) = 4 i 46 | 10, więc równanie 1 nie ma rozwiązania całkowitego.
Ponieważ nwd(140, −63) = 7 i 7 | 35 więc równanie 2 ma rozwiązania całkowite. Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
140x − 63y = 0
jest
(
x = (63/7) · t
y = (140/7) · t
)
czyli
(
)
x = 9t
. Znajdźmy jedno (jakiekolwiek) rozwiązanie równania
y = 20t
niejednorodnego
140x − 63y = 35
Ponieważ nwd(140, −63) = 7 = 140 · (−4) + 63 · 9, więc
140 · (−4 · 5) − 63 · (−9 · 5) = 7 · 5 czyli
140 · (−20) − 63 · (−45) = 35
tak więc
(
)
x = −20
y = −45
jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego. Wobec
tego rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest
(
)
x = −20 + 9t
y = −45 + 20t
1
Zadanie 1:
Rozwiązać (w liczbach całkowitych) następujące równania:
1. 154x + 260y = 4
2. 154x + 260y = 25
3. 7684x + 414y = 272
4. 516x + 564y = 6432
5. 17368x + 5470y = 80
2