Document

83
4. OBWODY PRĄDU PRZEMIENNEGO TRÓJFAZOWEGO.
Zadanie 4.1.
Dwa symetryczne trójfazowe odbiorniki połączone w trójkąt o danych:
1) P1=30kW, cos1=0.75 (ind.)
2) Z2=20-j15 /fazę;
są zasilane z sieci o napięciu liniowym U=380V. Obliczyć sumaryczne moce: czynną P,
bierną Q , pozorną S i prąd przewodowy I pobierany z sieci oraz wypadkowy współczynnik
mocy cos .
Rozwiązanie
Układ połączeń jak na rysunku 4.1.1.
3 380 V
A
B
I
I2
I1
C
If 1
If 2
Z1
Z2
Rys.4.1.1. Układ połączeń odbiorników do zadania 4.1.
Moc bierna odbiornika 1:
cos1= 0,75, zatem tg1 = 0,882
Q1  P1 tg 1

Q1=30 0,882 = 26,46 kvar.
Moc czynna odbiornika 2.
P2  3U f I f 2 cos  2 .
Po uwzględnieniu w powyższej zależności, że w odbiorniku połączonym w trójkąt:
Uf = U = 380V oraz:
Uf2
R
Z 2  R22  X 22
I f2 
;
cos  2  2 ;
Z2
Z2
otrzymamy:
P2 
3U 2 R2
R22  X 22

3  380 2  20
 13,86 kW.
20 2  15 2
84
Poddobnie obliczona moc bierna odbiornika 2 wynosi:
Q2  3U f 2 I f 2 sin  2  3U
U X2
3U 2 X 2
3  380 2  15
 2

 10,4 kvar
Z 2 Z 2 R2  X 22
20 2  15 2
Sumaryczna moc czynna:
P.= P1+P2 = 30,0 + 13,86 = 43,86 kW.
Sumaryczna moc bierna:
Q = Q1+Q2 = 26,46 + 10,4 = 36,86 kvar.
Wypadkowa moc pozorna:
S  P 2  Q 2  43860 2  36860 2  57,29 kVA
Wypadkowy prąd liniowy:
S
57290
I

 87,0 A
3U
3  380
Wypadkowy współczynnik mocy:
P 43860
cos   
 0,766 .
S 57290
Zadanie 4.2.
Dwa symetryczne odbiorniki trójfazowe o impedancjach odpowiednio: Z1 = 16+j12
/fazę i Z2= 15+j20 /fazę, są zasilane z symetrycznej sieci o napięciu 3 x 380V. Odbiornik
1. jest połączony w gwiazdę a odbiornik 2. w trójkąt. Obliczyć wypadkowy prąd pobierany z
sieci I, sumaryczną moc czynną P oraz wypadkowy współczynnik mocy cos
Rozwiązanie
Schemat połączeń odbiorników pokazano na rysunku 4.2.1.
3 380 V
A
B
I
I2
I1
C
I2f
Z1
Z2
Rys.4.2.1. Układ połączeń odbiorników do zad.4.2.
Prąd przewodowy odbiornika 1. (odb. połączony w gwiazdę).
85
I1  I1 f 
U1 f
Z1
380 / 3

16 2  12 2
 11 A
Współczynnik mocy odbiornika 1.
R1
16

 0,8
Z1
16 2  12 2
Moc czynna odbiornika 1.
P1  3UI 1 cos  1  3  380  11  0,8  5792 W
cos  1 
Prąd przewodowy odbiornika 2. (Odb. połączony w trójkąt).
I 2  3I 2 f  3
U2 f
Z2
 3
380
15  20
2
2
 26,3 A
Współczynnik mocy odbiornika 2.
R2
15

 0,6
Z2
15 2  20 2
Moc czynna odbiornika 2.
cos  2 
P2  3UI 2 cos  2  3  380  26,3  0,6  10386 W
Sumaryczna moc czynna pobierana z sieci:
P  P1  P2  5792  10386  16178 W
Sumaryczna moc bierna pobierana z sieci:
Q  Q1  Q2  P1  tg 1  P2  tg  2  5792  0,75  10386  1.33  18157 var
Wypadkowa moc pozorna:
S  P 2  Q 2  16178 2  18157 2  24319 VA
Wypadkowy prąd pobierany z sieci:
S
24319
I

 36,9 A
3U
3  380
Wypadkowy współczynnik mocy:
P 16178
cos   
 0,665 .
S 24319
Rozwiązanie alternatywne
Połączony w trójkąt odbiornik 2. zastępujemy równoważnym odbiornikiem połączonym w
gwiazdę (rys.4.2.2.).
86
A
B
I
I2
I1
C
Z1
Z 2Y = Z 2 / 3
Rys.4.2.2. Ilustracja do przekształcenia układu z rys.4.2.1.
W tym celu jego impedancję Z2należy przeliczyć na Z2. Korzystając z symetrii odbiornika
obliczamy:
Z
15  j 20
Z 2  2  
 5  j 6,67 /fazę.
3
3
Impedancja fazy odbiornika zastępczego połączonego w gwiazdę (rys. 4.2.3.):
A
B
I
C
Z = Z 1 Z 2Y
Rys. 4.2.3. Układ zastępczy dwóch odbiorników z rys.4.2.2.
Z  Z 1 // Z 2  
Z 1  Z 2
(16  j12)  (5  j 6,67)

 3,94  j 4,44 /fazę.
Z 1  Z 2  (16  j12)  (5  j 6,67)
Prąd pobierany z sieci przez odbiornik zastępczy:
Uf
380 / 3
I  If 

 36,9 A
Z
3,94 2  4,44 2
87
Współczynnik mocy odbiornika zastępczego:
R
3,94
cos   
 0,665 .
Z
3,94 2  4,44 2
Moc czynna pobierana z sieci:
P  3UI cos   3  380  36,9  0,665  16150 W
Uwaga! Nieznaczne różnice wyników obydwu metod są rezultatem zaokrąglania liczb podczas obliczeń.
Zadanie 4.3.
Mały zakład produkcyjny jest zasilany linią trójfazową o parametrach: Rl = 0,5/fazę oraz
Xl = 0,9/fazę. Moc czynna pobierana przez zakład wynosi P = 25kW przy współczynniku
mocy cos = 0,75. Obliczyć:
1) napięcie na początku linii zasilającej U1, jeśli napięcie na końcu linii U2 = 380V,
2) pojemność baterii kondensatorów jaką należy zainstalować w zakładzie aby jego
wypadkowy współczynnik mocy wzrósł do wartości cosk = 0,9,
3) napięcie na początku linii po włączeniu baterii kondensatorów U1k, przy założeniu, że
napięcie na końcu linii wynosi 380V.
Rozwiązanie
Dla uproszczenia obliczeń, wygodnie jest analizowany zakład przedstawić jako jeden
trójfazowy odbiornik połączony w gwiazdę, tak jak to przedstawiono na rysunku 4.3.1a.
Korzystając z symetrii zasilania i odbiornika obliczenia przeprowadzamy dla jednej fazy.
Jednofazowy schemat układu przedstawiono na rysunku 4.3.1b.
U1
Rl
Xl
Rl
Xl
Rl
Xl
Rl
Xl
I Rl
IXl
ODBIORNIK
I
U2
a)
I
Uf1
ODBIORNIK
Uf2
b)
Uf1
IX
Uf2


I Rl
c)
I
l
88
Rys.4.3.1. Schemat połączeń odbiorników 3-fazowych (a); schemat jednofazowy (b);wykres
wektorowy (c).
Prąd fazowy If pobierany przez zakład jest równy przy połączeniu w gwiazdę prądowi
przewodowemu I.
P
25000
I

 50,6 A.
(1)
3  U  cos
3  380  0,75
Przyjmując Uf2 = Uf2, można przedstawić zespoloną wartość prądu jako:
(2)
I  Ie  j  I (cos  j sin  )  50,6(0,75  j 0,661)  (37,9  j 33,5) A.
Dla obwodu jednofazowego (rys.4.3.1b) można na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa
napisać:
U f 1  U f 2  I Rl  I jX l
(3)
Rys.4.3.1c przedstawia wykres wektorowy ilustrujący powyższe równanie.
Zgodnie z (3) napięcie fazowe na początku linii wyniesie:
U f 1  380 / 3  (37,9  j 33,5)(0,5  j 0,9)  220  49,1  j17,4  (269,1  j17,4) V,
zaś moduł tego napięcia jest równy:
U f1  U
f1
 269,12  17,4 2  269,6 V.
Alternatywnie, do obliczenia modułu napięcia Uf1 można zastosować przybliżony wzór:
U f 1  U f 2  I ( Rl cos   X l sin  )
(4)
We wzorze tym przyjmuje się, że długość wektora Uf1 jest równa długości jego rzutu na
kierunek wektora Uf2 (rys.4.3.1c), co jest wystarczająco dokładnym przybliżeniem do celów
praktycznych. W analizowanym przypadku Uf1 obliczone z wzoru (4) ma wartość:
U f 1  220  50,6  (0,5  0,75  0,9  0,661)  269,1 V
Napięcie przewodowe na początku linii wyniesie:
U 1  3  U f 1  3  269,6  467 V.
Po włączeniu baterii kondensatorów (rys.4.3.2a) wypadkowy współczynnik mocy wzrośnie
do wartości cosk = 0,9 - natomiast prąd pobierany z sieci zmaleje do wartości:
P
25000
Ik 

 42,2 A.
3  U  cosk
3  380  0,9
Z wykresu wektorowego (rys.4.3.2b) wynika, że prąd przewodowy baterii Ic jest równy:
I c  I cos (tg  tg k ) .
(5)
Podstawiając do powyższego wyrażenie (1) na prąd I oraz Ic = UfcC, po przekształceniach
otrzymamy wyrażenie na pojemność jednej fazy baterii kondensatorów:
P
,
(6)
C
3  2fU 2fc
co daje przy połączeniu baterii w gwiazdę (Ufc = Uf2 = 220V):
CY 
25000
 548  10 6 F/fazę,
2
3  2  50  220
lub przy połączeniu w trójkąt (Ufc = U2 =380V):
89
ODBIORNIK
Ik
U f 1k
I k Rl
IC
Uf2
IkXl
I
C
a)
U f 1k
IkXl
IC

k
Uf2
Ik
I k Rl
IC
b)
I
Rys.4.3.2. Schemat układu z baterią kondensatorów (a); wykres wektorowy (b).
25000
 183  10  6 F/fazę,
3  2  50  380 2
Napięcie fazowe na początku linii, potrzebne aby przy włączonych kondensatorach utrzymać
pożądaną wartość 380V na końcu linii, można obliczyć z wzoru (4):
U f 1k  220  42,2  (0,5  0,9  0,9  0,436)  255,5 V.
C 
Odpowiadające mu napięcie przewodowe wyniesie:
U 1k  3  U f 1k  3  255,5  442,5 V.
Zadanie 4.4.
Napięciem fazy A trójfazowej czteroprzewodowej linii zasilającej o napięciu 380/220 V
jest zasilany grzejnik o mocy 2 kW a napięciem fazy B żarówka o mocy 100W. Obliczyć
wartości napięć jakie pojawią się na zaciskach poszczególnych odbiorników jeśli w
przewodzie zerowym linii zasilającej powstanie przerwa. Skomentuj otrzymane wyniki.
Odp. Ugrzejnika =18,1V; Użarówki =362V.
Zadanie 4.5.
Ile wynosi współczynnik mocy symetrycznego odbiornika trójfazowego jeśli wskazanie
watomierza włączonego w sposób pokazany na rys.4.5.1 wynosi zero.
B
3 x 380 V
A
*
* W
V
C
Rys.4.5.1. Układ połączeń do zad.4.5.
Odp.: cos=1.
ODBIORNIK
A